7.4 二元一次方程与一次函数学案 2024-2025学年 鲁教版（五四制）七年级数学下册

二元一次方程与一次函数的关系 任何一个二元一次方程都可化成一次函数关系式的形式，二元一次方程有无数个解，以这些解为坐标的点组成的图象与这个二元一次方程化成的一次函数的图象重合．反之一次函数图象上的任一点的坐标都可看成这个二元一次方程的一组解． 判断一个点的坐标是否为某二元一次方程的解，把这个点的横、纵坐标分别代入方程当中，看左右两边是否相等即可． 二元一次方程组与一次函数的关系 方程组的解是函数y＝k1x＋b1与函数y＝k2x＋b2的图象交点的横、纵坐标． 利用二元一次方程组的解可以求两个一次函数图象的交点；反之，利用两个一次函数图象的交点，也可以把二元一次方程组的解求出来． 用图象法解二元一次方程组的一般步骤 1．先把两个方程化成一次函数的形式． 2．建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象． 3．写出两直线的交点坐标(a，b)，则二元一次方程组的解为 二元一次方程(组)与一次函数的关系 典例1 已知直线y＝2x－1与直线y＝x＋3，则它们的交点的坐标为(，)． 求交点的坐标，即求方程组的解． 变式 二元一次方程2x＋y＝4有无数个解，以它的解为坐标的点都在函数y＝4－2x的图象上． 二元一次方程有无数个解，对应的一次函数图象上有无数个点，并且二者一一对应．这是“数”与“形”统一的体现． 用图象法解二元一次方程组 典例2 用作图象的方法解方程组 从函数的角度来看，二元一次方程组的解是两个一次函数图象的交点的坐标．因此，把方程组中的两个二元一次方程改写成一次函数的形式，然后作出它们的图象，找出两图象的交点即可知方程组的解． 解：由①，得y＝x＋1， 取点(－2，0)，(0，1)，作出直线l1. 典例2图 由②，得y＝2x－2， 取点(1，0)，(0，－2)，作出直线l2. 观察图象得出交点为P(2，2)，所以方程组的解是 变式 [2023春·湘潭县期末]如图，直线y＝kx＋b与x轴交于点A(－3，0)，与直线y＝mx＋n交于点P(1，3)，则方程组的解是． 变式图 1．[2024·呼伦贝尔]点P(x，y)在直线y＝－x＋4上，坐标(x，y)是二元一次方程5x－6y＝33的解，则点P的位置在( D ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．如图，直线l1，l2的交点坐标可以看作方程组的解． 第2题图 3．已知二元一次方程组的解为则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋5与直线l2：y＝－x－1的交点坐标为(－4，1)． 4[2023春·晋中期末改编]在平面直角坐标系中，有直线l1：y＝x＋和直线l2：y＝－x＋6，它们的交点为P(2，3)，l1与x轴交于点A，l2与x轴交于点B. (1)求A，B两点的坐标； (2)用图象法解方程组 (3)求△ABP的面积． 解：(1)当y＝0时，0＝x＋， 解得x＝－3，即A(－3，0)； 0＝－x＋6，解得x＝4，即B(4，0)； (2)可变形为 l1：y＝x＋和l2：y＝－x＋6的图象如图， 第4题图 交点P坐标为(2，3)， 故方程组的解为 (3)S△PAB＝×7×3＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 利用二元一次方程组确定一次函数的表达式 1．设一次函数的表达式y＝kx＋b； 2．将已知条件代入 ，得关于k，b的二元一次方程组； 3．解方程组得 的值，进而求出一次函数的表达式． 待定系数法确定一次函数关系式 典例 某出租车公司收费标准如图，如果小明有 19元钱，那么他乘此出租车最远能到达多少千米处？ 典例图 变式1 如图，l1，l2分别表示两个一次函数的图象，它们相交于点P. (1)求出两条直线的函数关系式； (2)点P的坐标可看作是哪个二元一次方程组的解． 变式1图 变式2 [2023春·安阳期末改编]近年来，随着全民健身国家战略的深入实施，锻炼健身逐渐成了一新风尚．滑县“西湖公园”(如图1)是一个风景秀美的开放型“体育场”，绕湖骑行或跑步成为广大健身爱好者的不二选择．甲、乙两人相约同时从跑道某地出发同向骑行，甲匀速骑行，速度是17 km/h，乙骑行的路程s(km)与骑行的时间t(h)之间的关系如图2所示． 变式2图 (1)当0≤t≤0.2和t>0.2时，求s与t之间的函数表达式； (2)甲出发多长时间追上乙？ 1．生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长y(cm)是尾长x(cm)的一次函数，部分数据如表所示，则y与x之间的关系式为( ) 尾长(cm) 6 8 10 体长y(cm) 45.5 60.5 75.5 A.y＝7.5x＋0.5 B．y＝7.5x－0.5 C．y＝15x D．y＝15x＋45.5 2．[2024·上海]某种商品的销售量y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系，当投入10万元时销售量1 000万元，当投入90万元时销售量5 000万元．则投入80万元时，销售量为 万元． 3．[2024·陕西]我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市．他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是80 kW·h，行驶了240 km后，从B市一高速公路出口驶出．已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量y(kW·h)与行驶路程x(km)之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的关系式； (2)已知这辆车的“满电量”为100 kW·h，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少． 第3题图 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二元一次方程与一次函数的关系 任何一个二元一次方程都可化成 关系式的形式，二元一次方程有 个解，以这些解为坐标的点组成的图象与这个二元一次方程化成的一次函数的图象 ．反之一次函数图象上的任一点的坐标都可看成这个二元一次方程的一组 ． 判断一个点的坐标是否为某二元一次方程的解，把这个点的横、纵坐标分别代入方程当中，看左右两边是否相等即可． 二元一次方程组与一次函数的关系 方程组的解是函数y＝k1x＋b1与函数y＝k2x＋b2的图象 坐标． 利用二元一次方程组的解可以求两个一次函数图象的交点；反之，利用两个一次函数图象的交点，也可以把二元一次方程组的解求出来． 用图象法解二元一次方程组的一般步骤 1．先把两个方程化成 的形式． 2．建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的 ． 3．写出两直线的 坐标(a，b)，则二元一次方程组的解为 二元一次方程(组)与一次函数的关系 典例1 已知直线y＝2x－1与直线y＝x＋3，则它们的交点的坐标为 ． 求交点的坐标，即求方程组的解． 变式 二元一次方程2x＋y＝4有 个解，以它的解为坐标的点都在函数 的图象上． 二元一次方程有无数个解，对应的一次函数图象上有无数个点，并且二者一一对应．这是“数”与“形”统一的体现． 用图象法解二元一次方程组 典例2 用作图象的方法解方程组 变式 [2023春·湘潭县期末]如图，直线y＝kx＋b与x轴交于点A(－3，0)，与直线y＝mx＋n交于点P(1，3)，则方程组的解是 ． 变式图 1．[2024·呼伦贝尔]点P(x，y)在直线y＝－x＋4上，坐标(x，y)是二元一次方程5x－6y＝33的解，则点P的位置在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．如图，直线l1，l2的交点坐标可以看作方程组 的解． 第2题图 3．已知二元一次方程组的解为则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋5与直线l2：y＝－x－1的交点坐标为 4[2023春·晋中期末改编]在平面直角坐标系中，有直线l1：y＝x＋和直线l2：y＝－x＋6，它们的交点为P(2，3)，l1与x轴交于点A，l2与x轴交于点B. (1)求A，B两点的坐标； (2)用图象法解方程组 (3)求△ABP的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 利用二元一次方程组确定一次函数的表达式 1．设一次函数的表达式y＝kx＋b； 2．将已知条件代入y＝kx＋b，得关于k，b的二元一次方程组； 3．解方程组得k，b的值，进而求出一次函数的表达式． 待定系数法确定一次函数关系式 典例 某出租车公司收费标准如图，如果小明有 19元钱，那么他乘此出租车最远能到达多少千米处？ 典例图 由图象，得3千米以内，收费5元；3千米以后，收费的价钱与路程成一次函数关系．由图象可求出一次函数的表达式，在此基础上，可求出最远的路程． 解：由题意，得19＞5，出租车行驶的距离大于3 km，当x＞3时，设y与x的函数关系式是y＝kx＋b(k≠0)． 把(3，5)，(8，12)代入，得 解得 所以y与x的函数关系式是y＝x＋(x＞3)． 当y＝19时，得19＝x＋， 解得x＝13. 答：他乘此出租车最远能到达13千米处． 变式1 如图，l1，l2分别表示两个一次函数的图象，它们相交于点P. (1)求出两条直线的函数关系式； (2)点P的坐标可看作是哪个二元一次方程组的解． 变式1图 解：(1)设直线l1的表达式是y＝kx＋b，已知l1经过点(0，3)，(1，0)，得 解得 所以直线l1的表达式是y＝－3x＋3； 同理，得l2的表达式是y＝x－2； (2)点P的坐标可看作是二元一次方程组的解． 变式2 [2023春·安阳期末改编]近年来，随着全民健身国家战略的深入实施，锻炼健身逐渐成了一新风尚．滑县“西湖公园”(如图1)是一个风景秀美的开放型“体育场”，绕湖骑行或跑步成为广大健身爱好者的不二选择．甲、乙两人相约同时从跑道某地出发同向骑行，甲匀速骑行，速度是17 km/h，乙骑行的路程s(km)与骑行的时间t(h)之间的关系如图2所示． 变式2图 (1)当0≤t≤0.2和t>0.2时，求s与t之间的函数表达式； (2)甲出发多长时间追上乙？ 解：(1)当0≤t≤0.2时， s＝t＝20t， 当t>0.2时，设s＝kt＋b， 将(0.2，4)，(0.5，8.5)代入，得 解得 所以s＝15t＋1； (2)由题意得17t＝15t＋1， 解得t＝0.5. 答：甲出发0.5 h追上乙． 1．生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长y(cm)是尾长x(cm)的一次函数，部分数据如表所示，则y与x之间的关系式为( A ) 尾长(cm) 6 8 10 体长y(cm) 45.5 60.5 75.5 A.y＝7.5x＋0.5 B．y＝7.5x－0.5 C．y＝15x D．y＝15x＋45.5 2．[2024·上海]某种商品的销售量y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系，当投入10万元时销售量1 000万元，当投入90万元时销售量5 000万元．则投入80万元时，销售量为 4 500万元． 3．[2024·陕西]我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市．他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是80 kW·h，行驶了240 km后，从B市一高速公路出口驶出．已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量y(kW·h)与行驶路程x(km)之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的关系式； (2)已知这辆车的“满电量”为100 kW·h，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少． 第3题图 解：(1)设y＝kx＋b(0≤x≤240)，代入(0，80)，(150，50)，得 解得 所以y与x之间的关系式为y＝－x＋80； (2)令x＝240，则y＝32， ×100%＝32%， 答：该车的剩余电量占“满电量”的32%. 学科网（北京）股份有限公司 $$