第08讲 平行四边形（3个知识清单+8类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（沪教版）

第08讲 平行四边形 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01利用平行四边形的性质求解...........................................................................................................................................3 题型02利用平行四边形的性质证明...........................................................................................................................................5 题型03平行四边形性质的其他应用...........................................................................................................................................8 题型04判断能否构成平行四边形...............................................................................................................................................11 题型05添一个条件成为平行四边形..........................................................................................................................................14 题型06证明四边形是平行四边形..............................................................................................................................................16 题型07利用平行四边形的判定与性质求解..............................................................................................................................22 题型08利用平行四边形性质和判定证明..................................................................................................................................27 分层练习........................................................................................................................................................................................31 夯实基础........................................................................................................................................................................................31 能力提升........................................................................................................................................................................................49 知识点1．平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 知识点2．平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形． 知识点3．平行四边形的判定与性质 平行四边形的判定与性质的作用 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单． 凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 题型01利用平行四边形的性质求解 1．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，点P为平行四边形内任意一点，连接，如果将．、、的面积分别记为、、、．那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知在直角坐标系中有点、和，四边形是平行四边形，那么点的坐标是 3．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）如图，四边形是平行四边形，是上一点，且和分别平分和，，求平行四边形的周长．    题型02利用平行四边形的性质证明 4．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）在平行四边形中，对角线与相交于点，则下列式子不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·上海杨浦·期中）如图，已知平行四边形的对角线相交于点交边于点，若的周长为15厘米，则平行四边形的周长为 厘米．    6．（20-21八年级下·全国·课后作业）已知：如图，四边形是平行四边形，P，Q是对角线上的两个点，且．求证：AP∥QC，AP=QC． 题型03平行四边形性质的其他应用 7．（20-21八年级下·全国·课后作业）有下列说法： ①平行四边形具有四边形的所有性质； ②平行四边形是轴对称图形； ③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． 其中正确说法的序号是(   ) A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 8．（21-22八年级下·上海·期中）平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是 ． 9．（八年级下·上海徐汇·期中）（1）在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y（千米）随时间x（时）变化的图像（全程）如图所示．根据图中数据回答下列问题： ①在哪个时间段甲领先乙？ 请写出此时x的范围 ； ②这次越野跑的全程为 千米． （2）已知以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，其中A（－2 ，－1），B（2 ，－1），C（－1，2），则点D的坐标为 ． 题型04判断能否构成平行四边形 10．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）下列命题中，真命题是（    ） A．一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 11．（八年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，如果分别是平行四边形的两条对边的中点，那么图中有 个平行四边形． 12．（2022八年级下·上海·专题练习），AB＝15，CD＝10，AD＝3，CB＝4，求． 题型05添一个条件成为平行四边形 13．（21-22八年级下·上海·期末）在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，，添加下列条件后能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 14．（八年级下·上海嘉定·期末）已知四边形，点是对角线与的交点，且，请再添加一个条件，使得四边形成为平行四边形，那么添加的条件可以是 ．（用数学符号语言表达） 题型06证明四边形是平行四边形 15．（23-24八年级下·上海·期末）探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 16．（八年级下·上海·期末）如果向量，那么四边形的形状可以是 （写出一种情况即可） 17．（21-22八年级下·上海徐汇·期末）在中，，，，点D是AB上的动点，交AC于点E，分别交射线BC、射线AC于点F、G，联结EF． (1)如图1，如果点G恰好平分EC，判断四边形DEFC的形状并证明； (2)如图2，当点F在线段BC的延长线上时，设AD的长为x，梯形DBFE的面积为y，直接写出y关于x的函数关系及其定义域； (3)当时，求的长． 题型07利用平行四边形的判定与性质求解 18．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）下面有四个命题： ①两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形； ④一组对角相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形． 其中，正确的命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 19．（21-22八年级下·上海·阶段练习）如图：已知梯形于点O，．则＝ 20．（22-23八年级下·上海宝山·期末）平行四边形中，E是边上的动点，过点E作，垂足为点G，F是边的中点，连接．    (1)如图甲，当E是边的中点时，如果四边形的面积为10，求的面积； (2)如图乙，点E移动至点C处，试判断形状，并说明理由； (3)如图丙，如果，，设，，求y与x的函数关系式，并写出定义域． 题型08利用平行四边形性质和判定证明 21．（八年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，，依次是上的五个点，并且，在三个结论：（1）；（2）；（3）之中，正确的个数是（   ）    A． B． C． D． 22．（2023八年级下·上海·专题练习）如图，O是等边三角形内任意一点，过点O作分别交于点G，H，I，已知等边三角形的周长18，则 ． 23．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，已知在的边上取一点，使，边上取一点，使．连接、． 求证：四边形是平行四边形． 夯实基础 一、单选题 1．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．平行四边形中两个内角的度数比是，则其中较小的内角是（    ） A． B． C． D． 3．如图，平行四边形的周长为30，，那么的长度是（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 4．平行四边形的对角线分别为，一边长为12，则的值可能是下列各组数中的（    ） A．8与14 B．10与14 C．18与20 D．10与38 5．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF．求证：DE＝BF．以下是排乱的证明过程： ①∵AE＝CF，∴BE＝FD； ②∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD； ③∴DE＝BF， ④∴四边形EBFD是平行四边形． 证明步骤正确的顺序是（    ） A．①→②→③→④ B．①→④→②→③ C．②→①→④→③ D．②→④→①→③ 二、填空题 6．四边形中，，当 时，这个四边形是平行四边形． 7．平面直角坐标系中，点B、D的坐标分别为、，以BD为对角线作．若点A的坐标为，则点C的坐标为 ． 8．如图，的对角线、相交于点O，且，，则的周长是 ． 9．如图，点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（2，2）、（0，-1），那么以点A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标是： ．    10．将两个全等的不等边三角形拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形的个数为 . 11．在平面直角坐标系中，，，，以A，B，C三点为顶点画平行四边形，则第4个顶点D的坐标是 ． 12．如图，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2，点P为BC上一动点，AQ∥BC，CQ∥AP，AQ 、CQ交于点Q，则四边形APCQ的形状是 ，连接PQ，当PQ取得最小值时，四边形APCQ的周长为 ． 13．如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,3),B(2,1),直角坐标系中存在点C,使得O,A,B,C四点构成平行四边形,则C点的坐标为 . 14．如图，在平行四边形中，对角线交于点，点、在直线上（不同于、，当、的位置满足 的条件时，四边形是平行四边形． 15．如图，在平行四边形ABCD，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：①∠BCD＝2∠DCF；②EF＝CF；③S△CDF＝S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF，－定成立的是 ．(把所有正确结论的序号都填在横线上) 三、解答题 16． 如图：在平行四边形中，的平分线交于，若，，求的长． 17．如图，，且，是的中点．求证：四边形是平行四边形． 18．如图，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵大核桃树．田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问田村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由（画图要保留痕迹，不写画法）． 19．（2013年四川广安6分）如图，在平行四边形ABCD中，AE∥CF，求证：△ABE≌△CDF． 20．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB的延长线上，且EC//BD，求证：BE=AB． 21．如图，△ABC 是等边三角形，D 为 AC 上一点连接 BD，旋转△BCD，使点 B 落在 BC上方的点 E 处，点 C 落在 BC 上的点 F 处，点 D 落在点 C 处，连接 AE． 求证：四边形 ABFE 是平行四边形． 能力提升 一、单选题 22．已知四边形ABCD，有以下四个条件：①；②；③；④．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有（　　　） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 23．在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是（   ） A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边相等，一组对角相等 C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线 D．一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线 二、填空题 24．如图，在平行四边形ABCD中，AE=CG，DH=BF，连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH是 . 25．若与相交于点，那么当 ， 时，四边形是平行四边形． 三、解答题 26．如图，在中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，连接，．求证：． 27．如图所示，在四边形中，，，，若点E，F分别在，的延长线上，且．求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 平行四边形 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01利用平行四边形的性质求解...........................................................................................................................................3 题型02利用平行四边形的性质证明...........................................................................................................................................5 题型03平行四边形性质的其他应用...........................................................................................................................................8 题型04判断能否构成平行四边形...............................................................................................................................................11 题型05添一个条件成为平行四边形..........................................................................................................................................14 题型06证明四边形是平行四边形..............................................................................................................................................16 题型07利用平行四边形的判定与性质求解..............................................................................................................................22 题型08利用平行四边形性质和判定证明..................................................................................................................................27 分层练习........................................................................................................................................................................................31 夯实基础........................................................................................................................................................................................31 能力提升........................................................................................................................................................................................49 知识点1．平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 知识点2．平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形． 知识点3．平行四边形的判定与性质 平行四边形的判定与性质的作用 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单． 凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 题型01利用平行四边形的性质求解 1．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，点P为平行四边形内任意一点，连接，如果将．、、的面积分别记为、、、．那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，根据平行四边形的对边相等可得，设点P到的距离分别为，然后利用三角形的面积公式列式整理即可出得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 设点P到的距离分别为，平行四边形边，边上的高分别为， 则， ∴ ∵， ∴ 同理可得，， ∵， ∴ 故选：D． 2．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知在直角坐标系中有点、和，四边形是平行四边形，那么点的坐标是 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形性质，平行四边形的判定与性质，画出平行四边形是解题的关键． 先利用平行四边形的性质画出图形，然后写出D点坐标即可． 【详解】解：如图，四边形为平行四边形，那么点D的坐标为． 故答案为：． 3．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）如图，四边形是平行四边形，是上一点，且和分别平分和，，求平行四边形的周长．    【答案】平行四边形的周长为 【知识点】利用平行四边形的性质求解、等边对等角、角平分线的有关计算 【分析】根据角平分线可得，，由平行线的性质及等量代换得出，，依据等角对等边可得，，即可求出平行四边形的周长； 【详解】解：和分别平分和， ，， 又四边形是平行四边形， ，，， ，， ，， ，， ， 平行四边形的周长． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，等角对等边，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 题型02利用平行四边形的性质证明 4．（22-23八年级下·上海杨浦·期末）在平行四边形中，对角线与相交于点，则下列式子不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】根据平行四边形的性质分析即可． 【详解】解：如图： ∵四边形是平行四边形， ， ， ， 故A、B、D都不符合题意，C符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 5．（22-23八年级下·上海杨浦·期中）如图，已知平行四边形的对角线相交于点交边于点，若的周长为15厘米，则平行四边形的周长为 厘米．    【答案】30 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、利用平行四边形的性质证明、线段垂直平分线的判定 【分析】根据题意可知是的垂直平分线，得,再由的周长为15厘米求出厘米，再根据平行四边形周长公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形, ∴ 又 ∴是的垂直平分线， ∴, ∵的周长为15厘米， ∴厘米， ∴厘米，即厘米， ∴平行四边形的周长厘米， 故答案为：30． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形的周长以及平行四边形的周长，正确求出厘米是解答本题的关键． 6．（20-21八年级下·全国·课后作业）已知：如图，四边形是平行四边形，P，Q是对角线上的两个点，且．求证：AP∥QC，AP=QC． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】直接利用平行四边形的性质得出AB＝DC，AB∥DC，进而得出△ABP≌△CDQ（SAS），即可得出答案． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，AB∥DC， ∴∠ABP＝∠CDQ， 在△ABP和△CDQ中， ， ∴△ABP≌△CDQ（SAS）， ∴∠APB＝∠CQD，AP=QC， ∴180°﹣∠APB＝180°﹣∠DQC， 即∠APQ＝∠CQP， ∴AP∥QC， ∴AP∥QC，AP=QC． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出△ABP≌△CDQ是解题关键． 题型03平行四边形性质的其他应用 7．（20-21八年级下·全国·课后作业）有下列说法： ①平行四边形具有四边形的所有性质； ②平行四边形是轴对称图形； ③平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． 其中正确说法的序号是(   ) A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【知识点】平行四边形性质的其他应用 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 平行四边形具有四边形的所有性质，故①正确， 平行四边形不是轴对称图形，故②错误， 平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形，故③正确， 平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形，故④正确， 故选：C． 8．（21-22八年级下·上海·期中）平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是 ． 【答案】12或18/18或12 【知识点】平行四边形性质的其他应用 【分析】分两种情况讨论：①3是长为4的边上的高，②3是长为6的边上的高，再根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：当3是长为4的边上的高时，平行四边形的面积为：3×4=12； 当3是长为6的边上的高时，平行四边形的面积为：3×6=18； 故答案为：12或18． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的面积计算，解题的关键是掌握平行四边形的面积公式，当高不知道是哪条边上的高时，要进行讨论． 9．（八年级下·上海徐汇·期中）（1）在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y（千米）随时间x（时）变化的图像（全程）如图所示．根据图中数据回答下列问题： ①在哪个时间段甲领先乙？ 请写出此时x的范围 ； ②这次越野跑的全程为 千米． （2）已知以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，其中A（－2 ，－1），B（2 ，－1），C（－1，2），则点D的坐标为 ． 【答案】（1）①；②20 （2）（3，2）或（－5，2）或（1，－4） 【知识点】平行四边形性质的其他应用、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据图像可得，①起跑1小时内，甲在乙的前面，即可得此时x的范围；②乙比甲先到达终点，且乙做匀速运动，1小时的路程是10千米，乙跑完全程用时2小时，所以全程长等于速度×时间，即千米． （2）根据平行四边形的性质，分情况进行讨论，如下图，在格点平面坐标图像中，易找到符合要求的三个点． 【详解】解：（1）①当甲的图像位于乙的上方，此时甲领先乙；由图像可知此时； ②根据图像可知，乙做匀速运动，每小时运动10千米，当x=2时乙跑完全程，所以全程长为千米； （2）设D的坐标为（m，n）， ∵以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形 ①当，时，四边形ABCD是平行四边形, ∵， ∴， 解得或 ， 而此时， ∴点D的坐标为（3，2）或（-5，2）； ②当时， ∵， ∴，， ∴点D的坐标为（1，－4）． 【点睛】 题目（1）主要考查了函数图像在有关追及问题中的应用，读懂函数图像，根据路程时间与速度的关系即可作答；题目（2）主要考查了位置与坐标在平行四边形性质中的运用的问题，熟练掌握平行四边形的性质，在格点坐标图像上，即可找到符合要求的点． 题型04判断能否构成平行四边形 10．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）下列命题中，真命题是（    ） A．一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【知识点】判断命题真假、判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A．一条对角线平分一组对角的四边形不一定是平行四边形，故本选项命题是假命题，不符合题意； B．两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形的对角线相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； C．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形或梯形，故本选项命题是假命题，不符合题意； D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，符合题意； 故选：D． 11．（八年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，如果分别是平行四边形的两条对边的中点，那么图中有 个平行四边形． 【答案】6 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】由平行四边形的判定方法即可得出结论． 【详解】解：，分别是平行四边形的两条对边的中点， ，，，， 四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， 图中有6个平行四边形； 故答案为：6． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 12．（2022八年级下·上海·专题练习），AB＝15，CD＝10，AD＝3，CB＝4，求． 【答案】30 【知识点】判断能否构成平行四边形、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】过D作DF∥CB交AB于F，作DE⊥AB于E，则四边形BCDF是平行四边形，得BF＝CD＝10，DF＝CB＝4，则AF＝AB﹣BF＝5，设AE＝x，则EF＝AF﹣AE＝5﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：过D作DF∥CB交AB于F，作DE⊥AB于E，如图所示： ∵AB∥CD， ∴四边形BCDF是平行四边形， ∴BF＝CD＝10，DF＝CB＝4， ∴AF＝AB﹣BF＝15﹣10＝5， 设AE＝x，则EF＝AF﹣AE＝5﹣x， 由勾股定理得：， 即， 解得：x＝， ∴DE＝＝， ∴＝（AB+CD）•DE＝（15+10）×＝30． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理以及梯形面积公式等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 题型05添一个条件成为平行四边形 13．（21-22八年级下·上海·期末）在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，，添加下列条件后能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】根据平行四边形的判定，逐项分析即可． 【详解】A、由可得AD∥BC，此时只能得到这四边形一组对边平行，另一组对边相等，显然无法得到四边形ABCD是平行四边形，如下图的等腰梯形ABCD满足AB=CD，，但它不是平行四边形； B、由，无法判定四边形ABCD为平行四边形，如下图所示，作平行四边形ABCE，AC、BE交于点O，则OA=OC，AB=CE， 以点C为圆心CE长为半径画圆交O E于点D，则AB=CE=CD，且AO=CO，但此时四边形ABCD不是平行四边形； C、当时，如下图所示，作平行四边形ABFE，过A作AN⊥BF于N，在BF上取FN=CN，连接AC，把△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角度等于∠FAC，此时AE旋转到AD，∠ABC=∠E=∠ADC，且AB=CD，但四边形ABCD不是平行四边形，故不符合题意；   D、当AD=BC时，则根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形的判定即可得到四边形ABCD是平行四边形，故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是关键．注意说明一个命题是假命题时，只要举出一个反例即可． 14．（八年级下·上海嘉定·期末）已知四边形，点是对角线与的交点，且，请再添加一个条件，使得四边形成为平行四边形，那么添加的条件可以是 ．（用数学符号语言表达） 【答案】 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】由题意OA=OC，即一条对角线平分，根据平行四边形的判定方法，可以平分另一条对角线，也可以根据三角形全等，得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵OA=OC， 由定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴可以是OB=OD（答案不唯一）． 故答案为：OB=OD（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，一般有几种方法： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形， ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形， ④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形， ⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 题型06证明四边形是平行四边形 15．（23-24八年级下·上海·期末）探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形的条件是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】B 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】此题考查了平行四边形的判定，根据作图可知，，即可得到答案. 【详解】解：由作图可知，， ∴四边形为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） 故选：B 16．（八年级下·上海·期末）如果向量，那么四边形的形状可以是 （写出一种情况即可） 【答案】平行四边形 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】根据相等向量的定义和四边形的性质解答． 【详解】如图： ∵=， ∴AD∥BC，且AD=BC， ∴四边形ABCD的形状可以是平行四边形． 故答案为平行四边形． 【点睛】此题考查了平面向量，掌握平行四边形的判定定理（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）是解题的关键． 17．（21-22八年级下·上海徐汇·期末）在中，，，，点D是AB上的动点，交AC于点E，分别交射线BC、射线AC于点F、G，联结EF． (1)如图1，如果点G恰好平分EC，判断四边形DEFC的形状并证明； (2)如图2，当点F在线段BC的延长线上时，设AD的长为x，梯形DBFE的面积为y，直接写出y关于x的函数关系及其定义域； (3)当时，求的长． 【答案】(1)四边形DEFC是平行四边形，证明见解析； (2)y＝x2﹣+500＜x＜）； (3)AD的长为或8． 【知识点】证明四边形是平行四边形、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、函数解析式 【分析】（1）由AAS证得△CFG≌△EDG，FG＝DG，又CG＝EG，即可得出四边形DEFC是平行四边形； （2）由含30°角直角三角形的性质得出BC＝AB＝5，DE＝AD＝x，BD＝10﹣x，由勾股定理求出AC＝5 ，AE＝x，推出CE＝5﹣x，再由含30°角直角三角形的性质得出BF＝2BD＝20﹣2x，则y＝S梯形DBFE＝（DE+BF）•CE＝x2﹣+50，当点F与C重合时，求出AD＝，即可得出结果； （3）①当点F在线段BC的延长线上时，梯形DBFE为等腰梯形；②当点F在线段BC上时，四边形BDEF为平行四边形，分别求出AD即可． 【详解】（1）解：四边形DEFC是平行四边形，理由如下： ∵点G恰好平分EC， ∴CG＝EG， ∵DE∥BC， ∴∠CFG＝∠EDG， 在△CFG和△EDG中， ， ∴△CFG≌△EDG（AAS）， ∴FG＝DG， ∴四边形DEFC是平行四边形； （2）解：∵∠ACB＝90°，DE∥BC， ∴∠AED＝∠ACB＝90°， ∵∠A＝30°， ∴BC＝AB＝×10＝5，DE＝AD＝x，BD＝AB﹣AD＝10﹣x， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝， ∴CE＝AC﹣AE＝， ∵DF⊥AB， ∴∠BDF＝90°， ∵∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BFD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°， ∴BF＝2BD＝2×（10﹣x）＝20﹣2x， ∴y＝S梯形DBFE＝（DE+BF）•CE＝×（x+20﹣2x）×（）＝x2﹣+50， 当点F与C重合时，如图3所示： ∵CD⊥AB，则∠ADC＝90°， ∵∠A＝30°， ∴CD＝AC＝， 在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD＝， ∴AD的长度x的变化范围为0＜x＜， ∴y＝x2﹣+50（0＜x＜）； （3）解：①当点F在线段BC的延长线上时，EF＝DB，梯形DBFE为等腰梯形，如图4，, ∴∠BFE＝∠B， ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝60°， ∴∠BFE＝∠B＝60°， ∵DF⊥AB， ∴∠BDF＝90°， ∴∠BFD＝90°﹣∠B＝30°， ∴∠DFE＝∠BFE﹣∠BFD＝60°﹣30°＝30°， ∵DE∥BC， ∴∠EDF＝∠BFD＝30°， ∴∠EDF＝∠DFE＝30°， ∴DE＝EF， ∴DE＝DB， 由（2）可知，当AD＝x时，DE＝x， BD＝10﹣x， ∴x＝10﹣x， 解得：x＝， ∴AD的长为； ②当点F在线段BC上的点 时，如图5所示： 结合图4， ∵EF＝DB＝E, ∴∠FC＝∠F＝∠DBC， ∴DBE, ∵， ∴四边形BDEF为平行四边形， ∴BF＝DE＝x， ∵DF⊥AB， ∴∠BDF＝90°， ∴∠BFD＝90°－∠B＝30°， ∴BD＝BF＝×x＝x， ∴x＝10﹣x， 解得：x＝8， ∴AD的长为8； 综上所述，AD的长为或8． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了含30°角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰梯形的判定与性质、勾股定理、梯形面积的计算、列函数关系式、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握含30°角直角三角形的性质和分类讨论是解题的关键． 题型07利用平行四边形的判定与性质求解 18．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）下面有四个命题： ①两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形； ④一组对角相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形． 其中，正确的命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】根据平行四边形的判定，对命题进行判断，即可． 【详解】①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故正确； ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故②正确； ③一组对边平行另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，故③错误； ④一组对角相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形不能判定四边形是平行四边形，故④错误；∴正确的命题为：①②． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定． 19．（21-22八年级下·上海·阶段练习）如图：已知梯形于点O，．则＝ 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】过D作DEAC交BC的延长线于E，根据平行四边形的判定和性质得出四边形ACED是平行四边形，结合图形得出CE=AD=2，DE=AC=5，BE=8，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过D作DEAC交BC的延长线于E， ∵AC⊥BD， ∴DE⊥BD， ∴∠BDE=90°， ∵ADBC， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴CE=AD=2，DE=AC=5， ∴BE=BC＋CE=6＋2=8， 在Rt△BDE中， BD=， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． 20．（22-23八年级下·上海宝山·期末）平行四边形中，E是边上的动点，过点E作，垂足为点G，F是边的中点，连接．    (1)如图甲，当E是边的中点时，如果四边形的面积为10，求的面积； (2)如图乙，点E移动至点C处，试判断形状，并说明理由； (3)如图丙，如果，，设，，求y与x的函数关系式，并写出定义域． 【答案】(1) (2)是等腰三角形，理由见解析 (3) 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形、函数解析式 【分析】（1）根据平行四边形的性质和判定定理得出四边形是平行四边形，设平行四边形边上的高为h，根据面积之间的关系求解即可； （2）取中点H，连接与交于点P，根据平行线的性质及垂直平分线的判定和性质得出，即可得出结果； （3）过点G作于N，过点A作于M，根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理得出，，，，结合图形得出代入求解即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形， ∴， ∵E是边的中点时，F是边的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， 设平行四边形边上的高为h， ∴； （2）取中点H，连接与交于点P，    由（1）可知， ∵， ∴P是中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形； （3）过点G作于N，过点A作于M，    在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴点G到的距离为， ∴ ． 【点睛】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形及含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质及确定函数解析式等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 题型08利用平行四边形性质和判定证明 21．（八年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，，依次是上的五个点，并且，在三个结论：（1）；（2）；（3）之中，正确的个数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边对等角、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】先根据平行四边形性质和等腰三角形性质可得是的角平分线，是的角平分线，结论（2）正确．再利用结论（2）可得，即可判断结论（1）（3）错误， 【详解】解：设，则， ， ，，， 在中， ， ， ∴， ， 同理可得：， ， ∴， ， 故（2）正确； ∵，， ∴，即， ∴ 所以与不垂直，故（1）不正确； ∵，， ∴，即， ∴ 故（3）不正确； 故选：． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理等，证明是的角平分线，是的角平分线是解题关键． 22．（2023八年级下·上海·专题练习）如图，O是等边三角形内任意一点，过点O作分别交于点G，H，I，已知等边三角形的周长18，则 ． 【答案】6 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了平行的性质、等边三角形的判定和性质、平行四边形的判定与性质．在解题的时候要注意找准对应平行线所形成的角．由平行推理得是等边三角形，由等边三角形三边相等的性质和平行四边形的性质求出的值． 【详解】解：∵ ∴ 则四边形和四边形都是平行四边形， ∵是等边三角形 ∴三角形是等边三角形， 则， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴． 故答案为：6． 23．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，已知在的边上取一点，使，边上取一点，使．连接、． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．根据平行四边形的性质，得出，，进而得到，即可得到结论． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形． 夯实基础 一、单选题 1．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：如图： A、∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形；故A选项不符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形；故B选项不符合题意； C、，无法判断四边形是平行四边形；故C选项符合题意； D、∵，， ∴四边形是平行四边形；故D选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键． 2．平行四边形中两个内角的度数比是，则其中较小的内角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，设平行四边形的内角为，根据平行四边形的性质可知，求出解即可． 【详解】解：设平行四边形的内角为，根据题意，得 ， 解得， 所以其中较小的内角是． 故选：B． 3．如图，平行四边形的周长为30，，那么的长度是（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】A 【分析】由平行四边形的周长为30，可得，再结合条件，所以可求出的值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平行四边形的周长为30， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的各种性质是解题的关键． 4．平行四边形的对角线分别为，一边长为12，则的值可能是下列各组数中的（    ） A．8与14 B．10与14 C．18与20 D．10与38 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，当AB=12时，根据三角形的三边关系定理只要满足：OB-OA＜12＜OB+OA（OB＞OA）即可，将OA、OB的值代入看是否符合即可． 【详解】解：∵平行四边形ABCD， ∴OA=OC，OB=OD， 当AB=12时，根据三角形的三边关系定理只要满足： OB-OA＜12＜OB+OA（OB＞OA）即可， A、OA=4，OB=7，12＞4+7，故本选项不符合题意； B、OA=5，OB=7，12=5+7，故本选项不符合题意； C、OA=9，OB=10，10+9＞12，故本选项符合题意； D、OA=5，OB=19，5+12＜19，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键． 5．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF．求证：DE＝BF．以下是排乱的证明过程： ①∵AE＝CF，∴BE＝FD； ②∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD； ③∴DE＝BF， ④∴四边形EBFD是平行四边形． 证明步骤正确的顺序是（    ） A．①→②→③→④ B．①→④→②→③ C．②→①→④→③ D．②→④→①→③ 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，再证BE＝FD，得四边形EBFD是平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵AE＝CF， ∴BE＝FD， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∴DE＝BF， 则证明步骤正确的顺序是②→①→④→③， 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，掌握判定和性质是解决问题的关键． 二、填空题 6．四边形中，，当 时，这个四边形是平行四边形． 【答案】3 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握平行四边形的判定方法是解题关键．直接利用平行四边形的判定方法得出时可得出这个四边形是平行四边形即可得出答案． 【详解】解：当，时，四边形是平行四边形， 当时，这个四边形是平行四边形． 故答案为：3 7．平面直角坐标系中，点B、D的坐标分别为、，以BD为对角线作．若点A的坐标为，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分即可求解． 【详解】解：∵平行四边形的对角线互相平分 ∴的中点即为的中点 有： 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查了平行四边形的性质．熟记相关结论即可． 8．如图，的对角线、相交于点O，且，，则的周长是 ． 【答案】14 【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再由已知求出AO+BO的长，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO，AB=CD=6， ∵AC+BD=16， ∴AO+BO=8， ∴△ABO的周长=AO+OB+AB=8+6=14． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形周长的计算等知识；正确得出AO+BO的值是解题关键． 9．如图，点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（2，2）、（0，-1），那么以点A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标是： ．    【答案】（2，-1）或（-2，-1）或（2，5） 【分析】分情况讨论，当平行四边形的一组对边平行于x轴时，可得点D的坐标为（2，-1）或（-2，-1），当平行于x轴的AB为平行四边形的对角线时，可得点D的坐标为（2，5）．注意不要遗漏可能组成平行四边形的情况． 【详解】解：①如下图：当以AB为边时，点D的坐标为（2，-1）；    ②如下图：当以AB为边时，点D的坐标也可以为（-2，-1）；    ③如下图：当以AB为对角线时，点D的坐标为（2，5）；    【点睛】本题考查平行四边形的判定、坐标与图形的性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 10．将两个全等的不等边三角形拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形的个数为 . 【答案】3 【详解】如图所示： 可以拼成3个平行四边形． 分别是：▱DBCA，▱BACF，▱AECB． 故答案是：3． 11．在平面直角坐标系中，，，，以A，B，C三点为顶点画平行四边形，则第4个顶点D的坐标是 ． 【答案】，， 【分析】当是时，，利用点的平移可求D的坐标，同理可以求出当是和时点D的坐标． 【详解】解：当时，第4个顶点D的坐标是或， 当时，第4个顶点D的坐标是． 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，主要利用了平行四边形对边平行且相等的性质，运用平移的方法来判断第三个点的坐标． 12．如图，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2，点P为BC上一动点，AQ∥BC，CQ∥AP，AQ 、CQ交于点Q，则四边形APCQ的形状是 ，连接PQ，当PQ取得最小值时，四边形APCQ的周长为 ． 【答案】 平行四边形 / 【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求解；当PQ是AQ和BC间距离时PQ取得最小值，计算四边形APCQ的周长即可． 【详解】解：如图，∵AQBC，CQAP， ∴四边形APCQ是平行四边形． 当PQ⊥BC时，PQ取得最小值， ∵四边形APCQ是平行四边形， ∴AH=HC=AC，QH=PH=PQ， ∵∠ABC=45°，AB=2，BC=， ∴AC=2，∠ACB=45°， ∵QP⊥BC， ∴∠PHC=45°， ∴PH=PC=， ∴PQ=， ∴QC=， ∴四边形APCQ的周长为：2PC+2QC=2×+2×=， 故答案为：平行四边形；． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，垂线段最短的性质，综合性较强． 13．如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,3),B(2,1),直角坐标系中存在点C,使得O,A,B,C四点构成平行四边形,则C点的坐标为 . 【答案】(3,4)或(1,-2)或(-1,2) 【分析】由平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，即可求得点C的坐标；注意三种情况． 【详解】如图所示： ∵以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，O（0，0），A（1，3），B（2，0）， ∴三种情况： ①当AB为对角线时，点C的坐标为（3，4）； ②当OB为对角线时，点C的坐标为（1，-2）； ③当OA为对角线时，点C的坐标为（-1，2）； 故答案是：（3，4）或（1，-2）或（-1，2）． 【点睛】考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等．解题的关键是要注意数形结合思想的应用． 14．如图，在平行四边形中，对角线交于点，点、在直线上（不同于、，当、的位置满足 的条件时，四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】当时四边形是平行四边形；根据四边形是平行四边形，可得，，再由条件可得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形． 【详解】解：当时四边形是平行四边形； 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，关键是掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形． 15．如图，在平行四边形ABCD，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：①∠BCD＝2∠DCF；②EF＝CF；③S△CDF＝S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF，－定成立的是 ．(把所有正确结论的序号都填在横线上) 【答案】①②④ 【分析】①根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质即可判断； ②延长EF，交CD延长线于点M，首先根据平行四边形的性质证明，得出，进而得出，从而利用直角三角形斜边中线的性质即可判断； ③由，得出，从而可判断正误； ④设 ，利用三角形内角和定理分别表示出∠DFE和∠AEF，从而判断正误． 【详解】①∵点F是AD的中点， ∴ ． ∵在平行四边形ABCD中，AD＝2AB， ， ， ， ∴∠BCD＝2∠DCF，故①正确； ②延长EF，交CD延长线于点M， ∵四边形ABCD是平行四边形， ， ， ∵点F是AD的中点， ∴ ． 在和中， ． ， ， ， ，故②正确； ③∵， ∴ ． ，故③错误； ④设 ，则， ， ， ． ， ，故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故答案为 ：①②④． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握这些性质和定理是解题的关键． 三、解答题 16． 如图：在平行四边形中，的平分线交于，若，，求的长． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质，等角对等边确定与的关系，即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等角对等边．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 17．如图，，且，是的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行证明，即可作答． 【详解】证明：∵是的中点． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 18．如图，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵大核桃树．田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问田村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由（画图要保留痕迹，不写画法）． 【答案】能，见解析 【详解】试题分析：连接AC、BD，然后分别过点A，B，C，D作AC、BD的平行线，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可解决问题． 能，如图所示； 考点：本题考查了平行四边形的判定定理 点评：解答本题的关键是熟练掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 19．（2013年四川广安6分）如图，在平行四边形ABCD中，AE∥CF，求证：△ABE≌△CDF． 【答案】详见解析 【分析】首先证明四边形AECF是平行四边形，即可得到AE=CF，AF=CF，再根据由三对边相等的两个三角形全等即可证明：△ABE≌△CDF． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥CF，AD=BC，AB=CD． ∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．∴AE=CF，AF=CE．∴BE=DF． 在△ABE和△CDF中，∵，∴△ABE≌△CDF（SSS）． 【点睛】平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定． 20．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB的延长线上，且EC//BD，求证：BE=AB． 【答案】证明见解析． 【分析】可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证四边形BECD是平行四边形． 【详解】解：∵ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD,即BE∥CD， 又∵EC∥BD， ∴四边形BECD是平行四边形 ∴BE=CD ∴BE=AB 21．如图，△ABC 是等边三角形，D 为 AC 上一点连接 BD，旋转△BCD，使点 B 落在 BC上方的点 E 处，点 C 落在 BC 上的点 F 处，点 D 落在点 C 处，连接 AE． 求证：四边形 ABFE 是平行四边形． 【答案】详见解析. 【分析】由题意△ABC、△AED、△DCF是等边三角形，可以推知同位角∠CFD＝∠ABC，内错角∠CFD＝∠AED．所以利用平行的线的判定定理可以证得四边形ABFE的对边相互平行． 【详解】证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴AC＝BC＝AB，∠ACB＝60° ∵将 AC 绕点 E 旋转 ∴DF＝DC，DE＝DA ∴△DFC 是等边三角形， ∴DF＝CD＝CF，∠DCF＝∠EFC＝60°， ∴EF＝AC＝BC， ∴△ABC、△AED、△DCF 均为等边三角形， ∴∠CFD＝∠ABC＝∠DEA＝60°， ∴AB∥EF，BF∥AE， ∴四边形 ABFE 是平行四边形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及平行四边形的判定定理 能力提升 一、单选题 22．已知四边形ABCD，有以下四个条件：①；②；③；④．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有（　　　） A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可构成①③； 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可构成②④； 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可构成①②或③④， 一共有4种组合， 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 23．在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是（   ） A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边相等，一组对角相等 C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线 D．一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 一组对边平行，另一组对边相等，这个四边形有可能是等腰梯形可判定A；一组对边相等，一组对角相等，不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行，即不能判定是平行四边形可判定B；一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线，可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等，是平行四边形，可判定C；一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线，不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行，即不能判定是平行四边形可判定D． 【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等，这个四边形有可能是等腰梯形．故此选项不符合题意； B、一组对边相等，一组对角相等，不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行，即不能判定是平行四边形，故此选项不符合题意； C、一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线，可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等，是平行四边形，故此选项符合题意； D、一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线，不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行，即不能判定是平行四边形，故此选项不符合题意； 故选：C． 二、填空题 24．如图，在平行四边形ABCD中，AE=CG，DH=BF，连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH是 . 【答案】平行四边形 【分析】先运用平行四边形的性质可得∠A＝∠C，AD＝BC，再运用DH＝BF可得AH＝CF；再运用全等三角形的判定可得△AEH≌△CGH，进而可得EH＝FG，同理可得GH＝EF，最后运用平行四边形的判定即可求解. 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AD＝BC， ∵DH＝BF， ∴AH＝CF， 又∵AE＝CG， ∴△AEH≌△CGH， ∴EH＝FG， 同理可得GH＝EF， ∴四边形EFHG是平行四边形. 【点睛】本题主要是平行四边形的性质以及判断问题，熟悉掌握判断条件是解题关键. 25．若与相交于点，那么当 ， 时，四边形是平行四边形． 【答案】 5 4 【分析】由平行四边形的对角线互相平分即可填空. 【详解】当两条对角线互相平分时，该四边形是平行四边形， 如图，∵， ∴当时，四边形是平行四边形． 故答案为：5，4. 【点睛】此题考查平行四边形的对角线互相平分的判定定理，熟记定理并运用解题是关键. 三、解答题 26．如图，在中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，连接，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的性质得，，又点，分别为，的中点，可证，通过“”证明，然后利用全等三角形对应边相等即可证得结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵四边形是平行四边形 ∴，， ∵点，分别为，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． 27．如图所示，在四边形中，，，，若点E，F分别在，的延长线上，且．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了用证明三角形全等以及全等的性质．在上截取，连接．用证明，由全等的性质得，结合四边形的性质证明，再利用证明，进而由全等的性质证得． 【详解】证明：如图所示，在上截取，连接． 在和中， ， ∴． ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$