精品解析：山东省平度市东阁街道杭州路学校2024-2025学年下学期七年级3月月考数学试题

2024-2025学年七年级数学下学期第一次自我诊断 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式除以单项式，幂的乘方，同底数幂除法．根据积的乘方，单项式除以单项式，幂的乘方，同底数幂相除法则，逐项判断，即可求解． 【详解】解：，故A选项不符合题意； ，故B选项不符合题意； ，故C选项不符合题意； ，故D选项符合题意； 故选：D． 2. 华为手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为( )． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：； 故选：D． 【点睛】本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法中与的意义是解题的关键． 3. 下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，掌握是解题关键．根据平方差公式的特点逐一判断即可． 【详解】解：A、，二项式中的两项均互为相反数，不符合平方差公式，符合题意； B、，能用平方差公式，不符合题意； C、，能用平方差公式，不符合题意； D、，能用平方差公式，不符合题意； 故选：A 4. 如图，对于下列条件：；；；其中一定能得到的条件有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：，∴； ， ∴； ，∴； ，∴； 综上分析可知，一定能得到的条件有，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的判定定理，灵活运用平行线的判定定理是解题的关键． 5. 如图，在河边的处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边沿的路径走才能走最少的路，其依据是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 垂线段最短 C. 两点之间，线段最短 D. 两点确定一条直线 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意可把河边看作一条直线，则牧童把牛牵到河边沿的路径走才能走最少的路，其依据是点到直线，垂线段最短； 故选B． 【点睛】本题主要考查垂线段最短，熟练掌握点到直线，垂线段最短是解题的关键． 6. 下列说法中：①在同一平面内，不相交的两条线段一定平行；②两点之间直线最短；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④相等的角是对顶角；⑤等角的补角相等；⑥在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；不正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平面内直线的位置，对顶角的定义，等角的补角相等等知识，根据相关定义进行逐一判断即可，灵活运用所学知识是解题的关键． 【详解】解：①在同一平面内，不相交的两条直线一定平行，原说法错误； ②两点之间线段最短，原说法错误； ③两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误； ④相等的角不一定是对顶角，原说法错误； ⑤等角的补角相等，原说法正确； ⑥在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； 不正确的说法有①②③④⑥， 故选：D． 7. 如果计算的结果不含项，那么的值为（ ） A. 0 B. 1 C. －1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 先计算单项式乘以多项式，再结合项的系数为零列方程求解即可． 【详解】解：， ∵计算的结果不含项， ∴，即． 故选：A． 8. 如图，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线、构造平行线和三角形成为解题的关键． 如图：延长交于点G，由平行线的性质可得，再根据等量代换以及三角形的知识可得，然后再根据等量代换即可解答． 【详解】解：如图：延长交于点G， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选D． 9. 若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（　　） A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，还考查了多项式乘多项式．设出小长方形的长和宽，根据两种拼图得出两个含有长、宽的等式，变形后得出答案． 【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b， 由图1可得，， 即①， 由图2可得，， 即②， 由①②得，， 所以， 即每个小长方形的面积为5， 故选：A． 10. 如图，，为上一点，且垂足为，，平分，且，则下列结论：①；②平分；③；④；其中正确的有（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①②③④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟记“一般地，从一个角的顶点出发，在角的内部把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线”，“当两直线所组成的角为直角时，称它们互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线”的相关概念，利用表示各个角度．根据角平分线的性质，角平分线和垂线的定义逐个分析计算即可． 【详解】解：，， ， ， 平分， ， 故①正确； ， ， ， 即平分， 故②正确； ，， ， ， ， ， ， 故③正确； ，， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故选：C． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 若，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂除法；由条件得，再由同底数幂的除法即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：4． 12. 一个角的余角的3倍比这个角的补角少，则这个角的度数为________． 【答案】##51度 【解析】 【分析】本题考查了余角、补角以及一元一次方程的应用，理解余角和补角的定义是解题关键．设这个角的度数为，根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 13. 已知多项式为被除式，除式为，商式为，余式为1，则这个多项式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式的乘法，根据题意得出，进而根据多项式的乘法进行计算即可求解． 【详解】解：依题意， 即 ∴ 解得：， ∴这个多项式为： 故答案为：． 14. 已知，，则的值等于 ________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式求出，，，展开相加后即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴ ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 观察下列各式及其展开式 （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 （a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4 （a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5 …… 请你猜想（2x－1）8的展开式中含x2项的系数是________． 【答案】112 【解析】 【分析】观察展开式，找到右边各项系数的规律，首位是1，第二个数为上一列两数的和，且对称分布，进而分别列举出指数分别为 6，7，8 的等式的右边各项的系数，找到项，根据项的特点求得项的系数即可． 【详解】由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为 6，7，8 的等式，右边各项的系数分别为： 1，6，15，20，15，6，1； 1，7，21，35，35，21，7，1； 1，8，28，56，70，56，28，8，1； 故含x2项的系数为：22×（－1）6×28＝112． 故答案为：112 【点睛】本题考查了多项式乘法，熬到规律是解题的关键． 16. 如图1，将一条对边互相平行的围巾折叠，并将其抽象成相应的数学模型如图2，，折痕分别为，若，则________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据折叠的性质得出，，根据已知条件得出，进而得出． 【详解】解：如图所示， 根据折叠可得，， 设 ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 即 又∵，即 解得：， ∴ 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17. 简便运算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）本题考查同底数幂的乘方的逆用，以及积的乘方的逆用，掌握相关运算法则进行运算，即可解题； （2）本题考查利用平方差公式进行运算，将转化为，转化为，结合平方差公式进行计算，即可解题． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；0 【解析】 【分析】根据完全平方公式，平方差公式，整式的乘除和化简，后代入求值即可． 本题考查了完全平方公式，平方差公式，整式的乘除，化简求值，熟练掌握公式和化简是解题的关键． 【详解】解：， ， 当时， 原式． 19. 幂的运算逆向思维可以得到；；等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）若，求的值． （2）比较大小：若，，，则，，的大小关系是什么? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用幂的乘方及同底数幂的乘法的逆运算求解． （2）将a、b、c化简为相同的指数进行比较大小． 【小问1详解】 解： 解得： 【小问2详解】 解： 【点睛】此题考查了幂的计算法则及拓展应用，解题的关键是正确运用计算法则及逆运算． 20. 完成下面的证明． 如图，已知，，垂足分别为D、F，． 求证：． 解：∵，（已知）， ∴（__________________）． ∴（__________________）． ∴（__________________）． 又∵（已知）， ∴（__________________）． ∴（__________________）． ∴（__________________）． 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平行线的判定以及性质证明，根据证明过程以及平行线的判定以及性质解题即可． 【详解】证明：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵（已知）， ∴（同角的补角相等）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 21. 如图，直线、相交于点，平分，平分． （1）、有什么位置关系，请说明理由； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 解：，理由如下： ∵平分，平分， ∴， ∵, ∴， 故； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，解答即可． （2）设，根据题意，得，解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 22. 问题情景：如图1，． （1）观察猜想：若，．则的度数为__________． （2）探究问题：在图1中探究，、与之间有怎样的等量关系？并说明理由． （3）拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时、与之间有怎样的等量关系？并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： 如图所示，过点P作， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3） 解：，理由如下： 如图所示，过点P作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知两直线平行，内错角相等，两直线平行同旁内角互补是解题的关键． （1）过点P作，则，根据两直线平行，内错角相等得到，则； （2）同（1）求解即可； （3）过点P作，则，根据平行线的性质得到，再证明，即可得到． 【小问1详解】 解：如图所示，过点P作， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：______，方法2：______； （2）由（1）可得到一个关于、、的等量关系式是______． （3）若，，则______； 【知识迁移】 （4）如图5，正方形和正方形边长分别为（），若，，是的中点，则图中的阴影部分面积的和是______． 【答案】（1），；（2）；（3）33；（4）3 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据大正方形的面积减去个小长方形的面积，阴影部分面积面积等于边长为的小正方形的面积； （2）根据两种方法得到的面积相等列出等式； （3）根据完全平方公式变形求值即可求解． （4）根据阴影部分面积等于，进行化简，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可求解． 【详解】解：（1）方法，大正方形的面积减去4个小长方形的面积得：， 方法，阴影部分面积面积等于边长为的小正方形的面积得：； （2）依题意得：； （3），， ； （4）阴影部分面积等于 ， ，， ， 阴影部分面积等于． 24. 如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． （1）填空： ， ； （2）如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时， ①请直接写出 ， （结果用含的代数式表示）； ②若恰好是的倍，求的值； （3）如图1三角板的放置，现将射线绕点B以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为． ①在旋转过程中，若射线与射线相交，设交点为．当时，则 ； ②在旋转过程中，是否存在若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）120，90 （2）①，② （3）①15②12或48 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用． （1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答； （2）①根据两直线平行，内错角相等求出，再用三角形外角等于不相邻的两个内角和可得，根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后根据周角等于计算即可得到； ②根据恰好是的倍列方程，计算可求解； （3）①画出图形，由平行线性质可得答案； ②分两种情况，根据画出图形，列方程可解得答案． 【小问1详解】 解：根据题意得，， ∵， ∴，； 故答案为：120，90； 【小问2详解】 解：①如图 2， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； ②当时得， ， 解得 的值是； 【小问3详解】 解：①如图： 根据题意得：，， ， ； 故答案为：； ②存在，理由如下： 如图：， ， ， ； 如图： ， ， ， ； 综上所述，t的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年七年级数学下学期第一次自我诊断 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 华为手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为( )． A. B. C. D. 3. 下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，对于下列条件：；；；其中一定能得到的条件有（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在河边的处，有一个牧童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛牵到河边沿的路径走才能走最少的路，其依据是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 垂线段最短 C. 两点之间，线段最短 D. 两点确定一条直线 6. 下列说法中：①在同一平面内，不相交的两条线段一定平行；②两点之间直线最短；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④相等的角是对顶角；⑤等角的补角相等；⑥在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；不正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 7. 如果计算的结果不含项，那么的值为（ ） A. 0 B. 1 C. －1 D. 8. 如图，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 9. 若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（　　） A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 10. 如图，，为上一点，且垂足为，，平分，且，则下列结论：①；②平分；③；④；其中正确的有（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①②③④ D. ①③④ 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 若，则______． 12. 一个角的余角的3倍比这个角的补角少，则这个角的度数为________． 13. 已知多项式为被除式，除式为，商式为，余式为1，则这个多项式为_______． 14. 已知，，则的值等于 ________． 15. 观察下列各式及其展开式 （a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 （a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 （a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4 （a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5 …… 请你猜想（2x－1）8的展开式中含x2项的系数是________． 16. 如图1，将一条对边互相平行的围巾折叠，并将其抽象成相应的数学模型如图2，，折痕分别为，若，则________． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17. 简便运算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 幂的运算逆向思维可以得到；；等，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． （1）若，求的值． （2）比较大小：若，，，则，，的大小关系是什么? 20. 完成下面的证明． 如图，已知，，垂足分别为D、F，． 求证：． 解：∵，（已知）， ∴（__________________）． ∴（__________________）． ∴（__________________）． 又∵（已知）， ∴（__________________）． ∴（__________________）． ∴（__________________）． 21. 如图，直线、相交于点，平分，平分． （1）、有什么位置关系，请说明理由； （2）若，求的度数． 22. 问题情景：如图1，． （1）观察猜想：若，．则的度数为__________． （2）探究问题：在图1中探究，、与之间有怎样的等量关系？并说明理由． （3）拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时、与之间有怎样的等量关系？并说明理由． 23. 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（）．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：______，方法2：______； （2）由（1）可得到一个关于、、的等量关系式是______． （3）若，，则______； 【知识迁移】 （4）如图5，正方形和正方形边长分别为（），若，，是的中点，则图中的阴影部分面积的和是______． 24. 如图1，把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上． （1）填空： ， ； （2）如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时， ①请直接写出 ， （结果用含的代数式表示）； ②若恰好是的倍，求的值； （3）如图1三角板的放置，现将射线绕点B以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为． ①在旋转过程中，若射线与射线相交，设交点为．当时，则 ； ②在旋转过程中，是否存在若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $