精品解析：重庆万州区第二高级中学2025-2026学年八年级 下学期第一次学情自测数学试题

2025-2026学年八年级（下）第一次月考数学试题 一．选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列各组的两个二次根式是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 估计的值应在（ ）之间 A. 5和6 B. 6和7 C. 7和8 D. 8和9 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 一个角的补角大于这个角 B. 任何数的绝对值都是正数 C. 两直线平行，同位角相等 D. 是无理数 5. 下列命题的逆命题是假命题的是（　　） A. 两直线平行，同位角相等 B. 平行四边形的对角线互相平分 C. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D. 全等三角形的面积相等 6. 若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ） A B. 且 C. D. 且 7. 一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行到达点C处，然后沿北偏西方向航行到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，在内有一定点P，点M，N分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（　　） A B. 3 C. D. 9. 如图1，E为矩形边上一点，点P从点B沿折线运动到点C时停止，点Q从点B沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是．若P，Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为．已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论正确的是（　　） A. B. 当时，是等腰三角形 C D. 当时， 10. 《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明： 如图，延长交①于点G． 用两种不同的方法表示五边形的面积S： 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则②． 方法二：将五边形看成是由③，正方形，，拼成，根据面积相等可以得到④，进而通过化简验证得出勾股定理． 则下列说法错误的是（　　） A. ①代表 B. ②代表 C. ③代表正方形 D ④代表 二．填空题（每小题3分，满分24分） 11. 如图：分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B、D，依次连接A，B，C，D和．若，，则四边形的面积为______． 12. 若x，y都是实数，且，则y的算术平方根是_______． 13. 如图，正方形边长为，以为圆心，为半径画弧，再以为直径作半圆．那么阴影部分的面积 ______． 14. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径为______． 15. 图中，，则（ ）度． 16. 如图，一个正方体实心木块的棱长为，一只蚂蚁沿表面从点A到点B处吃到食物，那么爬行的最短距离是__________． 17. 把多项式因式分解时，应提取的公因式是_______． 18. 若关于x的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的整数a的值为______． 三．解答题（共8小题，满分66分） 19. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C，D都是格点，N在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示（每个任务限3条线）． （1）在图1中，先以为邻边作平行四边形，再在上画点H，使得； （2）在图2中，交于点P，在上画点Q，使得； （3）在图3中，点D绕A点逆时针，画出点D的对应点． 20. 计算 （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，在一条东西走向马路的一侧有一个小区，马路边有两处公交站，，，为两条到达公交站的人行道，且．现为了便于市民出行，取消点处的公交站，准备新建一个公交站点，并修一条人行道．已知，，．（，，在一条直线上） （1）是否为从小区到马路边的公交站处的最近人行道？请通过计算说明； （2）求原来人行道的长． 23. 已知：如图，在中，点E、F分别在BC、AD上，． 求证： （1）； （2）． 24. 为丰富学生的大课间活动，某中学准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用600元购买足球的数量是用450元购买篮球数量的2倍． （1）足球和篮球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共100个，但要求足球和篮球的总费用不超过8000元，学校最多可以购买多少个篮球？ 25. 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为．当模型中有相等的线段时，则模型中就有可能存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角三角形中，，，过点C作线段，使，，则与的数量关系是______． ②如图2，在等腰直角三角形中，，，过点C作线段，使，过点A作于点D．若，，则的长为______． 【变式运用】 （2）如图3，在中，，，，求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图4，在中，，，，以为边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 26. 在中，，，点是平面内一点（不与点，，重合），连接，，，连接．将沿直线翻折，得到，连接． （1）如图1，当点在的内部，交于点，点是上一点，且，连接． ①求证：； ②若，，求点到直线的距离． （2）如图2，当点在的外部，且时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级（下）第一次月考数学试题 一．选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列各组的两个二次根式是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查同类二次根式的判断．解题的关键在于，需化简为最简二次根式后，检查被开方数是否相同．根据二次根式的化简，化简后再判断出同类二次根式即可． 【详解】选项A：化简 ，化简 ，两式最简形式被开方数均为，为同类二次根式．符合题意； 选项B: 和 ，被开方数分别为 和 ，故不是同类二次根式，不符合题意； 选项 C: 和 ，被开方数分别为和，故不是同类二次根式，不符合题意； 选项D: 和 ，化简后不是二次根式，故不是同类二次根式，不符合题意． 故选A． 2. 剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义逐项分析即可得解，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 3. 估计值应在（ ）之间 A. 5和6 B. 6和7 C. 7和8 D. 8和9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，以及无理数的估算，解决本题的关键是正确化简二次根式． 先将原式化简为，再通过估计的范围确定整体值的区间即可． 【详解】解：∵， 又∵，即， ∴， ∴原式的值在7和8之间． 故选：C． 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 一个角的补角大于这个角 B. 任何数的绝对值都是正数 C. 两直线平行，同位角相等 D. 是无理数 【答案】C 【解析】 【分析】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．A中补角不一定大于原角，如钝角；B中0的绝对值不是正数；C是平行线基本性质，正确；D中是有理数. 【详解】解：A、当角为钝角（如）时，补角（）小于原角，∴A是假命题； B、0的绝对值是0，0不是正数，∴B是假命题； C、两直线平行，同位角相等，是真命题，∴C是真命题； D、，3是有理数，∴D是假命题． 故选：C． 5. 下列命题的逆命题是假命题的是（　　） A. 两直线平行，同位角相等 B. 平行四边形的对角线互相平分 C. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D. 全等三角形的面积相等 【答案】D 【解析】 【分析】将各选项原命题的条件与结论互换得到逆命题，再判断逆命题的真假，即可选出符合要求的选项. 【详解】解：A. 原命题为两直线平行，同位角相等，逆命题为同位角相等，两直线平行，是真命题. B .原命题为平行四边形的对角线互相平分，逆命题为对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题. C .原命题为线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，逆命题为到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题. D .原命题为全等三角形的面积相等，逆命题为面积相等的三角形是全等三角形，该命题是假命题.举例：底为2高为2的三角形与底为1高为4的三角形面积相等，但不全等. ∴逆命题是假命题. 6. 若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式和分式的综合应用，熟练掌握二次根式和分式的意义是解题的关键． 根据二次根式和分式的意义即可得到结果． 【详解】解：由题意可得：， 解之可得：且， 故选：B． 7. 一艘货轮从小岛A正南方向的点B处向西航行到达点C处，然后沿北偏西方向航行到达点D处，此时观测到小岛A在北偏东方向，则小岛A与出发点B之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，方向角，矩形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的知识是解答本题的关键． 过点作于点，过点作于点，得到四边形是矩形，，，在中，求出，，再根据锐角三角函数定义得到，由此得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ， 四边形是矩形， ，， 由题意得：， ∴，， ， 由题意得，， ， ∴． 故选：C． 8. 已知，在内有一定点P，点M，N分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（　　） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出符合条件的图形，求出，得出等边三角形，求出，求出的周长，即可求出答案． 【详解】解：作P关于的对称点D，作P关于的对称点E，连接交于M，交于N，连接，则此时的周长最小， 连接， ∵P、D关于对称， ∴， 同理， ∴， ∵P、D关于对称， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵的周长是， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的判定与性质，关键是画出符合条件的图形． 9. 如图1，E为矩形边上一点，点P从点B沿折线运动到点C时停止，点Q从点B沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是．若P，Q同时开始运动，设运动时间为，的面积为．已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论正确的是（　　） A. B. 当时，是等腰三角形 C. D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象的意义，当时，，当时，y是定值，故Q运动停止了，故，继而得到，过点P作于点H，连接，求得三边长，得到，然后过点P作于点G，根据题意，得，，解答即可． 【详解】解：点P从点B沿折线运动到点C时停止，点Q从点B沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是． 故， 根据题意，得当时，， 当时，y是定值， 故Q运动停止了， 故， 根据题意，得即， 解得， ∵矩形， ∴，，， ∴，， 故A错误； 当时，， 故，， 如图所示，过点P作于点H，连接, 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴不是等腰三角形； 故B错误； ∵矩形， ∴， ∴， ∴， 故C正确； 如图所示，过点P作于点G， 根据题意，得， 故， 故D错误． 10. 《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明： 如图，延长交①于点G． 用两种不同的方法表示五边形的面积S： 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则②． 方法二：将五边形看成是由③，正方形，，拼成，根据面积相等可以得到④，进而通过化简验证得出勾股定理． 则下列说法错误的是（　　） A. ①代表 B. ②代表 C. ③代表正方形 D. ④代表 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，根据题意用两种方法表示出S，然后根据两种表示方法表示的S相等，即可得到结论． 【详解】解：如图所示，延长交于G， 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则； 方法二：将五边形看成是由正方形，正方形，，拼成，则 ， 根据面积相等可以得到，即，故C选项错误，符合题意． 故选：C． 二．填空题（每小题3分，满分24分） 11. 如图：分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B、D，依次连接A，B，C，D和．若，，则四边形的面积为______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质，勾股定理，由题意可知，则四边形为菱形，根据菱形的性质与勾股定理可求得，由此即可求得四边形的面积． 【详解】解：由题意得：， 四边形为菱形， ， 又，， ， ， ， 四边形面积为：． 故答案为：24． 12. 若x，y都是实数，且，则y的算术平方根是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，再代入原式求出y的值，最后计算y的算术平方根即可得到结果． 【详解】解：根据二次根式的定义 可得 ， 将代入，得， 的算术平方根为． 13. 如图，正方形边长为，以为圆心，为半径画弧，再以为直径作半圆．那么阴影部分的面积 ______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了求不规则图形的面积，扇形面积公式，正方形的性质，根据即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 14. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径为______． 【答案】 【解析】 【分析】将容器侧面展开，作出关于的对称点，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度； 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处， ∴（），（）， 在中，（）． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键 15. 图中，，则（ ）度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、平角的含义．根据，，可得，，由三角形的内角和是180度得，，两式相加，再结合角度的等量代换可得，最后根据平角是180°可得，列式计算即可求解． 【详解】解：如图所示，因为，所以， 因为，所以， 在三角形中，，所以， 因为三角形的内角和是180度，所以得出： ，即， ，即， 由得：，即， 所以得出：， 所以． 故答案为：． 16. 如图，一个正方体实心木块的棱长为，一只蚂蚁沿表面从点A到点B处吃到食物，那么爬行的最短距离是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用中的最短路径问题，熟知将空间图形展开，两点之间的连线即为最短路径是解答的关键，还考查了学生的空间想象能力数学知识的运用能力．展开后，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】解：展开图如图，根据题意，最短距离为的长， 在中，，，， 根据勾股定理得：， 即蚂蚁爬行的最短距离是， 故答案为：． 17. 把多项式因式分解时，应提取的公因式是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查公因式的确定方法，根据公因式确定的方法：“①系数：取各项系数的最大公约数；②字母：取各项都含有的相同的字母；③指数：取各项相同字母的最低次幂”进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 18. 若关于x的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的整数a的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和分式方程，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤．先解含有字母参数的不等式组，再根据不等式组无解，列出关于a的不等式，求出a的取值范围，再解分式方程，求出y，根据分式方程有非负整数解，列出关于a的方程，求出a，最后再根据分式的分母不为0，求出a即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∵关于x的一元一次不等式组无解， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵关于y的分式方程有非负整数解， ∴， ∴或3或9， 解得：或1或7， ∵，即， ∴， 解得：， ∴符合条件的整数a的值为：1， 故答案：1． 三．解答题（共8小题，满分66分） 19. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C，D都是格点，N在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示（每个任务限3条线）． （1）在图1中，先以为邻边作平行四边形，再在上画点H，使得； （2）在图2中，交于点P，在上画点Q，使得； （3）在图3中，点D绕A点逆时针，画出点D的对应点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质， 对于（1），根据平行四边形的判定画出图形，连接，交于点，连接，延长交一点，点即为所求.先证明，推出，可得； 对于（2），根据旋转的性质作，相交于点H，连接，交于点Q.根据旋转可知，可得； 对于（3），连接，可知，令交于点，连接，则点即为所求作，且.根据已作可知是的垂直平分线，可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示． 点H即为所求作，且． 【小问2详解】 如图所示． 点Q即为所求作，． 【小问3详解】 如图所示． 点即为所求作的点，且． 20. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，二次根式的意义，绝对值的意义，零次幂，正确利用上述法则与性质解答是解题的关键． （1）根据绝对值的意义化简，再合并即可； （2）利用二次根式的意义和零次幂化简运算即可； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 21 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，先因式分解和计算括号，再算分式除法，然后约分化简，最后把代入求值即可，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 22. 如图，在一条东西走向马路的一侧有一个小区，马路边有两处公交站，，，为两条到达公交站的人行道，且．现为了便于市民出行，取消点处的公交站，准备新建一个公交站点，并修一条人行道．已知，，．（，，在一条直线上） （1）是否为从小区到马路边的公交站处的最近人行道？请通过计算说明； （2）求原来的人行道的长． 【答案】（1）是，见解析 （2）原来的人行道的长为千米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，垂线段最短，掌握以上知识点是解题的关键． （1）由可得是直角三角形，，即得，再根据垂线段最短即可说明； （2）设千米，则千米，在中利用勾股定理解答即可求解； 【小问1详解】 解：是，理由如下： 在中，∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴是为从小区到马路边的公交站处的最近人行道； 【小问2详解】 解：设千米，则千米， 在中，， ∴， 解得， ∴千米， 答：原来的人行道的长为千米． 23. 已知：如图，在中，点E、F分别在BC、AD上，． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质得出，利用平行线的性质得出，进而得出，然后利用平行线的判定即可得证； （2）利用平行四边形的性质得出，然后利用证明即可． 【小问1详解】 证明： 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：四边形ABCD是平行四边形， ， 又， ． 24. 为丰富学生的大课间活动，某中学准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用600元购买足球的数量是用450元购买篮球数量的2倍． （1）足球和篮球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共100个，但要求足球和篮球的总费用不超过8000元，学校最多可以购买多少个篮球？ 【答案】（1）足球的单价为元，篮球的单价为元； （2）学校最多可购买66个篮球 【解析】 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用． （1）设足球的单价为元，根据篮球的单价比足球的单价的2倍少30元，用600元购买足球的数量是用450元购买篮球数量的2倍，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买篮球个，根据总费用不超过8000元，列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：设足球的单价为元，则篮球的单价为：元，由题意，得： ， 解得：； 经检验，是原方程的解， ∴， 答：足球的单价为元，篮球的单价为元； 【小问2详解】 设购买篮球个，则购买足球个，由题意，得： ， 解得：， ∵为整数， ∴的最大值为66； 答：学校最多可购买66个篮球． 25. 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为．当模型中有相等的线段时，则模型中就有可能存在全等三角形． （1）①如图1，在等腰直角三角形中，，，过点C作线段，使，，则与的数量关系是______． ②如图2，在等腰直角三角形中，，，过点C作线段，使，过点A作于点D．若，，则的长为______． 【变式运用】 （2）如图3，在中，，，，求的面积． 【拓展迁移】 （3）如图4，在中，，，，以为边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）9或12或24 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、一线三垂直”模型等知识，证明三角形全等是解题的关键． （1）证，再由证即可；证，得，，即可解决问题； （2）过点作，垂足为，结合（1）的结果可进行计算； （3）首先求得，分三种情况讨论：当时，过点作，交的延长线于点，当时，过点分别作，的垂线，垂足分别为点，，当时，过点作的垂线，交的延长线于点，过点作的垂线，交的延长线于点，分别通过证明三角形全等得到的长度，然后利用三角形面积计算公式解答即可． 【详解】解：①，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ； ②，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：；； （2）过点作，垂足为，如图3， ，， 由（1）知，， ； （3）过点作于点，则，， ， 分三种情况： ①如图4，当时，过点作，交的延长线于点， ，，， ， ， ； ②如图5，当时，过点分别作，垂线，垂足分别为点，， 同①：， ， ， ； ③如图6，当时，过点作的垂线，交的延长线于点，过点作的垂线，交的延长线于点， 同①：， ，，设，则， ，， ， ， ， 故的面积为9或12或24． 26. 在中，，，点是平面内一点（不与点，，重合），连接，，，连接．将沿直线翻折，得到，连接． （1）如图1，当点在的内部，交于点，点是上一点，且，连接． ①求证：； ②若，，求点到直线的距离． （2）如图2，当点在的外部，且时，求的值． 【答案】（1）①见解析② （2）1 【解析】 【分析】（1）①根据折叠的性质得到，，求得，根据全等三角形的判定定理得到结论； ②根据全等三角形的性质得到，，，求得，即，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，根据勾股定理得到，设点到直线的距离为，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，，，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【小问1详解】 ①证明：由翻折可得，，， ， ， ， ，，， ； ②解：， ，，， ， 即， 由勾股定理得：， 由翻折可知，， ，， 由勾股定理得，， 设点到直线的距离为， ， 即， 解得， 点到直线的距离为； 【小问2详解】 解：，， ， ，将沿直线翻折，得到， ，，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 或（不合题意舍去）， ． 第1页/共1页 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