精品解析：河南省驻马店高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

高二年级春期第一次月考数学试题 出题人:聂若诗 审题人:杨军 一、单选题 1. 已知数列为递增数列，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据递增数列得即，从而得的取值范围为. 【详解】因为数列为递增数列，所以，即. 和显然不能满足，所以且， 为了使得不等式成立，指数函数必须在上单调递增，因此的取值范围为， 故选：C. 2. 双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的标准方程求得，结合双曲线的焦点位置，即可求得渐近线方程. 【详解】在双曲线的标准方程中，，由题意得双曲线焦点在轴上， 所以渐近线方程. 故选: 3. 圆的圆心在第三象限，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将圆方程化为标准方程，根据圆心所在象限以及半径为正列出不等式组，求解即可. 【详解】由，配方得 ，圆心坐标为. 因为圆心在第三象限，所以，解得. 故选：A 4. 设等差数列{an}的前n项和为，已知，则（ ） A. 11 B. 9 C. 8 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合等差数列性质可求，再由等差数列求和公式及等差数列性质化简方程可求. 【详解】因为数列为等差数列， 所以，， 又，所以，故或， 因为，故，则， 所以，所以. 故选：D. 5. 已知数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，可求出首项，继而结合的关系可判断为等比数列，即可求得答案. 【详解】由题意知，当时，，即， 当时，，则， 即， 故是以为首项，3为公比的等比数列， 故，， 故选：C 6. 甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率、全概率公式列式计算得解. 【详解】用事件分别表示“周六跑步”，“周日跑步”，则分别表示“周六游泳”，“周日游泳”， 于是， 因此， 所以. 故选：D 7. 已知点，点在圆上运动，的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由数形结合得出最大角及最小角，利用三角恒等变换得解. 【详解】如图， 过点向圆引两条切线，切点分别为， 则与分别为的最大､最小角，设， 由，可得， 由可知 所以. 故选：D. 8. 双曲线的右支上一点在第一象限，、分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为，直线、的斜率分别为、，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先推出的横坐标为，由双曲线的方程可得、、，求得内心的坐标为，再由直线的斜率公式，计算可得所求值. 【详解】如图所示：可设、，设内切圆与轴的切点是点， 、分别与内切圆的切点分别为、， 由双曲线的定义可得，由圆的切线长定理知，， 故，即， 设内切圆的圆心横坐标为，则点的横坐标为， 故，解得. 由双曲线的，，， 由题意可得的纵坐标为，即， 又、，可得， 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查三角形的内切圆的性质，同时考查直线的斜率公式的运用，属于中档题. 二、多选题 9. 记等比数列的前项积为，且，若，则的可能取值为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 7 【答案】BD 【解析】 【分析】由等比数列的性质求得，然后由得出的可能情形，再计算和． 【详解】∵是等比数列，∴， ∴， 又，， ∴分别为或或或， 或. 故选：BD． 10. 已知等差数列，其前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时最大 C. 使的n的最大值为16 D. 数列中的最小项为第9项 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等差数列的通项性质与前项和性质逐项判断即可. 【详解】∵等差数列，，∴， 又∵，∴，，∴，A正确； ∵，，∴当，，，，所以当时最大，B正确； ∵，∴，，使的n的最大值为15，C错误； ∵当时，，时，；当，，， ∴当时，，当时，，且递减，且递减， ∴最小，故D正确． 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（    ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若是棱的中点，则过的平面截正方体所得的截面图形的周长为 C. 若是棱的中点，则点到平面的距离为 D. 若与平面所成的角为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，，由题 面，所以不论在棱上如何运动，锥体的底和高都不会发生变化；对于B选项，作出过的平面截正方体所得截面，再求出相关线段的长即可；对于C选项，运用等体积法计算即可；对于D选项，以为坐标原点，建立坐标系，用向量法求出设面的法向量，代入线面角公式即可求范围. 【详解】对于A选项，，因为，可得面， 所以不论在棱上如何运动，锥体的底和高都不会发生变化， 即为定值，故A选项正确； 对于B选项，四边形为过的平面截正方体所得截面， 因为平面平面，且面平面， 面面， 有，又因为为中点，所以为四等分点， 则，故B选项错误； 对于C，当是棱的中点时，，，. 由余弦定理，则. 所以. ，又. 设点到平面的距离为，根据，即，解得，所以选项C正确. 对于D选项，以为坐标原点，建立坐标系如图， 则，，，设，，所以，，，设面的法向量为，则，令，解得，所以，当时，，当时，，当且仅当时等号成立，因此，故D选项正确； 故选：ACD. 三、填空题 12. 已知，若，则___________． 【答案】0 【解析】 【分析】先根据条件求出，然后由赋值法即可求解. 【详解】由题意，所以，即， 令，则，令，则， 所以. 故答案为：0. 13. 已知两点，，动点M满足，抛物线的焦点为F，动点N在C上，则的最小值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】设，由已知求得点M的轨迹方程，数形结合可求得的最小值. 【详解】因为点M满足， 设，则， 两边平方整理得， 即点M的轨迹为圆心，半径为2的圆， 的最小值是M到准线的最短距离， 因为N可以选择在抛物线上，使得N到M的距离加上N到准线的距离最小， 圆心到准线的距离是， 圆的半径是2，所以M 到准线的最短距离是， 因此，的最小值是 故答案为： 14. 已知数列的前n项和为，数列是首项为，公差为的等差数列.表示不超过x的最大整数，如，则数列的前35项和为___________. 【答案】397 【解析】 【分析】利用数列的通项公式与前n项和的关系可得，利用数列的新定义可得数列的各项，即求. 【详解】由题可得， 所以， 当时，， 当时，， 又也适合上式， ∴， 令， 则，，，，，，，…，，，， 所以，，，，，，，…，，，， 所以数列前35项的和为 . 故答案为：397. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据新定义的特点，分析数列各项，使问题得到解决. 四、解答题 15. 随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，年的考研人数是万人，年考研人数是万人.某省统计了该省其中四所大学年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格： A大学 B大学 C大学 D大学 年毕业人数（千人） 年考研人数（千人） （1）已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程； （2）假设该省对选择考研的大学生每人发放万元的补贴. （i）若该省大学年毕业生人数为千人，估计该省要发放多少万元的补贴？ （ii）若A大学的毕业生中小江、小沈选择考研的概率分别为p、2p－1，该省对小江、小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过万元，求p的取值范围. 参考公式：，. 【答案】（1） （2）（i）5028万元（ii） 【解析】 【分析】（1）利用题中的数据代入参考公式，即求出线性回归方程； （2）（i）直接将将x=120代入（1）中所求的线性回归方程计算即可； （ii）先求出小江、小沈两人中考研人数的数学期望，再求出考研补贴的总期望，根据题意列出不等式组求解p的范围. 【小问1详解】 由题意得，， 又， ， ， ， 所以， 故得y关于x的线性回归方程为； 【小问2详解】 （i）将x=120代入， 估计该省要发放补贴的总金额为（万元）； （ii）设小江、小沈两人中选择考研的人数为，则的所有可能值为、、， ， ， ， ， ，可得， 又因为，可得， 故. 16. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，△，△均为等边三角形，． （1）证明：平面平面． （2）若点到平面的距离为，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）16 【解析】 【分析】（1）如图，设，则，根据余弦定理的应用和勾股定理的逆定理计算可得，结合线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理即可证明； （2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解点面距建立关于的方程，再次利用空间向量法求出点到平面的距离，结合锥体的体积公式计算即可求解. 【小问1详解】 设，取的中点，连接，如图， 则，且， 在中，， 在中，有，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由，得， 所以，解得，即， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，即， 所以点到平面的距离为， 解得，所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以， 所以点到平面的距离为， 又平行四边形的面积为， 所以四棱锥体积为. 17. 数列满足． （1）证明：数列是等比数列； （2）求的通项公式； （3）若，证明：数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】(1)构造结合等比数列的定义判断即可； (2)根据（1）可得的通项公式，进而可得的通项公式； (3)根据裂项相消求和证明即可. 【小问1详解】 由可得，解得，则. 且，故是以2为首项，2为公比的等比数列，即得证. 【小问2详解】 由（1），故 【小问3详解】 ， 故 ，即得证. 18. 已知函数. （1）求证为定值； （2）若数列的通项公式为（为正整数，，，，），求数列的前项和； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由函数的解析式得出的表达式，化简后可得为定值； （2）由于，可得，即，倒序相加可得. 【小问1详解】 证明：由于函数， 则， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，， 则，其中为正整数，， 即，且， 所以，其中为正整数，， 且， ，① 变化前项顺序后，可得：，② ①②得：， 因此. 19. 已知和为椭圆：上两点. （1）求椭圆离心率； （2）过点的直线与椭圆交于，两点（，不在轴上）. （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）直线和分别与轴交于，两点，求证：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据给定的点A和B在椭圆上，以及椭圆的离心率公式求出椭圆的离心率； （2）（i）借助韦达定理和面积公式计算即可；（ii）可借助韦达定理和圆的弦长公式计算即可. 【小问1详解】 由可知，求出， 代入，得，， 则，， 可知椭圆的离心率为. 【小问2详解】 （i）由（1）可知椭圆的方程为， 设，，过点的直线为， 与联立得：.恒成立. 所以， 得，所以，直线的方程为：. （ii）由（i）可知， 直线的方程为，令，得 直线方程为，令，得， 记以为直径的圆与轴交于，两点， 由圆的弦长公式可知， 所以，为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级春期第一次月考数学试题 出题人:聂若诗 审题人:杨军 一、单选题 1. 已知数列为递增数列，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的渐近线方程为 A B. C. D. 3. 圆的圆心在第三象限，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 设等差数列{an}前n项和为，已知，则（ ） A. 11 B. 9 C. 8 D. 6 5. 已知数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，点在圆上运动，的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线的右支上一点在第一象限，、分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为，直线、的斜率分别为、，则的值等于（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 记等比数列的前项积为，且，若，则的可能取值为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 7 10. 已知等差数列，其前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时最大 C. 使的n的最大值为16 D. 数列中最小项为第9项 11. 如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（    ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若是棱的中点，则过的平面截正方体所得的截面图形的周长为 C. 若是棱的中点，则点到平面的距离为 D. 若与平面所成的角为，则 三、填空题 12. 已知，若，则___________． 13. 已知两点，，动点M满足，抛物线的焦点为F，动点N在C上，则的最小值为__________. 14. 已知数列的前n项和为，数列是首项为，公差为的等差数列.表示不超过x的最大整数，如，则数列的前35项和为___________. 四、解答题 15. 随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，年的考研人数是万人，年考研人数是万人.某省统计了该省其中四所大学年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格： A大学 B大学 C大学 D大学 年毕业人数（千人） 年考研人数（千人） （1）已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程； （2）假设该省对选择考研的大学生每人发放万元的补贴. （i）若该省大学年毕业生人数为千人，估计该省要发放多少万元的补贴？ （ii）若A大学的毕业生中小江、小沈选择考研的概率分别为p、2p－1，该省对小江、小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过万元，求p的取值范围. 参考公式：， 16. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，△，△均为等边三角形，． （1）证明：平面平面． （2）若点到平面的距离为，求四棱锥的体积． 17. 数列满足． （1）证明：数列是等比数列； （2）求的通项公式； （3）若，证明：数列的前项和． 18. 已知函数. （1）求证为定值； （2）若数列的通项公式为（为正整数，，，，），求数列的前项和； 19. 已知和为椭圆：上两点. （1）求椭圆的离心率； （2）过点直线与椭圆交于，两点（，不在轴上）. （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）直线和分别与轴交于，两点，求证：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $