精品解析：上海市西南位育中学2024—2025学年下学期3月月考九年级数学试卷

初三下数学练习2 一、选择题（本共6题，每题4分，共24分） 1. 下列实数中，有理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】有理数分为整数和分数，根据有理数的定义判断． 【详解】根据有理数的定义：有理数分为整数和分数 是分数，满足条件 故答案选：C 【点睛】本题考查有理数的定义，掌握有理数分为整数和分数是解题关键． 2. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法，幂的乘方，合并同类项，根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项的运算法则计算判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、，原计算错误，不符合题意， 故选：C． 3. 若直线经过第一、二、四象限，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定a，b的取值范围，从而求解． 【详解】已知直线经过第一、二、四象限，则得到a＜0，b＞0， 那么直线经过第一、三、四象限，即不经过第二象限． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交． 4. 在△ABC中，若∠A，∠B满足 ＋＝0，则△ABC是(　　) A. 等腰非等边三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据隐藏条件直接计算，可得出答案. 【详解】因为∠A，∠B满足│sinA－│+（cosB－）2=0，而│sinA－│0， （cosB－）20，则sinA= ，cosB= ，所以∠A=60°，∠B=60°，则三角形ABC 为等边三角形. 【点睛】本题主要考查了学生的三角函数知识和绝对值，掌握三角函数和寻找题目隐藏的条件是解决此题的关键. 5. 如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD AB于E，则下列结论中不一定成立的是( ) A. COE=DOE B. CE=DE C. OE=BE D. BD=BC 【答案】C 【解析】 【分析】垂径定理：垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.根据定理可得：∠COE=∠DOE，DE=DE，根据圆周角定理可得：BD=BC. 【详解】由垂径定理可知B、D均成立；由圆心角、弧之间的关系可得A也成立． 不一定成立的是OE=BE． 故选C． 【点睛】本题考查了垂径定理和圆心角、弧之间的关系．是需要熟记的内容． 6. 小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所示，若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是（ ） A. 37.2分钟 B. 48分钟 C. 30分钟 D. 33分钟 【答案】A 【解析】 【详解】由图可得，去校时，上坡路的距离为36百米，所用时间为18分， ∴上坡速度=36÷18=2（百米/分）， 下坡路的距离是96-36=60百米，所用时间为30-18=12（分）， ∴下坡速度=60÷12=5（百米/分）； ∵去学校时的上坡回家时变为下坡、去学校时的下坡回家时变为上坡， ∴小亮从学校骑车回家用的时间是：60÷2+36÷5=30+7.2=37.2（分钟）． 故选A． 二、填空题（本题共12题，每题4分，共48分） 7. 9平方根是_________． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵（±3）2=9， ∴9的平方根是±3． 故答案为±3． 【点睛】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 8. 已知，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根非负性即解一元一次不等式组，根据算术平方根的非负性得出，求出，再由，，即可解答． 【详解】解：根据题意：， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9. 因式分解：____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用提公因式、平方差公式进行因式分解，重要考点，掌握相关知识是解题关键．先提公因式，再利用平方差公式解题即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 10. 如果两地相距，那么在的地图上它们相距____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例尺，根据图上距离实际距离比例尺，求出结果即可． 【详解】解：根据比例尺，可得图上距离． 故答案为：． 11. 已知点在线段上，且，若，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及解一元二次方程，熟记解一元二次方程的方法是解题的关键．根据题意画出图形，设，则，根据列方程求解然后列方程求解即可． 【详解】解：如图所示，         设，则 ∵点P在线段上，且，即， ∴，即， 解得或（舍去） ∴ 故答案为：． 12. 如果将抛物线向下平移个单位后，恰好经过点，那么的值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据平移，求得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变，所给坐标可得a的值． 【详解】解：原抛物线的顶点为（0，8），向下平移a个单位后，那么新抛物线的顶点为（0，8-a）； 可设新抛物线的解析式为，把代入得：a=2． 故答案为：2． 【点睛】抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标． 13. 如果函数的图象经过点和，那么的值随的增大而____．（填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式及一次函数的性质，熟练掌握待定系数法以及一次函数的增减性与比例系数之间的关系是解题的关键 ．先求出一次函数的解析式，再根据k的值判断即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴， ∴， ∵ ∴的值随的增大而增大， 故答案为：增大． 14. 如图，已知正六边形的边心距为3，则它的周长是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，作于，由正六边形的性质得出，，得出为等边三角形，，由三角函数求出，得出，即可求出正六边形的周长． 【详解】解：如图所示： 连接、，作于， 则，，， ∴为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正六边形的周长 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、三角函数等知识；熟练掌握正六边形的性质，运用三角函数求出是解决问题的关键． 15. 如图，点是的重心，四边形与面积的比值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键．连接，根据三角形中位线定理以及中线的性质可得，，，从而得到，进而得到，继而得到，，可得，再由，即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点G是的重心， ∴点D，E分别为的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即四边形与面积的比值是． 故答案为：． 16. 如图，△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所截得弦长相等，则∠BOC=__． 【答案】125° 【解析】 【分析】先利用 O截△ABC的三条边所得的弦长相等，得出即O是△ABC的内心，从而，∠1=∠2，∠3=∠4，进一步求出∠BOC的度数． 【详解】 ∵△ABC中∠A=70°，O截△ABC的三条边所得的弦长相等， ∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心， ∴∠1=∠2,∠3=∠4,∠1+∠3= (180°−∠A)= (180°−70°)=55°； ∴∠BOC=180°−(∠1+∠3)=180°−55°=125°. 故答案为125°. 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握圆的相关知识与应用. 17. 如图，中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于_________________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．先根据平行线的性质得，再根据旋转的性质得，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，即可得的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点A旋转到的位置， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，已知中，，，将绕点旋转至，如果直线，垂足记为点，那么的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正弦函数，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．设，则，，分两种情况讨论，画出图形，利用相似三角形的判定和性质，列式计算即可求解． 【详解】解：∵中，，， ∴， 设，则，， ∵将绕点旋转至， ∴，则，，，， 如图，，，， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴； 如图，，，， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 三、解答题（本题共7题，满分78分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，牢记特殊角是三角函数值是解题的关键．先化简二次根式，开立方，代入特殊角的三角函数值，乘方，再计算负整数幂，二次根式的乘法，最后加减即可求解． 【详解】解：原式 ． 20. 如图，在中，点、、分别在边、、上，，，. （1）当时，求的长； （2）设，，那么__________，__________（用向量，表示） 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理求解即可． （2）利用三角形法则求解即可． 【详解】（1）∵DE∥BC，EF∥AB， ∴四边形DEFB是平行四边形， ∴DE=BF=5， ∵AD：AB=DE：BC=1：3， ∴BC=15， ∴CF=BC-BF=15-5=10． （2）∵AD：AB=1：3， ∴ ， ∵EF=BD，EF∥BD， ∴ ， ∵CF=2DE， ∴ ， ∴ . 【点睛】此题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21. 已知：反比例函数图象过和．过作轴垂线垂足为，过作轴垂线，垂足为，连结、、、． （1）求证： （2）当时，求直线的解析式． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出的值，根据反比例函数上的点的特点，得到之间的关系，依题意可证，，得到，证明，得到，进而得到； （2）由于，当时，有两种情况：①当时，四边形是平行四边形，由（1）得，点B的坐标是，设直线的函数解析式为，用待定系数法可以求出解析式；②当与所在直线不平行时，四边形是等腰梯形，则，可求点B的坐标是，设直线的函数解析式，用待定系数法可以求出解析式即可． 【小问1详解】 证明：∵函数（，是常数）的图象经过， ∴． ∴ ， 设交于点E， 由题意，可得：B点的坐标为，D点的坐标为，E点的坐标为， ∵， ∴，； 据题意，点C的坐标为，， ∵， ∴，， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 小问2详解】 解：∵， ∴当时，有两种情况： ①当时，四边形是平行四边形， ∴， 由（1）得，，， ∴， ∴，得． ∴点B的坐标是． 设直线的函数解析式为，把点A，B的坐标代入， 得 ， 解得． 故直线的函数解析式是． ②当与所在直线不平行时，四边形是等腰梯形，则， ∴， ∴点B的坐标是． 设直线的函数解析式为，把点A，B的坐标代入， 得 ， 解得 ， 故直线的函数解析式是． 综上所述，直线的函数解析式是或． 【点睛】此题考查反比例函数综合题，待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，平行四边形和等腰梯形的性质等知识，利用数形结合，分类讨论的思想求解，是解题的关键． 22. 在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护草坪．某公司准备在一块边长为的正方形草坪（图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案． 说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面，喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积． 这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题． （1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率__________． （2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为的自动喷洒装置……以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置，与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由． （3）如图6，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率． 已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值． 【答案】（1） （2）不能，理由见解析 （3）．取得最小值 【解析】 【分析】（1）根据定义，分别计算圆的面积与正方形的面积，即可求解； （2）根据（1）的方法求得喷洒覆盖率即可求解； （3）根据勾股定理求得的关系，进而根据圆的面积公式得出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：（1）当喷洒半径为时，喷洒的圆面积． 正方形草坪的面积． 故喷洒覆盖率． 【小问2详解】 解：对于任意的，喷洒面积，而草坪面积始终为． 因此，无论取何值，喷洒覆盖率始终为． 这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用． 【小问3详解】 如图所示，连接， 要使喷洒覆盖率，即要求，其中为草坪面积，为喷洒面积． ∴都经过正方形的中心点， 在中，，， ∵ ∴， 在中， ∴ ∴ ∴当时，取得最小值，此时 解得：． 【点睛】本题考查了正方形与圆，二次函数的应用，解决此类问题的关键在于将实际问题转化为数学问题，即如何将喷洒覆盖率的计算问题转化为面积计算和函数求解问题．同时，在解决具体问题时，需要灵活运用已知的数学知识，如圆的面积公式，正方形面积公式，以及函数解析式求解等．最后，还需要注意将数学计算结果还原为实际问题的解决方案． 23. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC、DB交于点E，点F在BC的延长线上，连接EF、DF，且∠DEF=∠ADC． （1）求证：； （2）如果，求证：平行四边形ABCD是矩形． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【解析】 【详解】试题分析：由∠BAD+∠ADC=180°，∠BEF+∠DEF=180°，∠DEF=∠ADC即可得∠BAD=∠BEF，再由∠EBF=∠ADB，根据两角对应相等的两个三角形相似，即可判定△ADB∽△EBF，根据相似三角形对应边的比相等即可证得结论；（2）由△ADB∽△EBF，根据相似三角形的性质可得，在平行四边形ABCD中，根据平行四边形的性质可得BE=ED= BD，即可得AD·BF=BD·BE=，即；因为，可得BF=DF，又因BE=DE，根据等腰三角形三线合一的性质可得FE⊥BD即∠DEF=90°，所以∠ADC=∠DEF=90°，根据有一个角为直角的平行四边形为矩形即可判定平行四边形ABCD是矩形. 试题解析： 证明：（1）∵平行四边形ABCD， ∴AD//BC，AB//DC, ∴∠BAD+∠ADC=180°， 又∵∠BEF+∠DEF=180°， ∴∠BAD+∠ADC=∠BEF+∠DEF， ∵∠DEF=∠ADC， ∴∠BAD=∠BEF， ∵AB//DC， ∴∠EBF=∠ADB， ∴△ADB∽△EBF， ∴； （2）∵△ADB∽△EBF， ∴， 在平行四边形ABCD中，BE=ED= ， ∴， ∴， 又∵， ∴，△DBF是等腰三角形， ∵， ∴FE⊥BD，即∠DEF=90°， ∴∠ADC=∠DEF=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形. 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为P，抛物线与y轴交于点A． （1）如果点A的坐标为，点在抛物线上，连接． ①求顶点P和点B的坐标； ②过抛物线上点D作轴，垂足为M，交线段于点E，如果，求点D的坐标； （2）连接，如果与x轴负半轴的夹角等于与的和，求k的值． 【答案】（1）①顶点；点；②点； （2）． 【解析】 【分析】（1）①把代入求出解析式，化为一般式，即可求出顶点坐标；把B（3，m）代入求出m的值即可得点B坐标；②先求出的解析式，根据，列出等式即可求点D的坐标． （2）过点P分别作轴，轴，垂足为Q、N，构建直角三角形，从而得到，，即可建立等式求出k的值． 【小问1详解】 解：如图1，① 把代入， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为 ∴顶点 把代入，得， ∴点， ②∵， 可得直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴， 解得 ∴点． 【小问2详解】 解：如图2，过点P分别作轴，轴，垂足为Q、N， 由题意可得，点， ∵， ∴， 由题意可得， ∵， ∴，即， ∴，解得， ∵， ∴ 【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数、角的和差等综合内容，准确理解题干信息并正确作图是解题的关键． 25. 已知：的半径，弦，是弦的中点，点是射线上一点（与点不重合），直线与射线交于点． （1）当点在上，求的长． （2）若点在的延长线上，设，，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）连接，若与相似，求此时的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据重心的性质即可求解； （2）过点O作，交于点E ，证明，推出，根据，推出，即可解答； （3）分点P在延长线上，点P在上，两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：当P在上时，连接 ， ∵ C是中点，O是中点， ∴ 点D为的重心，  ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：过点O作，交于点E ， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 解：如图，当点P在延长线上时， ∵， ∴， ∵ C是中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； ∴ 如图，当点P在上时，过点B作于点H， ∵， ∴ ∴， ∵ C是中点，过圆心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴， ∴； 综上所述，若与相似，的长为或． 【点睛】本题是圆的综合题型，主要考查了三角形的重心性质，相似三角形的判定与性质，熟记三角形的重心到顶点的距离等于对边中点的距离的2倍，作辅助线构造相似三角形，是解题的关键，难点在于要分情况讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三下数学练习2 一、选择题（本共6题，每题4分，共24分） 1. 下列实数中，有理数（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若直线经过第一、二、四象限，则直线不经过（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 在△ABC中，若∠A，∠B满足 ＋＝0，则△ABC是(　　) A. 等腰非等边三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 5. 如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD AB于E，则下列结论中不一定成立的是( ) A. COE=DOE B. CE=DE C. OE=BE D. BD=BC 6. 小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所示，若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是（ ） A. 37.2分钟 B. 48分钟 C. 30分钟 D. 33分钟 二、填空题（本题共12题，每题4分，共48分） 7. 9的平方根是_________． 8. 已知，则____． 9. 因式分解：____． 10. 如果两地相距，那么在的地图上它们相距____． 11. 已知点在线段上，且，若，则_________． 12. 如果将抛物线向下平移个单位后，恰好经过点，那么的值为___________. 13. 如果函数的图象经过点和，那么的值随的增大而____．（填“增大”或“减小”） 14. 如图，已知正六边形的边心距为3，则它的周长是________． 15. 如图，点是的重心，四边形与面积的比值是______． 16. 如图，△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所截得弦长相等，则∠BOC=__． 17. 如图，中，，在同一平面内，将绕点A旋转到位置，使得，则等于_________________． 18. 如图，已知中，，，将绕点旋转至，如果直线，垂足记为点，那么的值为______． 三、解答题（本题共7题，满分78分） 19. 计算： 20. 如图，在中，点、、分别在边、、上，，，. （1）当时，求的长； （2）设，，那么__________，__________（用向量，表示） 21. 已知：反比例函数图象过和．过作轴垂线垂足为，过作轴垂线，垂足为，连结、、、． （1）求证： （2）当时，求直线的解析式． 22. 在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护草坪．某公司准备在一块边长为的正方形草坪（图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案． 说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面，喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积． 这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题． （1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率__________． （2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为的自动喷洒装置……以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置，与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由． （3）如图6，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率． 已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值． 23. 已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC、DB交于点E，点F在BC的延长线上，连接EF、DF，且∠DEF=∠ADC． （1）求证：； （2）如果，求证：平行四边形ABCD是矩形． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线顶点为P，抛物线与y轴交于点A． （1）如果点A的坐标为，点在抛物线上，连接． ①求顶点P和点B的坐标； ②过抛物线上点D作轴，垂足为M，交线段于点E，如果，求点D的坐标； （2）连接，如果与x轴负半轴的夹角等于与的和，求k的值． 25. 已知：的半径，弦，是弦的中点，点是射线上一点（与点不重合），直线与射线交于点． （1）当点在上，求的长． （2）若点在的延长线上，设，，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）连接，若与相似，求此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $