精品解析：天津市汇文中学2024-2025学年高二下学期第一次质量检测数学试卷

汇文中学2024~2025学年度第二学期高二数学学科 第一次质量检测试卷 （时长：100分钟） 姓名：___________班级：___________ 一、单选题（每题3分，共27分） 1. 若函数在区间上的平均变化率为5，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均变化率的定义列方程求参数即可. 【详解】∵函数在区间上的平均变化率为5， ∴，解得． 故选：C 2. （ ） A. 65 B. 160 C. 165 D. 210 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列数及组合数公式计算可得. 【详解】. 故选：C 3. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：根据基本初等函数法则求解；对于B：根据导数的乘法法则运算求解；对于C：根据复合函数的链式法则运算求解；对于D：根据导数的加法法则运算求解. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误； 故选：C. 4. 已知曲线C：上一点，则曲线C在点P处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线的倾斜角. 【详解】因为，所以，则， 所以曲线C在点P处的切线的斜率为，则倾斜角为. 故选：B 5. 已知函数的导数为，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接求导，令求出，再将带入原函数即可求解. 【详解】由得，当时，，解得，所以，. 故选：B 6. 若函数在处取得极值1，则（ ） A. -4 B. -3 C. -2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】通过对函数求导，得出和的参数值，即可求出的值. 【详解】由题意，， 在中，， 在处取得极值1， ∴，解得：，经经验满足题意， ∴， 故选：D. 7. 已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（ ） A. 的单调递减区间是 B. 的单调递增区间是 C. 当时，有极值 D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数图象解不等式可得的单调性，即可判断A正确，B错误，再根据极值定义可得C错误，根据不等式结果可得D错误. 【详解】根据图象可知当时，，可得； 当时，，可得； 结合的图象是一条连续不断的曲线，可知时，单调递减； 当时，，仅当时取等号，可得， 对于AB，时，单调递减，当时，，此时单调递增， 因此的单调递减区间是的单调递增区间是，即A正确，B错误； 对于C，易知当时，，当时，， 即在处左右函数的单调性不改变，因此C错误； 对于D，因为时，，由，可得， 因此，即D错误. 故选：A. 8. 用0、1、2、3这四个数字组成无重复数字的四位数，其中偶数共有（ ）个. A. 4 B. 10 C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理求解． 【详解】当个位数字为0时，偶数共有个， 当个位数字为2时，偶数共有个， 所以偶数共有个． 故选：B. 9. 已知函数有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】问题化为与有三个交点，导数研究的性质并确定极值，列不等式求参数范围. 【详解】由题意，与有三个交点， 由，在上，在上单调递增， 在上，在上单调递减， 当趋向时趋向于0，趋向时趋向于，且，， 所以，，即. 故选：C 二、填空题（每题4分，共24分） 10. 函数的单调递减区间为__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过求导，得到导函数小于零的不等式，结合定义域求解集即可. 【详解】由题意，函数的定义域为， 求导可得， 令，因为，所以解得. 所以函数的单调递减区间为. 故答案为：. 11. 记为等比数列的前项和，若，，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用等比数列性质求出，进而可得，可得. 【详解】设等比数列的公比为，则， 所以，所以. 故答案为： 12. 已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用求导得出单调区间，即可得出最值，求出结果. 【详解】因为， ，或， ，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 因为， 所以，故. 故答案为： 13. 已知函数的图像在处的切线与直线垂直，则实数___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的几何意义及两直线垂直的斜率关系即可求出的值． 【详解】由，得， 因为函数的图象在处的切线与直线垂直， 所以，则． 故答案为：1 14. 在长方体中，，，点为长方体的底面的中心，点为棱的中点，则平面与平面夹角的余弦值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量公式求解即可. 【详解】 如图所示，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系； 由题意，，，，则，， 设平面的法向量， 由，得，令，解得，， 则平面的一个法向量， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则, 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 故答案为：. 15. 已知函数，若对，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求导函数再根据导函数正负得出函数单调性即可得出函数的最小值，再把恒成立问题转化为最值计算求解. 【详解】由题可得， 当时，，在上递减；当时，，所以在上递增； 则， 所以，又，即，则． 故答案为：. 三、解答题（要求：需要有必要的推理过程及解题步骤）（共49分） 16. 已知函数. （1）若函数的图象在点处的切线方程是，求和； （2）求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）递增区间为，递减区间为. 【解析】 【分析】（1）求得，得到且，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）求得，结合和的解集和定义域，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，可得，则且， 因为函数的图象在点处的切线方程是， 可得 解得. 【小问2详解】 解：由函数的定义域为，且， 令，即，即，可得； 令，即，即，可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 17. 已知函数在处取得极值． （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最小值． 【答案】（1）3 （2）⋅ 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据函数在处取得极值，求出的值；再根据函数导数验证函数的极值； （2）利用导数判断函数的在上的单调性，求出最值. 【小问1详解】 由题意得的定义域，且 因为函数在处取值得极值，所以 解得 此时，， 令得或，令得， 故函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意 所以． 【小问2详解】 由（1）得，， 令，得，所以函数在单调递增， 令，得，所以函数在单调递减， 所以函数在处取极小值， 所以当时，的最小值为 18. 已知函数在处有极大值. （1）求实数的值； （2）若函数，研究方程实数根的个数及实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，方程实数根有三个； 当或，方程实数根有两个； 当或，方程实数根有一个. 【解析】 【分析】（1）由题意题干中的函数进行求导，根据极值与导数的关系建立方程，分别检验解得的根，可得答案； （2）由（1）明确函数解析式，利用导数求得其极值与单调性，并作图，根据零点定义，将问题等价转化为函数交点问题，可得答案. 【小问1详解】 由函数，求导可得， 由函数在处取极大值，则，解得或， 当时，可得， 易知当时，；当时，， 则此时函数在处取得极小值，不符合题意，舍去； 当时，可得， 易知当时，；当时，， 则此时函数在处取得极大值，符合题意. 综上所述，. 【小问2详解】 由（1）可得函数，求导可得， 令，解得或3，可得下表： 1 3 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的极大值为，极小值为， 函数的零点个数，等价于函数图象与直线的交点个数， 如下图： 由图可得当，则，此时有三个不同的零点， 当或，则或，此时有两个不同的零点， 当或，则或，此时有一个零点， 19. 已知函数（为常数）. （1）求证：当时，； （2）讨论函数的单调性； （3）不等式在上恒成立，求实数的最小整数值. 【答案】（1） 证明：当时，，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. （2）当时，函数的单调递增区间是；当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是. （3）2. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数求出最小值即可证得不等式. （2）求出导数，再分类讨论求出单调区间. （3）等价转化不等式，构造函数并用导数求出最大值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 所以当时，函数的单调递增区间是； 当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是. 【小问3详解】 不等式， 依题意，，恒成立，令， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以实数的最小整数值是. 20. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围； （3）当时，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求得，得到，且，利用导数的几何意义，即可求解； （2）求得，转化为恒成立，令，得到， 得出的单调性，求得，结合，即可求得的取值范围； （3）解法一：根据题意，转化为，恒成立，设，得到，令，求得，得到的单调性，得出，求得的最小值，即可求解； 方法二，当时，则，得到必要条件为，转化为证明：当时，，由（2）知在单调递增，得到，只需时，转化为，由，得 ，结合分析法，即可求解. 【小问1详解】 当时，，可得， 则曲线在点处的切线斜率为，且， 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 由，可得， 因为在区间上单调递增，所以恒成立． 令，则， 令，解得， 所以当时，，故单调递减； 当时，，故单调递增； 所以， 又因为，当且仅当，即，解得． 所以实数的取值范围； 【小问3详解】 解法一：因为，所以题意等价于当时，， 即，整理得， 因为，所以，故题意等价于， 设，可得， 化简得， 令函数，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故在时，取到最小值，即，即， 所以，即，所以当单调递减， 当单调递增，所以的最小值为， 故，即实数的取值范围为. 方法二，先探究必要性，由题意知当时，是的最小值， 则，即得到必要条件为， 下证的充分性，即证：当时，， 证明：由（2）可知当时，在上单调递增， 故的最小值为，符合题意； 故只需要证明时，． 由（2）分析知时， + 0 - 0 + 极大值 极小值 其中． 因为，据此可得更精确的范围是， 等价于证明， 又因为，即，可得， 只需证明，可得，等价于证明， 注意到，即， 故若①当，此时显然成立； 若②当，只要证明，此时，且， 所以，故得证， 综上必要性，充分性的分析，本题所求的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汇文中学2024~2025学年度第二学期高二数学学科 第一次质量检测试卷 （时长：100分钟） 姓名：___________班级：___________ 一、单选题（每题3分，共27分） 1. 若函数在区间上的平均变化率为5，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 1 2. （ ） A. 65 B. 160 C. 165 D. 210 3. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知曲线C：上一点，则曲线C在点P处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的导数为，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 6. 若函数在处取得极值1，则（ ） A. -4 B. -3 C. -2 D. 2 7. 已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（ ） A. 的单调递减区间是 B. 的单调递增区间是 C. 当时，有极值 D. 当时， 8. 用0、1、2、3这四个数字组成无重复数字的四位数，其中偶数共有（ ）个. A. 4 B. 10 C. 12 D. 24 9. 已知函数有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共24分） 10. 函数的单调递减区间为__________． 11. 记为等比数列的前项和，若，，则__________. 12. 已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则__________. 13. 已知函数的图像在处的切线与直线垂直，则实数___________． 14. 在长方体中，，，点为长方体的底面的中心，点为棱的中点，则平面与平面夹角的余弦值为___________. 15. 已知函数，若对，则实数的取值范围为__________． 三、解答题（要求：需要有必要的推理过程及解题步骤）（共49分） 16. 已知函数. （1）若函数的图象在点处的切线方程是，求和； （2）求函数的单调区间. 17. 已知函数在处取得极值． （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最小值． 18. 已知函数在处有极大值. （1）求实数的值； （2）若函数，研究方程实数根的个数及实数的取值范围. 19. 已知函数（为常数）. （1）求证：当时，； （2）讨论函数的单调性； （3）不等式在上恒成立，求实数的最小整数值. 20. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围； （3）当时，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $