第08讲 分式（5个知识清单+7类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（苏科版）

第08讲 分式 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01分式的判断......................................................................................................................................................................3 题型02分式的规律性问题..........................................................................................................................................................5 题型03按要求构造分式..............................................................................................................................................................7 题型04分式有意义的条件..........................................................................................................................................................9 题型05分式无意义的条件.........................................................................................................................................................11 题型06分式的求值.....................................................................................................................................................................13 题型07求使分式值为整数时未知数的整数值.........................................................................................................................14 分层练习.......................................................................................................................................................................................16 夯实基础.......................................................................................................................................................................................16 能力提升.......................................................................................................................................................................................28 知识点1．分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． （5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式． 知识点2．分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 知识点3．分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 知识点4．分式的值 分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径． 知识点5．列代数式（分式） （1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． ②分清数量关系． ③注意运算顺序．④规范书写格式．⑤正确进行代换． 注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替． 题型01分式的判断 1．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）下列代数式中，属于分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式的判断 【分析】本题主要考查了分式的判断， 根据分式的定义逐项判断即可． 【详解】因为是单项式，所以A不符合题意； 因为是单项式，所以B不符合题意； 因为是分式，所以C符合题意； 因为是多项式，所以D不符合题意． 故选：C． 2．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）代数式，，，中分式有 个． 【答案】2 【知识点】分式的判断 【分析】根据分式的定义进行判断即可． 【详解】解：代数式，，，中分式有，，共2个． 故答案为：2． 【点睛】本题考查分式的定义，分母中含有字母的式子就叫做分式；注意π是一个具体的数，不是字母． 3．（20-21八年级下·全国·课后作业）下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（2）（4）是整式，（1）（3）是分式 【知识点】分式的判断 【分析】根据分式和整式的定义逐一判断即可得． 【详解】解：（1）的分母中含有字母，是分式； （2）的分母中没有字母，且，是由2个单项式的和构成的，是整式； （3）的分母中有字母，是分式； （4）是由单项式xy与单项式x2y的和构成的多项式，是整式． 【点睛】本题主要考查分式和整式的定义，解题的关键是掌握如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式；单项式和多项式统称为整式． 题型02分式的规律性问题 4．（江苏南通·一模）若（不取0和），，，…，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式的规律性问题 【分析】先通过题目给的x2与x1 ，x3与x2， x4与x3，……等关系分别用含有a的代数式表示x2，x3， x4，……从而找到规律，进而得到结果． 【详解】解：， ， ， 由此可知，， 2020÷3=673……1． ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的化简，通过分式的化简找到周期规律是解决本题的关键． 5．（江苏徐州·一模）如果记y＝＝f（x），并且f（1）表示当x＝1时y的值，即f（1）＝＝；f（）表示当x＝时y的值，即f（）＝＝；那么f（1）＋f（2）＋f（）＋f（3）＋f（）＋…＋f（2013）＋f（）＝ ． 【答案】 【知识点】分式的规律性问题 【分析】由题意f（2）＋f（）＝＝1，f（3）＋f（）＝1，…，f（2013）＋f（）＝1，根据这个规律即可求得结果． 【详解】解：由题意得f（1）＋f（2）＋f（）＋f（3）＋f（）＋…＋f（2013）＋f（） ＝+1+1+1…＋1＝ 故答案为2012.5． 【点睛】本题考查了分式的变化规律，解答此类找规律的问题的关键是仔细分析所给式子的特征得到规律，再把这个规律应用于解题． 6．（23-24八年级下·全国·课后作业）观察下面一列分式：，…（其中）． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【知识点】分式的规律性问题、数字类规律探索 【分析】此题主要考查了分式的规律性问题以及数字规律的探索问题，得出分子与分母的变化规律即可解题． （1）根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系进而得出答案； （2）利用（1）中数据变化规律，进而得出答案． 【详解】（1）解：观察各分式的规律可得第5个分式为：， 第6个分式为． （2）由已知可得第n(n为正整数)个分式为∶． 理由如下： ∵分母的底数为y，次数是连续的正整数， 分子的底数是x，次数是连续的奇数， ∴第n(n为正整数)个分式为． 题型03按要求构造分式 7．（23-24八年级下·江苏南京·期中）已知一个分式中含有的字母仅是x，且对于任意实数x，分式的值始终为正数，则这个分式是 ．（写出一个正确的答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】按要求构造分式 【分析】本题考查的是分式的定义以及分式的值的含义，只需要构建一个分子与分母同号且分子不为0的分式即可． 【详解】解：∵一个分式中含有的字母仅是x，且对于任意实数x，分式的值始终为正数， ∴这个分式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 8．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． ，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：； 解决下列问题： (1)分式 是________________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为整式与真分式的和的形式： =____________； (3)若假分式的值为正整数，则整数的值为________________； (4)将假分式化为带分式（写出完整过程）． 【答案】(1)真分式 (2) (3) (4) 【知识点】按要求构造分式、分式的规律性问题、分式的判断 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据定义进行化简即可得到答案； （3）根据题意列出方程即可求出的值； （4）先化为，在计算即可． 【详解】（1）解：由题意得： 分式 是真分式， 故答案为：真分式； （2）解：根据题意可得： ， 故答案为：； （3）解：由（2）可得：， 当为正整数时， 或， ， 故答案为：； （4）解：根据题意可得： ． 【点睛】本题主要考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． 题型04分式有意义的条件 9．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）若分式，在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义：分母为零；（2）分式有意义：分母不为零；（3）分式值为零：分子为零且分母不为零． 根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故选：A． 10．（2024·江苏镇江·中考真题）使分式有意义的的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 分式有意义，则分母，由此易求的取值范围． 【详解】解：当分母，即时，分式有意义． 故答案为：． 11．（2023八年级下·江苏·专题练习）x满足什么条件时下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】分式有意义的条件 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，逐题列不等式计算即可． 【详解】（1）解：∵有意义， ∴，即； （2）∵有意义， ∴，即； （3）∵有意义， ∴，即； （4）∵有意义， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于0成为解答本题的关键． 题型05分式无意义的条件 12．（20-21八年级下·江苏泰州·期中）当时，下列分式无意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，即分式的分母不能为0，牢记分式有意义的条件是解题的关键． 分式若有意义，则分式的分母不能为0，据此逐项判定可得到答案． 【详解】解： A、当时，分式的分母，分式有意义，故此选项不符合题意； B、当时，分式的分母，分式无意义，故此选项符合题意； C、当时，分式的分母，分式有意义，故此选项不符合题意； D、当时，分式的分母，分式有意义，故此选项不符合题意． 故选：B． 13．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）当时，分式无意义，则 ． 【答案】2 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，能熟记当分母时分式、为整式）无意义是解此题的关键． 根据分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：当时，分式无意义， ∴ ． 故答案为：2． 题型06分式的求值 14．（22-23八年级下·江苏盐城·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式的求值 【分析】先根据得到，再把整体代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，正确推出是解题的关键． 15．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）已知，则分式 ． 【答案】 【知识点】分式的求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，设，则，，代入即可求解，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：设， ∴，， ∴， 故答案为：． 16．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）若，则的值为多少？ 【答案】 【知识点】分式的求值 【分析】本题主要考查了分式的求值，先求出，再由进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 题型07求使分式值为整数时未知数的整数值 17．（22-23八年级下·江苏常州·期中）对于非正整数x，使得的值是一个整数，则x的个数有（        ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】先将分式变形，然后根据x为非负整数，分式的结果为正整数，得出x的值． 【详解】解：， ∵x为非正整数，分式的结果正整数， ∴x取值为，0， ∴x的个数有3个， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的特殊值，难度较大，考核学生的计算能力，这类题经常要用到枚举法，是解题的关键． 18．（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）如果m为整数，那么使分式的值为整数的m为 ． 【答案】或或0或1 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题主要考查分式的值，熟练掌握相关知识点并全面讨论是解题关键． 分式，讨论就可以了，即是2的约数即可完成． 【详解】解：， 若原分式的值为整数，那么，，1，2 由得，； 由得，； 由得，； 由得，； 或或0或1， 故答案为：或或0或1． 19．（八年级下·江苏扬州·阶段练习）当x取何整数时，分式的值是整数？ 【答案】x=-5、-1、-2、0、2、3、4、7 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【详解】当x-1是6的约数时，分式的值才是整数. 解：∵分式的值是整数 ∴x-1＝±6或x-1＝±3或x-1＝±2或x-1＝±1 解得：x=-5、-1、-2、0、2、3、4、7 夯实基础 一、单选题 1．下列各式中是分式的是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】只有C选项是分式，A，B，D选项中分母都不含有字母，故都不是分式. 故选C. 2．在，，，，，中，分式有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有字母．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，找到分母中含有字母的式子的个数即可． 【详解】解：在，，，，，中，式子，，中都含有字母是分式，共有3个分式． 故选：B． 3．分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式有意义的条件，可得，即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 4．若式子的值为0，则x的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式有意义的条件，根据分式值为0的条件是分子为0，分母不为0进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得：， 故选：B． 5．下列式子是分式的是（    ） A． B． C．+y D． 【答案】B 【详解】根据分式的定义——分母中含有字母的式子，易得B. 6．对于非负整数x，使得是一个正整数，则符合条件的个数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】将看作一个整体，把代数式中的分子运用完全平方公式进行变形，再根据正整数的特性即可得． 【详解】解：， ， ， ， 为非负整数，是一个正整数， 的所有可能取值为， 即符合条件的个数有4个， 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用等知识点，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 7．分式中，当时，下列结论正确的是（ ） A．分式的值为零； B．分式无意义 C．若时，分式的值为零； D．若时，分式的值为零 【答案】C 【分析】根据分式有意义的条件和分式值为零的条件即可求得结果. 【详解】由题意得，当，，，时，分式的值为零， 故选C. 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为零． 8．下列结论：①无论取何值，都有意义；②时，分式的值为0；③若的值为负，则的取值范围是；④若有意义，则的取值范围是且，其中正确的是（    ）． A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④ 【答案】C 【分析】①根据平方的非负性可知分母永远大于0，故分式有意义； ②把时，代入分母可知分母为中，分式没有意义； ③根据分子分母同号得正，异号得负可解； ④根据分母不为0，除数不为0列出条件可解. 【详解】①无论取何值，，，所以都有意义，故①正确； ②时，分母，分式没有意义，故②错误； ③因为分子，若的值为负，则分母，所以的取值范围是，故③正确； ④若有意义，则，，，所以的取值范围是且且，故④错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了分式有无意义的条件、分式的值为0的条件以及分式的值为正数为负数的条件，其中④很容易漏了这一限制条件，要注意. 二、填空题 9．在式子：，，，，中，分式的个数是 ． 【答案】3 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有未知数，如果含有未知数则是分式，如果不含有未知数则不是分式． 【详解】解：，，，，中， 分式有，，，共3个． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了分式的定义，正确把握分式的定义是解题关键． 10．在代数式，，，，中，分式是 ． 【答案】；； 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果分母中含有字母则是分式，如果分母中不含有字母则不是分式． 【详解】，，这三个式子分母中含有字母，因此是分式． 其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式． 故答案为，， 【点睛】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式． 11．当 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， ∴， 故答案为：． 12．若分式的值不存在，则 ． 【答案】-1 【分析】根据分式无意义的条件列出关于x的方程，求出x的值即可． 【详解】∵分式的值不存在， ∴x+1=0， 解得：x=-1， 故答案为：-1． 【点睛】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键． 13．如果分式有意义，则 . 【答案】 【分析】分式有意义，分母不等于零． 【详解】解：x-2 即 x时，分式有意义．故答案为：≠2. 【点睛】解决本题的关键突破口是掌握有意义的条件就是分母不为0． 14．当 时，分式有意义；当的值为 时，分式的值为1． 【答案】 -2 【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x取值范围即可；根据分式的值为1的条件列出关于x的方程，求出x的值即可； 【详解】解：∵分式有意义， ∴x+5 0， ∴x； ∵分式的值为1， ∴x+5=3, ∴x=-2, 故答案是：；-2． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键． 三、解答题 15．当x取什么值时，下列分式无意义？ （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接利用分式无意义则其分母为0，进而得出答案； （2）直接利用分式无意义则其分母为0，进而得出答案． 【详解】解：（1）当2x-3=0时，无意义， 解得：x=时，无意义； （2）当5x+10=0时，无意义， 解得：x=-2时，无意义． 【点睛】本题主要考查了分式无意义的条件，正确得出分母的值是解题关键． 16．在分式中， (1)当x为何值时，分式值为0； (2)当x为何值时，分式无意义． 【答案】(1)当时，分式值为0； (2)当时，分式无意义． 【分析】（1）根据分子等于0，在分母不等于0，列式计算即可求解； （2）只要令分式中分母等于0，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得且， 解得； 即当时，分式值为0； （2）解：由题意得， 解得； 即当时，分式无意义． 【点睛】此题主要考查了分式的意义和分式的值为零的条件，要求掌握．对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义．解此类问题，只要令分式中分母等于0，求得字母的值即可．分式值为0的条件：在分母不等于0的前提下，分子等于0，则分数值为0． 17．已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】本题考查的是分式的求值，分式有意义的条件，分式的值为0的条件，掌握分式的基础概念是解本题的关键； （1）直接把代入计算即可； （2）由分母不为0建立不等式求解即可； （3）由分子为0，分母不为0，再求解即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）∵有意义， ∴且， 解得：且； （3）∵的值为0， ∴， 解得：， ∵且， ∴且； ∴； 18．若分式的值是正数、负数、0时，求的取值范围． 【答案】或时，分式值为正；时，分式值为负；时，分式值为零． 【分析】原式可以化为，分式的值是正数，则分子与分母一定同号，分同正与同负两种情况；分式的值是负数，则分子与分母一定异号，应分分子是正数，分母是负数和分子是负数，分母是正数两种情况进行讨论；分式的值是0，则分子等于0，分母不等于0． 【详解】解：当或时，分式的值为正数； 当时，分式的值为负数； 当时，分式的值为0． 【点睛】本题考查分式的值，解题的关键是先通分再求解. 19．先化简，再从，，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】，-1． 【分析】先化简分式，然后在确保分式有意义的前提下，确定x的值并代入计算即可． 【详解】解： = = = = = = 在、、0、1、2中只有当x=-2时，原分式有意义，即x只能取-2 当x=-2时，． 【点睛】本题考查了分式的化简求值和分式有意义的条件，正确将分式化简和选取合适的x的值是解答本题的关键． 20．当x取什么值时，分式满足下列要求： (1)无意义 (2)有意义； (3)值为0． 【答案】(1) (2) (3)当时，分式的值为0 【分析】（1）根据分式无意义的条件：分母为零，即可列式求解； （2）根据分式有意义的条件：分母不为零，即可列不等式求解； （3）根据分式值为零的条件：分母不为零且分子为零，即可列式求解． 【详解】（1）解：当分式无意义，则根据分式无意义的条件得： ，即，解得， 当时，分式无意义； （2）解：当分式有意义，则根据分式有意义的条件得： ，即，解得， 当时，分式有意义； （3）解：当分式，则， 即，解得， 当时，分式值为零． 【点睛】本题考查分式的综合运用，掌握分式有意义、无意义及值为零的条件，根据题意得到相应的方程及不等式求解是解决问题的关键． 能力提升 一、单选题 21．若，则点P（x，y）的位置是（ ） A．在数轴上 B．在去掉原点的横轴上 C．在纵轴上 D．在去掉原点的纵轴上 【答案】B 【分析】根据分式值为0的条件求出y=0，再根据点在x轴上坐标的特点解答． 【详解】∵，x不能为0， ∴y=0， ∴点P（x，y）的位置是在去掉原点的横轴上． 故选B． 【点睛】本题考查了点在x轴上时坐标的特点，特别注意要保证条件中的式子有意义． 22．在中，分式的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：是分式，共3个 故选：B． 二、填空题 23．当x 时,分式有意义. 【答案】x≠1 【分析】根据分式有意义的条件可得x-1≠0，再解即可． 【详解】由题意得：x-1≠0，解得：x≠1，故答案为x≠1． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是通过条件列出不等式求解. 24．已知分式，当x取a时，该分式的值为0；当x取b时，分式无意义，则ab的值等于 ． 【答案】1 【分析】先把x=a代入分式，根据分式值为0得出a+1＝0，求出解得：a＝﹣1时，该分式的值为0；把x=b代入分式，根据分式无意义，由分母为零，求出b＝2，再求代数式的值即可． 【详解】解：分式， 当x=a时，， 当a+1＝0时， 解得：a＝﹣1时，该分式的值为0； 当x=b时，， 当2﹣b＝0时， 解得：b＝2， 即x＝2时分式无意义，此时b＝2， 则ab＝（﹣1）2＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查分式，分式的值为0的条件，分式无意的条件，代数式的值，掌握分式，分式的值为0的条件，分式无意的条件，代数式的值是解题关键． 三、解答题 25．当为何值时，分式的值为0？ 【答案】 【分析】根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0，即可解答． 【详解】解：分式的值为0， ，且， 解得且， ． 【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，解题的关键是掌握分式值为0的条件：分子为0，分母不为0． 26．求满足下列条件的的值 （1）分式的值为    （2）分式的值为负数 【答案】（1）（2） 【分析】（1）若x为0，不成立，即分两种情况，x大于和小于0的情况，去绝对值，然后列等式计算.(2)分式的分子恒不大于0，分母恒大于等于1，故分子不能为0，计算得出. 【详解】解：（1）当x＞0时，=—1，得x=4，当x＜0时，=—1，得x=-4. （2）根据分析，-x2=0，x=0，得解x≠0. 【点睛】本题考查分式中未知数的取值，解题的关键根据条件和分式定义求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 分式 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01分式的判断......................................................................................................................................................................3 题型02分式的规律性问题..........................................................................................................................................................5 题型03按要求构造分式..............................................................................................................................................................7 题型04分式有意义的条件..........................................................................................................................................................9 题型05分式无意义的条件.........................................................................................................................................................11 题型06分式的求值.....................................................................................................................................................................13 题型07求使分式值为整数时未知数的整数值.........................................................................................................................14 分层练习.......................................................................................................................................................................................16 夯实基础.......................................................................................................................................................................................16 能力提升.......................................................................................................................................................................................28 知识点1．分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． （5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式． 知识点2．分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 知识点3．分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 知识点4．分式的值 分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径． 知识点5．列代数式（分式） （1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． ②分清数量关系． ③注意运算顺序．④规范书写格式．⑤正确进行代换． 注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替． 题型01分式的判断 1．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）下列代数式中，属于分式的是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）代数式，，，中分式有 个． 3．（20-21八年级下·全国·课后作业）下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）； （2）； （3）； （4）． 题型02分式的规律性问题 4．（江苏南通·一模）若（不取0和），，，…，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（江苏徐州·一模）如果记y＝＝f（x），并且f（1）表示当x＝1时y的值，即f（1）＝＝；f（）表示当x＝时y的值，即f（）＝＝；那么f（1）＋f（2）＋f（）＋f（3）＋f（）＋…＋f（2013）＋f（）＝ ． 6．（23-24八年级下·全国·课后作业）观察下面一列分式：，…（其中）． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由． 题型03按要求构造分式 7．（23-24八年级下·江苏南京·期中）已知一个分式中含有的字母仅是x，且对于任意实数x，分式的值始终为正数，则这个分式是 ．（写出一个正确的答案即可） 8．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． ，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：； 解决下列问题： (1)分式 是________________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为整式与真分式的和的形式： =____________； (3)若假分式的值为正整数，则整数的值为________________； (4)将假分式化为带分式（写出完整过程）． 题型04分式有意义的条件 9．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）若分式，在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（2024·江苏镇江·中考真题）使分式有意义的的取值范围是 ． 11．（2023八年级下·江苏·专题练习）x满足什么条件时下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)． 题型05分式无意义的条件 12．（20-21八年级下·江苏泰州·期中）当时，下列分式无意义的是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）当时，分式无意义，则 ． 题型06分式的求值 14．（22-23八年级下·江苏盐城·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）已知，则分式 ． 16．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）若，则的值为多少？ 题型07求使分式值为整数时未知数的整数值 17．（22-23八年级下·江苏常州·期中）对于非正整数x，使得的值是一个整数，则x的个数有（        ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 18．（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）如果m为整数，那么使分式的值为整数的m为 ． 19．（八年级下·江苏扬州·阶段练习）当x取何整数时，分式的值是整数？ 夯实基础 一、单选题 1．下列各式中是分式的是　　 A． B． C． D． 2．在，，，，，中，分式有（） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若式子的值为0，则x的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 5．下列式子是分式的是（    ） A． B． C．+y D． 6．对于非负整数x，使得是一个正整数，则符合条件的个数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 7．分式中，当时，下列结论正确的是（ ） A．分式的值为零； B．分式无意义 C．若时，分式的值为零； D．若时，分式的值为零 8．下列结论：①无论取何值，都有意义；②时，分式的值为0；③若的值为负，则的取值范围是；④若有意义，则的取值范围是且，其中正确的是（    ）． A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④ 二、填空题 9．在式子：，，，，中，分式的个数是 ． 10．在代数式，，，，中，分式是 ． 11．当 时，分式的值为0． 12．若分式的值不存在，则 ． 13．如果分式有意义，则 . 14．当 时，分式有意义；当的值为 时，分式的值为1． 三、解答题 15．当x取什么值时，下列分式无意义？ （1）； （2）． 16．在分式中， (1)当x为何值时，分式值为0； (2)当x为何值时，分式无意义． 17．已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 18．若分式的值是正数、负数、0时，求的取值范围． 19．先化简，再从，，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值． 20．当x取什么值时，分式满足下列要求： (1)无意义 (2)有意义； (3)值为0． 能力提升 一、单选题 21．若，则点P（x，y）的位置是（ ） A．在数轴上 B．在去掉原点的横轴上 C．在纵轴上 D．在去掉原点的纵轴上 22．在中，分式的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 23．当x 时,分式有意义. 24．已知分式，当x取a时，该分式的值为0；当x取b时，分式无意义，则ab的值等于 ． 三、解答题 25．当为何值时，分式的值为0？ 26．求满足下列条件的的值 （1）分式的值为    （2）分式的值为负数 1 学科网（北京）股份有限公司 $$