精品解析：江苏省宿迁市宿城区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期末调研测试 九年级数学 答题注意事项 1．本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟． 2．请将答案全部写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．答选择题时使用2B铅笔，把答题卡对应题号的选项字母涂满、涂黑．如需修改，请用绘图橡皮轻擦干净再选涂其它选项． 4．答非选择题使用0.5mm黑色签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 5．答作图题必须用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描涂清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列函数属于二次函数的是（ ） A. B. C D. 2. 已知的半径为3，当时，点P与的位置关系为（　　） A. 点在圆内 B. 点在圆外 C. 点在圆上 D. 不能确定 3. 如图，已知，均为上一点，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知一组数据26，36，36，3■，41，42其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则下列统计量中仍能计算结果的是（　　） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 5. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y轴相交于A（0，2），B（0，8），则圆心P的坐标是（ ） A. （5，3） B. （5，4） C. （3，5） D. （4，5） 6. 将二次函数y＝﹣x2的图像向左平移3个单位长度后得到的抛物线的函数表达式是（ ） A. y＝﹣（x﹣3）2 B. y＝﹣（x+3）2 C. y＝﹣x2+3 D. y＝﹣x2﹣3 7. 近年来，由于新能源汽车崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①③④ 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）． 9. 小丽笔试成绩为100分，面试成绩为90分，若笔试成绩、面试成绩按6：4计算平均成绩，则小丽的平均成绩是__分． 10. 用配方法解一元二次方程，则方程可化为________． 11. 若一组数据1，3，5，7，9的方差是，另一组数据11，12，13，14，15的方差是，则_______（填“>”“<”或“=”）． 12. 若一个圆锥的母线长为4，它的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的底面圆面积为________． 13. 若关于的方程的一个根是，则代数式的值为__________． 14. 直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的内切圆半径为_________． 15. 在抛物线上有点，和三点，则，，的大小关系为________（用“”表示） 16. 某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆，该爆竹点燃后离地高度h（单位：m）关于离地时间t（单位：s）的函数解析式是，爆竹点燃后升空的最大高度是____米． 17. 如图，直径的夹角，为弧上的一个动点（不与点，重合）．，分别垂直于，，垂足分别为，．若的半径长为2，则的长为__________． 18. 如图，点A，B坐标分别为，，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为______________________ ． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根为，，且满足，求实数m的值． 21 某景区检票口有A，B，C共3个检票通道，甲，乙两人到该景区游玩，两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票. （1）甲选择A检票通道的概率是 ___________; （2）求甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的概率. 22. 学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如下不完整的统计表和统计图 借阅图书的次数/次 0 1 2 3 4及以上 人数/人 7 13 a 10 3 请你根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）　　，　　； （2）该调查统计数据的中位数是 　　，众数是 　　； （3）若学校共有4000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数． 23. 如图，为⊙O的直径， D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C． （1）求证：PQ是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，，求弦AD的长. 24. 某水果商店经销一种热带水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克． （1）现该商场保证每天盈利1500元，同时又要让利顾客，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场要求销售量不低于130千克，这种水果每千克涨价多少元，才能使该商场获利最大． 25. 已知P是上一点，在上作两点A，B，使得分别满足以下条件： （说明：第（1）题只用无刻度的直尺作图，第（2）题只用圆规作图；保留作图痕迹，不写作法．） （1）在图①中，； （2）在图②中，． 26. 已知二次函数（是常数）． （1）若二次函数图像经过，求二次函数的解析式； （2）若，是该二次函数图像上的两个不同点，求二次函数表达式和的值； （3）若点，点也均在此函数图像上，且满足，求的取值范围． 