精品解析：广东省汕头市潮南区陈店实验学校等2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024～2025年学年度第二学期 九年级数学科练习题（三） （内容：第28章） 一、选择题 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则sinA的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在Rt△ABC中，先求出∠A的度数，再根据特殊角的三角函数值去求即可． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A， 根据三角形内角和定理， ∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A+2∠A+90°=180°， ∴∠A＝30°，∠B＝60°， ∴sinA＝sin30°＝． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，牢固掌握特殊三角函数值是做出本题的关键． 2. 在中，，如果，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了锐角三角函数，根据正切的意义进行解答即可． 【详解】解：在中，，如果，， ∴， 故选：A． 3. 当时，则（ ） A. 大于 B. 小于且大于0 C. 大于 D. 小于且大于0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正切函数的性质，根据正切函数的性质，可得答案． 【详解】解： ， ． ， ． 故选：C． 4. 在中，，若，则的长是（ ） A. B. C. 60 D. 80 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵∠ABC=90°，sin∠A==，AC=100， ∴BC=100×3÷5=60， ∴AB==80， 故选D． 【点睛】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键． 5. 在中，，，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义是正确解答的前提． 根据，设，则，利用勾股定理求出，由即可求解． 【详解】解：如图，在中，， ∵， 设，则， ， ∴． 故选：C． 6. 在中，，若，则的值（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义勾股定理，准确计算是解题的关键． 根据直角三角形两边的数量关系，可以假设未知数，即，则，根据勾股定理表示出直角边，最后根据正弦定义可求出结果． 【详解】解：根据题意可假设，则， 在中，根据勾股定理得： ， ． 故选：D． 7. 如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为m米，坡度，则大厅两层之间的距离为（　）． A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坡度，熟知坡度是坡面的垂直高度和水平距离的比成为解题的关键． 先根据题意画出图形，再根据的坡度即为，然后根据勾股定理列方程即可求出的长． 【详解】解：如图：由题意可知, ∵坡度， ∴, 设，则， ∵, ∴，解得：． ∴． 故选A． 8. 如图，在ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则ABC的面积是（ ） A. B. 1+ C. 2 D. 2+ 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，先证明△ADC是等腰直角三角形，得AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，再证明AD＝BD，计算AE和BC的长，根据三角形的面积公式可解答． 【详解】解：如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E， ∵∠C＝45°， ∴△ADC是等腰直角三角形， ∴AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°， ∴∠DAB＝22.5°， ∴∠B＝∠DAB， ∴AD＝BD＝2， ∵AD＝AC，AE⊥CD， ∴DE＝CE， ∴ ∴△ABC的面积． 故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，熟知掌握等腰三角形的性质是解本题的关键． 9. 如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，灵活运用折叠的性质得到相等线段是解决问题的关键．利用矩形的性质及折叠的性质可得，，可得，，设，则，利用勾股定理可得，进而可得结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 根据折叠可知，可知，， 则在中，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即：， 解得：， 即． 故选：B． 10. 如图，将扇形沿方向平移，使点O移到的中点处，得到扇形．若，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是学会割补法求阴影部分的面积．设交于点，连接，首先证明，根据求解即可． 【详解】解：如图，设交于点，连接， ， ， ， ∴， ， ， ， ． 故选：C． 二、填空题 11. 若，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据一个角的正弦值等于它的余角的余弦值进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了互余的两角的三角函数的关系，熟知一个角的正弦值等于它的余角的余弦值是解题的关键． 12. 在中，若，则∠C的度数是_________ 【答案】##度 【解析】 【分析】根据非负性，求出，进而求出，根据三角形内角和，求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，绝对值的非负性以及三角形的内角和．熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 13. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα＝，堤坝高BC＝30m，则迎水坡面AB的长度为 ____m． 【答案】50 【解析】 【分析】直接利用坡角的定义结合锐角三角函数关系得出答案． 【详解】解：根据题意得：∠ACB=90°，sinα＝， ∴， ∵BC＝30m， ∴， 解得：AB=50m， 即迎水坡面AB的长度为50m． 故答案为：50 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键． 14. 在中，，，，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出图形，如图所示，作CD垂直于BA，交BA延长线于点D，在直角三角形ACD中，利用邻补角定义求出∠CAD=60°，进而确定出∠ACD=30°，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长，利用勾股定理求出CD的长，由AD+DB求出DB的长，在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出BC的长，利用锐角三角函数定义即可求出sinB的值． 【详解】解： 根据题意画出图形，如图所示，过C作CD⊥BA，交BA延长线于点D， ∵∠BAC=120°，∴∠CAD=60°， 在Rt△ACD中，∠ACD=30°，AC=2， ∴AD=AC=1， 根据勾股定理得：CD==， 在Rt△BCD中，CD=，BD=BA+AD=4+1=5， 根据勾股定理得：BC==， 则sinB===． 故答案为． 【点睛】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，含30度直角三角形的性质，画出相应的图形是解本题的关键． 15. 定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据代入进行计算即可． 【详解】解： = = = =． 故答案为：． 【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键． 三、解答题（一） 16. 计算：﹣（﹣2cos30°）2+（tan45°）﹣1． 【答案】2 【解析】 【详解】试题分析：利用特殊角的三角函数值，负整数指数幂法则，以及乘方的意义计算即可得到结果． 试题解析：﹣（﹣2cos30°）2+（tan45°）﹣1 =﹣（﹣2×）2+1﹣1 =4﹣3+1 =2． 考点：1、实数的运算；2、负整数指数幂；3、特殊角的三角函数值 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．先利用特殊角的三角函数值代入，然后进行二次根式的混合运算． 【详解】解： ． 18. 在中，，，，解这个直角三角形． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形．利用勾股定理即可求得的值，然后利用三角函数求得的度数，然后根据直角三角形的两锐角互余即可求得的度数． 【详解】解：如图， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 四、解答题（二） 19. 如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东方向上；航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向上．求小岛A到航线的距离．（，结果用四舍五入法精确到） 【答案】小岛A到航线的距离为海里 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，熟练掌握三角函数的定义，是解题的关键．过点A作，垂足为D，根据等腰三角形的判定得出（海里），根据，求出结果即可． 【详解】解：过点A作，垂足为D， 根据题意，得，， ∴， ∴， ∴（海里）， ∵， ∴（海里）． 答：小岛A到航线的距离为海里． 20. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=8，∠ABD=30°，∠CAD=45°，求BC的长． 【答案】4+4． 【解析】 【分析】首先解Rt△ABD，求出AD、BD的长度，再解Rt△ADC，求出DC的长度，然后由BC=BD+DC即可求解． 【详解】解：∵AD⊥BC于点D， ∴∠ADB=∠ADC=90°． 在Rt△ABD中， ∵AB=8，∠ABD=30°， ∴AD=AB=4，BD=AD=4． 在Rt△ADC中， ∵∠CAD=45°，∠ADC=90°， ∴DC=AD=4． ∴BC=BD+DC=4+4． 21. “五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制“天幕”的开合，m，m． （1）天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度（结果精确到0.1m）； （2）下雨时收拢“天幕”，从65°减少到45°，求点下降的高度（结果精确到0.1m）． （参考数据：，，，） 【答案】（1）遮阳宽度约为 （2）点下降的高度约为 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦可得的长，由此即可得； （2）设点下降到点，过点作于点，过点作于点，先根据矩形的判定与性质可得，从而可得，再分别解直角三角形可得的长，然后根据线段和差即可得． 【小问1详解】 解：由题意得：是轴对称图形， ， ，， ， ， 答：遮阳宽度约为． 【小问2详解】 解：如图，设点下降到点，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形， ， ，即， 当时，， 当时，， 则， 答：点下降的高度约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、轴对称图形、矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 五、解答题（三） 22. 无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． （1）填空：___________度，___________度； （2）求楼的高度（结果保留根号）； （3）求此时无人机距离地面的高度． 【答案】（1）75；60 （2）米 （3）110米 【解析】 【分析】（1）根据平角的定义求，过点A作于点E，再利用三角形内角和求； （2）在中，求出DE的长度再根据计算即可； （3）作于点G，交于点F，证明即可． 【小问1详解】 过点A作于点E， 由题意得： ∴ 【小问2详解】 由题意得：米，． 在中，， ∴， ∴ ∴楼的高度为米． 【小问3详解】 作于点G，交于点F， 则 ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴（AAS）． ∴． ∴ ∴无人机距离地面的高度为110米． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-——仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键． 23. 如图是直径，A是上异于C，D的一点，点B是延长线上一点，连接、、，且． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，作的平分线交于P，交于E，连接、，若，求的值． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接OA， ∵是直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵为半径， ∴直线是的切线； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接OA，根据直径所对的圆周角是直角得到，再证明即可证明结论； （2）先证明，得到，令半径，则，，利用勾股定理求出，解直角三角形即可答案； （3）先求出，在中，，，解得，，证明，得到，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 由知，令半径，则，， 在中，， 在中，， 即； 【小问3详解】 解：在（2）的条件下，， ∴， ∴， 在中，，， 解得，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025年学年度第二学期 九年级数学科练习题（三） （内容：第28章） 一、选择题 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则sinA的值为（　　） A. B. C. D. 2. 在中，，如果，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 2 3. 当时，则（ ） A. 大于 B. 小于且大于0 C. 大于 D. 小于且大于0 4. 在 中，，若，则的长是（ ） A. B. C. 60 D. 80 5. 在中，，，则等于（　　） A. B. C. D. 6. 在中，，若，则的值（ ） A. B. C. D. 7. 如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为m米，坡度，则大厅两层之间的距离为（　）． A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，在ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则ABC的面积是（ ） A. B. 1+ C. 2 D. 2+ 9. 如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 10. 如图，将扇形沿方向平移，使点O移到的中点处，得到扇形．若，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 若，则________． 12. 在中，若，则∠C的度数是_________ 13. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα＝，堤坝高BC＝30m，则迎水坡面AB的长度为 ____m． 14. 在 中，，，，则的值是________． 15. 定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为_______． 三、解答题（一） 16. 计算：﹣（﹣2cos30°）2+（tan45°）﹣1． 17. 计算：． 18. 在 中，，，，解这个直角三角形． 四、解答题（二） 19. 如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东方向上；航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向上．求小岛A到航线的距离．（，结果用四舍五入法精确到） 20. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=8，∠ABD=30°，∠CAD=45°，求BC的长． 21. “五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制“天幕”的开合，m，m． （1）天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度（结果精确到0.1m）； （2）下雨时收拢“天幕”，从65°减少到45°，求点下降的高度（结果精确到0.1m）． （参考数据：，，，） 五、解答题（三） 22. 无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． （1）填空：___________度，___________度； （2）求楼的高度（结果保留根号）； （3）求此时无人机距离地面的高度． 23. 如图是直径，A是上异于C，D的一点，点B是延长线上一点，连接、、，且． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，作的平分线交于P，交于E，连接、，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $