黄金卷03（湖南省卷专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（湖南专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题，本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．如果把收入元记作，那么支出元记作（　　） A． B． C． D． 2．《三体》一书中，三体人计划通过智子的多维展开来限制地球人的科学技术发展，已知智子的直径是0.00000000000016厘米，用科学计数法表示这个数（    ） A．米 B．米 C．厘米 D．厘米 3．下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．有下列五个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④平分弦的直径一定平分弦所对的弧；⑤相等的圆周角所对的弧相等．其中正确的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 7．如图，内接于，点是的中点，是的直径．若，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 8．为增强学校之间的友谊，某市举办联合篮球比赛，下表是A校篮球队员的身高： 身高 176 178 180 181 182 185 人数 1 2 3 2 1 1 下列说法正确的是（   ） A．篮球队员身高的众数是 B．篮球队员的平均身高是 C．篮球队员身高的中位数是 D．篮球队员身高的方差是 9．如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，若，则的长为（   ） A． B． C． D．4 10．在平面直角标系中，将横、纵坐标之和为的点称为“吉祥点”，现有以下结论： 第一象限内有无数个“吉祥点”； 第三象限内不存在“吉祥点”； 已知点，，若点是“吉祥点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为； 已知点，，若点是第一象限内的“吉祥点”三角形的面积记为，则．其中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．比较大小： （填“”“”“”）． 12．寒假期间，小周、小李二人在《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神第二部》、《射雕英雄传：侠之大者》四部影片中各自随机选择一部影片观看（假设两人选择每部影片的机会均等），则二人恰好选择同一部影片观看的概率为 ． 13．分式方程的解是 ． 14．如图，在中，，的垂直平分线分别交和于点D和点M，的垂直平分线分别交和于点E和点N，连接，则的度数为 ． （第14题图） （第17题图） 15．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 16．已知是反比例函数图象上的两点，则反比例函数的表达式为 ． 17．如图，是的角平分线，于E，的面积是，，，则 ． 18．一工具箱如图1所示，其与手柄连接的铰链部分示意图如图2.箱体边缘线EF和中轴线垂直，工具箱在开启过程中，手柄D点沿下降，铰链的长度不变，等边三角形零件（）绕点C转动．当手柄D点位于最高点时（如图3），箱体处于闭合状态，的顶点A落在上，，；当手柄D点位于最低点时（如图4），点D与点E重合，箱体处于完全打开状态，．若边长为，请你帮安装师傅确定点C的位置：点C到的距离为 ，到的距离为 ．    三、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（6分）计算：． 20． （6分）先化简，后求值：，然后在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值． 21．（8分）某中学计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个，根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图． 根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)在这次调查中一共抽取了　 　名学生； (2)请把图1中缺失的数据、图形补充完整；图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数是　 　； (3)在选择E地的5人中，有2人来自九年级一班，3人来自九年级二班，现在要从这5人中任意选2人做研学规划分享，求选的两人恰好来自同一个班的概率． 22．（8分）如图在平行四边形中，对角线与相交于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 23．（9分）某家具店经销两种品牌的儿童床，每张进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，4月份两种品牌的儿童床共售出20张，且销售两种品牌的儿童床的利润相同．该店4月份两种品牌的儿童床各售出多少张？ (2)根据市场调研，该店5月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元．请写出所有的进货方案． 24．（9分）数学兴趣小组借助无人机测量河道某处宽度．如图所示，在河岸边的处，兴趣小组令一架无人机沿的仰角方向飞行米到达点处，测得此时河对岸处的俯角为．点在同一条直线上． (1)求无人机的飞行高度（点到的距离）； (2)求河宽．（参考数据∶ ，，， ， ，） 25．（10分）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，． (1)求抛物线解析式； (2)是线段上一动点，过点作轴于点，交于点，交抛物线于点，连接． ①点在线段上运动时，若是直角三角形，点的坐标为________；（直接写出） ②点在线段上运动时，连结交于点，当的值最大时，请你求出点的坐标和的最大值． 26．（10分）如图，为的直径，弦于点为劣弧上一动点，与的延长线交于点，连接． (1)求证：； (2)若 ①若，求的长； ②若，求与之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下即，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（湖南专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题 1．如果把收入元记作，那么支出元记作（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正数、负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 根据正数、负数的意义即可得到答案． 【详解】解：把收入元记作， 支出元记作， 故选：D． 2．《三体》一书中，三体人计划通过智子的多维展开来限制地球人的科学技术发展，已知智子的直径是0.00000000000016厘米，用科学计数法表示这个数（    ） A．米 B．米 C．厘米 D．厘米 【答案】D 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：依题意， 故选：D 3．下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据简单组合体三视图的画法画出它的主视图即可．理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键． 【详解】 解：它的主视图是， 故选：A． 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式，积的乘方计算，同底数幂除法计算，二次根式的加减计算．根据相关计算法则计算即可判断． 【详解】解：A、，本选项符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：A． 5．下列各式中，运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式运算．根据二次根式的性质以及二次根式运算法则，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、3与不能合并，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 6．有下列五个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④平分弦的直径一定平分弦所对的弧；⑤相等的圆周角所对的弧相等．其中正确的有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念，确定圆的条件，三角形外心的性质，垂径定理的推论，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键．根据圆的基本概念，确定圆的条件，三角形外心的性质，垂径定理的推论，即可判断答案． 【详解】①“直径是弦”，故①正确； ②“经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆”，故②错误； ③“三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等”，故③正确； ④平分弦（不是直径）的直径一定平分弦所对的弧，故④错误； ⑤只有在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故⑤错误； ∴其中正确的有2个． 故选：D． 7．如图，内接于，点是的中点，是的直径．若，，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，弧、弦、圆心角之间的关系，连接，先根据圆周角定理可得，从而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，从而可得，然后根据直径所对的圆周角是直角可得，再根据点是的中点，可得，最后根据等腰直角三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：D． 8．为增强学校之间的友谊，某市举办联合篮球比赛，下表是A校篮球队员的身高： 身高 176 178 180 181 182 185 人数 1 2 3 2 1 1 下列说法正确的是（   ） A．篮球队员身高的众数是 B．篮球队员的平均身高是 C．篮球队员身高的中位数是 D．篮球队员身高的方差是 【答案】B 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义，根据平均数、中位数、众数、方差的计算方法逐项分析即可． 【详解】A． ∵出现的次数最多， ∴众数是，故不正确； B． 平均数，正确； C． ∵从小到大排列后排在第5和第6位的是， ∴中位数是，故不正确； D． ，故不正确． 故选B． 9．如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，若，则的长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先根据等腰三角形的判定可得，从而可得，再证出，根据相似三角形的性质即可得． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， 故选：A． 10．在平面直角标系中，将横、纵坐标之和为的点称为“吉祥点”，现有以下结论： 第一象限内有无数个“吉祥点”； 第三象限内不存在“吉祥点”； 已知点，，若点是“吉祥点”且在坐标轴上，则点到直线的距离为； 已知点，，若点是第一象限内的“吉祥点”三角形的面积记为，则．其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面直角标系中象限的特点，逐一判断即可． 【详解】由横、纵坐标之和为的点称为“吉祥点”， 则第一象限内有无数个“吉祥点”，故说法正确； ∵第三象限的横、纵坐标都为负数， ∴第三象限内不存在“吉样点”，故说法正确； ∵，， ∴轴， ∵点是“吉祥点”且在坐标轴上， ∴点或， 则到直线的距离为或，故说法错误； ∵，， ∴轴，， ∵点是第一象限内的“吉祥点”， ∴设，则有：， 根据题意可知：， 则：，故说法正确； 综上可知，说法正确； 故选． 【点睛】此题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键． 二、填空题 11．比较大小： （填“”“”“”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较．利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 12．寒假期间，小周、小李二人在《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神第二部》、《射雕英雄传：侠之大者》四部影片中各自随机选择一部影片观看（假设两人选择每部影片的机会均等），则二人恰好选择同一部影片观看的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率为所求情况数与总情况数之比. 画树状图，共有种等可能的结果，其中小周、小李二人恰好选择同一部影片观看的结果有种，再由概率公式求解即可. 【详解】解：把《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神第二部》、《射雕英雄传：侠之大者》四部影片分别记为A、B、C、D，画树状图如下：    共有种等可能的结果，其中小周、小李二人恰好选择同一部影片观看的结果有种， ∴小周、小李二人恰好选择同一部影片观看的概率为 故答案为：． 13．分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．方程两边同乘以化成一元一次方程，再解方程可得方程的解，然后代入检验即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是分式方程的解， 所以方程的解为， 故答案为：． 14．如图，在中，，的垂直平分线分别交和于点D和点M，的垂直平分线分别交和于点E和点N，连接，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理， 根据线段垂直平分线的性质得，再根据等边对等角得，然后根据三角形内角和定理得，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵分别是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据方程的根的判别式且，计算即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】∵一元二次方程有实根， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 16．已知是反比例函数图象上的两点，则反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，由点A，B的坐标，利用反比例函数上点的坐标特征可得到，解得n的值即可确定k的值． 【详解】解：∵是反比例函数图象上的两点， ∴， 解得：，， ∴反比例函数的表达式为， 故答案为：． 17．如图，是的角平分线，于E，的面积是，，，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 过点D作于F，设，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可． 【详解】解：过点D作于F，设， ∵是的角平分线，， ∴， ∵的面积是，， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：6． 18．一工具箱如图1所示，其与手柄连接的铰链部分示意图如图2.箱体边缘线EF和中轴线垂直，工具箱在开启过程中，手柄D点沿下降，铰链的长度不变，等边三角形零件（）绕点C转动．当手柄D点位于最高点时（如图3），箱体处于闭合状态，的顶点A落在上，，；当手柄D点位于最低点时（如图4），点D与点E重合，箱体处于完全打开状态，．若边长为，请你帮安装师傅确定点C的位置：点C到的距离为 ，到的距离为 ．    【答案】 3 【分析】如图3，设点C到MN的距离为，过点作于点，根据四边形的内角和及邻补角定义求出，如图4，过点作于点，再根据勾股定理即可． 【详解】解：如图3，设点C到MN的距离为，过点作于点，    ，，， ，即， 是等边三角形，点C到EF的距离为， ， 在四边形中，， ， ， 如图4，过点作于点，则    在中，， ， 解得：舍去， 点C到EF的距离为，到MN的距离为， 故答案为：3；． 【点睛】本题考查了勾股定理，四边形的内角和及邻补角定义，解题的关键是弄清图3与图4之间的联系． 三、解答题 19．计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，求一个数的绝对值，代入特殊角的三角形函数值，先算乘法，再算加减法即可． 【详解】解：原式 20．先化简，后求值：，然后在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值． 【答案】；1 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，解题关键是掌握分式的运算法则及有意义的条件．先对括号内的式子进行通分运算，然后将分式的除法转化为乘法，将分式的分子，分母进行因式分解，并进行约分即可化简，再根据分式有意义的条件选取合适的值代入计算即可． 【详解】解：． ， ∵且， ∴且， ∴， ∴原式． 21．某中学计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个，根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图． 根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)在这次调查中一共抽取了　 　名学生； (2)请把图1中缺失的数据、图形补充完整；图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数是　 　； (3)在选择E地的5人中，有2人来自九年级一班，3人来自九年级二班，现在要从这5人中任意选2人做研学规划分享，求选的两人恰好来自同一个班的概率． 【答案】(1)100 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）利用B地点的人数除以其所占的百分比即可得到结论，利用样本容量的意义解答即可． （2）根据条形统计图的特点，解答即可；根据圆心角等于所占百分比乘以周角，计算即可； （3）利用画树状图法解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得（人）， 故答案为：100． （2）解：根据题意，得喜欢A地的人数为：（人） 补全图形如下： C地点所占圆心角为：， 故答案为：144． （3）解：设九年级一班的两个人分别，，来自九年级二班3人分别，，， 根据题意，画树状图如下： 共有20种等可能的结果，来自同一个班的有8种， 故所选两位同学恰好来自同一个班概率为． 故来自同一个班的概率为． 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角计算，样本容量的计算，画树状图法求概率，熟练掌握圆心角，样本容量，概率的计算是解题的关键． 22．如图在平行四边形中，对角线与相交于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等腰三角形的判定得到，可证明是菱形，得到，继而得到，得出，即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，，根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质得到，得出，计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， 是菱形， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知是菱形， ，， ， ， ， 由（1）知， ， ， ． 23．某家具店经销两种品牌的儿童床，每张进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，4月份两种品牌的儿童床共售出20张，且销售两种品牌的儿童床的利润相同．该店4月份两种品牌的儿童床各售出多少张？ (2)根据市场调研，该店5月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元．请写出所有的进货方案． 【答案】(1)A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张 (2)有两种进货方案：①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张；②购进A品牌的儿童床17张，B品牌的儿童床13张 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式组． （1）设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张，根据销售两种品牌的儿童床的利润相同列方程求解即可； （2）设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床张，根据购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，可列一元一次不等式组，解不等式组即可解答． 【详解】（1）解：设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张． 由题意，得， 解得，． 故该店4月份A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张； （2）解：设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床张． 由题意，得， 解得，所以正整数解有， 所以有两种进货方案： ①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张； ②购进A品牌的儿童床17张，B品牌的儿童床13张． 24．数学兴趣小组借助无人机测量河道某处宽度．如图所示，在河岸边的处，兴趣小组令一架无人机沿的仰角方向飞行米到达点处，测得此时河对岸处的俯角为．点在同一条直线上． (1)求无人机的飞行高度（点到的距离）； (2)求河宽．（参考数据∶ ，，， ， ，） 【答案】(1)无人机的飞行高度约为米 (2)河宽约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角问题，结合图形添加辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可得到答案； （2）根据题意得到，得到，在和中，根据锐角三角函数的定义求出的长，计算即可得到答案 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 根据题意得米，， ， （米）， 无人机的飞行高度约为米； （2）解：如图，作， 根据题意得， 由（1）知，米， （米）， （米）， （米）， 河宽约为米． 25．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，． (1)求抛物线解析式； (2)是线段上一动点，过点作轴于点，交于点，交抛物线于点，连接． ①点在线段上运动时，若是直角三角形，点的坐标为________；（直接写出） ②点在线段上运动时，连结交于点，当的值最大时，请你求出点的坐标和的最大值． 【答案】(1) (2)①或；②的最大值为， 【分析】（1）将点A代入直线，求得n，因而可求得点B，利用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）①根据题意，若是直角三角形，则或，分别画出示意图，讨论即可；②过点Q作于点H，直线的解析式为，求出，得到，证明，推出，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点， ∴得， 则直线， 当时，，点， 又∵，抛物线经过A，B， ∴解得， 则抛物线； （2）解：①根据题意，若是直角三角形，则或， 如图，当时， ∵，轴，交于点，交抛物线于点， ∴将代入直线，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 解得：或（此时，三点重合，舍去）， 则， ∴； 如图，当时， 同理得到，即， 解得：或（此时，三点重合，舍去）， 则， ∴； 综上，是直角三角形时，点的坐标为或； ②如图，过点Q作于点H， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 26．如图，为的直径，弦于点为劣弧上一动点，与的延长线交于点，连接． (1)求证：； (2)若 ①若，求的长； ②若，求与之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下即，求的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②． (3) 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形、相似三角形的判定与性质、完全平方公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图：连接，利用圆周角定理以及等量代换即可解答； （2）①先根据圆周角定理、勾股定理可得、、、，再证明，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可；②通过证明，进而得到，再根据等高三角形得到，最后代入计算即可； （3）分别证明和得到、，然后代入，最后根据等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵是直径， ∴， ∵弦于点， ∴，即， ∴，即． （2）解：如图：连接， ∵是直径，弦于点， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∵是直径，弦于点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：． ②∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴相似比为， ∴，即， ∵和是等高三角形， ∴，即， ∴， ∴与之间的函数关系式． （3）解：在中，， ∵， ∴，即：，解得：， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：，解得：， ∴， ∵，即最小值为 ∴， ∴的最大值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（湖南专用） 黄金卷答案 一．选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A A D D D B A D 二、填空题 11、 12、 13、 4 14、 15、且 16、 17、 6 18、 3 19、解：原式 20、解：． ， ∵且， ∴且， ∴， ∴原式． 21、(1)100 (2)，10 (3) 22、（1）证明：， ， 是菱形， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知是菱形， ，， ， ， ， 由（1）知， ， ， ． 23、（1）解：设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张． 由题意，得， 解得，． 故该店4月份A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张； （2）解：设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床张． 由题意，得， 解得，所以正整数解有， 所以有两种进货方案： ①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张； ②购进A品牌的儿童床17张，B品牌的儿童床13张． 24、（1）解：如图，过点作于点， 根据题意得米，， ， （米）， 无人机的飞行高度约为米； （2）解：如图，作， 根据题意得， 由（1）知，米， （米）， （米）， （米）， 河宽约为米． 25、（1）解：∵直线与x轴交于点， ∴得， 则直线， 当时，，点， 又∵，抛物线经过A，B， ∴解得， 则抛物线； （2）解：①根据题意，若是直角三角形，则或， 如图，当时， ∵，轴，交于点，交抛物线于点， ∴将代入直线，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 解得：或（此时，三点重合，舍去）， 则， ∴； 如图，当时， 同理得到，即， 解得：或（此时，三点重合，舍去）， 则， ∴； 综上，是直角三角形时，点的坐标为或； ②如图，过点Q作于点H， 设直线的解析式为， ∵， 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