第09讲 特殊的平行四边形（9个知识清单+19类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（沪教版）

第09讲 特殊的平行四边形 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01利用矩形的性质求角度...................................................................................................................................................5 题型02根据矩形的性质求线段长...............................................................................................................................................7 题型03根据矩形的性质求面积..................................................................................................................................................12 题型04利用矩形的性质证明......................................................................................................................................................15 题型05矩形与折叠问题..............................................................................................................................................................18 题型06矩形的判定定理理解......................................................................................................................................................21 题型07添一条件使四边形是矩形..............................................................................................................................................23 题型08证明四边形是矩形.........................................................................................................................................................26 题型09根据矩形的性质与判定求角度.....................................................................................................................................28 题型10根据矩形的性质与判定求线段长.................................................................................................................................35 题型11利用菱形的性质求线段长.............................................................................................................................................40 题型12利用菱形的性质证明.....................................................................................................................................................42 题型13添一个条件使四边形是菱形.........................................................................................................................................47 题型14证明四边形是菱形........................................................................................................................................................49 题型15根据菱形的性质与判定求面积....................................................................................................................................52 题型16根据正方形的性质求角度............................................................................................................................................55 题型17根据正方形的性质求线段长........................................................................................................................................60 题型18根据正方形的性质求面积............................................................................................................................................65 题型19四边形其他综合问题....................................................................................................................................................68 分层练习......................................................................................................................................................................................76 夯实基础........................................................................................................................................................................................76 能力提升........................................................................................................................................................................................97 知识点1．矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 知识点2．矩形的判定 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 知识点3．矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 知识点4．菱形的性质 （1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． （2）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （3）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度） 知识点5．菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 知识点6．菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． 知识点7．正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 知识点8．正方形的判定 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 知识点9．正方形的判定与性质 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． （2）正方形的判定 正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定． 题型01利用矩形的性质求角度 1．（22-23八年级下·上海徐汇·阶段练习）如果矩形的一边与对角线的夹角是50°，则两条对角线相交所成的锐角的度数为（    ） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】D 【知识点】利用矩形的性质求角度、等边对等角 【分析】根据矩形的性质和等边对等角，进行求解即可． 【详解】解：如图，矩形， 则：，， ∴， ∴， ∴两条对角线相交所成的锐角的度数为80°； 故选D． 【点睛】本题考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握矩形的对角线相等且平分，是解题的关键． 2．（22-23八年级下·上海长宁·期中）如图，在矩形中，对角线交于点，点E在边上，连接，如果，，那么的度数为 ．    【答案】/60度 【知识点】等边对等角、利用矩形的性质求角度 【分析】根据矩形的性质可得，可得，求出，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出，然后根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 题型02根据矩形的性质求线段长 3．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）在矩形中，对角线、相交于点O，，厘米，则对角线 厘米． 【答案】10 【知识点】根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查矩形的性质和等边三角形性质和判定，掌握矩形的性质和等边三角形性质和判定是解题关键．根据矩形性质得出，，，得出三角形为等边三角形，推出，根据厘米，求出结果即可． 【详解】解：如图： 四边形是矩形， ，，， ， ， 为等边三角形， ∴， ∴， ∵厘米， ∴厘米， ∴厘米， ∴厘米． 故答案为：10． 4．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图．矩形中，，点E是延长线上的一点，且，连结，取的中点F，联结、． (1)求证：； (2)设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)， (3) 【知识点】根据矩形的性质求线段长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）连接，证明，进而推出，即可得证； （2）连接，利用矩形的性质和勾股定理进行求解即可； （3）根据，推出，利用（2）中的结论，列出无理方程，进行求解即可． 