27. 在学习完“圆”后，赵老师带领学生开展了一次数学探究活动． 【感知】如图1，内接于，连接．求证：；小王发现，延长，交于点，连接，进而得证．请完成小王的证明过程． 【探究】如图2，内接于，过点作，分别交、于、，过点作，交于，连接．求证：； 【应用】小张突发奇想，如图3，当是钝角三角形时，过点作，分别交延长线、于、，连接．若，，则的直径是多少？请你帮助小张解决这个问题． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线上，过作轴，交直线于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标； （3）抛物线上是否存在点，使．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末调研测试 九年级数学 答题注意事项 1．本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟． 2．请将答案全部写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．答选择题时使用2B铅笔，把答题卡对应题号的选项字母涂满、涂黑．如需修改，请用绘图橡皮轻擦干净再选涂其它选项． 4．答非选择题使用0.5mm黑色签字笔，在答题卡上对应题号的答题区域书写答案．注意不要答错位置，也不要超界． 5．答作图题必须用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描涂清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列函数属于二次函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义．一般地，形如（a，b，c为常数）的函数叫做二次函数． 根据定义逐一判定．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a，b，c为常数）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【详解】解：A．是一次函数，故不符合题意； B．是二次函数，故符合题意； C．是正比例函数，故不符合题意； D．，当时是一次函数，故不符合题意． 故选：B． 2. 已知的半径为3，当时，点P与的位置关系为（　　） A. 点在圆内 B. 点在圆外 C. 点在圆上 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，通过比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小关系，判断点P与圆的位置关系． 【详解】解：∵的半径为3，， ∴半径， ∴点P在外． 故选：B． 3. 如图，已知，均为上一点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理直接可得，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：． 4. 已知一组数据26，36，36，3■，41，42其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则下列统计量中仍能计算结果的是（　　） A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方差：它也描述了数据对平均数的离散程度．也考查了中位数、平均数和众数的概念．利用平均数、中位数、方差和众数的定义对各选项进行判断． 【详解】解：这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关，而这组数据的中众数为36，与被涂污数字无关． 故选：D． 5. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y轴相交于A（0，2），B（0，8），则圆心P的坐标是（ ） A. （5，3） B. （5，4） C. （3，5） D. （4，5） 【答案】D 【解析】 【详解】如图，过P作PC⊥AB于点C，过P作PD⊥x轴于点D，连接PB， ∵P为圆心， ∴AC=BC， ∵A（0，2），B（0，8）， ∴AB=8﹣2=6， ∴AC=BC=3， ∴OC=8﹣3=5， ∵⊙P与x轴相切， ∴PD=PB=OC=5， 在Rt△PBC中，由勾股定理可得PC===4， ∴P点坐标为（4，5）， 故选D． 考点：切线的性质；坐标与图形性质． 6. 将二次函数y＝﹣x2的图像向左平移3个单位长度后得到的抛物线的函数表达式是（ ） A. y＝﹣（x﹣3）2 B. y＝﹣（x+3）2 C. y＝﹣x2+3 D. y＝﹣x2﹣3 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=-x2的图象向左平移3个单位长度后得到的抛物线的函数表达式是：y=-（x+3）2， 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 7. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是x表示出5月份的售价是解答此题的关键．首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是x可得出4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，据此根据5月份售价为16万元可列出方程，进而可得出答案． 【详解】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元， ∴． 故选：B． 8. 如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数的性质判断符合特征等，①由图象得，由对称轴可判断的符号，即可判断；②由对称轴得图象与x轴交于另一点，，可得，将化为，即可判断；③由二次函数的最值得，可得，即可判断；④由②可求，，代入，即可判断．能熟练利用二次函数的性质进行运算判断是解题的关键． 