2025年浙江省中考数学模拟预测卷（1）

2025年浙江省中考数学模拟卷（1） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．﹣2024的绝对值是（　　） A．﹣ B． C．﹣2024 D．2024 2．（2025•历下区一模）DeepSeek是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了3370万．将3370万用科学记数法表示为（　　） A．33.7×106 B．3.37×106 C．3.37×107 D．0.337×107 3．（2024•同安区三模）如图所示的钢块零件的主视图为（　　） A． B． C． D． 4．（2025•运城一模）下列运算结果正确的是（　　） A．a3•a4＝a7 B．（﹣a2b）2＝﹣a4b2 C．a6÷a3＝a2 D．（a3）2＝a5 5．（2024春•中山市期末）在一次科技作品制作比赛中，某小组6件作品的成绩（单位：分）分别是：7，8，8，9，8，8．对于这组数据，下列说法不正确的是（　　） A．平均数是8 B．中位数是8 C．众数是8 D．方差是8 6．（2024•陈仓区一模）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（　　） A．6 B．7.5 C．8 D．12.5 7．（2025•浙江一模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数的图象上，且x3＜x2＜x1，下列正确的选项是（　　） A．若y3＜y1＜y2，则x1•x2•x3＞0 B．若y2＜y3＜y1，则x1•x2•x3＜0 C．若y2＜y1＜y3，则x1•x2•x3＞0 D．若y1＜y3＜y2，则x1•x2•x3＞0 8．（2025•陕西校级二模）已知关于x的二次函数y＝x2+（b﹣3）x﹣b的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（　　） A．b＜3 B．b＞3 C．b≤0 D．b＜0 9．（2024•温州模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，经过点B且半径为5的⊙O与AB交于D，与CB的延长线交于E，则线段DE的长为（　　）#ZZ01 A．6.4 B．7 C．7.2 D．8 10．（2024•义乌市二模）已知y1和y2是关于x的函数，当x＝a时，函数值分别是R1和R2，若存在实数a，使得R1＝R2+2，则称函数y1和y2是“奇妙函数”．以下函数y1和y2不是“奇妙函数”的是（　　） A．y1＝x2+2和y2＝2x B．y1＝x和y2＝x2+2x﹣1 C．y1＝和y2＝x+2 D．y1＝﹣和y2＝x﹣5 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（2025•合肥校级一模）计算：＝ 　 　． 12．（2025•济南模拟）若分式的值为0，则x的值为　 　． 13．（2025•定西一模）如图，BC为圆锥底面直径，AD为圆锥的高，若AD＝6cm，∠BAC＝60°，则这个圆锥的侧面积为 　 　cm2．（结果保留π）． 14．（2025•郑州一模）哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是 　 　． 15．（2025•佛山一模）黑洞原本是天文学中的概念，用来表示这样一种天体：它的引力场非常强，任何物体甚至是光，被它吸入就再也休想逃脱出来．数学中的数字黑洞是指自然数经过某种数学运算之后陷入一种循环的境况．任意取一个数，分别求出：它所含偶数的个数、奇数的个数、以及这两个数的和，用所得的三个数依次做一个三位数的百位、十位和个位数字；对这个三位数重复前面的做法，得到一个新的三位数，如此进行下去，最后得到的循环不变的数字是 　 　． 16．（2024春•钱塘区期末）如图，已知菱形ABCD的面积为，，点P，Q分别是在边BC，CD上（不与C点重合），且CP＝CQ，连结DP，AQ，则DP+AQ的最小值为 　 　． 三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分） 17．（2025•南海区一模）求值：（a+1）2﹣（a﹣2）（a﹣3），其中． 18．（2025•淮北一模）解不等式组． 19．（2025•南海区一模）如图，在▱ABCD中，BD是对角线． （1）作线段BD的垂直平分线，垂足为点O，与边AD、BC分别交于点E、F（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：BF＝DE． 20．（2025•秦皇岛一模）某校为了解学生身体健康状况，从全校1000名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如表）．并绘制出不完整的条形统计图（如图）． 学生体质健康统计表 成绩 频数 百分比 不及格 3 a 及格 b 20% 良好 45 c 优秀 32 32% （1）分别求出表中a、b、c的值； （2）请补全图中的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“不及格”的总人数； （3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”和1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人是一名“良好”，一名“优秀”的概率． 21．（2024•西城区模拟）如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC＝6，cosA＝． （1）求线段CD的长； （2）求cos∠DBE的值． 22．（2025•广西模拟）如图，一次函数y＝kx+6（k为常数，k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，且OB＝2OA，与反比例函数y＝（m为常数，且m≠0）的图象交于C，E两点，过点C作CD⊥x轴于点D，且OD＝2． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△BOE的面积； （3）直接写出不等式≤kx+6的解集． 23．（2025•洞头区模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（0，﹣5）和B（2，7）． （1）求二次函数的表达式． （2）若将点B（2，7）向上平移9个单位长度得到B1，作点B2，使B1、B2关于抛物线的对称轴对称，再将B2向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值． （3）当n≤x≤2时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的和为﹣2，求n的取值范围． 24．（2025•浙江一模）如图1，⊙O是等腰△ABC的外接圆，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是∠BAC所对弧上的任意一点，连结AD，将AD绕点A逆时针旋转α，交⊙O于点E，连结BD、DC、CE． （1）求证：CE＝BD． （2）如图2，若CE∥AD， ①求α的值． ②当的度数与的度数之比为3时，求BD：DC的值． 答案第1页，共2页 试题卷第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年浙江省中考数学模拟卷（1） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．﹣2024的绝对值是（　　） A．﹣ B． C．﹣2024 D．2024 【思路点拨】根据绝对值的意义解答即可． 【解析】解：﹣2024的绝对值是2024， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，熟练掌握一个负数的绝对值是它的相反数是解题的关键． 2．（2025•历下区一模）DeepSeek是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了3370万．将3370万用科学记数法表示为（　　） A．33.7×106 B．3.37×106 C．3.37×107 D．0.337×107 【思路点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解析】解：3370万＝33700000＝3.37×107． 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（2024•同安区三模）如图所示的钢块零件的主视图为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案． 【解析】解：从正面看是一个“凹”字形， 故选：A． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图． 4．（2025•运城一模）下列运算结果正确的是（　　） A．a3•a4＝a7 B．（﹣a2b）2＝﹣a4b2 C．a6÷a3＝a2 D．（a3）2＝a5 【思路点拨】利用同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可． 【解析】解：A．a3•a4＝a7，符合题意； B．（﹣a2b）2＝a4b2，a4b2≠﹣a4b2，不符合题意； C．a6÷a3＝a3，a3≠a2，不符合题意； D．（a3）2＝a6，a6≠a5，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，掌握相应的运算法则是关键． 5．（2024春•中山市期末）在一次科技作品制作比赛中，某小组6件作品的成绩（单位：分）分别是：7，8，8，9，8，8．对于这组数据，下列说法不正确的是（　　） A．平均数是8 B．中位数是8 C．众数是8 D．方差是8 【思路点拨】根据众数、中位数、平均数、方差的定义逐项分析判断即可． 【解析】解：由题知， 平均数是，故A项正确，不符合题意； 中位数是，故B项正确，不符合题意； 众数是8，故C项正确，不符合题意； 方差是，故D项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了众数、中位数、平均数、方差等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 6．（2024•陈仓区一模）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝，则BC的长为（　　） A．6 B．7.5 C．8 D．12.5 【思路点拨】根据正弦值的定义解决此题． 【解析】解：如图． ∵∠C＝90°，AB＝8，sinA＝， ∴sinA＝． ∴BC＝6． 故选：A． 【点睛】本题主要考查正弦值的定义，熟练掌握正弦值的定义是解决本题的关键． 7．（2025•浙江一模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数的图象上，且x3＜x2＜x1，下列正确的选项是（　　） A．若y3＜y1＜y2，则x1•x2•x3＞0 B．若y2＜y3＜y1，则x1•x2•x3＜0 C．若y2＜y1＜y3，则x1•x2•x3＞0 D．若y1＜y3＜y2，则x1•x2•x3＞0 【思路点拨】根据x3＜x2＜x1，利用反比例函数的性质即可判断． 【解析】解：A、∵x3＜x2＜x1， 若y3＜y1＜y2，则k＞0， 则x3＜0，0＜x2＜x1， 故x1•x2•x3＜0，本选项不正确； B、∵x3＜x2＜x1， 若y2＜y3＜y1，则k＞0， 则x3＜x2＜0，x1＞0， 故x1•x2•x3＞0，本选项不正确； C、∵x3＜x2＜x1， 若y2＜y1＜y3，则k＜0， 则x3＜0，0＜x2＜x1， 故x1•x2•x3＜0，本选项不正确； D、∵x3＜x2＜x1， 若y1＜y3＜y2，则k＜0， 则x3＜x2＜0，x1＞0， 故x1•x2•x3＞0，本选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数的性质，属于中考常考题型． 8．（2025•陕西校级二模）已知关于x的二次函数y＝x2+（b﹣3）x﹣b的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（　　） A．b＜3 B．b＞3 C．b≤0 D．b＜0 【思路点拨】先求出抛物线y＝x2+（b﹣3）x﹣b的开口方向，对称轴直线、与y轴的交点坐标（0，﹣b），再根据不经过第三象限得出＞0且﹣b≥0，即可作答． 【解析】解：∵a＝1， ∴开口向上， 对称轴是直线， 当x＝0时，y＝﹣b， ∴二次函数图象与y轴的交点坐标（0，﹣b）， ∵关于x 的二次函数y＝x2+（b﹣3）x﹣b的图象不经过第三象限， ∴且﹣b≥0， 解得：b≤0， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，关键是掌握二次函数的性质． 9．（2024•温州模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，经过点B且半径为5的⊙O与AB交于D，与CB的延长线交于E，则线段DE的长为（　　）#ZZ01 A．6.4 B．7 C．7.2 D．8 【思路点拨】如图所示，连接DO并延长交⊙O于F，连接EF，由圆周角定理得到∠DEF＝90°，解Rt△ABC得到sin∠ABC＝，证明∠ABC＝∠F得到sin∠ABC＝sinF，解Rt△DEF即可求出答案． 【解析】解：如图所示，连接DO并延长交⊙O于F，连接EF， ∵DO是直径， ∴∠DEF＝90°， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12， ∴AB＝＝15， ∴sin∠ABC＝＝， ∵四边形BDFE是圆内接四边形， ∴∠F+∠DBE＝180°， 又∵∠ABC+∠DBE＝180°， ∴∠ABC＝∠F， ∴sin∠ABC＝sinF， 在Rt△DEF中，sinF＝＝， ∴DE＝DF＝10×＝8， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 10．（2024•义乌市二模）已知y1和y2是关于x的函数，当x＝a时，函数值分别是R1和R2，若存在实数a，使得R1＝R2+2，则称函数y1和y2是“奇妙函数”．以下函数y1和y2不是“奇妙函数”的是（　　） A．y1＝x2+2和y2＝2x B．y1＝x和y2＝x2+2x﹣1 C．y1＝和y2＝x+2 D．y1＝﹣和y2＝x﹣5 【思路点拨】根据题干信息，直接令y1﹣y2＝2，若方程有实数根，则是“奇妙函数”；若方程没有实数根，则不是“奇妙函数”． 【解析】解：A、当y1﹣y2＝2时， 有x2+2﹣2x＝2， 即x2﹣2x＝0， 解得：x1＝0，x2＝2， ∴函数y1和y2是“奇妙函数”，故不符合题意； B、当y1﹣y2＝2时， 有x﹣x2﹣2x+1＝2， 即x2+x+1＝0， ∵Δ＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0， ∴此方程无实数根， ∴函数y1和y2不是“奇妙函数”，故符合题意； C、当y1﹣y2＝2时， 有﹣x﹣2＝2， 即x2+4x﹣1＝0， 解得：x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣， ∴函数y1和y2是“奇妙函数”，故不符合题意； D、当y1﹣y2＝2时， 有﹣﹣x+5＝2， 即x2﹣3x+2＝0， 解得：x1＝1，x2＝2， ∴函数y1和y2是“奇妙函数”，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了新定义问题，根据给出的定义构造方程，利用方程思想解决问题是常见思路，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（2025•合肥校级一模）计算：＝ 　1　． 【思路点拨】根据相应法则，进行计算即可． 【解析】解：原式＝； 故答案为：1． 【点睛】本题考查二次根式的乘法，零指数幂，熟练掌握以上知识点是关键． 12．（2025•济南模拟）若分式的值为0，则x的值为　﹣2　． 【思路点拨】根据分式的值为0，则分母不为0，分子为0进行计算即可． 【解析】解：由条件可知， 解得， ∴x的值为﹣2， 故答案为：﹣2． 【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟练掌握该知识点是关键． 13．（2025•定西一模）如图，BC为圆锥底面直径，AD为圆锥的高，若AD＝6cm，∠BAC＝60°，则这个圆锥的侧面积为 　24π　cm2．（结果保留π）． 【思路点拨】根据题意求得圆锥的底面半径和母线长，然后利用公式求得答案即可． 【解析】解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠BAC＝30°， 在Rt△ABD中， ∵AD＝6cm， ∴BD＝AD•tan∠BAD＝6×＝2（cm）， ∴AB＝2BD＝4（cm）， ∴这个圆锥的侧面积为2×4π＝24π（cm2）， 故答案为：24π． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 14．（2025•郑州一模）哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是 　　． 【思路点拨】根据题意画出树状图，列出所有等可能的结果及所求的结果，然后利用概率公式计算概率即可． 【解析】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，和是偶数的结果共有2种， ∴概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，利用列表法或树状图法列出所有等可能的结果是解题的关键． 15．（2025•佛山一模）黑洞原本是天文学中的概念，用来表示这样一种天体：它的引力场非常强，任何物体甚至是光，被它吸入就再也休想逃脱出来．数学中的数字黑洞是指自然数经过某种数学运算之后陷入一种循环的境况．任意取一个数，分别求出：它所含偶数的个数、奇数的个数、以及这两个数的和，用所得的三个数依次做一个三位数的百位、十位和个位数字；对这个三位数重复前面的做法，得到一个新的三位数，如此进行下去，最后得到的循环不变的数字是 　123　． 【思路点拨】随机举一个数字，按照题中规律计算出最后的三位数即可． 【解析】解：取一个数为243， 第一次运算结果为213， 第二次运算结果为123， 第三次运算结果为123， ...， ∴最后得到的循环不变的数字是123， 故答案为：123． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，归纳出数字的变化规律是解题的关键． 16．（2024春•钱塘区期末）如图，已知菱形ABCD的面积为，，点P，Q分别是在边BC，CD上（不与C点重合），且CP＝CQ，连结DP，AQ，则DP+AQ的最小值为 　　． 【思路点拨】过点A作AM⊥BC于点M，延长AM到点A′，使A′M＝AM，根据菱形的性质和勾股定理可得BM＝3，以点B为原点，BC为x轴，垂直于BC方向为y轴，建立平面直角坐标系，可得B（0，0），A（1，2），C（，0），D（+1，2），A′（1，﹣2），然后证明△ABP≌△ADQ（SAS），可得AP＝AQ＝A′P，连接A′D，AP，A′P，由A′P+PD＞A′D，可得A′，P，D三点共线时，PD+A′P取最小值，所以PD+AQ的最小值＝PD+A′P的最小值＝A′D，利用勾股定理即可解决问题． 【解析】解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，延长AM到点A′，使A′M＝AM， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝AD＝，∠ABC＝∠ADC， ∵菱形ABCD的面积为，， ∴AM＝2， 在Rt△ABM中，根据勾股定理得： BM＝＝1， 以点B为原点，BC为x轴，垂直于BC方向为y轴，建立平面直角坐标系， ∴B（0，0），A（1，2），C（，0），D（+1，2），A′（1，﹣2）， ∵PC＝CQ，BC＝CD， ∴BP＝DQ， 在△ABP和△ADQ中， ， ∴△ABP≌△ADQ（SAS）， ∴AP＝AQ＝A′P， 连接A′D，AP，A′P， ∵A′P+PD＞A′D， ∴A′，P，D三点共线时，PD+A′P取最小值， ∴PD+AQ的最小值＝PD+A′P的最小值＝A′D＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分） 17．（2025•南海区一模）求值：（a+1）2﹣（a﹣2）（a﹣3），其中． 【思路点拨】根据完全平方公式和多项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将a的值代入化简后的式子计算即可． 【解析】解：（a+1）2﹣（a﹣2）（a﹣3） ＝a2+2a+1﹣a2+3a+2a﹣6 ＝7a﹣5， 当a＝﹣时，原式＝7×（﹣）﹣5＝﹣16． 【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 18．（2025•淮北一模）解不等式组． 【思路点拨】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解析】解：， 解不等式得：x≥1， 解不等式得：x＜4， ∴不等式组的解集为1≤x＜4． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 19．（2025•南海区一模）如图，在▱ABCD中，BD是对角线． （1）作线段BD的垂直平分线，垂足为点O，与边AD、BC分别交于点E、F（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：BF＝DE． 【思路点拨】（1）根据要求作出图形即可； （2）证明△EOD≌△FOB（ASA）可得结论． 【解析】（1）解：直线EF即为所求； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EDO＝∠FBO， ∵EF垂直平分线段BD， ∴OD＝OB， ∵∠EOD＝∠FOB， ∴△EOD≌△FOB（ASA）， ∴BF＝DE． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 20．（2025•秦皇岛一模）某校为了解学生身体健康状况，从全校1000名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如表）．并绘制出不完整的条形统计图（如图）． 学生体质健康统计表 成绩 频数 百分比 不及格 3 a 及格 b 20% 良好 45 c 优秀 32 32% （1）分别求出表中a、b、c的值； （2）请补全图中的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“不及格”的总人数； （3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”和1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人是一名“良好”，一名“优秀”的概率． 【思路点拨】（1）先根据选取的优秀人数和百分比求出选取的人数，再根据总数、频数、百分比的关系即可求得答案； （2）根据及格的人数，补全条形统计图即可，再用样本估计总体可得该校学生体质健康测试结果为“不及格”的总人数； （3）画树状图列出所有等可能的结果，再找出一名“良好”，一名“优秀”的结果，利用概率公式可得出答案． 【解析】解：（1）这次调查的人数为：32÷32%＝100（人）， ，b＝100×20%＝20，， ∴a的值为3%，b的值为20，c的值为45%； （2）补全条形统计图如下： 1000×3%＝30（人）， ∴估计该校学生体质健康测试结果为“不及格”的总人数为30人； （3）设3名“良好”分别为甲、乙、丙，1名“优秀”学生为丁，画树状图如图： ∵共有12种等可能的结果，其中两人是一名“良好”，一名“优秀”的结果有6种， ∴所抽取的两人是一名“良好”，一名“优秀”的概率为＝． 【点睛】本题考查条形统计图、用样本估计总体、列表法与树状图法，熟练掌握条形统计图以及列表法与树状图法求概率是解答本题的关键． 21．（2024•西城区模拟）如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC＝6，cosA＝． （1）求线段CD的长； （2）求cos∠DBE的值． 【思路点拨】（1）在Rt△ABC中，先根据三角函数求出AB、AC的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出CD的长； （2）过C点作CF⊥AB于F，求出DF的长，再根据余弦的定义即可求解． 【解析】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴cosA＝＝， 设AC＝3k，则AB＝5k， ∴BC＝＝4k， ∵AC＝6， ∴3k＝6，k＝2， ∴AB＝10， ∵D是边AB的中点， ∴CD＝AB＝5； （2）过C点作CF⊥AB于F． CF＝AC•BC÷AB＝4.8， cos∠DCF＝． ∵∠DCF＝∠DBE， ∴cos∠DBE＝． 【点睛】本题考查了解直角三角形，涉及的知识点有：三角函数，直角三角形的性质，本题难度适中． 22．（2025•广西模拟）如图，一次函数y＝kx+6（k为常数，k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，且OB＝2OA，与反比例函数y＝（m为常数，且m≠0）的图象交于C，E两点，过点C作CD⊥x轴于点D，且OD＝2． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△BOE的面积； （3）直接写出不等式≤kx+6的解集． 【思路点拨】（1）用含k代数式表示出A，B两点的坐标，然后根据OB＝2OA即可求出k，然后再将点C的横坐标代入求出纵坐标，最后将点C的坐标代入即可求出m； （2）将一次函数与反比例函数联立即可求出点E的坐标，然后即可计算△BOE的面积； （3）根据点E和点C的横坐标，结合图象，找到反比例函数图象在一次函数图象下方时对应的x范围即可． 【解析】解：（1）当x＝0代入y＝kx+6得y＝6；当y＝0代入y＝kx+6得， 故，B（0，6）， ∵OB＝2OA∴， ∴k＝2， ∴一次函数解析式为：y＝2x+6， ∵OD＝2， ∴点C的横坐标为2，将x＝2代入y＝2x+6得y＝10， 即点C的坐标为（2，10），将点C的坐标代入得， ∴m＝20， ∴反比例函数的解析式为：； 故一次函数解析式为：y＝2x+6，反比例函数的解析式为：． （2）将一次函数与反比例函数联立得， 解得或， 故点E的坐标为（﹣5，﹣4），点E到y轴的距离为5，； （3）由（2）可知点E的坐标为（﹣5，﹣4），点C的坐标为（2，10）， ∵， ∴根据图象可得：﹣5≤x＜0或x≥2． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数结合的图象性质，利用图象解不等式等知识，采用待定系数法求函数解析式是解题关键． 23．（2025•洞头区模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（0，﹣5）和B（2，7）． （1）求二次函数的表达式． （2）若将点B（2，7）向上平移9个单位长度得到B1，作点B2，使B1、B2关于抛物线的对称轴对称，再将B2向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值． （3）当n≤x≤2时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的和为﹣2，求n的取值范围． 【思路点拨】（1）利用待定系数法可以得解； （2）依据题意，由点B（2，7）向上平移9个单位长度得到B1（2，16），再求得B1关于抛物线的对称轴对称的B2，向左平移m个单位长度（m＞0），进而可得平移后的点为（﹣6﹣m，16），结合（﹣6﹣m，16）在y＝x2+4x﹣5图象上，可得16＝（﹣6﹣m）2+4（﹣6﹣m）﹣5，进而计算可以得解； （3）依据题意，由y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，可得当x＝﹣2时，y取最小值，最小值为﹣9，再根据n＞﹣2、﹣6≤n≤﹣2和n＜﹣6进行分类讨论，即可计算得解． 【解析】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（0，﹣5）和B（2，7）， ∴， ∴． ∴抛物线为y＝x2+4x﹣5． （2）∵y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2， ∵将点B（2，7）向上平移9个单位长度得到B1，作点B2，使B1、B2关于抛物线的对称轴对称， ∴B1（2，16）， ∴B2（﹣6，16）， ∵再将B2向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上， ∴将B2向左平移m（m＞0）个单位长度得到（﹣6﹣m，16）， 把点（﹣6﹣m，16）代入y＝x2+4x﹣5得，16＝（﹣6﹣m）2+4（﹣6﹣m）﹣5， 解得m＝1或m＝﹣9（舍去）， ∴m的值为1． （3）由题意，当n＞﹣2时， ∴最大值与最小值的和为（n+2）2﹣9+7＝﹣2． ∴n＝﹣2不符合题意，舍去． 当﹣6≤n≤﹣2 时， ∴最大值与最小值的和为7﹣9＝﹣2，符合题意． 当n＜﹣6时，最大值与最小值的和为 （n+2）2﹣9﹣9＝﹣2， 解得 n1＝2 或 n2＝﹣6，不符合题意． 综上所述，n的取值范围为﹣6≤n≤﹣2． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、坐标与图形变化﹣平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 24．（2025•浙江一模）如图1，⊙O是等腰△ABC的外接圆，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是∠BAC所对弧上的任意一点，连结AD，将AD绕点A逆时针旋转α，交⊙O于点E，连结BD、DC、CE． （1）求证：CE＝BD． （2）如图2，若CE∥AD， ①求α的值． ②当的度数与的度数之比为3时，求BD：DC的值． 【思路点拨】（1）由圆周角定理可得出结论； （2）①证明△AEC∽△CDB，得出∠E＝∠CDB，证明△ABC是正三角形，可得出答案； ②作DH⊥BC于点H，设DH＝CH＝1，由直角三角形的性质得出BD和CD的长，则可得出答案． 【解析】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝α， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴， ∴CE＝BD； （2）解：①如图， ∵CE∥AD， ∴∠2＝∠4， 又∵∠2＝∠6， ∴∠4＝∠6， ∵∠1＝∠3，∠5＝∠3， ∴∠5＝∠1， ∴△AEC∽△CDB， ∴∠E＝∠CDB， ∵∠E+∠ABC＝∠CDB+∠BAC， ∴∠ABC＝∠BAC， ∴AC＝BC， ∴AC＝BC＝AB， ∴△ABC是正三角形， ∴α＝60°； ②∵的度数与的度数之比为3， ∴∠2＝15°，∠3＝45°， ∴∠2＝∠6＝15°，∠3＝∠5＝45°， 作DH⊥BC于点H， 设DH＝CH＝1， 则，CD＝， ∴BD：DC＝（）：＝1+． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$