精品解析：山东省东营市广饶县广饶县乐安中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024-2025学年第二学期第一次质量调研 数学试题 （时间120分钟 分值120 分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，数轴上点表示的数的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果不等式组解集为，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 一副三角板按如图方式放置，含角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边平行，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 在2021年初中毕业生体育测试中，某校随机抽取了10名男生的引体向上成绩，将这组数据整理后制成如下统计表： 成绩（次） 12 11 10 9 人数（名） 1 3 4 2 关于这组数据的结论不正确的是（ ） A. 中位数是10.5 B. 平均数是10.3 C. 众数是10 D. 方差是0.81 7. 已知方程组的解为，则2a﹣3b的值为（） A. 4 B. 6 C. ﹣4 D. ﹣6 8. 关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 9. 如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为，直线在轴上平移的距离为，、间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 10 10. 对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（11-14每题3分，15-18每题4分，共28分） 11. 年高考报名人数再创历史新高，达到了万人，比去年增加了万人．这也是新中国成立以来高考人数首次突破万，万用科学记数法表示为_____． 12 因式分解：________． 13. 如果单项式与是同类项，那么的值是___． 14. 从﹣2，﹣1，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数y=kx+b的系数k，b，则一次函数y=kx+b的图象不经过第四象限的概率是____． 15. 不等式组的解集是________． 16. 若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是____． 17. 已知不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是_______． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 20. 为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）本次被调查的学生有 名，补全条形统计图； （2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是 ， ； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？ 21. 如图，中，，以为直径的交于点D，过点D作的切线交于点E． （1）求证：； （2）若的半径为5，，求的长． 22. 某服装店用元购进了一批服装，上架后很快脱销，该商场用元购进第二批这种服装，所购数量是第一批购进数量的倍，但每件进价多了元．求商场两次共购进这种服装多少件？ 23. 如图，一次函数y=kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数y=的图象在第一象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB=3，OD=6，△AOB的面积为3． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出当x＞0时，kx+b﹣＜0的解集． 24. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船成功点火发射，将3名航天员送入太空．某航天模型商店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型的商品．已知商店老板购进1个“神舟”模型和3个“天宫”模型一共需要195元；购进2个“神舟”模型和1个“天宫”模型一共需要165元． （1）求“神舟”模型和“天宫”模型的进货单价； （2）该航天模型商店计划购进两种模型共200个，且“神舟”模型的数量不少于“天宫”模型数量的一半．若每个“神舟”模型的售价为80元，每个“天宫”模型的售价为68元，则购进多少个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大？最大利润是多少元？ 25. 二次函数图象经过点，，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接、，交于点Q，过点P作轴于点D． （1）求二次函数表达式； （2）连接，当时，求直线的表达式； （3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期第一次质量调研 数学试题 （时间120分钟 分值120 分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，数轴上点表示的数的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，在数轴上表示有理数．先根据数轴得出点表示的数，再根据相反数的定义求出其相反数，即可求解． 【详解】解：∵点表示的数为， ∴数轴上点表示的数的相反数是． 故选：C． 2. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式和积的乘方法则对每个选项一一判断即可． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式和积的乘方法则，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键． 3. 如果不等式组的解集为，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式组,确定每个不等式的解集,后根据不等式组的解集的意义,确定m的取值范围即可. 【详解】∵， 解①得x＞2，解②得x＞m， ∵不等式组的解集为，根据大大取大的原则， ∴， 故选A. 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练根据不等式组的解集确定字母的取值是解题的关键． 4. 一副三角板按如图方式放置，含角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边平行，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两直线平行，内错角相等传递等角后计算即可 【详解】如图，∵AB∥DE， ∴∠BAE=∠E=30°， ∴=∠CAB-∠BAE= 45°-30°=15°， 故选B 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板的意义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 5. 如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据简单几何体的三视图中俯视图从上面看得到的图形即可求解． 【详解】解：从上面看简单组合体可得两行小正方形，第二行四个小正方形，第一行一个小正方形右侧对齐． 故选C． 【点睛】此题主要考查三视图的判断，解题的关键是熟知三视图的定义． 6. 在2021年初中毕业生体育测试中，某校随机抽取了10名男生的引体向上成绩，将这组数据整理后制成如下统计表： 成绩（次） 12 11 10 9 人数（名） 1 3 4 2 关于这组数据的结论不正确的是（ ） A. 中位数是10.5 B. 平均数是10.3 C. 众数是10 D. 方差是0.81 【答案】A 【解析】 【分析】先将数据按照从小到大排列，再依次按照中位数的定义、平均数计算公式、众数定义、方差计算公式依次进行判断即可． 【详解】解：将该组数据从小到大排列依次为：9，9，10，10，10，10，11，11，11，12； 位于最中间的两个数是10，10，它们的平均数是10， 所以该组数据中位数是10，故A选项符合题意； 该组数据平均数为：，故B选项不符合题意； 该组数据10出现次数最多，因此众数是10，故C选项不符合题意； 该组数据方差为：，故D选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了中位数和众数的定义以及方差和平均数的计算公式，解决本题的关键是牢记相关概念与公式等，本题的易错点是容易将表格中的数据混淆，同时计算容易出现错误，因此需要学生有一定的计算能力． 7. 已知方程组的解为，则2a﹣3b的值为（） A. 4 B. 6 C. ﹣4 D. ﹣6 【答案】B 【解析】 【分析】将x和y的值代入到方程组，原方程组变成关于a、b的方程组．再仔细观察未知数的系数，相同或者相反，可以运用加减消元解题． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴． 由①＋②得a＝，②−①得b＝−1． 将a＝，b＝−1代入2a−3b，即2×−3×（−1）＝3＋3＝6． 故选：B． 【点睛】此题主要考查二元一次方程组的代入消元法，灵活运用代入消元或加减消元是解题的关键． 8. 关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程有实数根，利用根的判别式来求的取值范围即可． 【详解】解：当方程为一元二次方程时， ∵关于的方程有实数根， ∴，且 ， 解得，且， 当方程为一元一次方程时，k=1，方程有实根 综上， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程方程的根的判别式，注意一元二次方程方程中，熟悉一元二次方程方程的根的判别式的相关性质是解题的关键． 9. 如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为，直线在轴上平移的距离为，、间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（ ） A B. C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的距离可以判断出矩形BC边的长，根据的最大值和平移的距离可以求得矩形AB边的长，从而求得面积 【详解】如图：根据平移的距离在4至7的时候线段长度不变， 可知图中, 根据图像的对称性，， 由图（2）知线段最大值为，即 根据勾股定理 矩形的面积为 故答案为：C 【点睛】本题考查了矩形的面积计算，一次函数图形的实际意义，勾股定理，一次函数的分段函数转折点的意义；正确的分析函数图像，数形结合解决实际问题是解题的关键． 10. 对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定． 由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合对称轴判断①，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况判断②，根据对称性求得时的函数值小于0，判断③；根据时的函数值，结合，代入即可判断④，根据顶点坐标即可判断⑤，根据函数图象即可判断⑥． 【详解】解：①由图象可知：， ∵对称轴为直线：， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ③∵对称轴为直线，则与的函数值相等， ∴当时，，故③错误； ④当时，， ∴，故④正确； ⑤当时，取到最小值，此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故⑤正确， ⑥当时，y随的增大而减小，故⑥正确， 综上，正确的是①②④⑤⑥共5个， 故选：C． 二、填空题（11-14每题3分，15-18每题4分，共28分） 11. 年高考报名人数再创历史新高，达到了万人，比去年增加了万人．这也是新中国成立以来高考人数首次突破万，万用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是科学记数法—表示较大的数，把一个大于的数写成科学记数法的形式时，将小数点放到左边第一个不为的数位后作为，把整数位数减作为，从而确定它的科学记数法形式．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：∵科学记数法的表示形式为， ∴用科学记数法表示万，则万， 故答案为：． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，利用平方差公式是解题关键．根据平方差公式因式分解，可得答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 如果单项式与是同类项，那么的值是___． 【答案】． 【解析】 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 则==． 故答案为． 14. 从﹣2，﹣1，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数y=kx+b的系数k，b，则一次函数y=kx+b的图象不经过第四象限的概率是____． 【答案】 【解析】 【详解】画树状图得： ∵共有12种等可能的结果,一次函数y=kx+b的图象不经过第四象限的有：(1,2),(2,1)， ∴一次函数y=kx+b的图象不经过第四象限的概率为：=. 15. 不等式组的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，再求其解集即可 【详解】解不等式 解不等式 解集 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式组的解集，不等式组的解法，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，确定不等式组的解集是解题的关键． 16. 若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是____． 【答案】m＜6且m≠2. 【解析】 【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】， 方程两边同乘（x-2）得，x+m-2m=3x-6， 解得，x=， 由题意得，＞0， 解得，m＜6， ∵≠2， ∴m≠2， ∴m＜6且m≠2. 【点睛】要注意的是分式的分母暗含着不等于零这个条件，这也是易错点． 17. 已知不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先解不等式，根据解的情况确定的取值范围．特别是要注意不等号中等号的取舍． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 此不等式组有3个整数解， 这3个整数解为，0，1， 的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解法．解题中要注意分析不等式组的解集的确定． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数性质应用，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作轴于点H，依次求出，找出规律即可解决． 【详解】解：作轴于点H， 均在直线上， ， ， ，， ， ， ， ∴由勾股定理得：， ， 同理，， ， 同理， ， 即点的横坐标是， 故答案为：． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式加减，负整数指数幂的意义，分是的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据乘方、二次根式的性质、负整数指数幂的意义、绝对值的性质化简，再算加减即可； （2）先根据分式的运算法则把所给代数式化简，再把代入计算． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ， 当时， 原式． 20. 为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）本次被调查的学生有 名，补全条形统计图； （2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是 ， ； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？ 【答案】（1）100，见解析 （2），10 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）用选择篮球的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数：求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可； （2）用选择羽毛球的人数除以本次被调查的学生总人数即可求出占比，再乘以360度即可求出圆心角； （3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得本次被调查的学生人数（人）， 喜爱足球的人数为：（人）， 条形图如图所示， 故答案为：100； 【小问2详解】 解：“羽毛球”人数所占比例为：， 所以，扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数， 故答案为：，10； 小问3详解】 解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用字母A，B，C，D表示，根据题意画树状图如下：     ∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种， ∴P（甲、乙两人被选中）． 21. 如图，中，，以为直径的交于点D，过点D作的切线交于点E． （1）求证：； （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，切线的判定，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质得到，然后根据等边对等角得到，即可得到，证明结论即可； （2）过点作于点，则四边形为矩形，然后在中根据勾股定理求出长即可解题． 【小问1详解】 证明：如图，连接． 为的切线，为半径， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点． ． ， 四边形为矩形． ． ， 在中，． ， ． 22. 某服装店用元购进了一批服装，上架后很快脱销，该商场用元购进第二批这种服装，所购数量是第一批购进数量的倍，但每件进价多了元．求商场两次共购进这种服装多少件？ 【答案】商场两次共购进这种服装件 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是解题的关键． 设第一批购进数量为件，则第二批购进数量为件，第一批每件的进价为元，第二批每件的进价为，根据第二批这种服装每件进价比第一批多了元，由此列式求解即可． 【详解】解：设第一批购进数量为件，则第二批购进数量为件， ∴第一批每件的进价为元，第二批每件的进价为， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴（件）， ∴第一批购进数量为件，第二批购进数量为件， ∴（件）， ∴商场两次共购进这种服装件． 23. 如图，一次函数y=kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数y=的图象在第一象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB=3，OD=6，△AOB的面积为3． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）直接写出当x＞0时，kx+b﹣＜0的解集． 【答案】（1）y=x﹣2，y=（2）0＜x＜6 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积求出OA，得出A、B的坐标，代入一次函数的解析式即可求出解析式，把x=6代入求出D的坐标，把D的坐标代入反比例函数的解析式求出即可； （2）根据图象即可得出答案． 详解】：（1）∵S△AOB=3，OB=3， ∴OA=2， ∴B（3，0），A（0，﹣2）， 代入y=kx+b得：， 解得：k=，b=﹣2， ∴一次函数y=x﹣2， ∵OD=6， ∴D（6，0），CD⊥x轴， 当x=6时，y=×6﹣2=2 ∴C（6，2）， ∴n=6×2=12， ∴反比例函数的解析式是y=； （2）当x＞0时，kx+b﹣＜0的解集是0＜x＜6． 24. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船成功点火发射，将3名航天员送入太空．某航天模型商店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型的商品．已知商店老板购进1个“神舟”模型和3个“天宫”模型一共需要195元；购进2个“神舟”模型和1个“天宫”模型一共需要165元． （1）求“神舟”模型和“天宫”模型的进货单价； （2）该航天模型商店计划购进两种模型共200个，且“神舟”模型的数量不少于“天宫”模型数量的一半．若每个“神舟”模型的售价为80元，每个“天宫”模型的售价为68元，则购进多少个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）“神舟”模型的进货单价为60元，“天宫”模型的进货单价为45元 （2）当购进67个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润是4399元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，则设“神舟”模型的进货单价为元，“天宫”模型的进货单价为元．因为购进1个“神舟”模型和3个“天宫”模型一共需要195元；购进2个“神舟”模型和1个“天宫”模型一共需要165元，然后列式计算，即可作答． （2）先根据该航天模型商店计划购进两种模型共200个，且“神舟”模型的数量不少于“天宫”模型数量的一半．列出，再结合每个“神舟”模型的售价为80元，每个“天宫”模型的售价为68元，进行列式计算，最后结合一次函数的性质，即可作答． 【小问1详解】 解：设“神舟”模型的进货单价为元，“天宫”模型的进货单价为元． 由题意得， 解得， 答：“神舟”模型的进货单价为60元，“天宫”模型的进货单价为45元． 【小问2详解】 解：设购进个“神舟”模型，则购进个“天宫”模型． 由题意得． 解得， 依题意，设利润为元． 由题意得． ， 随的增大而减小． 为正整数， 当取最小值67时，利润取得最大值，为（元）． 答：当购进67个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润是4399元． 25. 二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接、，交于点Q，过点P作轴于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）连接，当时，求直线的表达式； （3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P坐标，如没有请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）有最大值为，P点坐标为 【解析】 【分析】（1）将，代入中，列出关于a、b的二元一次方程组，求出a、b的值即可； （2）设与y轴交于点E，根据轴可知，，当，即，由此推断为等腰三角形，设，则，所以，由勾股定理得，解出点E的坐标，用待定系数法确定出BP的函数解析式即可； （3）设与交于点N，过B作y轴的平行线与相交于点M．由A、C两点坐标可得所在直线表达式，求得 M点坐标，则，由，可得，，设，则，根据二次函数性质求解即可． 【详解】解：（1）由题意可得： 解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）设与y轴交于点E， ∵轴， ， ， ， ， ，设， 则，， 在中，由勾股定理得， 解得， ， 设所在直线表达式为 解得 ∴直线的表达式为． （3）设与交于点N． 过B作y轴的平行线与相交于点M． 由A、C两点坐标分别为， 可得所在直线表达式为 ∴M点坐标为， 由，可得， 设，则 ， ∴当时，有最大值0.8， 此时P点坐标为． 【点睛】本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广，难度较大，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$