2025年浙江省中考数学模预测拟卷（3）

2025年浙江省中考数学模拟卷（3） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2025•苏州模拟）下列各数中最小的数是（　　） A．﹣3 B．﹣π C．﹣2 D．0 2．（2024秋•温州期末）中国空间站在太空中的飞行速度约为每小时27600000米，数据27600000用科学记数法表示为（　　） A．2.76×106 B．27.6×106 C．2.76×107 D．0.276×108 3．（2024秋•曲沃县期末）如图，是由一个正六棱柱和圆柱组成的几何体，其俯视图是（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•思明区期末）下列计算正确的是（　　） A．a3•a4＝a12 B．（a2）3＝a6 C．（2a）3＝6a3 D．a4÷a4＝a 5．（2025•长沙模拟）在一个不透明的盒子中装有8个白球，4个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，则摸出的是黄球的概率为（　　） A． B． C． D． 6．若方程组的解x，y满足0＜x+y＜1，则k的取值范围是（　　） A．﹣4＜k＜0 B．﹣1＜k＜0 C．0＜k＜8 D．k＞﹣4 7．（2024春•莱州市期末）下列各组图形中的两个三角形均满足△ABC∽△DEF，这两个三角形不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 8．（2025•汕头校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，，∠BAD＝45°，以点A为圆心、AD为半径画弧交AB于点E，连接CE，若，则图中阴影部分的面积是（　　） A．20﹣4π B． C．4π D． 9．（2025•滑县一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（1，0），对称轴为直线x＝2，有下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③c＝3a；④4a+b＝0；⑤当x＜1时，y随x的增大而增大，其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 10．（2024•安徽模拟）如图，点E是边长为8的正方形ABCD的边CD上一动点，连接AE，将线段AE绕点E逆时针旋转90°到线段EF，连接AF，BF，AF交边BC于点G，连接EG，当AF+BF取最小值时，线段EG的长为（　　） A．8 B．7 C．9 D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（2024•大冶市一模）因式分解：11x2﹣11＝　 　． 12．（2024•遂平县一模）已知二元一次方程组，则x+y的值为 　 　． 13．（2025•泗洪县一模）九年级体育中考中，某班7位男生的测试成绩为（单位：分）：40，35，36，40，36，40，38，这组数据的众数是 　 　． 14．（2025•灞桥区校级二模）已知一个扇形的圆心角为60°，其弧长为，则该扇形的面积为　 　cm2． 15．（2024•鹿城区校级三模）如图，在△ABC中，∠C＝60°，点D在BC上，BD＝2，CD＝3，且AB＝AD，E为AC上一点，过点B作BF∥DE交AC于点F，交AD于点G，若AF＝CE，则GF的长为 　 　． 16．（2024•玉环市三模）如图，点M，N是正方形ABCD边AD，CD上的点，分别以M，N为圆心，MD，ND为半径画弧，交点F恰好在线段BN上，连接MN交对角线BD于点E．若BE＝2DE，DN：NC＝2：1，FM＝FB，则＝　 　；此时tan∠MND＝　 　． 三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分） 17．（2025•咸阳一模）化简：（2x+3）2﹣（x+1）（4x﹣1）． 18．（2025•丛台区校级一模）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得x﹣（x﹣3）＝x﹣2 去括号，得x﹣x+3＝x﹣2 合并同类项，得3＝x﹣2 解得x＝5 ∴原方程的解是x＝5 小迪： 解：去分母，得x+（x﹣3）＝1 去括号得x+x﹣3＝1 合并同类项得2x﹣3＝1 解得x＝2 经检验，x＝2是方程的增根，原方程无解 （1）你认为小丁的解法 　 　，小迪的解法 　 　；（填“正确”或“错误”） （2）请写出你的解答过程． 19．（2025•湖北一模）为了迎接学校的体育运动节，体育老师想了解女生一分钟仰卧起坐（个数）的情况，特抽查了九年级部分女生的一分钟仰卧起坐（个数）情况，按成绩（10分制）分为A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如下不完整的统计图表， 等级（分数） 成绩（个数） 人数 A（10分） 54≤x 10 B（9.5分） 51≤x＜54 m C（9分） 48≤x＜51 14 D（8.5分） 45≤x＜48 5 E（8分） 42≤x＜45 5 （1）表中m＝　 　；扇形统计图中，等级C所占百分比是　 　． （2）九年级有女生300人，估计成绩为9.5分及以上的有多少人？ （3）通过对统计图表的分析，请你对九年级的女生提出一条好的建议． 20．（2025•虹口区一模）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝5，sinB＝，点D、E在BC的延长线上，联结AD、AE，且AD＝AC． （1）求tan∠ADC的值； （2）如果∠E＝∠BAC，求DE的长． 21．（2025•深圳模拟）如图，在▱ABCD中，AB＞AD． （1）按如下步骤用直尺（不带刻度）和圆规作图．（要求：保留作图痕迹，不写作法．）①在AB上取一点E，使AE＝AD；②作∠BAD的平分线交CD于点F；③连接EF． （2）若∠BAD＝60°，AD＝6，求出（1）中所作的四边形AEFD的面积． 22．（2025•浙江一模）在一条笔直的公路上依次有A，B，C三地，小明、小红两人同时出发．小明从B地骑自行车匀速去A地拿东西，停留一段时间后，再以相同的速度匀速前往C地，小红步行匀速从C地至A地．小明、小红两人距C地的距离y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）求小明、小红两人的速度． （2）求小明从A地前往C地过程中y关于x的函数表达式． （3）请求出经过多少时间后，小明与小红相距600米． 23．（2025•宁波模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝（x﹣m）2+k的图象经过点A（m+1，0）． （1）求k的值； （2）图象上有两点（t，y1），（t+2，y2）． ①若y1﹣y2＝﹣4，求y1+y2的值； ②探究：y1+y2是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 24．（2024•秦淮区校级模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆． （1）如图①，当CD与⊙O相切时，求证：四边形ABCD是菱形． （2）如图②，当CD与⊙O相交于点E时． （Ⅰ）若AD＝6，CE＝5，求⊙O的半径． （Ⅱ）连接BE，交AC于点F，若EF•AB＝CE2，则∠D的度数是 　 　°． 答案第1页，共2页 试题卷第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年浙江省中考数学模拟卷（3） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2025•苏州模拟）下列各数中最小的数是（　　） A．﹣3 B．﹣π C．﹣2 D．0 【思路点拨】根据有理数比较大小的法则进行解答即可． 【解析】解：|﹣3|＝3，|﹣π|＝π，|﹣2|＝2， ∵π＞3＞2＞0， ∴﹣π＜﹣3＜﹣2＜0， 故选：B． 【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，熟知正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小是解题的关键． 2．（2024秋•温州期末）中国空间站在太空中的飞行速度约为每小时27600000米，数据27600000用科学记数法表示为（　　） A．2.76×106 B．27.6×106 C．2.76×107 D．0.276×108 【思路点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解析】解：27600000＝2.76×107． 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（2024秋•曲沃县期末）如图，是由一个正六棱柱和圆柱组成的几何体，其俯视图是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【解析】解：这个立体图形的俯视图是一个正六边形，正六边形内部中间是一个圆形． 故选：D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图是解题关键． 4．（2024秋•思明区期末）下列计算正确的是（　　） A．a3•a4＝a12 B．（a2）3＝a6 C．（2a）3＝6a3 D．a4÷a4＝a 【思路点拨】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解析】解：A、a3•a4＝a7，故此选项不符合题意； B、（a2）3＝a6，故此选项符合题意； C、（2a）3＝8a3，故此选项不符合题意； D、a4÷a4＝1，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．（2025•长沙模拟）在一个不透明的盒子中装有8个白球，4个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，则摸出的是黄球的概率为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据概率的定义解答即可． 【解析】解：由题意可知，黄球个数占球总数的三分之一，故任意摸出一球，黄球的概率为三分之一． 故选：A． 【点睛】本题考查了概率公式，掌握概率的定义是解答本题的关键． 6．若方程组的解x，y满足0＜x+y＜1，则k的取值范围是（　　） A．﹣4＜k＜0 B．﹣1＜k＜0 C．0＜k＜8 D．k＞﹣4 【思路点拨】先利用方程组，用含有k的代数式表示出x+y，再整体代入0＜x+y＜1中，得到关于k的不等关系式，解不等式，解出k的取值范围即可． 【解析】解：， ①+②得：4x+4y＝k+4， 即x+y＝， 由题意可得0＜＜1， 即， 解得：﹣4＜k＜0， 所以k的取值范围是﹣4＜k＜0． 故选：A． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，含有参数的二元一次方程组的解法要注意整体思想的运用． 7．（2024春•莱州市期末）下列各组图形中的两个三角形均满足△ABC∽△DEF，这两个三角形不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据位似图形的性质，①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行，对各选项逐一分析，即可得出答案． 【解析】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形． 根据位似图形的概念，A、C、D三个图形中的两个图形都是位似图形； B中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了位似图形，注意位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点． 8．（2025•汕头校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，，∠BAD＝45°，以点A为圆心、AD为半径画弧交AB于点E，连接CE，若，则图中阴影部分的面积是（　　） A．20﹣4π B． C．4π D． 【思路点拨】过点D作DF⊥AB于点F，根据解直角三角形求得DF，从而求得EB，最后根据S阴影＝S▱ABCD﹣S扇形ADE﹣S△EBC列式求解，即可解题． 【解析】解：过点D作DF⊥AB于点F， 由条件可知， ∴， ∵， ∴， ∴S阴影＝S▱ABCD﹣S扇形ADE﹣S△EBC， ＝， ＝， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形性质、扇形面积公式、三角形面积公式、以及解直角三角形，熟练掌握以上知识点是关键． 9．（2025•滑县一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（1，0），对称轴为直线x＝2，有下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③c＝3a；④4a+b＝0；⑤当x＜1时，y随x的增大而增大，其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】根据所给二次函数的图象，得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性对所给结论依次进行判断即可． 【解析】解：由所给函数图象可知， a＞0，b＜0，c＞0， 所以abc＜0． 故①错误． 因为抛物线与x轴有两个不同的交点， 所以一元二次方程y＝ax2+bx+c（a≠0）有两个不相等的实数根， 所以b2﹣4ac＞0． 故②正确． 因为抛物线的对称轴为直线x＝2， 所以， 则b＝﹣4a． 又因为二次函数图象经过点（1，0）， 所以a+b+c＝0， 所以a﹣4a+c＝0， 则c＝3a． 故③正确． 由上述过程可知，4a+b＝0． 故④正确． 由函数图象可知， 当x＜1时，y随x的增大而减小． 故⑤错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征及抛物线与x轴的交点，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 10．（2024•安徽模拟）如图，点E是边长为8的正方形ABCD的边CD上一动点，连接AE，将线段AE绕点E逆时针旋转90°到线段EF，连接AF，BF，AF交边BC于点G，连接EG，当AF+BF取最小值时，线段EG的长为（　　） A．8 B．7 C．9 D． 【思路点拨】过点F作FP⊥CD交DC的延长线于点P，作直线CF，首先证明△PEF≌△DAE，得PF＝DE，PE＝AD，再证明点F在∠BCP的平分线上，作点B关于直线CF的对称点M，连接AM交直线CF于点F，此时，AF+BF最小，设DE＝x，由图1知，PE＝PC＝DE＝x，则PM＝CM﹣PC＝8﹣x，由△MPF∽△MCG，得到对应边成比例即可求出x的值，再利用勾股定理即可解决问题． 【解析】解：如图，过点F作FP⊥CD交DC的延长线于点P，作直线CF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝BC＝CD＝8，∠D＝∠BCD＝90°，AB∥CD， ∴∠D＝∠EPF＝90°， ∴∠AED+∠DAE＝90°， 由旋转知，AE＝FE，∠AEF＝90°， ∴∠AED+∠PEF＝90°， ∴∠PEF＝∠DAE， 在△PEF与△DAE中， ， ∴△PEF≌△DAE（AAS）， ∴PF＝DE，PE＝AD， ∴PE＝CD， ∴PE﹣CE＝CD﹣CE， ∴PC＝DE， ∵FP⊥CD， ∴∠PCF＝45°， ∴点F在∠BCP的平分线上， 如图2，作点B关于直线CF的对称点M，连接AM交直线CF于点F，此时，AF+BF最小， ∵点B关于直线CF的对称点M， ， ∴△BFC≌△MFC（ASA）， ∴CM＝BC＝AB＝8， ∵AB∥CD， ∴四边形ABMC为平行四边形， ∴BG＝CG＝＝4， 设DE＝x，由图1知， PE＝PC＝DE＝x， ∴PM＝CM﹣PC＝8﹣x， ∵∠BCM＝∠FPM＝90°， ∴PF∥BC， ∴△MPF∽△MCG， ∴， 即， 解得：x＝， ∴CE＝CD﹣DE＝8﹣＝， ∴EG＝＝， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，要求学生有较强的识图能力． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（2024•大冶市一模）因式分解：11x2﹣11＝　11（x+1）（x﹣1）　． 【思路点拨】提公因式后利用平方差公式因式分解即可． 【解析】解：原式＝11（x2﹣1）＝11（x+1）（x﹣1）， 故答案为：11（x+1）（x﹣1）． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 12．（2024•遂平县一模）已知二元一次方程组，则x+y的值为 　3　． 【思路点拨】方程组两方程相加，整理即可求出x+y的值． 【解析】解：， ②+①得：3x+3y＝9， 整理得：x+y＝3． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 13．（2025•泗洪县一模）九年级体育中考中，某班7位男生的测试成绩为（单位：分）：40，35，36，40，36，40，38，这组数据的众数是 　40　． 【思路点拨】由众数的定义即可得出结论． 【解析】解：∵40，35，36，40，36，40，38，这组数据中出现次数最多的数据是40， ∴这组数据的众数是40， 故答案为：40． 【点睛】本题考查了众数，熟记众数的定义是解题的关键． 14．（2025•灞桥区校级二模）已知一个扇形的圆心角为60°，其弧长为，则该扇形的面积为　　cm2． 【思路点拨】设扇形的半径为rcm，根据弧长公式和已知条件得出，求出r，再根据扇形的面积公式求出面积即可． 【解析】解：设扇形的半径为rcm， ∵扇形的圆心角为60°，弧长为， ∴， 解得：r＝1， ∴扇形的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式，扇形面积的计算等知识点，熟记弧长公式、扇形面积公式是解题的关键． 15．（2024•鹿城区校级三模）如图，在△ABC中，∠C＝60°，点D在BC上，BD＝2，CD＝3，且AB＝AD，E为AC上一点，过点B作BF∥DE交AC于点F，交AD于点G，若AF＝CE，则GF的长为 　　． 【思路点拨】过点A作AH⊥BC于点H，根据平行线分线段成比例可得＝＝，设EC＝3a，则EF＝2a，根据题意得出AC＝8a，根据含30度角的直角三角形的性质得出AC＝8，得出a＝1，则CE＝AF＝3，EF＝2，证明△AGF∽△ADE，根据相似三角形的性质，即可求解． 【解析】解：如图所示，过点A作AH⊥BC于点H， ∵BF∥DE， ∴＝＝， 设EC＝3a，则EF＝2a， ∵AF＝CE， ∴AF＝CE＝3a， ∴AC＝AF+EF+EC＝8a， ∵AB＝AD，AH⊥BD， ∴BH＝HD＝1， ∴HC＝HD+DC＝1+3＝4， 在Rt△AHC中，∠C＝60°，则∠HAC＝30°， ∴AC＝2HC＝8， ∴a＝1， ∴CE＝3＝CD， ∴△CDE是等边三角形，则DE＝3， 又∵GF∥DE， ∴△AGF∽△ADE， ∴＝， ∴GF＝＝＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 16．（2024•玉环市三模）如图，点M，N是正方形ABCD边AD，CD上的点，分别以M，N为圆心，MD，ND为半径画弧，交点F恰好在线段BN上，连接MN交对角线BD于点E．若BE＝2DE，DN：NC＝2：1，FM＝FB，则＝　　；此时tan∠MND＝　　． 【思路点拨】（1）由题意得MN为线段DF的垂直平分线，证明△MND≌△MNF，∠MFN＝∠MDN＝90°，EF＝DE，即． （2）设DE＝x，BE＝2x，则BD＝3x，由四边形ABCD是正方形，得正方形边长＝x．DN＝x．设BF＝BM＝MD＝m，得AM＝x﹣m，利用勾股定理得AB2+AM2＝BM2＝BF2+FM2，列式为（x）2+（x﹣m）2＝m2+m2，计算得m＝，故tan∠MND＝＝． 【解析】解：（1）∵分别以M，N为圆心，MD，ND为半径画弧，交点F恰好在BN上， ∴ND＝NF，MD＝MF，即此时MN为线段DF的垂直平分线， 在△MND与△MNF中， ∵MD＝MF，ND＝NF，MN＝MN， ∴△MND≌△MNF（SSS），∠MFN＝∠MDN＝90°， 连接EF， ∵△MND≌△MNF， ∴EF＝DE，即， 故答案为：； （2）∵BE＝2DE， ∴设DE＝x，BE＝2x， 则BD＝3x， ∵四边形ABCD是正方形， ∴正方形边长＝＝x． ∵DN：NC＝2：1， ∴DN＝x． 连BM， 设BF＝BM＝MD＝m， ∴AM＝AD﹣MD＝x﹣m， ∵AB2+AM2＝BM2＝BF2+FM2， ∴（x）2+（x﹣m）2＝m2+m2， ∴m2+3x m﹣9x2＝0， ∴m＝， ∵m＞0， ∴m＝， ∴MD＝， ∴tan∠MND＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，解直角三角形，掌握解直角三角形的方法是解题关键． 三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分） 17．（2025•咸阳一模）化简：（2x+3）2﹣（x+1）（4x﹣1）． 【思路点拨】首先利用完全平方公式和多项式乘多项式去括号，再合并同类项即可． 【解析】解：原式＝4x2+12x+9﹣（4x2+4x﹣x﹣1） ＝4x2+12x+9﹣4x2﹣4x+x+1 ＝9x+10． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，完全平方公式，掌握相应的运算法则是关键． 18．（2025•丛台区校级一模）小丁和小迪分别解方程过程如下： 小丁： 解：去分母，得x﹣（x﹣3）＝x﹣2 去括号，得x﹣x+3＝x﹣2 合并同类项，得3＝x﹣2 解得x＝5 ∴原方程的解是x＝5 小迪： 解：去分母，得x+（x﹣3）＝1 去括号得x+x﹣3＝1 合并同类项得2x﹣3＝1 解得x＝2 经检验，x＝2是方程的增根，原方程无解 （1）你认为小丁的解法 　错误　，小迪的解法 　错误　；（填“正确”或“错误”） （2）请写出你的解答过程． 【思路点拨】（1）根据解题过程，得到小丁和小迪都是在“去分母”时出现了错误； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，验根等步骤，正确解分式方程，即可得到结果． 【解析】解：（1）∵小丁在“去分母”时出现了符号错误， 小迪在“去分母”时，等号的右边没有乘以最简公分母（x﹣2），出现了错误， ∴小丁的解法错误，小迪的解法错误， 故答案为：错误，错误； （2）， x+（x﹣3）＝x﹣2， x+x﹣3＝x﹣2， x+x﹣x＝﹣2+3， x＝1， 经检验，x＝1是方程的根． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练解分式方程是解题的关键． 19．（2025•湖北一模）为了迎接学校的体育运动节，体育老师想了解女生一分钟仰卧起坐（个数）的情况，特抽查了九年级部分女生的一分钟仰卧起坐（个数）情况，按成绩（10分制）分为A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如下不完整的统计图表， 等级（分数） 成绩（个数） 人数 A（10分） 54≤x 10 B（9.5分） 51≤x＜54 m C（9分） 48≤x＜51 14 D（8.5分） 45≤x＜48 5 E（8分） 42≤x＜45 5 （1）表中m＝　16　；扇形统计图中，等级C所占百分比是　28%　． （2）九年级有女生300人，估计成绩为9.5分及以上的有多少人？ （3）通过对统计图表的分析，请你对九年级的女生提出一条好的建议． 【思路点拨】（1）先求得调查学生数，然后减去A、C、D、E的频数即可求得m的值；然后求等级C所占百分比即可解答； （2）用300乘以9.5分及以上学生所占的百分比即可解答； （3）根据扇形统计图进行分析即可解答． 【解析】解：（1）调查学生数为：人， 则m＝16； 等级C所占百分比为． 故答案为：16，28%． （2）由条件可知成绩为9.5分及以上的女生有0.52×300＝156人． （3）建议女生平时多加强锻炼，科学训练提高成绩达到A等级． 【点睛】本题主要考查了频数分布表、扇形统计图、用样本估计整体等知识点，从统计图上获取所需信息成为解题的关键． 20．（2025•虹口区一模）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝5，sinB＝，点D、E在BC的延长线上，联结AD、AE，且AD＝AC． （1）求tan∠ADC的值； （2）如果∠E＝∠BAC，求DE的长． 【思路点拨】（1）过点A作AM⊥CD于点M，根据正弦定义及勾股定理求出AM＝6，BM＝8，则CM＝3，根据等腰三角形的性质求出CM＝DM＝3，再根据正切定义求解即可； （2）根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出△ABE∽△CBA，再根据相似三角形的性质及线段的和差求解即可． 【解析】解：（1）如图，过点A作AM⊥CD于点M， 在Rt△ABM中，AB＝10，sinB＝＝， ∴AM＝6， ∴BM＝＝8， ∵BC＝5， ∴CM＝BM﹣BC＝3， ∵AD＝AC，AM⊥CD， ∴CM＝DM＝3， ∴tan∠ADC＝＝＝2； （2）∵∠E＝∠BAC，∠ABE＝∠CBA， ∴△ABE∽△CBA， ∴＝， ∴＝， ∴BE＝20， ∴DE＝BE﹣BC﹣CM﹣DM＝20﹣5﹣3﹣3＝9． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 21．（2025•深圳模拟）如图，在▱ABCD中，AB＞AD． （1）按如下步骤用直尺（不带刻度）和圆规作图．（要求：保留作图痕迹，不写作法．）①在AB上取一点E，使AE＝AD；②作∠BAD的平分线交CD于点F；③连接EF． （2）若∠BAD＝60°，AD＝6，求出（1）中所作的四边形AEFD的面积． 【思路点拨】（1）以A为圆心AD为半径作弧交AB于点E，作AF平分∠DAB交CD于点F，连接EF即可； （2）证明四边形AEFD是菱形，△ADE是等边三角形可得结论． 【解析】解：（1）图形如图所示： （2）连接BD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∴∠DFA＝∠EAF， ∵AF平分∠DAE， ∴∠DAF＝∠EAF， ∴∠DAF＝∠DFA， ∴DA＝DF， ∵AD＝AE， ∴AE＝DF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AD＝AE， ∴四边形AEFD是菱形， ∵∠DAE＝60°，AD＝AE， ∴△ADE是等边三角形， ∴四边形AEFD的面积＝2×△ADE的面积＝2××62＝18． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 22．（2025•浙江一模）在一条笔直的公路上依次有A，B，C三地，小明、小红两人同时出发．小明从B地骑自行车匀速去A地拿东西，停留一段时间后，再以相同的速度匀速前往C地，小红步行匀速从C地至A地．小明、小红两人距C地的距离y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）求小明、小红两人的速度． （2）求小明从A地前往C地过程中y关于x的函数表达式． （3）请求出经过多少时间后，小明与小红相距600米． 【思路点拨】（1）依据题意，小明骑自行车速度是：（1200﹣400）÷2＝400（米/分），小红步行速度是：1200÷12＝100（米/分），进而得解； （2）依据题意，小明从A地骑自行车到C地的时间为1200÷400＝3（分），又设y＝kx+b，再将（9，1200），（12，0）代入可得，计算即可得解； （3）依据题意，分三种情况讨论即可判断得解． 【解析】解：（1）由题意，小明骑自行车速度是：（1200﹣400）÷2＝400（米/分），小红步行速度是：1200÷12＝100（米/分）． （2）由题意，小明从A地骑自行车到C地的时间为1200÷400＝3（分）． 设y＝kx+b，将（9，1200），（12，0）代入， 可得， ∴y＝﹣400x+4800． （3）由题意，分三种情况：①400x+400﹣100x＝600，解得； ②1200﹣100x＝600，解得x＝6； ③100x+400x﹣4800＝600，解得． 综上，当分或6分或分后，小明与小红相距600米． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 23．（2025•宁波模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝（x﹣m）2+k的图象经过点A（m+1，0）． （1）求k的值； （2）图象上有两点（t，y1），（t+2，y2）． ①若y1﹣y2＝﹣4，求y1+y2的值； ②探究：y1+y2是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先由已知求得t﹣m＝0，再代入求得y1+y2＝2； ②由于，利用二次函数的性质求解即可． 【解析】解：（1）由二次函数的图象经过点A（m+1，0）， ∴（m+1﹣m）2+k＝0， 解得k＝﹣1． （2）①由题意，y1﹣y2＝（t﹣m）2﹣1﹣（t+2﹣m）2+1 ＝﹣4（t﹣m+1） ＝﹣4， ∴t﹣m＝0． ∴y1+y2＝（t﹣m）2﹣1+（t+2﹣m）2﹣1＝2， ②y1+y2存在最小值． 由， 得y1+y2存在最小值为0． 【点睛】本题考查待定系数法、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． 24．（2024•秦淮区校级模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆． （1）如图①，当CD与⊙O相切时，求证：四边形ABCD是菱形． （2）如图②，当CD与⊙O相交于点E时． （Ⅰ）若AD＝6，CE＝5，求⊙O的半径． （Ⅱ）连接BE，交AC于点F，若EF•AB＝CE2，则∠D的度数是 　72　°． 【思路点拨】（1）连接CO交AB于K，由切线性质可得OC⊥AB，由垂径定理得：AK＝BK，再运用菱形的判定定理即可证得结论； （2）（Ⅰ）连接AE，OB，过点A作AG⊥CD于G，过点O作OF⊥BC于F，由平行四边形性质可得AB∥CD，∠ABC＝∠D，AB＝CD，由圆周角定理可得∠BOC＝2∠BAC，设EG＝DG＝x，则CG＝x+5，AC＝CD＝2x+5，运用勾股定理建立方程求解可得：EG＝DG＝2，AC＝CD＝9，再运用勾股定理和解直角三角形即可求得答案； （Ⅱ）连接AE，先证得△CEF∽△CAE，可推出∠AED＝∠D＝∠ABC＝∠ACB＝∠DAE，设∠BAC＝α，由平行线性质建立方程求解即可得出答案． 【解析】（1）证明：如图①，连接CO交AB于K， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵CD与⊙O相切， ∴半径OC⊥CD， ∴OC⊥AB， 由垂径定理得：AK＝BK， ∴直线CK垂直平分AB， ∴AC＝BC， ∵AB＝AC， ∴AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形． （2）解：（Ⅰ）如图②，连接AE，OB，过点A作AG⊥CD于G，过点O作OF⊥BC于F， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∠ABC＝∠D，AB＝CD， ∴∠ACD＝∠BAC， ∵＝， ∴∠BOC＝2∠BAC， ∵OF⊥弦BC， ∴CF＝BC，∠BOC＝2∠COF， ∴∠COF＝∠ACD， ∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC+∠AEC＝180°， ∵∠AED+∠AEC＝180°， ∴∠AED＝∠ABC， ∴∠AED＝∠D， ∴AE＝AD， ∵AD＝6， ∴AE＝BC＝6，CF＝3， ∵AE＝AD，AG⊥CD， ∴EG＝DG，设EG＝DG＝x， ∵CE＝5， ∴CG＝x+5，CD＝2x+5， ∵AB＝AC， ∴AC＝CD＝2x+5， 在Rt△ACG中，AG2＝AC2﹣CG2， 在Rt△AEG中，AG2＝AE2﹣EG2， ∴AC2﹣CG2＝AE2﹣EG2， 即（2x+5）2﹣（x+5）2＝62﹣x2， 解得：x1＝2，x2＝﹣（舍去）， ∴EG＝DG＝2，AC＝CD＝9， 在Rt△ADG中，AG＝＝＝4， ∴sin∠COF＝sin∠ACD＝＝， ∴OC＝＝＝， ∴⊙O的半径为． （Ⅱ）如图③，连接AE， ∵EF•AB＝CE2， ∴＝， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∠ABC＝∠D， ∴∠BAC＝∠ACD，∠BAD+∠D＝180°， ∵＝， ∴∠BAC＝∠BEC， ∴∠ACD＝∠BEC， ∴EF＝CF， 又∵AB＝AC， ∴＝， 又∵∠ECF＝∠ACE， ∴△CEF∽△CAE， ∴∠CEF＝∠CAE，即∠BEC＝∠CAE， ∴∠CAE＝∠BAC， ∵∠AED＝∠D＝∠ABC＝∠ACB， ∴∠DAE＝∠BAC， 设∠BAC＝α， 则∠ABC＝∠ACB＝∠D＝90°﹣α，∠CAE＝∠DAE＝α， ∵∠BAD+∠D＝180°， ∴3α+90°﹣α＝180°， 解得：α＝36°， ∴∠D＝90°﹣α＝90°﹣×36°＝72°， 故答案为：72． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了平行四边形性质，菱形的判定，垂径定理，圆的切线性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等，平行四边形的性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$