【详解】（1）见详解 解：连接， ∵，为的中点， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）连接，则， ∵， ∴， 在中，，即， 在中，， 由（1）知：，， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，； （3） 当时， 又， ∴， 由（2）知：，， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）； 经检验是原方程的解， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用函数关系式表示变量之间的关系，解无理方程等知识点，综合性强，难度较大，计算量大，属于压轴题，掌握相关知识点，正确的计算，是解题的关键． 题型03根据矩形的性质求面积 5．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）如图，过矩形对角线的交点，且分别交、于、，那么阴影部分的面积与矩形的面积的比值是 ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求面积 【分析】根据矩形的性质证明，则，进而根据矩形的对角线互相平分，可得，即可求解． 【详解】由图可知：，，， ， ， 在与中，，高相等， ， 即， 阴影部分的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 6．（八年级下·上海普陀·期末）已知：如图，在矩形中，，点是垂足． （1）联结，求证：四边形是平行四边形； （2）如果，求矩形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）12． 【知识点】证明四边形是平行四边形、根据矩形的性质求面积 【分析】（1）先根据矩形的性质得到AB=CD，AB∥CD，再证明BE∥DF，接着证明△ABE≌△CDF，从而得到BE=DF，然后根据平行四边形的判定方法得到结论； （2）矩形ABCD的面积=AC•DF，想办法求DF，AC即可． 【详解】解：（1）证明：如图： ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠EAB=∠FCD， ∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴BE∥DF，∠AEB=∠DFC=90°， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE=DF， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠DAC=∠BCA， 又∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠DAF=∠BCE， 在△DAF和△BCE中， ， ∴△DAF≌△BCE（AAS）， ∴AF=CE， 联结BD交AC于点O， ∵AF=FE=2， ∴AC=BD=6， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=DO=3， 在△ODF中，OD=3，OF=1，∠OFD=90°， ∴ ， ∴矩形ABCD的面积=AC×DF=6×2=12． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 题型04利用矩形的性质证明 7．（21-22八年级下·上海·期末）如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则的长是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、等边三角形的判定和性质 【分析】首先证明是等边三角形，可以求得的长，然后利用勾股定理求得的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 则． 故答案是：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定的应用和勾股定理的应用，解决本题的关键是：矩形的对角线相等且互相平分，属于基础题． 8．（23-24八年级下·上海·期末）已知，如图，是矩形的对角线的垂直平分线，与对角线及边、分别交于点O，E，F．    (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用矩形的性质证明、证明四边形是菱形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形 【分析】此题考查了矩形的性质、菱形的判定、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定是解题的关键． （1）证明，则，又由得到四边形是平行四边形，再由即可证明四边形是菱形； （2）证明，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：证明：∵四边形是矩形 ∴， ∴， ∵是矩形的对角线的垂直平分线， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形； （2）∵四边形是菱形 ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ 题型05矩形与折叠问题 9．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，在矩形中，，，点E在边上（点E与点A、D不重合），将沿直线翻折，点D的对应点为点G，连接，的延长线交边于点F，如果，那么的长为 ． 【答案】2 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，等积转换；由勾股定理得 ，由三角形的面积得，即可求解；掌握性质，能用三角形面积转化求解是解题的关键． 【详解】解：如图， 四边形是矩形， ， ， ， 由翻折得：， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案：． 10．（23-24八年级下·上海静安·期末）把一张矩形纸片沿对角线折叠，点B的对应点为点E，边交边于点G，连接（如图所示），当时，下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】矩形与折叠问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查矩形性质及翻折问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是根据折叠得到．先由折叠的性质及矩形的性质可得，从而判断出选项A；由全等的性质可得，由等腰三角形的性质可得，再由平行线的判定即可判断选项B；设，则，中，，列出方程求解，即可判断出选项C；由折叠性质可得，再由，可得，再判断选项D． 【详解】解：矩形纸片沿对角线折叠，点的对应点为， ， 在和中， ， ， 故A正确，不符合题意； ， ， ， ， ， ， 故B正确，不符合题意； 设，则， 中，， ， 解得：， ， ， ， 故C正确，不符合题意； 矩形纸片沿对角线折叠，点的对应点为， ， ， ， 故D不正确，符合题意， 故选：D 题型06矩形的判定定理理解 11．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）下列命题中，正确的是（    ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的菱形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是正方形 【答案】C 【知识点】矩形的判定定理理解、正方形的判定定理理解、证明四边形是菱形 【分析】此题考查了矩形、菱形、正方形的判定，利用特殊四边形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项错误，不符合题意； B．对角线相等的菱形是正方形，故选项错误，不符合题意； C．对角线相等的平行四边形是矩形，故选项正确，符合题意； D．对角线垂直相等的平行四边形是正方形,故选项错误，不符合题意． 故选：C． 12．（22-23八年级下·上海虹口·期末）以下说法中正确的是 （填序号） ①一组对边平行、一组对边相等的四边形是平行四边形 ②一组对边相等、一组邻角相等的四边形是平行四边形 ③有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 ④对角线相等且相互垂直的四边形为正方形 ⑤一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形 ⑥一组对边平行，另一组对边相等，且有一个角为直角的四边形是矩形 【答案】⑥ 【知识点】正方形的判定定理理解、矩形的判定定理理解、证明四边形是菱形、证明四边形是平行四边形 【分析】根据平行四边形，矩形，正方形和菱形的判定方法进行判断． 【详解】解：①一组对边平行、一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可以是等腰梯形，原说法不正确，故不符合题意； ②一组对边相等，一组邻角相等的四边形不一定是平行四边形，可以是等腰梯形，原说法不正确，故不符合题意； ③两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，更不是矩形，故此说法不符合题意； ④对角线相等且相互垂直平分的四边形为正方形，故此说法不符合题意； ⑤一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直的四边形可以是等腰梯形，故此说法不符合题意； ⑥一组对边平行且相等，且有一个角为直角的四边形是矩形，正确，故此说法不符合题意； 故答案为：⑥． 【点睛】本题综合考查了对平行四边形及特殊平行四边形判定的运用，综合性较强．熟悉四边形及特殊四边形的判定方法是关键． 题型07添一条件使四边形是矩形 13．（22-23八年级下·上海奉贤·期末）已知四边形ABCD中，，，下列说法不正确的是(    ) A．如果，那么四边形是矩形 B．如果，那么四边形是矩形 C．如果，那么四边形是矩形 D．如果，那么四边形是矩形 【答案】B 【知识点】添一条件使四边形是矩形 【分析】根据题意可得对角线相等，且有一组对边平行，寻找构成平行四边形的条件即可求解． 【详解】解：A. ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又，则四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； B. 如果，那么四边形可以是等腰梯形，故该选项不正确，符合题意； C. ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又，则四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； D. ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， 又，则四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意；    故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 14．（21-22八年级下·上海青浦·期末）如图，▱的对角线、交于点，顺次联结▱各边中点得到的一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件可以是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【知识点】添一条件使四边形是矩形、证明四边形是矩形 【分析】根据顺次联结四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断． 【详解】解：顺次联结四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形． ①， 新的四边形成为矩形，符合条件； ②四边形是平行四边形， ，． ， ． 根据等腰三角形的性质可知， ， 新的四边形成为矩形，符合条件； ③四边形是平行四边形， ． ， ． ． ， 四边形是矩形，联结各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件； ④，， ，即平行四边形的对角线互相垂直， 新四边形是矩形，符合条件． 所以①②④符合条件． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查矩形，解题的关键是数量掌握矩形的判断定理． 题型08证明四边形是矩形 15．（23-24八年级下·上海青浦·期末）已知四边形中，，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】添一个条件使四边形是正方形、证明四边形是矩形 【分析】此题主要考查了正方形的判定，根据矩形的判定性质得出四边形是矩形是解决问题的关键． 根据四边形中，，得出四边形是矩形，再找出邻边相等条件即可． 【详解】解：∵， ∴是矩形， 又∵， ∴是正方形， 故添加的条件为， 故选D． 16．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，在梯形中，，，过点作，垂足为，并延长至，使，联结、、． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)联结，如果，，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形、证明四边形是矩形、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定及性质，矩形的判定，平行四边形的判定定理． （1）连接，利用等腰梯形的性质得到，再根据垂直平分线的性质得到，从而得到，然后证得，利用一组对边平行且相等判定平行四边形； （2）利用等边三角形的判定和性质以及矩形的判定定理，解答即可． 【详解】（1）证明：连接． 梯形中，，， ， 和中，，，， ． ． 又，， ，， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：垂直平分， ∴，， ， ∴ 是等边三角形， ，， ∵， ∴， ， ∴ ∵ ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形 题型09根据矩形的性质与判定求角度 17．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知：如图，点、分别是双曲线在第一象限内分支上的两点，．过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线交于点，连接．如果，那么等于 度．    【答案】21 【知识点】列一次函数解析式并求值、根据矩形的性质与判定求角度、根据平行线的性质探究角的关系、等腰三角形的性质和判定 【分析】作轴，交轴于，交于，连接，与的交点为，根据题意设，，得到，用待定系数法求得直线的解析式，代入点横坐标，得到其纵坐标为，推出轴，结合题意可推出四边形是矩形，然后根据等腰三角形性质和三角形外角定义，结合，推出，最后根据轴，得到，从而推出，即可得到答案． 【详解】作轴，交轴于，交于，连接，与的交点为，如图所示     点、在双曲线上， 设点坐标为，点坐标为 轴，轴 点坐标为 设直线的解析式为： ，即 直线的解析式为： ，交于 点的横坐标为，且点在上 ，即点的坐标为 ， 轴 轴，轴，轴 ，， 四边形是平行四边形 又轴 平行四边形是矩形 ， 又， 轴 ， 故答案为：21． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，待定系数法求一次函数表达式，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的定义，平行线的性质，熟练掌握以上知识点并作出相应的辅助线是解题的关键． 18．（22-23八年级下·上海松江·期末）正方形中，边长为，点在对角线上，连接，过点作，交直线于点．    (1)如图，当点在边上时，求证：； (2)当点在的延长线上时，设，面积为，求关于的解析式，并写出定义域； (3)若，求BM的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求角度 【分析】（1）过点作于点，于点，通过正方形性质可得，通过证明，可得出最后结论； （2）过点作于点，交于点，可证得四边形为矩形，通过矩形性质可得，在中，，由勾股定理可得，可得出，进一步证明，所以，，可求出； （3）当点在边上时，连接，交于，过作于，由正方形性质得到，由等腰三角形的性质可求得，由三角形面积关系得到，可证明，所以，当点在的延长线上时，同理可得． 【详解】（1）过点作于点，于点，   ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）过点作于点，交于点．   ， 在正方形中，，， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ； （3）当点在边上时，连接，交于，过作于，    在正方形中，，， ， 在中，，则， ，，且， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 当点在的延长线上时，同理可得． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，勾股定理，三角形面积等知识，正确作出辅助线，分情况讨论是解答本题的关键． 题型10根据矩形的性质与判定求线段长 19．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图（）在梯形中，，，动点从点出发，以的速度沿着的方向不停移动，直到点到达点后才停止．已知的面积（单位：）与点移动的时间（单位：）的函数关系如图（）所示，则点从开始移动到停止移动一共用了（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、动点问题的函数图象 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据图（）判断出的长度，过点作于点，然后求出梯形的高，再根据时的面积求出的长度，过点作于点，然后求出的长度，利用勾股定理列式求出的长度，然后求出的和，再根据时间路程速度计算即可得解． 【详解】解：由图（）可知，在到秒时，的面积不发生变化， ∴在上运动的时间是秒，在上运动的时间是（秒）， ∵动点的运动速度是， ∴，， 如图，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，， ∴动点运动的总路程为， ∵动点的运动速度是， ∴点从开始移动到停止移动一共用了(秒)， 故选：． 20．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知，梯形中，，，，，，是边上的任意一点，连接，连接． (1)若平分，求的长； (2)过点作，交所在直线于点． 设，，求关于的函数关系式； 连接，当点是的中点时，求的长． 【答案】(1)满足条件的的值为或； (2)；． 【知识点】函数解析式、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（）作于，则四边形是矩形，则，，分两种情形求解即可解决问题； （）作于利用面积法构建函数关系式即可； 延长交于点，证，得，再由垂直平分，知，又，则，据此得，，根据 可得答案． 【详解】（1）解：如图中， 作于，则四边形是矩形， ∴，， 当平分时， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴； 当平分时，同法可证：，， ∴； 综上所述，满足条件的的值为或； （2）解：如图中，作于， 在中，， ∵， ∴， ∴； 如图，延长交于点， ∵， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，函数解析式，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，正确添加常用辅助线，构造直角三角形及掌握知识点的应用是解题的关键． 题型11利用菱形的性质求线段长 21．（23-24八年级下·上海宝山·期末）已知菱形的边长是8，一个内角是，那么这个菱形的面积是（    ） A．64 B．32 C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、等边三角形的判定和性质 【分析】考查了菱形的性质和等边三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 根据菱形的性质可得是等边三角形，求得，再利用勾股定理即可求出菱形的高，进而即可求解． 【详解】解：连接，过点A作交于点E，如图， ∵菱形的边长是8，一个内角是， ∴是等边三角形， ∴， 由勾股定理可得，， ∴菱形的面积是． 故选：D． 22．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知菱形一组对角的和为，较短的一条对角线的长度为4，那么这个菱形的面积为 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】先画出图形，根据已知条件得出，，根据菱形的性质得出，，，，，证明是等边三角形，得出，根据勾股定理得出，根据，据此即可解答． 【详解】解：由题意得，，， ∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型12利用菱形的性质证明 23．（23-24八年级下·上海长宁·期末）下列说法中正确的是（    ） A．等腰梯形是中心对称图形 B．平行四边形是轴对称图形 C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等． 【答案】D 【知识点】中心对称图形的识别、利用菱形的性质证明、轴对称图形的识别、正方形性质理解 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，轴对称图形的定义，菱形的性质、正方形的性质，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项是错误的； B、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项是错误的； C、菱形的对角线互相垂直且平分，不是相等，故该选项是错误的； D、正方形的对角线互相垂直平分且相等．故该选项是正确的； 故选：D． 24．（23-24八年级下·上海闵行·期末）在菱形中，，点在边上（不与、重合），将线段绕着点顺时针旋转后，点落在点处，连接，交边于点． (1)如图1，如果，延长至点，使得，连接．求证：； (2)连接， ①如图2，设，求与之间的函数关系式：（不写定义域） ②如果，．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【知识点】利用菱形的性质证明、根据旋转的性质求解、三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】（1）先证明，得到，再根据菱形，得到，又，即可证得，从而得出结论； （2）①先证明，得到，，再根据菱形，得到，，从而得，然后证明，得到，从而得到，整理即可得出答案； ②延长至点，使得，连接．先由①求得，过点A作交延长线于G，过点H作于Q，设，利用菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理求得，，根据，求得，，，从面得到，再证明，得到，然后利用等腰三角形与直角三角形性质，勾股定理求得，，，，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图， 由题意可得， ∴ ∴ 由旋转可得， 在与中， ∴ ∴ ∵菱形， ∴， ∵ ∴， ， ∴，即 ∴， （2）解：如图，延长至点，使得，连接． ①由题意可得， ∴ ∴ 由旋转可得， 在与中， ∴ ∴，， ∵菱形， ∴， ∴， ∵ ∴， ， ∴，即 ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ②∵，， ∴ 过点A作交延长线于G，过点H作于Q，如图， ∵菱形， ∴，，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．此题属四边形综合题目，难较大．熟练掌握相关知识和正确作出辅助线是解题的关键． 题型13添一个条件使四边形是菱形 25．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质．由四边形的对角线互相平分，得四边形是平行四边形，再由菱形的判定定理知，只需添加条件是邻边相等． 【详解】解：∵四边形的对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴要使四边形是菱形，需添加或， 故选：C． 26．（21-22八年级下·上海宝山·阶段练习）如图，中，已知是的平分线，E、F分别是边的中点，联结，要使四边形为菱形，需要满足一定的条件，该条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此即可求解． 【详解】解：由题意知，可添加：． 则三角形是等腰三角形， 由等腰三角形的性质知，顶角的平分线与底边上的中线重合， 即点D是的中点， ∴是三角形的中位线， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∵，点E，F分别是的中点， ∴， ∴平行四边形为菱形． 故答案为：、或（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了菱形的判定．利用了三角形的中位线的性质和平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质．也可添加或． 题型14证明四边形是菱形 27．（23-24八年级下·上海闵行·期末）在四边形中，，、交于点，下列说法错误的是（    ） A．如果，，那么四边形是矩形； B．如果，那么四边形是菱形； C．如果，，那么四边形是矩形； D．如果，，那么四边形是菱形． 【答案】D 【知识点】证明四边形是矩形、证明四边形是菱形 【分析】此题主要考查了矩形的判定和菱形的判定，关键是熟练掌握矩形和菱形的判定定理． 根据矩形和菱形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A、，，，那么四边形是矩形，正确，此选项不符合题意； B、，，那么四边形是菱形，正确，此选项不符合题意； C、，，，那么四边形是矩形，正确，此选项不符合题意； D、，，，无法判断四边形是菱形也可以是等腰梯形，错误，此选项符合题意． 故选：D． 28．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，在中，、分别是边、的中点，连接、，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作与的延长线交于点，且．求证：四边形是矩形． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【知识点】证明四边形是矩形、证明四边形是菱形、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】（1）利用中点和平行四边形的性质证明，所以四边形是平行四边形，由平分、，可证，故，则结果证； （2）由（1）知，结合，可得，在中，则四边形是平行四边形，连接，证明，则结果得证． 【详解】（1）解：分别是的中点， ， 又∵在中，，且， ， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． （2）由（1）知， 又， ， ， 又在中即， 四边形是平行四边形， 连接，如图 是中点， 即为对角线的交点， 即， ， 四边形是矩形． 【点睛】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质，矩形的判定，熟悉相关性质、性质定理是解题关键． 题型15根据菱形的性质与判定求面积 29．（2022八年级下·上海·专题练习）已知四边形ABCD是菱形，周长是40，如果AC＝16，那么菱形ABCD的面积为 ． 【答案】 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积、用勾股定理解三角形 【分析】由菱形的性质可得，，，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：如图所示： 四边形是菱形，周长是40，， ，，， ， ， 菱形的面积， 故答案为：96． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握菱形的面积公式． 30．（23-24八年级下·上海普陀·期中）如图，已知，点分别在边上，且四边形是菱形． (1)请使用直尺与圆规确定点E的具体位置，再画出菱形（不用写作法、结论，保留画图痕迹）； (2)如果点M（不与点D重合）在边上，且满足，那么四边形的形状是________； (3)在（2）的条件下，如果，那么四边形的面积是________． 【答案】(1)见解析 (2)等腰梯形 (3) 【知识点】等边三角形的判定和性质、作角平分线(尺规作图)、根据菱形的性质与判定求面积、作垂线(尺规作图) 【分析】（1）作的角平分线交于点E，作的垂直平分线交于点D，F； （2）结合菱形的性质和题意可得出，，即说明四边形为等腰梯形； （3）由题可证，，都为等边三角形，且边长都为4，再根据等边三角形的性质求面积即可． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所作； （2）解：如图，． 由（1）可知四边形为菱形， ∴，， ∴，， ∴四边形为等腰梯形． 故答案为：等腰梯形； （3）解：∵四边形为菱形，四边形为等腰梯形， ∴． ∵， ∴，，都为等边三角形，且边长都为4． 如图，过点A作于点H． ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图—角平分线，作图—线段垂直平分线，菱形的性质，等腰梯形的判定，等边三角形的判定和性质．利用数形结合的思想是解题关键． 题型16根据正方形的性质求角度 31．（22-23八年级下·上海虹口·期末）如图，正方形中，，，则 ．    【答案】/30度 【知识点】等边三角形的判定和性质、旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、根据正方形的性质求角度 【分析】把逆时针旋转得到，则，先证出C、A、G三点共线，得出，，由证明，得出，证出，即是等边三角形，得出，再由三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：把逆时针旋转得到，连接；如图所示：    则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C、A、G三点共线， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线、等边三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 32．（22-23八年级下·上海奉贤·期末）已知在平面直角坐标系中，直线交轴负半轴于点，交轴于点，且．    (1)求直线的表达式； (2)已知点在直线上且在第一象限内，过点作轴，垂足为点，以线段为对角线作正方形（点在点的左侧）． ①如图，当点落在轴上时，求点的坐标； ②当的延长线经过点时，求正方形的边长． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】根据正方形的性质求角度、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形、一次函数与几何综合 【分析】（1）由，当，求得点的坐标，根据，结合图象，即可求得点的坐标，代入解析式即可求解． （2）①设交于点，的坐标为，则，根据，得出，解方程即可求解； ②设的坐标为，，当经过点时，是等腰直角三角形，则，根据题意列出方程，解方程，进而即可求得对角线的长，根据勾股定理即可求解．． 【详解】（1）解：由，当，， 则， ∵， ∴， ∵在轴的负半轴， ∴, 代入，即， 解得：， ∴直线的表达式为：； （2）①设交于点，    设的坐标为，则 ∵轴， ∴， ∵为正方形的对角线， ∴轴，， 则 ∴， ∴ 解得： ∴； ②如图所示，设的坐标为，，    ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， 当经过点时，是等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：, ∴， ∴边长为． 【点睛】本题考查了一次函数与结合图形综合，正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 题型17根据正方形的性质求线段长 33．（23-24八年级下·上海·单元测试）如图，已知正方形的边长为，点在对角线上，且，，垂足为，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，证得是等腰直角三角形是解题的关键. 根据正方形的性质得到, 求得根据等腰三角形的判定定理得到, 推出是等腰直角三角形，于是得到结论. 【详解】∵四边形是正方形， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， 故选: C. 34．（23-24八年级下·上海静安·期末）在等腰中，，直线垂直平分，交于点，点在直线上，且点与点关于点对称，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图1，当平分时，求菱形的周长； (3)当四边形为正方形时，请在图2中画出符合题意的正方形，再连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、等腰三角形的性质和判定、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质与判定，勾股定理； （1）根据垂直平分线的性质可得，根据轴对称的性质可得进而得出，即可得证； （2）延长交于点，当平分时，，进而勾股定理求得，设，则，，在中，勾股定理求得，进而根据菱形的性质，即可求解； （3）过点分别作和的垂线，垂足分别为，过点作于点，则四边形是矩形，根据等面积法求得，进而求得，勾股定理求得，进而求得，即的长，中，勾股定理，即可求解；当在的下方时，同理可求． 【详解】（1）证明：∵直线垂直平分，点在直线上， ∴， ∵点与点关于点对称， ∴， 又，即垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：如图所示，延长交于点， ∵， 当平分时， ∴，， 在中，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：，即， ∴菱形的周长为， （3）解：如图所示，过点分别作和的垂线，垂足分别为，过点作于点， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形为正方形 ∴， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 如图所示，当在的下方时， 同理可得：， ， 在中，， 综上所述，或． 题型18根据正方形的性质求面积 35．（22-23八年级下·上海·阶段练习）正方形的对角线长为8，O是的中点，点E、F分别在、边上，且，那么四边形的面积为 ． 【答案】8 【知识点】根据正方形的性质求面积、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】证明，得到，从而将四边形的面积转化为的面积，即可求解． 【详解】解：在正方形中， ，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是利用正方形的性质证明全等，将所求面积进行转化． 36．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，正方形边长为4，点E在边上一点（点E与点A、B不重合），过点A作，垂足为G，与边相交于点F．    (1)求证：； (2)连接、，如果的面积为，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)或，详见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求面积 【分析】（1）先证得，很容易证明全等，由此得出，进而可得结论； （2）根据三角形的面积求得，再根据勾股定理求得，根据（1）中即可得出结论； 【详解】（1）∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， （2）∵， ∴设， ∴， ∴的面积 ， ∴， 解得，，， ∴或，      【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质的应用，本题的关键是知道两线段之间的垂直关系． 题型19四边形其他综合问题 37．（22-23八年级下·上海普陀·阶段练习）在梯形中，，点分别在边上，，点与在直线的两侧，，射线与边分别相交于点，设． (1)求的长； (2)如图，当点在梯形内部时，求关于的函数解析式； (3)如果的长为2，求梯形的面积．（直接写出结果） 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、一次函数与几何综合、四边形其他综合问题、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）过作，与、分别相交于点、，从而判定四边形是矩形，在中求出的长，利用可得出的长． （2）首先确定，过点作，与、分别相交于、，根据，，可表示出、，继而可得出关于的函数解析式． （3）①当点在梯形内部时，由及（2）的结论得，，可求得梯形的面积，②当点在梯形外部时，由及与（2）相同的方法得：，，可求得梯形的面积． 【详解】（1）解：过作，与、分别相交于点、， 梯形中，， ， 又， 四边形是矩形， ∴ ， ， ， ． （2），， ， ， ， ，， ， ， 过点作，与、分别相交于、， ，， ，， ， ， 关于的函数解析式为． （3）当点在梯形内部时，由及（2）的结论得，， ， 当点在梯形外部时，由及与（2）相同的方法得：，， ． 【点睛】本题考查梯形及有实际问题列一次函数关系式的知识，属于综合性较强的题目，难度较大，对于此类题目要学会由小及大，将所求的问题缩小，一步一步求解． 38．（21-22八年级下·上海·期末）【探究与应用】我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．例如：在平行四边形中，，将沿直线翻折至，连结，则． (1)如图1，若与相交于点O，证明以上结论； (2)如图2，与相交于点O，若，，，求的面积； (3)如果，，当A、C、D、E为顶点的四边形是正方形时，请画图并求出的长； (4)如果，，当是直角三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)或2；图形见解析； (4)或或 【知识点】四边形其他综合问题、折叠问题、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了特殊平行四边形的判定和性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，含30°直角三角形，勾股定理等知识；正确作出图形并分类讨论是解题关键． （1）由平行四边形的定义可得，，由折叠的性质可得，于是可得是等腰三角形，利用对顶角相等求得和即可证明； （2）设，由（1）解答可得，由折叠的性质可得，由可得是矩形，中由勾股定理建立方程求得x，进而求得即可解答； （3）分和两种情况作出图形，再根据正方形的性质计算求值即可； （4）分和，三种情况，根据直角三角形的边长关系和勾股定理计算求值即可； 【详解】（1）证明：∵是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， 由（1）解答可得， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴ 中，， ∴， ∴， ∴， ∴面积； （3）解：①如图，时，， ∵四边形是平行四边形，，则， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵ ∴， ∴； ②如图，时，， ∵四边形是平行四边形，，则， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴； ∴或2； （4）解：①如图，时， ，则， ∴， ∵， ∴，则是直角三角形， 中，， ∴ ； ②如图，时， ∵四边形是平行四边形，，则， ∵， ∴， ∵， ∴，则是直角三角形， 中，， ∴， ③如图，时，作于点H， 由四边形是平行四边形得， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴，则是直角三角形， 中，， ∴， ，则， ∴ 综上所述的长为：或或. 夯实基础 一、单选题 1．已知正方形的周长等于，则它的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正方形的性质求得正方形的边长，然后再求正方形的面积即可． 【详解】解：∵正方形的周长等于， ∴该正方形的边长为， ∴该正方形的面积为． 故选C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，掌握正方形的边长相等以及面积公式是解答本题的关键． 2．下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是（    ） A．对角线互相平分的四边形 B．对角线互相垂直且平分的四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形 【答案】B 【分析】根据菱形的判定逐项判断即可． 【详解】解：A.对角线互相平分的四边形是平行四边形，不能判定是菱形，不符合题意； B.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，符合题意； C.对角线相等的四边形不能判定是菱形，不符合题意； D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形，不能判定是菱形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定：1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3、四条边均相等的四边形是菱形；4、对角线互相垂直平分的四边形是菱形；5、两条对角线分别平分每组对角的四边形是菱形；6、有一对角线平分一个内角的平行四边形是菱形． 3．以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线经过点D，则正方形ABCD的面积是（ ）    A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【详解】解：∵双曲线y=经过点D， ∴正方形的面积=3×4=12． 故选∶C 【点睛】本题考查反比例函数的比例系数的几何意义． 4．如图，矩形的对角线，相交于点，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质证明，可得 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，掌握矩形的性质并准确识图是解题的关键． 5．如图，菱形 ABCD 中， 对角线 AC = 6，BD = 8，AE ⊥ BC 于点 E ，则 AE 的值为（　　） A．4.8 B．9.6 C．19.2 D．10 【答案】A 【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=3，BO=4，然后根据勾股定理可求出AB长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式可得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，AO=AC=3，BO=BD=4， ∴∠AOB=90°， ∴， ∴菱形ABCD的面积是， ∴，得， 解得， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，以及菱形的面积，勾股定理，关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分． 6．下列命题中，不正确的是（ ） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．等腰梯形的对角线相等 C．直角三角形斜边上的高等于斜边的一半 D．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 【答案】C 【分析】对每个选项逐一判断后即可得到答案． 【详解】解：A、邻边相等的矩形是正方形，正确，不符合题意； B、等腰梯形的对角线相等，正确，不符合题意； C、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一办，错误，符合题意； D、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确，符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了命题与定理，利用基本概念对每个命题进行分析，作出正确的判断． 7．如图①，在矩形的边上有一点，连结，点从顶点出发，沿以1cm/s的速度匀速运动到点．图②是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的长为（    ） A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm 【答案】D 【分析】抓住关键点，函数图象最高点的纵坐标为9，横坐标为6，得的最大面积为9，此时、重合，，，通过图象知道点到终点时，的面积是6，此时、重合，，得，即可求得的长． 【详解】解：∵是矩形， ∴ 由图象可知，当、重合，，， 可得：， 当时、重合，，可得：， 则：． 故选：D． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． 8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的面积为5，顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，顶点D在双曲线y＝（x＞0）的图象上，边CD交y轴于点E，若DE＝2EC，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方形的面积为5，可得正方形的边长为，则；过点作于，轴于，易证，可得．利用勾股定理可求，利用三角形的面积公式列出式子可求，点坐标可得，利用待定系数法值可求． 【详解】解：正方形的面积为5， 正方形的边长为． ． ． 过点作于，轴于，如图， ，， 又， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征、正方形的性质、待定系数法、三角形全等的判定及性质，解题的关键是利用点的坐标表示出相应线段的长度． 二、填空题 9．如图，正方形的面积是 cm2． 【答案】25 【分析】根据勾股定理即可得到结果. 【详解】由题意得，正方形的面积是132-122=25cm2. 【点睛】本题考查的是正方形的面积公式以及勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积． 10．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线BD于点F，垂足为点E，连接AF、AC，若∠DCB＝70°，则∠FAC＝ ． 【答案】20° 【分析】由菱形的性质和等腰三角形的性质求出∠BAC和∠FAB的度数，即可解决问题． 【详解】解：∵EF是线段AB的垂直平分线， ∴AF＝BF， ∴∠FAB＝∠FBA， ∵四边形ABCD是菱形，∠DCB＝70°， ∴BC＝AB，∠BCA＝∠DCB＝35°，AC⊥BD， ∴∠BAC＝∠BCA＝35°， ∴∠FBA＝90°﹣∠BAC＝55°， ∴∠FAB＝55°， ∴∠FAC＝∠FAB﹣∠BAC＝55°﹣35°＝20°， 故答案为：20°． 【点睛】本题考查菱形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 11．如图，正方形ABCD边长为4，对角线AC上有一动点P，过P作PE⊥PC于E，PF⊥AB于F，连接EF，则EF的最小值为 ． 【答案】2 【分析】由垂线段最短可得当点P是正方形对角线AC和BD的交点时，此时BP最小，可证四边形BEPF是矩形，可得FE＝BP，即EF的最小值为BP的最小值为2． 【详解】解：当点P是正方形对角线AC和BD的交点时，此时BP最小， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BD⊥AC于点P， ∵正方形ABCD边长为4， ∴BP＝BD＝×4＝2， ∵PE⊥BC，PF⊥AB，AB⊥BC， ∴四边形BEPF是矩形， ∴FE＝BP， ∴EF的最小值为BP的最小值为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，矩形的判定与性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 12．如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点E，若B（2，4），则OE的长为 ．    【答案】 【分析】由四边形OABC是矩形与折叠的性质，易证得△AEC是等腰三角形，然后再Rt△AEC中，利用勾股定理求得AE、OE的长． 【详解】解：∵ 四边形OABC是矩形， ∴ OC∥AB ∴ ∠ECA＝∠CAB， 根据题意的∠CAB＝∠CAD，∠CAD＝∠B＝90°， ∴ ∠ECA＝∠EAC， ∴ EC＝EA， ∵ B（2，4）， ∴ AD＝AB＝4， 设OE＝x，则AE＝EC＝OC－OE＝4－x， 在Rt△AOE中，AE2＝OE2+OA2， 即（4－x）2＝x2+4， 解得：x＝， ∴ OE＝， 故答案为：． 【点睛】此题考查了折叠的性质，矩形的性质，解题的关键是方程的思想与数形结合的思想的应用． 13．如图，A（0，2），D（1，0），以AD为边作正方形ABCD，则点B的坐标为 ． 【答案】（2，3） 【分析】过B作BE⊥y轴，过C作CF⊥x轴，垂足分别为E、F，证明△ABE≌△DAO，△DAO≌△CDF，可得BE＝DF＝OA＝2，AE＝CF＝OD＝1，进而求得点的坐标． 【详解】如图，过B作BE⊥y轴，过C作CF⊥x轴，垂足分别为E、F， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD， ∴∠BAE＋∠DAO＝∠DAO＋∠ADO＝90°，∴∠BAE＝∠ADO， 在△ABE和△DAO中， ， ∴△ABE≌△DAO（AAS）， 同理可得△DAO≌△CDF， ∵A（0，2），D（1，0）， ∴BE＝DF＝OA＝2，AE＝CF＝OD＝1， ∴OE＝OA＋AE＝2＋1＝3，OF＝OD＋DF＝1＋2＝3， ∴B点坐标为（2，3）． 【点睛】本题考查了坐标与图形，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 14．如图，矩形，，的4个顶点都落在矩形边上，且有，设的面积为，矩形的面积为，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】设，由矩形和平行四边形的性质，易得△AFE≌△CHG，△BFG≌△DHE；的面积等于矩形的面积减去△AFE、△CHG、△BFG、△DHE，据此计算得解． 【详解】设，则， ，∴当时，的最大值为 ∴的最大值为：． 【点睛】本题考查矩形中平行四边形面积的最大值，关键是设未知数，建立代数关系，运用配方法求最值． 三、解答题 15．求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 【答案】见解析 【分析】根据正方形的性质得到OA=OC=OB=OD，，得到是等腰直角三角形，再根据SAS证明出四个三角形全等． 【详解】已知：如图，四边形是正方形，对角线，相交于点O． 求证：是全等的等腰直角三角形． 证明：∵四边形是正方形， ∴． ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∵，， ∴（SAS）． 【点睛】本题考查了根据正方形的性质进行证明，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 16．如图，在中，．经怎样的运动，所得图形与组成一个菱形？叙述图形的运动过程，并作出所得的图形． 【答案】见解析 【分析】如图，将沿翻折，得到，可得，且，可得结论． 【详解】解：如图，将沿翻折，得到， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定，折叠的性质，掌握菱形的判定是本题的关键． 17．如图，O为矩形的对角线的交点，过O作分别交、于点F、E，若，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】根据题意可证，则有，可得四边形为菱形，设，可得和，利用勾股定理即可求得，进一步得到菱形的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，． 又∵， ∴， ∴， 即与互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∴． 设，则，． 在中，，即，解得． ∴． 即四边形的面积为． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质以及勾股定理，解题的关键是熟知菱形的判定和性质． 18．如图，已知四边形是正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连． (1)求证：四边形是正方形； (2)求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)32 【分析】（1）过点作于点，作于点，利用定理证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据正方形的判定即可得证； （2）连接，根据正方形的性质、利用定理证出，推出，，再利用勾股定理可得，然后根据垂线段最短求出的最小值，由此即可得． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，作于点， 四边形为正方形， ，， ，且， 四边形为正方形， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在和中，， ， ， 矩形为正方形． （2）解：如图，连接， 四边形为正方形，， ， ， 矩形为正方形， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为， 的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键． 19．如图，在矩形ABCD中，AB=BC，点F在BC边的延长线上，点P是线段BC上一点（与点B，C不重合），连接AP并延长，过点C作CG⊥AP，垂足为E． (1)若CG为∠DCF的平分线．请判断BP与CP的数量关系，并证明； (2)若AB=3，△ABP≌△CEP，求BP的长． 【答案】(1)BP=PC，证明见解析 (2)BP=． 【分析】（1）由角平分线的性质和直角三角形的性质可求∠BAP=∠APB=45°，可得AB=BP，即可得结论； （2）由全等得到AP=PC,在△ABP中应用勾股定理可求解． 【详解】（1）解：BP=CP，理由如下： ∵CG为∠DCF的平分线， ∴∠DCG=∠FCG=45°， ∴∠PCE=45°， ∵CG⊥AP， ∴∠E=∠B=90°， ∴∠CPE=45°=∠APB， ∴∠BAP=∠APB=45°， ∴AB=BP， ∵AB=BC， ∴BC=2AB， ∴BP=PC； （2）解：∵△ABP≌△CEP， ∴AP=CP， ∵AB=3， ∵BC=2AB=6， ∵， ∴， ∴BP=． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 20．准备一张矩形纸片和一张平行四边形纸片，尝试以下操作． （1）把平行四边形纸片割补成一个矩形．怎样操作能使分割线的条数最少？ （2）把矩形纸片割补成有一个角为的平行四边形．怎样操作能使分割线最少？ 通过上述活动，你获得哪些经验？ 试一试：两张正方形纸片拼在一起，如图．把它割补成一个更大的正方形，并使分割线的条数最少． 【答案】答案见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质及图形平移的性质，结合矩形的判定即可作出分割； （2）根据矩形的性质及图形平移的性质，结合平行四边形的判定即可作出分割； （3）根据三角形全等的判定与性质，结合正方形的判定即可作出分割． 【详解】解：（1）作图如下： 沿剪开，将沿向右平移，一刀即可把平行四边形纸片割补成一个矩形； （2）如图所示： 方法一（尺规作图）：以为圆心，长为半径作圆；以为圆心，长为半径作圆；两圆的交点为，连接交矩形边于，沿着剪开，将沿着向右平移，一刀即可把矩形纸片割补成有一个角为的平行四边形； 方法二（量角器量）：以为顶点，矩形边为一边，借助量角器得到一个的角，作出边交矩形边于，使，沿着剪开，将沿着向右平移，一刀即可把矩形纸片割补成有一个角为的平行四边形； 获得的经验：平行四边形和矩形可以相互转化； （3）如图所示： 在大正方形边上取一点，使长度为小正方形边长，连接、，沿着、剪开，把沿着点旋转到，把沿着点旋转到，两刀即可把图形割补成一个更大的正方形． 【点睛】本题考查图形的拼剪，涉及平行四边形、矩形和正方形性质，平移性质，旋转性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学的几何知识解决问题． 能力提升 一、单选题 21．如图，正方形的面积为，点为边上一动点，点为边上一动点，连接、，点和点在运动的过程中始终保持，则的周长（   ） A． B．8cm C．6cm D．4cm 【答案】A 【分析】先根据正方形的性质得AB=AD=5cm，∠BAD=∠B=90°，把△ADF绕点A顺时针旋转90°可得到△ABG，接着利用“SAS”证明，得到EG=EF=BE+DF，然后利用三角形周长的定义得到△CEF的周长=CE+CF+BE+DF=CB+CD，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD，∠BAD=∠B=90°， 又正方形ABCD的面积为， ∴ ∴把△ADF绕点A顺时针旋转90°可得到△ABG，如图， ∴AG=AF，BG=DF，∠GAF=90°，∠ABG=∠B=90°， ∴点G在CB的延长线上， ∵∠EAF=45°， ∴∠EAG=∠GAF-∠EAF=45°， ∴∠EAG=∠EAF， 在△EAG和△EAF中， ， ∴（SAS）， ∴EG=EF， 而EG=BE+BG=BE+DF， ∴EF=BE+DF， ∴的周长=CE+CF+BE+DF=CB+CD=5+5=10cm． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，解题的关键是利用旋转添加辅助线构造全等三角形解决问题． 22．如图，四边形ABCD为菱形，，，连接四边形中点得到四边形EFGH，则四边形EFGH的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接AC、BD交于点O， 由三角形的中位线结合菱形的性质可证明中点四边形EFGH为矩形， 即可得，再利用含30度角的直角三角形的性质及菱形的性质可求解AC，BD的长，进而可求解． 【详解】解：连接AC、BD交于点O， ∵E，F，G，H分别是AD，AB，BC，CD的中点， ∴ ∴EF=GH，EH=FG， ∴四边形EFGH为平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形，∠BAC=60°， ∴AC⊥BD，∠BAC=30°，AC=2AO，BD=2BO， ∴EF⊥EH，即∠FEH=90°， ∴四边形EFGH为矩形， ∵ 故选：D． 【点睛】本题主要考查中点四边形， 菱形的性质， 矩形的性质与判定， 等知识点的理解和掌握， 证明四边形EFGH为矩形是解此题的关键． 二、填空题 23．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD= ．    【答案】3 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】∵∠ACB=90°，D为AB的中点， ∴CD=AB=×6=3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 24．如图，长方形中，点B与原点O重合，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，E为中点，F为上一点，将沿折叠后，点A恰好落到上的点G处，所在的直线方程为，则折痕EF的长为 ． 【答案】 【分析】如图所示，连接，先求出点C和点F的坐标，然后证明，得到，设，则，在中，，则，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 令，则， ∴， 令，则，解得， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∵E是的中点， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题 25．折叠矩形的一边，使点D落在边的F点处，若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质和勾股定理，可以根据折叠的图形全等得到对应的边角相等，结合勾股定理进行解答； 根据折叠的性质，结合折叠的图形可以得到，； 根据勾股定理可以求出的长度，从而可以得到的长度，在直角三角形中，结合，可知，若设为，可得，结合勾股定理求出的长度． 【详解】解：在矩形中，， 由折叠的性质可知，． ∵， ∴， ∴． 设为，则． 在直角中，由勾股定理得， 解得：． 即． 26．如图①，正方形ABCD中，M是AB的中点，E是延长线上一点．MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于N． （1）若点F是AD的中点，求证：MD＝MN； （2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上的任意一点”，其它条件不变．如图②所示，则结论“MD＝MN”是否成立．若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析 【分析】（1）要证，就要构建，只需取的中点，连接，依据正方形的性质可证，进而得出． （2）只需在上截取，其证法与（1）相同． 【详解】解：（1）如图，取的中点，连接． ， ， ， 平分，即， 又， ， ． ， 在和中 ， ． ． （2）结论“”仍成立． 证明如下：如图，在上截取，连接． ，，，， ． ， ． 又， 在△和中 ， △． ． 【点睛】本题综合考查了利用正方形的性质和全等三角形的判定的知识．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 特殊的平行四边形 目 录 题型归纳.........................................................................................................................................................................................1 题型01利用矩形的性质求角度...................................................................................................................................................5 题型02根据矩形的性质求线段长...............................................................................................................................................7 题型03根据矩形的性质求面积..................................................................................................................................................12 题型04利用矩形的性质证明......................................................................................................................................................15 题型05矩形与折叠问题..............................................................................................................................................................18 题型06矩形的判定定理理解......................................................................................................................................................21 题型07添一条件使四边形是矩形..............................................................................................................................................23 题型08证明四边形是矩形.........................................................................................................................................................26 题型09根据矩形的性质与判定求角度.....................................................................................................................................28 题型10根据矩形的性质与判定求线段长.................................................................................................................................35 题型11利用菱形的性质求线段长.............................................................................................................................................40 题型12利用菱形的性质证明.....................................................................................................................................................42 题型13添一个条件使四边形是菱形.........................................................................................................................................47 题型14证明四边形是菱形........................................................................................................................................................49 题型15根据菱形的性质与判定求面积....................................................................................................................................52 题型16根据正方形的性质求角度............................................................................................................................................55 题型17根据正方形的性质求线段长........................................................................................................................................60 题型18根据正方形的性质求面积............................................................................................................................................65 题型19四边形其他综合问题....................................................................................................................................................68 分层练习......................................................................................................................................................................................76 夯实基础........................................................................................................................................................................................76 能力提升........................................................................................................................................................................................97 知识点1．矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 知识点2．矩形的判定 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 知识点3．矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 知识点4．菱形的性质 （1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． （2）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （3）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度） 知识点5．菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 知识点6．菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． 知识点7．正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 知识点8．正方形的判定 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 知识点9．正方形的判定与性质 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． （2）正方形的判定 正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定． 题型01利用矩形的性质求角度 1．（22-23八年级下·上海徐汇·阶段练习）如果矩形的一边与对角线的夹角是50°，则两条对角线相交所成的锐角的度数为（    ） A．50° B．60° C．70° D．80° 2．（22-23八年级下·上海长宁·期中）如图，在矩形中，对角线交于点，点E在边上，连接，如果，，那么的度数为 ．    题型02根据矩形的性质求线段长 3．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）在矩形中，对角线、相交于点O，，厘米，则对角线 厘米． 4．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图．矩形中，，点E是延长线上的一点，且，连结，取的中点F，联结、． (1)求证：； (2)设，，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； (3)当时，求的长． 题型03根据矩形的性质求面积 5．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）如图，过矩形对角线的交点，且分别交、于、，那么阴影部分的面积与矩形的面积的比值是 ． 6．（八年级下·上海普陀·期末）已知：如图，在矩形中，，点是垂足． （1）联结，求证：四边形是平行四边形； （2）如果，求矩形的面积． 题型04利用矩形的性质证明 7．（21-22八年级下·上海·期末）如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则的长是 ． 8．（23-24八年级下·上海·期末）已知，如图，是矩形的对角线的垂直平分线，与对角线及边、分别交于点O，E，F．    (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的值． 题型05矩形与折叠问题 9．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，在矩形中，，，点E在边上（点E与点A、D不重合），将沿直线翻折，点D的对应点为点G，连接，的延长线交边于点F，如果，那么的长为 ． 10．（23-24八年级下·上海静安·期末）把一张矩形纸片沿对角线折叠，点B的对应点为点E，边交边于点G，连接（如图所示），当时，下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型06矩形的判定定理理解 11．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）下列命题中，正确的是（    ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的菱形是正方形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是正方形 12．（22-23八年级下·上海虹口·期末）以下说法中正确的是 （填序号） ①一组对边平行、一组对边相等的四边形是平行四边形 ②一组对边相等、一组邻角相等的四边形是平行四边形 ③有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形 ④对角线相等且相互垂直的四边形为正方形 ⑤一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形 ⑥一组对边平行，另一组对边相等，且有一个角为直角的四边形是矩形 题型07添一条件使四边形是矩形 13．（22-23八年级下·上海奉贤·期末）已知四边形ABCD中，，，下列说法不正确的是(    ) A．如果，那么四边形是矩形 B．如果，那么四边形是矩形 C．如果，那么四边形是矩形 D．如果，那么四边形是矩形 14．（21-22八年级下·上海青浦·期末）如图，▱的对角线、交于点，顺次联结▱各边中点得到的一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①；②；③；④，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件可以是 ．（填序号） 题型08证明四边形是矩形 15．（23-24八年级下·上海青浦·期末）已知四边形中，，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 16．（2025八年级下·上海·专题练习）如图，在梯形中，，，过点作，垂足为，并延长至，使，联结、、． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)联结，如果，，求证：四边形是矩形． 题型09根据矩形的性质与判定求角度 17．（23-24八年级下·上海闵行·期末）已知：如图，点、分别是双曲线在第一象限内分支上的两点，．过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线交于点，连接．如果，那么等于 度．    18．（22-23八年级下·上海松江·期末）正方形中，边长为，点在对角线上，连接，过点作，交直线于点．    (1)如图，当点在边上时，求证：； (2)当点在的延长线上时，设，面积为，求关于的解析式，并写出定义域； (3)若，求BM的长． 题型10根据矩形的性质与判定求线段长 19．（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图（）在梯形中，，，动点从点出发，以的速度沿着的方向不停移动，直到点到达点后才停止．已知的面积（单位：）与点移动的时间（单位：）的函数关系如图（）所示，则点从开始移动到停止移动一共用了（   ）． A． B． C． D． 20．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知，梯形中，，，，，，是边上的任意一点，连接，连接． (1)若平分，求的长； (2)过点作，交所在直线于点． 设，，求关于的函数关系式； 连接，当点是的中点时，求的长． 题型11利用菱形的性质求线段长 21．（23-24八年级下·上海宝山·期末）已知菱形的边长是8，一个内角是，那么这个菱形的面积是（    ） A．64 B．32 C． D． 22．（24-25八年级下·上海·阶段练习）已知菱形一组对角的和为，较短的一条对角线的长度为4，那么这个菱形的面积为 ． 题型12利用菱形的性质证明 23．（23-24八年级下·上海长宁·期末）下列说法中正确的是（    ） A．等腰梯形是中心对称图形 B．平行四边形是轴对称图形 C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等． 24．（23-24八年级下·上海闵行·期末）在菱形中，，点在边上（不与、重合），将线段绕着点顺时针旋转后，点落在点处，连接，交边于点． (1)如图1，如果，延长至点，使得，连接．求证：； (2)连接， ①如图2，设，求与之间的函数关系式：（不写定义域） ②如果，．求证：． 题型13添一个条件使四边形是菱形 25．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（　　） A． B． C． D． 26．（21-22八年级下·上海宝山·阶段练习）如图，中，已知是的平分线，E、F分别是边的中点，联结，要使四边形为菱形，需要满足一定的条件，该条件可以是 ． 题型14证明四边形是菱形 27．（23-24八年级下·上海闵行·期末）在四边形中，，、交于点，下列说法错误的是（    ） A．如果，，那么四边形是矩形； B．如果，那么四边形是菱形； C．如果，，那么四边形是矩形； D．如果，，那么四边形是菱形． 28．（23-24八年级下·上海虹口·期末）如图，在中，、分别是边、的中点，连接、，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作与的延长线交于点，且．求证：四边形是矩形． 题型15根据菱形的性质与判定求面积 29．（2022八年级下·上海·专题练习）已知四边形ABCD是菱形，周长是40，如果AC＝16，那么菱形ABCD的面积为 ． 30．（23-24八年级下·上海普陀·期中）如图，已知，点分别在边上，且四边形是菱形． (1)请使用直尺与圆规确定点E的具体位置，再画出菱形（不用写作法、结论，保留画图痕迹）； (2)如果点M（不与点D重合）在边上，且满足，那么四边形的形状是________； (3)在（2）的条件下，如果，那么四边形的面积是________． 题型16根据正方形的性质求角度 31．（22-23八年级下·上海虹口·期末）如图，正方形中，，，则 ．    32．（22-23八年级下·上海奉贤·期末）已知在平面直角坐标系中，直线交轴负半轴于点，交轴于点，且．    (1)求直线的表达式； (2)已知点在直线上且在第一象限内，过点作轴，垂足为点，以线段为对角线作正方形（点在点的左侧）． ①如图，当点落在轴上时，求点的坐标； ②当的延长线经过点时，求正方形的边长． 题型17根据正方形的性质求线段长 33．（23-24八年级下·上海·单元测试）如图，已知正方形的边长为，点在对角线上，且，，垂足为，则的长为（　　） A． B． C． D． 34．（23-24八年级下·上海静安·期末）在等腰中，，直线垂直平分，交于点，点在直线上，且点与点关于点对称，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图1，当平分时，求菱形的周长； (3)当四边形为正方形时，请在图2中画出符合题意的正方形，再连接，求的长． 题型18根据正方形的性质求面积 35．（22-23八年级下·上海·阶段练习）正方形的对角线长为8，O是的中点，点E、F分别在、边上，且，那么四边形的面积为 ． 36．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如图，正方形边长为4，点E在边上一点（点E与点A、B不重合），过点A作，垂足为G，与边相交于点F．    (1)求证：； (2)连接、，如果的面积为，求的长． 题型19四边形其他综合问题 37．（22-23八年级下·上海普陀·阶段练习）在梯形中，，点分别在边上，，点与在直线的两侧，，射线与边分别相交于点，设． (1)求的长； (2)如图，当点在梯形内部时，求关于的函数解析式； (3)如果的长为2，求梯形的面积．（直接写出结果） 38．（21-22八年级下·上海·期末）【探究与应用】我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．例如：在平行四边形中，，将沿直线翻折至，连结，则． (1)如图1，若与相交于点O，证明以上结论； (2)如图2，与相交于点O，若，，，求的面积； (3)如果，，当A、C、D、E为顶点的四边形是正方形时，请画图并求出的长； (4)如果，，当是直角三角形时，直接写出的长． 夯实基础 一、单选题 1．已知正方形的周长等于，则它的面积是（    ） A． B． C． D． 2．下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是（    ） A．对角线互相平分的四边形 B．对角线互相垂直且平分的四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形 3．以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线经过点D，则正方形ABCD的面积是（ ）    A．10 B．11 C．12 D．13 4．如图，矩形的对角线，相交于点，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 5．如图，菱形 ABCD 中， 对角线 AC = 6，BD = 8，AE ⊥ BC 于点 E ，则 AE 的值为（　　） A．4.8 B．9.6 C．19.2 D．10 6．下列命题中，不正确的是（ ） A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．等腰梯形的对角线相等 C．直角三角形斜边上的高等于斜边的一半 D．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 7．如图①，在矩形的边上有一点，连结，点从顶点出发，沿以1cm/s的速度匀速运动到点．图②是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则的长为（    ） A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm 8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的面积为5，顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，顶点D在双曲线y＝（x＞0）的图象上，边CD交y轴于点E，若DE＝2EC，则k的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，正方形的面积是 cm2． 10．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线BD于点F，垂足为点E，连接AF、AC，若∠DCB＝70°，则∠FAC＝ ． 11．如图，正方形ABCD边长为4，对角线AC上有一动点P，过P作PE⊥PC于E，PF⊥AB于F，连接EF，则EF的最小值为 ． 12．如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连接AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点E，若B（2，4），则OE的长为 ．    13．如图，A（0，2），D（1，0），以AD为边作正方形ABCD，则点B的坐标为 ． 14．如图，矩形，，的4个顶点都落在矩形边上，且有，设的面积为，矩形的面积为，则的最大值为 ． 三、解答题 15．求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 16．如图，在中，．经怎样的运动，所得图形与组成一个菱形？叙述图形的运动过程，并作出所得的图形． 17．如图，O为矩形的对角线的交点，过O作分别交、于点F、E，若，，求四边形的面积． 18．如图，已知四边形是正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连． (1)求证：四边形是正方形； (2)求的最小值． 19．如图，在矩形ABCD中，AB=BC，点F在BC边的延长线上，点P是线段BC上一点（与点B，C不重合），连接AP并延长，过点C作CG⊥AP，垂足为E． (1)若CG为∠DCF的平分线．请判断BP与CP的数量关系，并证明； (2)若AB=3，△ABP≌△CEP，求BP的长． 20．准备一张矩形纸片和一张平行四边形纸片，尝试以下操作． （1）把平行四边形纸片割补成一个矩形．怎样操作能使分割线的条数最少？ （2）把矩形纸片割补成有一个角为的平行四边形．怎样操作能使分割线最少？ 通过上述活动，你获得哪些经验？ 试一试：两张正方形纸片拼在一起，如图．把它割补成一个更大的正方形，并使分割线的条数最少． 能力提升 一、单选题 21．如图，正方形的面积为，点为边上一动点，点为边上一动点，连接、，点和点在运动的过程中始终保持，则的周长（   ） A． B．8cm C．6cm D．4cm 22．如图，四边形ABCD为菱形，，，连接四边形中点得到四边形EFGH，则四边形EFGH的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 23．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD= ．    24．如图，长方形中，点B与原点O重合，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，E为中点，F为上一点，将沿折叠后，点A恰好落到上的点G处，所在的直线方程为，则折痕EF的长为 ． 三、解答题 25．折叠矩形的一边，使点D落在边的F点处，若，求的长． 26．如图①，正方形ABCD中，M是AB的中点，E是延长线上一点．MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于N． （1）若点F是AD的中点，求证：MD＝MN； （2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上的任意一点”，其它条件不变．如图②所示，则结论“MD＝MN”是否成立．若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$