精品解析：重庆市万州中学2024-2025学年八年级下学期第一次定时作业数学试题

数学 一、选择题（共10小题，每小题4分） 1. 下列各式,中，分式的个数共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 下列命题正确的是（　　） A. 两边及一角对应相等的两三角形全等 B. 若分式的值为零时，则 C. 的三边为a、b、c，若，则不是直角三角形 D. 估计的值在整数3和4之间 5. 渝万高速铁路，即重庆市南岸区至万州区的高速铁路，是国家“八纵八横”高速铁路京昆通道、包（银）海通道和重庆“米”字型高铁网的重要组成部分，是高铁沿江通道的重要补充，渝万高铁项目全长252公里，自重庆东站引出，沿长江向东经南岸、巴南、涪陵、丰都、忠县至万州，沿线设重庆东、涪陵北、丰都北、忠县、万州北等车站，预计2027年4月建成通车．高铁速度是动车速度的1.7倍，建成后，渝万高铁丰都到重庆段距离缩短为120公里（原渝利铁路丰都到重庆的距离为公里），所用时比原来缩短了30分钟．设原渝利铁路动车速度为千米/时，根据题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 若函数，则当函数值时，自变量的值是（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 或3 7. 关于的方程有增根，则的值是（ ） A. 3 B. 0或3 C. 7 D. 8. 如图，在平面直角坐标系中， ，点 的坐标分别为 ，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 在同一条笔直的道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，下图中的折线表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与乙从B出发后的时间x（小时）之间函数关系的图象，下列说法正确的是（ ） A. 甲的速度为85千米/时 B. 乙的速度为65千米/时 C. 当时，甲乙两车相距42千米 D. 甲车整个行驶过程用时为1.75小时 10. 简单的规则可以涌现出丰富的代数结构．对单项式进行如下操作：规定，计算，称为第一次操作：计算，称为第二次操作；以此类推：①；②；③当时，；④对任意正整数，等式总成立．以上说法正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共8小题，每小题4分） 11. 我国已经成功研制出超导量子计算原型机“祖冲之二号”．根据已公开的最优经典算法，在处理“量子随机线路取样”问题时，“祖冲之二号”用时大约为秒，将用科学记数法表示应为______． 12. ___________． 13. 若点在第一象限，且点到轴的距离与到轴的距离之和为，则的值为___________． 14. 若，则分式的值为______． 15. 定义：如果函数图像上的一个点向左平移个单位，再向上平移个单位后仍在这个函数图像上，我们称这个函数是“可回旋”函数，称为这个函数的“可回旋单位”．如果是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是_____． 16. 如图，在中，，，点是边的中点，点、在边、上，若，，则阴影部分面积为___________． 17. 若关于的不等式组至少有2个奇数解，且关于的分式方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为_____________． 18. 如果一个四位数自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字之差是十位数字与个位数字之差的一半，则称这个四位数为“春暖花开数”．例如：四位数2153，，2153是“春暖花开数”；又如四位数3287，，3287不是“春暖花开数”．若是一个“春暖花开数”，记，当s为完全平方数时，则______；此时，记，若为整数，则满足条件的所有M的和为______． 三、解答题（共9小题） 19. 化简或解方程： （1）； （2）． 20. 学习了等腰三角形后，小渝进行了拓展性探究．他发现，如果作等腰三角形两底角的平分线且与两腰相交，那么等腰三角形的这两条角平分线的长度相等．其解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作的平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 已知：如图，在中，，平分交于点，平分交于点． 求证：． 证明：在中， ， ① ． 又平分，平分， ， ② ． ． 又 ③ ， ． ． 小渝进一步研究发现，等腰三角形两腰上的高线均有此特征请你依照题意完成下面命题： 等腰三角形两腰上的高线的长度 ④ ． 21. 先化简，再求值：，然后从，0，1，2中选择一个合适的数作为的值代入求值． 22. 如图，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿移动到点时停止，设移动的时间为秒，的面积为． （1）求边上的高； （2）求与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 23. “冰墩墩”和“雪容融”作为第24届北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，某文旅店订购“冰墩墩”花费6000元，订购“雪容融”花费3200元，其中“冰墩墩”的订购单价比“雪容融”的订购单价多20元，并且订购“冰墩墩”的数量是“雪容融”的1.25倍． （1）求文旅店订购“冰墩墩”和“雪容融”的数量分别是多少个；（请列分式方程作答） （2）该文旅店以100元和80元的单价销售“冰墩墩”和“雪容融”，在“冰墩墩”售出，“雪容融”售出后，文旅店为了尽快回笼资金，决定对剩余的“冰墩墩”每个打a折销售，对剩余的“雪容融”每个降价2a元销售，很快全部售完，若要保证文旅店总利润不低于6060元，求a的最小值． 24. 阅读下面材料，解答后面的问题． 解方程：－＝0. 解：设y＝，则原方程可化为y－＝0，方程两边同时乘y，得y2－4＝0，解得y1＝2，y2＝－2. 经检验，y1＝2，y2＝－2都是方程y－＝0的解． 当y＝2时，＝2，解得x＝－1；当y＝－2时，＝－2，解得x＝. 经检验，x1＝－1，x2＝都是原分式方程的解．所以原分式方程的解为x1＝－1，x2＝. 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： (1)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为________________； (2)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为________________； (3)模仿上述换元法解方程：－－1＝0. 25. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足． （1）填空：________，________； （2）若在第三象限内有一点，用含的式子表示的面积； （3）在（2）的条件下，线段与轴相交于点，当时，点是轴上的动点，当满足的面积是的面积的5倍时，求点的坐标． 26. 在中，，点是边上一动点（点不与点、重合），连接． （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，将线段绕点顺时针旋转至位置，连接，过点作的垂线交于点，求证：； （3）如图3，以为直角顶点，在下方作直角，点为的中点，连接，点为的中点，连接，若，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、选择题（共10小题，每小题4分） 1. 下列各式,中，分式的个数共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式． ，分母中含有字母，因此是分式，共4个． 故选C． 【点睛】此题考查分式的定义，解题关键在于注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式． 2. 根据分式的基本性质，下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练理解分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键． 根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变进行逐项判断． 【详解】解：A、，原计算错误，该选项不符合题意； B、，原计算错误，该选项不符合题意； C、，原计算错误，该选项不符合题意； D、，正确，该选项符合题意； 故选；D． 3. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了零次幂，二次根式有意义，分式有意义，根据零次幂的底数不能为0、分母不能为0，被开方数为非负数进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， 解得且， 故选：C 4. 下列命题正确的是（　　） A. 两边及一角对应相等的两三角形全等 B. 若分式的值为零时，则 C. 的三边为a、b、c，若，则不是直角三角形 D. 估计的值在整数3和4之间 【答案】D 【解析】 【分析】A．根据三角形全等的判定方法即可判断A； B．根据分式有意义的条件和分式值为0的条件即可判断B； C．根据勾股定理的逆定理即可判断C； D．根据无理数的估测方法即可判断D． 【详解】解：A．两边及其夹角对应相等的两三角形全等，故A错误； B．∵分式的值为0， ∴， 解得：，故B错误； C．∵的三边为a、b、c，若，即， ∴是直角三角形，故C错误； D．∵， 又∵， ∴， ∴， ∴的值在整数3和4之间，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定方法，无理数的估算，分式的值为0的条件，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，注意分式的值为0时，分子为0，而分母不为0． 5. 渝万高速铁路，即重庆市南岸区至万州区的高速铁路，是国家“八纵八横”高速铁路京昆通道、包（银）海通道和重庆“米”字型高铁网的重要组成部分，是高铁沿江通道的重要补充，渝万高铁项目全长252公里，自重庆东站引出，沿长江向东经南岸、巴南、涪陵、丰都、忠县至万州，沿线设重庆东、涪陵北、丰都北、忠县、万州北等车站，预计2027年4月建成通车．高铁速度是动车速度的1.7倍，建成后，渝万高铁丰都到重庆段距离缩短为120公里（原渝利铁路丰都到重庆的距离为公里），所用时比原来缩短了30分钟．设原渝利铁路动车速度为千米/时，根据题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了分式方程实际应用，设原渝利铁路动车速度为千米/时，则高铁速度的千米/时，建成后，渝万高铁丰都到重庆段距离缩短为120公里（原渝利铁路丰都到重庆的距离为公里），所用时比原来缩短了30分钟．据此列出方程即可． 【详解】解：设原渝利铁路动车速度为千米/时，则高铁速度的千米/时，由题意可得， 故选：B 6. 若函数，则当函数值时，自变量的值是（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 或3 【答案】D 【解析】 【分析】将y=9代入函数解析式中，求出x值，此题得解． 【详解】解：当y=x2-3=9， 解得：x=-2或x=2（舍去）； 当y=3x=9， 解得：x=3． 故选D． 【点睛】本题考查了函数值，将y=9代入函数中求出x值是解题的关键． 7. 关于的方程有增根，则的值是（ ） A. 3 B. 0或3 C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先去分母，再将增根代入，求解即可． 【详解】解： 去分母，得， ∵关于x的方程有增根， ∴， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根是解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中， ，点 的坐标分别为 ，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、坐标与图形等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 如图：过点A作于点D，由等腰三角形的性质可得，进而确定点D的坐标，再根据勾股定理得出，然后确定点A的坐标即可． 【详解】解：如图：过点A作于点D， ∵， ∴，轴， ∵， ∴， ∴，即， ∴轴，即点A的纵坐标为7， ∵， ∴点A的横坐标为：， ∴点A的坐标为． 故选：B． 9. 在同一条笔直的道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，下图中的折线表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与乙从B出发后的时间x（小时）之间函数关系的图象，下列说法正确的是（ ） A. 甲的速度为85千米/时 B. 乙的速度为65千米/时 C. 当时，甲乙两车相距42千米 D. 甲车整个行驶过程用时为1.75小时 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知图象分别分析甲、乙两车的速度，进而分析得出答案． 【详解】解：由图象横坐标可得，乙先出发的时间为0.5小时，乙车行驶（100﹣70）km， ∴乙车的速度为：30÷0.5=60（km/h），故B不正确； 由图象可得，A地到B地路程为100千米，乙车到达A地的时间为（小时），故甲车走完全程的时间为1.75-0.5=1.25（小时）；故D不正确． 甲的速度为：100÷1.25＝80（km/h），故A不正确； 当时，乙车走的路程为：1.3×60=78（千米）；甲车走的路程为：（1.3-0.5）×80=64（千米）；78+64-100=42（千米），故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 10. 简单的规则可以涌现出丰富的代数结构．对单项式进行如下操作：规定，计算，称为第一次操作：计算，称为第二次操作；以此类推：①；②；③当时，；④对任意正整数，等式总成立．以上说法正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数字的变化类，找到变化规律和掌握分式的运算是解题的关键． ①根据题中公式求出，再作判断； ②根据的值找到规律，再进行判断； ③把代入，找到规律，再进行计算； ④根据的规律，进行计算判断． 【详解】解：①，，故①是错误的； ②是，， ，， ∴四个为一个循环出现， ∴， ∴，，故②是正确的； ③当时，是，，，，四个为一个循环出现， ， ，故③是错误的； ④∵ ， ， ∴，故④是正确的， 故选：B． 二、填空题（共8小题，每小题4分） 11. 我国已经成功研制出超导量子计算原型机“祖冲之二号”．根据已公开的最优经典算法，在处理“量子随机线路取样”问题时，“祖冲之二号”用时大约为秒，将用科学记数法表示应为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 12. ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了化简绝对值，乘方，零次幂，负整数指数幂，先化简绝对值，零次幂，负整数指数幂以及运算乘方，再运算乘法，然后运算加减，即可作答． 【详解】解： 故答案为： 13. 若点在第一象限，且点到轴的距离与到轴的距离之和为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据在第一象限，得，结合点到轴的距离与到轴的距离之和为，得，解答即可． 本题考查了坐标与象限，距离的意义，绝对值的化简，熟练掌握坐标与象限，绝对值的画家是解题的关键． 【详解】解：∵在第一象限， ∴， ∵点到轴的距离与到轴的距离之和为， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 14. 若，则分式的值为______． 【答案】##0.125 【解析】 【分析】取原式倒数，可得，再取原式的倒数并变形得：，最后代入求值即可． 【详解】解：由得， ∴， 而， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算法则是解答此题的关键． 15. 定义：如果函数图像上的一个点向左平移个单位，再向上平移个单位后仍在这个函数图像上，我们称这个函数是“可回旋”函数，称为这个函数的“可回旋单位”．如果是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的平移，根据过点，利用点的平移规则，求出经过平移后的点的坐标，代入中，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴经过点， 点向左平移个单位，再向上平移个单位后得到， 由题意，也在直线上， ∴， 解得：； 故答案为：． 16. 如图，在中，，，点是边的中点，点、在边、上，若，，则阴影部分面积为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，熟记全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质是解题的关键． 连接，结合等腰直角三角形的性质求出，，根据角的和差求出，利用证明，则，进而求出阴影部分面积，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，，点是边的中点， ，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 阴影部分面积， ，， ∴， 阴影部分面积， 故答案为：1． 17. 若关于的不等式组至少有2个奇数解，且关于的分式方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为_____________． 【答案】9 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有2个奇数解，确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，由x为正整数确定出a的值即可． 【详解】解：不等式组 解得：；即， 由不等式组至少有2个奇数解，即至少9，7两个奇数是不等式组的解，故， 解得：， 分式方程去分母得：，即， 由分式方程有正整数解，得到， 由x为正整数，且，， 解得：或4或6，10， ∵，分式方程：是增根，， 综上所述：或6， ∴， 则符合条件的所有整数a的和为9， 故答案为：9． 18. 如果一个四位数自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字之差是十位数字与个位数字之差的一半，则称这个四位数为“春暖花开数”．例如：四位数2153，，2153是“春暖花开数”；又如四位数3287，，3287不是“春暖花开数”．若是一个“春暖花开数”，记，当s为完全平方数时，则______；此时，记，若为整数，则满足条件的所有M的和为______． 【答案】 ①. 6 ②. 18275 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解及完全平方公式，熟练掌握因式分解及完全平方数是解题的关键；由题意易得，，然后可得的值，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：∵是一个“春暖花开数”， ∴， ∵， ∴， ∵s为完全平方数，且， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ， ∵，且、互不相等， ∴， ∵为整数， ∴，或，， 当，时，解得：，，此时，，，，； 当，时，解得：，，此时，，，； 综上所述，或8593， ∴它们的和为； 故答案为6；18275． 三、解答题（共9小题） 19. 化简或解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算、解分式方程，熟练掌握分式的运算法则和分式方程的解法是解题关键． （1）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得； （2）方程两边同乘以化成一元一次方程，解方程可得的值，然后进行检验即可得． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘以去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验，当时，， 所以是方程的解． 20. 学习了等腰三角形后，小渝进行了拓展性探究．他发现，如果作等腰三角形两底角的平分线且与两腰相交，那么等腰三角形的这两条角平分线的长度相等．其解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作的平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 已知：如图，在中，，平分交于点，平分交于点． 求证：． 证明：在中， ， ① ． 又平分，平分， ， ② ． ． 又 ③ ， ． ． 小渝进一步研究发现，等腰三角形两腰上的高线均有此特征请你依照题意完成下面命题： 等腰三角形两腰上的高线的长度 ④ ． 【答案】作图见解析；①；②；③;④相等 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线定义，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 作平分交与点，根据得到，根据角平分线定义得到，，因此，即可证明，得到，因此等腰三角形两腰上的高线的长度相等． 【详解】解：如图，作平分交于点 在中， ， 又平分，平分， ，， ， 又 ． 小渝进一步研究发现，等腰三角形两腰上的高线均有此特征请你依照题意完成下面命题： 等腰三角形两腰上的高线的长度相等． 故答案为：①；②；③；④相等 ． 21. 先化简，再求值：，然后从，0，1，2中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，时， 【解析】 【分析】先根据分式的运算法则把所给代数式化简，然后从所给数中取一个使分式有意义的数代入计算． 【详解】解：原式 ，且，且 ，且，且 取时，原式 【点睛】本题考查了分式的计算和化简，解决这类题目关键是把握好通分与约分；关键是掌握分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分，同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简． 22. 如图，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿移动到点时停止，设移动的时间为秒，的面积为． （1）求边上的高； （2）求与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）过点作于，根据勾股定理求出，再根据三角形面积解答即可求解； （）分点在上运动和点在上运动两种情况，根据三角形面积公式解答即可； 本题考查了一次函数的几何应用，勾股定理，三角形的面积，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：过点作于， 在中，∵， ， ， ∴， ； 【小问2详解】 解：当点在上运动，即时，， ； 当点在上运动，即时，， ； 综上所述，． 23. “冰墩墩”和“雪容融”作为第24届北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，某文旅店订购“冰墩墩”花费6000元，订购“雪容融”花费3200元，其中“冰墩墩”的订购单价比“雪容融”的订购单价多20元，并且订购“冰墩墩”的数量是“雪容融”的1.25倍． （1）求文旅店订购“冰墩墩”和“雪容融”的数量分别是多少个；（请列分式方程作答） （2）该文旅店以100元和80元的单价销售“冰墩墩”和“雪容融”，在“冰墩墩”售出，“雪容融”售出后，文旅店为了尽快回笼资金，决定对剩余的“冰墩墩”每个打a折销售，对剩余的“雪容融”每个降价2a元销售，很快全部售完，若要保证文旅店总利润不低于6060元，求a的最小值． 【答案】（1）文旅店订购“冰墩墩”的数量为100个，“雪容融”的数量为80个 （2）的最小值为8 【解析】 【分析】（1）设文旅店订购“雪容融”的数量为个，从而可得订购“冰墩墩”的数量为个，再根据两种吉祥物的花费和订购单价建立方程，解方程即可得； （2）先求出文旅店的总收入，再根据“要保证文旅店总利润不低于6060元”建立一元一次不等式，解不等式即可得． 【小问1详解】 解：设文旅店订购“雪容融”的数量为个，则订购“冰墩墩”的数量为个， 由题意得：， 解得，符合题意， 经检验，是所列分式方程的解， 则， 答：文旅店订购“冰墩墩”的数量为100个，“雪容融”的数量为80个； 【小问2详解】 解：由题意得：文旅店销售“冰墩墩”的收入为（元）， 销售“雪容融”的收入为（元）， 则， 解得， 答：的最小值为8． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程和不等式是解题关键． 24. 阅读下面材料，解答后面的问题． 解方程：－＝0. 解：设y＝，则原方程可化为y－＝0，方程两边同时乘y，得y2－4＝0，解得y1＝2，y2＝－2. 经检验，y1＝2，y2＝－2都是方程y－＝0的解． 当y＝2时，＝2，解得x＝－1；当y＝－2时，＝－2，解得x＝. 经检验，x1＝－1，x2＝都是原分式方程的解．所以原分式方程的解为x1＝－1，x2＝. 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： (1)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为________________； (2)若在方程－＝0中，设y＝，则原方程可化为________________； (3)模仿上述换元法解方程：－－1＝0. 【答案】（1）；（2）；（3）x＝－. 【解析】 【分析】（1）将所设的y代入原方程即可； （2）将所设的y代入原方程即可； （3）利用换元法解分式方程，设y＝，将原方程化为y−＝0，求出y的值并检验是否为原方程的解，然后求解x的值即可． 【详解】（1）将y＝代入原方程，则原方程化为−＝0； （2）将y＝代入方程，则原方程可化为y−＝0； （3）原方程可化为－＝0，设y＝，则原方程可化为y－＝0， 方程两边同时乘y，得y2－1＝0，解得y1＝1，y2＝－1， 经检验，y1＝1，y2＝－1都是方程y－＝0的解； 当y＝1时，＝1，该方程无解；当y＝－1时，＝－1，解得x＝－， 经检验，x＝－是原分式方程的解， 所以原分式方程的解为x＝－. 【点睛】本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度． 25. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足． （1）填空：________，________； （2）若在第三象限内有一点，用含的式子表示的面积； （3）在（2）的条件下，线段与轴相交于点，当时，点是轴上的动点，当满足的面积是的面积的5倍时，求点的坐标． 【答案】（1）；3 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质即可求出a、b的值； （2）过点M作轴于点N，可得，再根据三角形的面积，即可求解； （3）先根据（2）的结论，设点P的坐标为，然后根据，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得：； 故答案为：；3 【小问2详解】 解：由（1）得：，， ∴， 如图，过点M作轴于点N， ∵在第三象限内有一点， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当时，， ∵的面积是的面积的5倍 ∴， 设点P的坐标为， ∵点， ∴， ∴， ∴， 解得：或， 即点的坐标或． 【点睛】本题考查了非负数的性质、坐标与图形，正确得出相应点的坐标、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 26. 在中，，点是边上一动点（点不与点、重合），连接． （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，将线段绕点顺时针旋转至位置，连接，过点作的垂线交于点，求证：； （3）如图3，以为直角顶点，在下方作直角，点为的中点，连接，点为的中点，连接，若，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质 （1）过点作，垂足为，勾股定理，分母有理化计算即可． （2）过点作的平行线交于点，分别证明，即可． （3）连接，取其中点G，连接并延长交于点H，利用三角形中位线定理，垂线段最短，斜边最长，勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， 设，则， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：过点作的平行线交于点， ∵， ∴， 同理可得：， 又， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又，∴， 在和中， ∴， ； 【小问3详解】 解：如图，连接，取其中点G，连接并延长交于点H， ∵ 点为的中点， ∴ 是的中位线， ∴， ∵ ， ∴， 过点D作，交的反向延长线于点O， 则四边形是矩形， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 取的中点K，连接， 则是的中位线， ∴， ∵ ， ∴， 连接， ∵ ，， ∴，， ∵ ，， ∴三点共线， ∴， 取的中点P，连接， 则，， ∴， ∴的平行线间的距离为， 根据垂线段最短， 当时，取得最小值，且， 当与点A重合，点Q与点P重合时，取得最大值，且， 故的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $