精品解析：福建省长乐第二中学2024-2025学年高一下学期3月适应性训练数学试题

2024-2025学年第二学期高一3月适应性训练试题数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则.其中正确的说法有（ ）个. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据零向量定义、向量模长、平行的定义等知识依次判断各个选项即可. 【详解】对于①，模长为零的向量为零向量，①正确； 对于②，的模长相同，但方向不确定，未必同向或反向，②错误； 对于③，若，则同向或反向，但模长未必相同，③错误； 对于④，当时，，成立，但此时未必平行，④错误. 故选：A. 2. 在中，为边上的中线，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形的几何性质，以及向量加减法、数乘运算的几何意义，即可得出答案. 【详解】 因为，所以 由已知可得，， 所以，， 所以，. 故选：A. 3. 已知，则等于（　　） A. 10 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的数量积的坐标运算公式，准确计算即可求解. 【详解】由向量，可得， 所以. 故选：B 4. 已知，是夹角为60°的两个单位向量，设向量，，则与夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算出，，，计算出，得到答案. 【详解】 ， 其中，故， ，故， 所以， 所以与夹角为. 故选：C 5. 已知与为非零向量，，若三点共线，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据三点共线可得向量共线，由此结合向量的相等列式求解，即得答案. 【详解】由题意知，三点共线，故, 且共线， 故不妨设，则， 所以，解得， 故选：D 6. 在中，其内角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理化角为边得，即可判断三角形形状. 【详解】因为，所以由余弦定理得， 所以，所以，所以为等腰三角形. 故选：A. 7. 如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南．天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得AB＝60米，BC＝60米，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD大约为(结果精确到1米)(参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236，≈2.646)（ ） A. 53米 B. 55米 C. 57米 D. 60米 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，连接，判断为等边三角形，再利用余弦定理求解作答. 【详解】如图，连接， 在中，，则是等边三角形，， 由，得，而，中，由余弦定理得： （米）. 故选：A 8. 如图，在平面四边形ABCD中，．若点E为边CD上的动点（不与C、D重合），则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出相关点坐标，求得的坐标，根据数量积的坐标表示，结合二次函数知识，即可求得答案. 【详解】由于， 如图，以D为坐标原点，以为轴建立直角坐标系， 连接,由于，则≌, 而，故，则， 则， 设，则，， 故， 当时，有最小值， 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面向量，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.由共线向量定理求解判断；B.利用向量的数量积运算求解判断；C.利用向量的模公式求解判断；D.由向量的夹角公式求解判断. 【详解】A.若，则，解得，故正确； B.若，则，解得，故正确； C.若，或，故错误； D.若，则，解得，故正确， 故选：ABD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 向量在向量上的投影向量可表示为 B. 若，则与的夹角的范围是 C. 若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，的夹角为 D. 若非零向量满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据投影向量公式求解即可；对B，根据数量积公式判断即可；对C，由向量夹角的定义判断即可；对D，根据数量积公式判断即可. 【详解】对A，根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量可表示为，故A正确； 对B，根据，可知，，所以与的夹角的范围是，故B正确； 对C，由向量夹角的定义可知，，的夹角为，故C错误； 对D，若非零向量满足，则，则，故D正确. 故选：ABD 11. 的内角的对边分别为，则下列说法不正确的是（   ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则符合条件的有两个 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A和B根据选项的条件，利用正、余弦定理逐一分析判断即可得出结果；对于选项C，利用辅角公式，得出，从而得出或，即可求解；对于选项D，根据条件，利用判断三角形解的个数的方法即可求解. 【详解】对于选项A，因为，则有，由正弦定理得， 得到，所以， 得到，所以选项A正确； 对于选项B，，由正弦定理得，即， 又因为，所以，即为锐角，但判断不的范围，所以选项B错误； 对于选项C，由，得到， 则有，得到或，所以选项C错误； 对于选项D，因，所以，又，所以符合条件的只有1个，所以选项D错误， 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点，，则与向量同方向的单位向量为________． 【答案】 【解析】 【分析】由单位向量的定义、向量坐标的线性运算以及向量模的坐标公式即可求解. 【详解】由题意，所以， 从而与向量同方向的单位向量为. 故答案为： 13. 已知的面积为，，则=____． 【答案】 【解析】 【分析】利用面积公式求得a的值，利用余弦定理求得b的值，进而利用正弦定理得到角的正弦的比值等于对应变得比值，从而求得答案. 【详解】, ，解得, 所以， ∴, ∴, 故答案为：. 【点睛】本题考查正余弦定理和三角形的面积公式的综合应用，关键在于正弦定理进行边角转化. 14. 在中，为边上一点，，，，若使的个数有且仅有两个，则线段长度的范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理求得的长度，进而求得到的距离为,数形结合可得的取值范围. 【详解】由余弦定理可知：， 又，，，代入整理得：, 即，∵，∴， ∴到的距离为， 要使个数有且仅有两个，如图所示 ∴. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量与的夹角为，且，. （1）求； （2）若与垂直，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化为平面向量的数量积可求出结果； （2）根据可求出结果. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为与垂直，所以， 所以， 所以，得. 16. 已知向量是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求向量的坐标； （2）若是单位向量，且，求与的夹角； （3）在（2）问的条件下求在上的投影向量的坐标. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，由，且，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）由，求得，利用向量的夹角公式，求得，即可求解； （3）由（2），结合投影向量的概念计算即可求解. 【小问1详解】 设，因为，且， 可得，解得或， 所以或. 【小问2详解】 因为，且为单位向量，可得，， 又因为，可得，所以， 则， 因为，所以. 【小问3详解】 设，由（2）可得 解得或，即或， 所以在上的投影向量为， 所以在上的投影向量坐标为或. 17. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，将边化为角，根据三角函数值，即可求解； （2）根据（1）的结果，写出余弦定理，再结合基本不等式和三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理，得， 又，所以， 即. 又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，得， 所以. 由基本不等式知， 于是. 当且仅当时等号成立. 所以的面积， 当且仅当时，面积取得最大值. 18. 在海岸A处，发现北偏东方向，距离A为海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西方向，距离A为2海里的C处有一艘缉私艇奉命以海里/分钟的速度追截走私船，此时，走私船正以1海里/分钟的速度从B处向北偏东方向逃窜． （1）问C船与B船相距多少海里？C船在B船的什么方向？ （2）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间． 【答案】（1），正西方向；（2）东偏北，分钟． 【解析】 【分析】（1）在中根据余弦定理计算，再利用正弦定理计算即可得出方位； （2）中，利用正弦定理计算，再计算得出追击时间． 【详解】解：（1）由题意可知，，， 在中，由余弦定理得：， ， 由正弦定理得：， 即， 解得：， ， 船在船的正西方向． （2）由（1）知，， 设分钟后缉私艇在处追上走私船， 则，， 在中，由正弦定理得：， 解得：， ， 是等腰三角形， 缉私艇沿东偏北方向行驶分钟才能最快追上走私船． 【点睛】解三角形应用题的一般步骤： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 19. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，_________． ①；②；③． 请在以上三个条件中任选一个补充在横线处，并解答． （1）求C的值； （2）若，M是AB的中点，，求的值； （3）若的面积等于，求的周长的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）选①，利用正弦定理进行边化角，化简整理；选②，利用余弦定理进行边化角，化简整理；选③，利用二倍角的余弦公式，化简计算. （2）利用余弦定理中线的向量表示，再利用数量积的运算律计算即得. （3）利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理、基本不等式求出周长最小值. 【小问1详解】 选①，由及正弦定理，得， 在中，，则，又， 所以． 选②，由及余弦定理，得， 则，又， 所以． 选③，由，得， 即，而，解得，又， 所以． 小问2详解】 由（1）及余弦定理，得， 由M是AB的中点，得，则， 即，解得， 所以. 【小问3详解】 由（1）及三角形面积公式，得，解得， 由余弦定理，得， 的周长，当且仅当时取等号， 所以周长的最小值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期高一3月适应性训练试题数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上. 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 给出下列四个说法：①若，则；②若，则或；③若，则；④若，，则.其中正确的说法有（ ）个. A. B. C. D. 2. 在中，为边上的中线，，则（ ） A. B. C. D. 3 已知，则等于（　　） A. 10 B. C. 3 D. 4. 已知，是夹角为60°的两个单位向量，设向量，，则与夹角为（ ） A B. C. D. 5. 已知与为非零向量，，若三点共线，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 在中，其内角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 7. 如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南．天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得AB＝60米，BC＝60米，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD大约为(结果精确到1米)(参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236，≈2.646)（ ） A. 53米 B. 55米 C. 57米 D. 60米 8. 如图，在平面四边形ABCD中，．若点E为边CD上的动点（不与C、D重合），则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面向量，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法正确是（ ） A. 向量在向量上的投影向量可表示为 B. 若，则与夹角的范围是 C. 若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，的夹角为 D. 若非零向量满足，则 11. 的内角的对边分别为，则下列说法不正确的是（   ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则符合条件的有两个 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知点，，则与向量同方向的单位向量为________． 13. 已知的面积为，，则=____． 14. 在中，为边上一点，，，，若使的个数有且仅有两个，则线段长度的范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量与的夹角为，且，. （1）求； （2）若与垂直，求的值. 16. 已知向量是同一平面内的三个向量，其中． （1）若，且，求向量的坐标； （2）若是单位向量，且，求与的夹角； （3）在（2）问的条件下求在上的投影向量的坐标. 17. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）若，求面积的最大值. 18. 在海岸A处，发现北偏东方向，距离A为海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西方向，距离A为2海里的C处有一艘缉私艇奉命以海里/分钟的速度追截走私船，此时，走私船正以1海里/分钟的速度从B处向北偏东方向逃窜． （1）问C船与B船相距多少海里？C船在B船的什么方向？ （2）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间． 19. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，_________． ①；②；③． 请在以上三个条件中任选一个补充在横线处，并解答． （1）求C的值； （2）若，M是AB的中点，，求的值； （3）若面积等于，求的周长的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$