【详解】解：①由图象得：， ∴， ∴，故①正确； ②∵对称轴为直线， 图象与轴交于点， ∴图象与轴交于另一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； ③∵，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，即（为任意实数）， ∴，故③正确； ④由②得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有：①③④， 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）． 9. 小丽的笔试成绩为100分，面试成绩为90分，若笔试成绩、面试成绩按6：4计算平均成绩，则小丽的平均成绩是__分． 【答案】96 【解析】 【分析】根据加权平均数的公式计算可得． 【详解】解：小丽的平均成绩是＝96（分）， 故答案为：96． 【点睛】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求100，90这两个数的平均数，对平均数的理解不正确． 10. 用配方法解一元二次方程，则方程可化________． 【答案】 【解析】 【分析】方程常数项移到右边，两边加上16变形即可得到结果． 【详解】方程移项得：， 配方得：，即． 故答案为． 【点睛】此题考查的知识点是解一元二次方程-配方法，解题关键是熟练掌握完全平方公式． 11. 若一组数据1，3，5，7，9的方差是，另一组数据11，12，13，14，15的方差是，则_______（填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查了方差，分别计算出、，比较即可得解，熟练掌握方差的计算公式是解此题的关键． 【详解】解：，， ， ， ∴， 故答案为：． 12. 若一个圆锥的母线长为4，它的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的底面圆面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，由弧长公式得出它的侧面展开图的弧长，从而得出圆锥的底面圆的半径，最后根据圆的面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵一个圆锥的母线长为4，它的侧面展开图的圆心角为， ∴它的侧面展开图的弧长为， ∴圆锥的底面圆的半径为， ∴这个圆锥的底面圆面积为， 故答案为：． 13. 若关于的方程的一个根是，则代数式的值为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，由题意得出，推出，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的内切圆半径为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】可求，由即可求解． 【详解】解：如图，，，， ， ， ， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理，面积法，会用面积转化是解题的关键． 15. 在抛物线上有点，和三点，则，，的大小关系为________（用“”表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的性质；熟练运用二次函数图像的对称性和增减性是解题的关键． 根据二次函数的对称性与增减性解答即可． 【详解】解：函数的对称轴为直线：， ∵ ∴抛物线开口向下 ∵， ∴点离对称轴最远，点离对称轴最近 ∴ 故答案为：． 16. 某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆，该爆竹点燃后离地高度h（单位：m）关于离地时间t（单位：s）的函数解析式是，爆竹点燃后升空的最大高度是____米． 【答案】45 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，将已知解析式化简为顶点式即可求得答案． 【详解】解：， 依据顶点式可知顶点坐坐标为，则最大值为45． 故答案为：45． 17. 如图，直径的夹角，为弧上的一个动点（不与点，重合）．，分别垂直于，，垂足分别为，．若的半径长为2，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交圆于点，延长交圆于点，连接，作于，如图所示．根据垂径定理，，推出且，由，推出，得到弦的长为定值，的长也为定值．也可取特殊位置，快速求解． 【详解】解：（演绎推理法）延长交圆于点，延长交圆于点，连接，作于，如图所示： 根据垂径定理可知，， 则是的中位线， ∴且， ∵， ， ∵，， ， 为弧上的一个动点（不与点，重合）， ， ，， 是的角平分线，且， 在中，，，则， ，则， ∴， 故答案为：． （特殊位置法）当于圆心时，延长交圆与点，延长交圆于点，连接，如图所示： 根据垂径定理，， ∵，， ∴， ， ， ，， 是的中位线，即，且， 在中，，，则， 由勾股定理可得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是垂径定理、三角形中位线的判定与性质、邻补角、四边形内角和、圆周角定理、等腰三角形的性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，得到，并确定为定值是解题的关键．对于填空题，不需要严格的证明，选取特殊位置法求解能更直观快速． 18. 如图，点A，B的坐标分别为，，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为______________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】先确定点C运动轨迹，再作点A关于原点的对称点E，连接，并延长交于 C，当最大时，也就是最大，在点C移动过程中，当点C在如图所示的位置时，的值最大，利用勾股定理求出最大值即可． 本题考查了坐标与图形性质，作出正确辅助线，确定点C的运动轨迹是解答本题的关键． 【详解】解：∵，，即， ∴点C的运动轨迹是以点D为圆心，半径为1的圆周上运动， 如图，作点A关于原点的对称点E，连接，并延长交于点C， ∵O为中点，M为中点， ∴为的中位线， ∴， 当最大时，也就是最大，在点C移动过程中，当点C在如图所示的位置时，的值最大， 在中，，，根据勾股定理得： ， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用直接开平方法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根为，，且满足，求实数m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）本题考查一元二次方程判别式的意义，直接根据判别式直接进行求解即可； （2）本题考查一元二次方程根于系数的关系，利用根于系数的关系带入原始即可求解． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由根与系数的关系：，， ∴， ∴． 21. 某景区检票口有A，B，C共3个检票通道，甲，乙两人到该景区游玩，两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票. （1）甲选择A检票通道的概率是 ___________; （2）求甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因为景区检票口有A，B，C共3个检票通道，所以供甲选择的有三种可能，甲选择A检票通道的概率是 ； （2）利用树状图把所有可能的情况一一列举出来，然后利用概率公式求解即可. 【小问1详解】 解：（1）∵景区检票口有A，B，C共3个检票通道， ∴甲随机选择一个检票共有三种等可能的情况. ∴P（选择A）=. 故答案为：； 【小问2详解】 由题意列树状图得， 由上图可以看出， 甲乙两人分别从3个检票通道中随机选择一个检票共有9种等可能的情况， 其中甲，乙两人选择的检票通道恰好相同的情况共有3种， ∴P（甲乙两人选择的通道相同）. 【点睛】本题考查了列表法与树状图法求事件发生的概率，熟练掌握列表法与树状图法及概率公式是解题的关键. 22. 学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如下不完整的统计表和统计图 借阅图书的次数/次 0 1 2 3 4及以上 人数/人 7 13 a 10 3 请你根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）　　，　　； （2）该调查统计数据的中位数是 　　，众数是 　　； （3）若学校共有4000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”人数． 【答案】（1）17，20 （2）2次，2次 （3）240人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，求中位数和众数： （1）先由1次的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他次数的人数求得的值，用3次的人数除以总人数求得的值； （2）根据中位数和众数的定义求解； （3）用总人数乘以样本中“4次及以上”的人数所占比例即可得． 【小问1详解】 解：由题意得，被调查的总人数为（人）， ，，即， 故答案为：17，20； 【小问2详解】 解：由于共有50个数据，按照从小到大的顺序排列，中位数为第25、26个数据的平均数， 而第25、26个数据均为2次， ∴中位数为2次， ∵出现次数最多的是2次， ∴众数为2次， 故答案为：2次、2次； 【小问3详解】 解：估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为（人）． 23. 如图，为⊙O的直径， D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C． （1）求证：PQ是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，，求弦AD的长. 【答案】(1)见解析;(2)2. 【解析】 【详解】分析：（1）连接OT，只要证明OT⊥PC即可解决问题； （2）作OM⊥AC，易知OM=TC=，OA=2．在Rt△OAM中，求出AM即可解决问题； 详解：（1）连接OT． ∵OT=OA，∴∠ATO=∠OAT． 又∠TAC=∠BAT，∴∠ATO=∠TAC，∴OT∥AC． ∵AC⊥PQ，∴OT⊥PQ，∴PQ是⊙O的切线． （2）过点O作OM⊥AC于M，则AM=MD． 又∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°， ∴四边形OTCM为矩形，∴OM=TC=． 在Rt△AOM中，AM═=1， ∴弦AD的长为2． 点睛：本题考查了切线的判定和性质、垂径定理、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题． 24. 某水果商店经销一种热带水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克． （1）现该商场保证每天盈利1500元，同时又要让利顾客，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场要求销售量不低于130千克，这种水果每千克涨价多少元，才能使该商场获利最大． 【答案】（1）每千克应涨价5元 （2）每千克应涨价7元，才能使该商场获利最大 【解析】 【分析】（1）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据要让利顾客确定其值； （2）根据题意列出二次函数解析式，然后转化为顶点式，最后根据二次函数的增减性求其最值即可． 【小问1详解】 解：设每千克应涨价x元，由题意列方程得： （5+x）（200-10x）=1500 解得x=5或x=10， ∴为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元； 【小问2详解】 设涨价x元时，所获利润为y元， ∵商场要求销售量不低于130千克， ∴200-10x≥130 ∴x≤7 又∵y=（5+x）（200-10x） =-10x2+150x+1000 =-10（x2-15x）+1000 =-10（x-7.5）2+1562.5， 当x≤7.5时，y随x的增大而增大， ∴当x=7时，y有最大值为1560 答：每千克这种水果涨价7元，能使商场获利最大． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列出方程和函数关系式，并能熟练运用二次函数的性质． 25. 已知P是上一点，在上作两点A，B，使得分别满足以下条件： （说明：第（1）题只用无刻度的直尺作图，第（2）题只用圆规作图；保留作图痕迹，不写作法．） （1）在图①中，； （2）在图②中，． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理．掌握直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键． （1）过原点，作一条直径，交圆上于，两点即可； （2）在圆上选一点，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求． 26. 已知二次函数（是常数）． （1）若二次函数图像经过，求二次函数的解析式； （2）若，是该二次函数图像上的两个不同点，求二次函数表达式和的值； （3）若点，点也均在此函数图像上，且满足，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查的二次函数图象与性质，待定系数法确定函数解析式，函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）把点代入解析式求出的值，即可求解； （2）由点，的坐标得，抛物线的对称轴为直线，则抛物线的表达式为，将点的坐标代入上式即可求出的值； （3）根据题意得到，解不等式即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数图象经过， ∴，即， 解得或， ∴二次函数的解析式为或； 【小问2详解】 解：由点，的坐标得，抛物线的对称轴为直线， 解得， 抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得：， 解得； 【小问3详解】 解：∵（是常数）． ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离越小，则此点对应的函数值越小， ∵点，点在此函数图象上，且满足， ∴，即， 解得． 27. 在学习完“圆”后，赵老师带领学生开展了一次数学探究活动． 【感知】如图1，内接于，连接．求证：；小王发现，延长，交于点，连接，进而得证．请完成小王的证明过程． 【探究】如图2，内接于，过点作，分别交、于、，过点作，交于，连接．求证：； 【应用】小张突发奇想，如图3，当是钝角三角形时，过点作，分别交延长线、于、，连接．若，，则的直径是多少？请你帮助小张解决这个问题． 【答案】感知：证明见解析；探究：证明见解析；应用： 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 感知：延长，交于点，连接，有圆周角定理可得，得出，结合，即可得证； 探究：连接并延长交圆于点，连接，由相似三角形的判定与性质得出，证明，得出，即可得证； 应用：连接并延长交圆于点，连接、、，则，，证明，得出，作，则，，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】感知：证明：延长，交于点，连接， 因为为的直径， 所以 所以 因为， 所以； 探究：连接并延长交圆于点，连接，如图， 因为， 所以， 因为为的直径 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 由感知知：， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以 应用：连接并延长交圆于点，连接、、， 则，， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 作，则，， ∴， ∴圆的直径为 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线上，过作轴，交直线于点，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标； （3）抛物线上是否存在点，使．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）1或3或或 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，将点、点代入抛物线解析式，解关于、的一元一次方程，即可求得抛物线的解析式； （2）通过点、求出直线的解析式，设点、的坐标，结合轴，以、、、为顶点的四边形是平行四边形得，解一元二次方程即可． （3）过点作于点，过点作轴，过点作于点，过点作于点．设点，当在右侧时，证明，得、，故可推出，解二元一次方程组可得，即，结合点推出直线的解析式为，联立解一元二次方程即可得；当在左侧时，同理可得． 【小问1详解】 解：将点、代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：设点， 抛物线与轴交于点， ． 设直线的解析式为， 将点、代入，得：， 解得：，， 直线的解析式为． 设， ， 轴， ， 当时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ， 解得或或或． 【小问3详解】 解：抛物线上存在点，使，理由如下： 过点作于点，过点作轴，过点作于点，过点作于点． 设点． ①当在右侧时，如图： ，，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， 在和中， ， ， ，， ，， ， 解得：， ， 由，可得直线的解析式为， 联立， 解得：（此时点，点重合，舍去）或， ． ②当在左侧时，如图： 同理可得：， 解得：， ，直线的解析式为， 联立，解得：（此时点，点重合，舍去）或， ． 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合应用，主要考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，一线三垂直模型判定三角形全等和全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解一元二次方程，解二元一次方程组等，用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度且利用待定系数法求函数的解析式是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $