精品解析：内蒙古包头市青山区2024-2025学年八年级上学期期末数学试题

2024-2025学年内蒙古包头市青山区八年级（上） 期末数学试卷 一、选择题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 在0，，，这四个数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线上，若，则∠2等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知点与点的连线平行于轴，则的值为（　　） A. B. C. D. 4. 在下列四个命题中，为真命题的是（　　） A. 数轴上的点和有理数是一一对应的 B. 在中，已知两边长分别是3和4，则第三条边长为5 C. 钝角大于它的补角 D 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 5. 如图，实数在数轴上对应的点到原点的距离为5．下列各数中，与最接近的是（ ） A. B. C. D. 6. 某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）是：168，184，187，188，197．现用一名身高为178cm的队员换下场上身高为197cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大 7. 如图，若，则、、之间的关系为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，轴，是的中点．是上的一点，当的周长最小时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上． 9. 在平面直角坐标系中，点 在第二象限，且距离轴个单位长度，距离轴 个单位长度，则点 的坐标为_______． 10. 如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数是______． 11. 已知，互为相反数，，互为倒数，倒数等于它本身，则的立方根为______． 12. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为7和22，则c的面积为_______． 13. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，《孙子算经》中的数学问题大多浅显易懂，其中一些趣味问题在后世广为流传．其中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为 _____________． 14. 如图，长方体的底面边长分别为1cm 和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP＝BC．如果用一根细线从点A开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P，那么所用细线最短需要_____cm． 三、解答题：本大题共有7小题，共58分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 15. 计算：． 16 先化简，再求值：，其中． 17. 下面是小林同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：， 由①得③，第一步 把③代入②，得，第二步 整理得，第三步 解得，即．第四步 把代入③，得， 则方程组的解为第五步 任务一： ①以上求解过程中，小林用了______消元法．（填“代入”或“加减”） ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． 任务二：该方程组的正确解为______． 任务三：请你根据平时的学习经验，就解二元一次方程组时还需要注意的事项给其他同学提一点建议． 18. 某校学期综合评价成绩是由平时作业、期中检测、期末考试三项成绩构成的，如果学期综合评价成绩在90分以上则评为“优秀”．如表是小明和小亮两位同学某学科的成绩． 学生 平时作业/分 期中检测/分 期末考试/分 小明 90 76 89 小亮 92 65 95 （1）若将三项成绩的平均分记为学期综合评价成绩，请计算比较两人的学期综合成绩； （2）若将平时作业、期中检测、期末考试三项成绩按比例来确定学期综合评价成绩，请你通过计算判断小明、小亮该学科能否被评为“优秀”． 19. 对于老师给定的一次函数，有以下三条关于该函数图象与性质的正确信息： ①函数图象与轴交于点； ②函数图象与轴交于点，且； ③的值随着值的增大而增大． 根据以上信息求： （1）填空：点的坐标是__________； （2）求出这个函数的表达式，并画出这个函数的图象； （3）若直线与该一次函数的图象平行，求直线与两坐标轴围成的面积． 20. 如图，已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．(证明注明理由) 21. 随着“低碳生活，绿色出行”理念普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元． （1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； （3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 22. 已知中，点D是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点． （1）如图1，若，，直接求出的度数； （2）如图2，若，试判断与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若，求证： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年内蒙古包头市青山区八年级（上） 期末数学试卷 一、选择题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 在0，，，这四个数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，求一个数的算术平方根；无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】在0，，，这四个数中，是无理数是， 故选：A． 2. 如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线上，若，则∠2等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．根据直角三角形的直角与平角之间的关系可得到与互余，再根据平行线的性质可知的度数． 【详解】解：∵直角三角板直角顶点在直线上，， ∴， ∵， ∴； 故选：D． 3. 已知点与点的连线平行于轴，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系，解题的关键是掌握平行于轴的直线上点的坐标特征． 根据平行于轴的直线上点的坐标特征得到，然后解一元一次方程即可． 【详解】解：∵轴， ∴点和点的纵坐标相同， 即， ∴， 故选：． 4. 在下列四个命题中，为真命题的是（　　） A. 数轴上的点和有理数是一一对应的 B. 在中，已知两边长分别是3和4，则第三条边长为5 C. 钝角大于它的补角 D. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据实数与数轴、勾股定理、余角和补角、平行线的性质判断即可． 【详解】解：A、数轴上的点和实数是一一对应的，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、在中，已知两边长分别是3和4，则第三条边长为5或，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、钝角大于它的补角，是真命题，符合题意； D、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，实数在数轴上对应的点到原点的距离为5．下列各数中，与最接近的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到，，继而得到， 解答即可． 本题考查了绝对值，实数大小比较，熟练掌握两点间距离越小，两个数越靠近是解题的关键． 【详解】根据题意，得到， 因为 所以 所以在之间， 所以 所以数轴上表示数m与的距离小于表示数m与的距离， 即数m与 最接近， 故选A． 6. 某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）是：168，184，187，188，197．现用一名身高为178cm的队员换下场上身高为197cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数和方差，能根据公式正确求出一组数据的平均数和方差是解题的关键．先根据公式分别求出原来数据和新数据的平均数和方差，然后比较即可得到答案． 【详解】解：原来数据的平均数：（cm）， 方差： 现在数据的平均数：（cm）， 方差： ∴平均数变小了，方差变小了． 故选：A． 7. 如图，若，则、、之间的关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，作，则，，从而得出，再结合即可得解，熟练掌握平行线的性质，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，作， ， 则，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴，轴，是的中点．是上的一点，当的周长最小时，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作点A关于y轴的对称点A'，连接A'D，此时△ADE的周长最小值为AD+DA'的长；E点坐标即为直线A'D与y轴的交点． 【详解】解：作点A关于y轴的对称点A'，连接A'D， 此时△ADE的周长最小值为AD+DA'的长； ∵A的坐标为(-4，6)，D是OB的中点， ∴D(-2，0)， 由对称可知A'(4，6)， 设A'D的直线解析式为y=kx+b，则： ， 解得：， ∴y=x+2， 当x=0时，y=2 ∴E(0，2)． 故选：D． 【点睛】本题考查线段的最短距离．能够利用轴对称求线段的最短距离，将AE+DE的最短距离转化为线段A'D的长是解题的关键． 二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分．请将答案填在答题卡上对应的横线上． 9. 在平面直角坐标系中，点 在第二象限，且距离轴个单位长度，距离轴 个单位长度，则点 的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点所在的象限，确定横纵坐标的符号，根据到轴、轴的距离，确定横纵坐标的数值，本题考查了点的坐标，解题的关键是：掌握四个象限内点的坐标符号特点，和到轴、轴的距离所对应的坐标数值． 【详解】解：点 在第二象限， 横坐标为负，纵坐标为正， 距离轴个单位长度，距离轴 个单位长度， 横坐标：，纵坐标为， ， 故答案为：． 10. 如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数是______． 【答案】9小时 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，根据中位数的定义可知将40位同学锻炼时间从小到大排序后，第20位同学和第21位同学的平均数即是中位数． 【详解】解：将这组数据按从小到大的顺序排列后，第20位同学和第21位同学的平均数为（小时），即中位数为9小时， 故答案为：9小时． 11. 已知，互为相反数，，互为倒数，的倒数等于它本身，则的立方根为______． 【答案】0或 【解析】 【分析】此题考查立方根，代数式求值；根据题意得，，，以整体的形式代入所求的代数式，进而求立方根即可求解． 【详解】解：因为，互为相反数，所以. 因为，互为倒数，所以， 因为的倒数等于它本身，所以. ①当，，时，， 所以的立方根是0； ②当，，时，， 所以的立方根为. 综上所述，的立方根是0或. 故答案为：0或． 12. 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为7和22，则c的面积为_______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．由“”可证，可得，由勾股定理可得c的面积b的面积a的面积即可得到答案． 【详解】解：如图， 三个正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ∵，即， 根据勾股定理的几何意义，的面积的面积的面积， 的面积的面积的面积． 故答案为：． 13. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，《孙子算经》中的数学问题大多浅显易懂，其中一些趣味问题在后世广为流传．其中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为 _____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题是二元一次方程组的应用，列方程组时要抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系；因为此类题要列二元一次方程组，因此要注意两句话；同时本题要注意绳子对折，即取绳子的二分之一．由绳子比木头长4.5尺得：；由绳子对折后比木头短1尺得：；组成方程组即可． 详解】解：由题意得：； 故答案为：． 14. 如图，长方体的底面边长分别为1cm 和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP＝BC．如果用一根细线从点A开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P，那么所用细线最短需要_____cm． 【答案】5 【解析】 【详解】解：将长方体展开，连接AP， ∵长方体的底面边长分别为1cm和2cm,高为4cm,点P在边BC上,且BP=BC， ∴AC=4cm,PC=BC=3cm， 根据两点之间线段最短,AP==5(cm). 故答案为5. 三、解答题：本大题共有7小题，共58分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，立方根的定义，有理数的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用算术平方根，立方根的定义，有理数的乘方法则，绝对值的性质计算即可． 【详解】解： ． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；． 【解析】 【分析】先根据平方差公式和完全平方公式把所给代数式化简，再把代入计算即可． 详解】原式= = =， 当时， 原式=． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应． 17. 下面是小林同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：， 由①得③，第一步 把③代入②，得，第二步 整理得，第三步 解得，即．第四步 把代入③，得， 则方程组的解为第五步 任务一： ①以上求解过程中，小林用了______消元法．（填“代入”或“加减”） ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． 任务二：该方程组的正确解为______． 任务三：请你根据平时的学习经验，就解二元一次方程组时还需要注意的事项给其他同学提一点建议． 【答案】任务一：①代入；②三，不符合去括号法则（或不符合乘法分配律）；任务二：；任务三：移项时，要注意变号（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组，解答本题的关键是熟练掌握代入消元法解二元一次方程组．仔细考查小林的解题步骤即可得出答案；给予本题小林出现的错误是去括号出现的错误，根据括号法则可给出建议． 【详解】任务一：①小林用了代入消元法， 故答案为：代入． ②小林从第三步开始出现了错误，错误的原因是去括号错误． 故答案为：三，不符合去括号法则（或不符合乘法分配律）． 任务二：由①得：③． 将③代入②得：， 去括号得：， 整理得：， 即：， 将代入③得：， 原方程的解为：， 故答案为：． 任务三：移项时，要注意变号（答案不唯一）． 18. 某校学期综合评价成绩是由平时作业、期中检测、期末考试三项成绩构成的，如果学期综合评价成绩在90分以上则评为“优秀”．如表是小明和小亮两位同学某学科的成绩． 学生 平时作业/分 期中检测/分 期末考试/分 小明 90 76 89 小亮 92 65 95 （1）若将三项成绩的平均分记为学期综合评价成绩，请计算比较两人的学期综合成绩； （2）若将平时作业、期中检测、期末考试三项成绩按的比例来确定学期综合评价成绩，请你通过计算判断小明、小亮该学科能否被评为“优秀”． 【答案】（1）小明的学期综合评价成绩为比小亮的学期综合评价成绩好 （2）小明和小亮该学科不能被评为“优秀” 【解析】 【分析】本题考查算术平均数与加权平均数，掌握平均数和加权平均数的求法是解题的关键． （1）根据平均数的定义，将三个成绩之和除以3即可求解； （2）根据加权平均数的定义即可求解． 【小问1详解】 解：（分）， ∴小明的学期综合评价成绩为85分； （分）， ∴小亮的学期综合评价成绩为84分； ∴小明的学期综合评价成绩为比小亮的学期综合评价成绩好； 【小问2详解】 解：由题意， ∴小明在期末考试中的成绩是85.3分， ， ∴小亮在期末考试中成绩是85.4分， ∵学期综合评价成绩在90分以上则评为“优秀”， ∴小明和小亮该学科不能被评为“优秀”． 19. 对于老师给定的一次函数，有以下三条关于该函数图象与性质的正确信息： ①函数图象与轴交于点； ②函数图象与轴交于点，且； ③的值随着值的增大而增大． 根据以上信息求： （1）填空：点的坐标是__________； （2）求出这个函数的表达式，并画出这个函数的图象； （3）若直线与该一次函数的图象平行，求直线与两坐标轴围成的面积． 【答案】（1）；（2），作图见解析；（3）4 【解析】 【分析】（1）根据函数的性质确定B点坐标即可； （2）把A、B代入解析式求解即可； （3）根据两直线平行求出解析式，做出函数图像计算即可； 【详解】（1）∵，图象与轴交于点，且， ∴或， 又∵的值随着值的增大而增大， ∴； 故答案是：； （2）∵函数图像过点，， ∴， ∴， ∴； 函数图像如图所示： （3）∵直线与直线平行， ∴， ∴， 函数图像如图所示： 得到，， ∴，， ∴； 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像与性质，掌握待定系数法以及一次函数的性质是解题的关键． 20. 如图，已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．(证明注明理由) 【答案】见解析 【解析】 【分析】要证明EF平分∠BED，即证∠4=∠5，由平行线的性质，∠4=∠3=∠1，∠5=∠2，只需证明∠1=∠2，而这是已知条件，故问题得证． 【详解】解：证明：∵AC∥DE， ∴∠BCA=∠BED， 即∠1+∠2=∠4+∠5， ∵AC∥DE， ∴∠1=∠3； ∵DC∥EF， ∴∠3=∠4； ∴∠1=∠4， ∴∠2=∠5； ∵CD平分∠BCA， ∴∠1=∠2， ∴∠4=∠5， ∴EF平分∠BED． 【点睛】本题考查了角平分线的定义及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 21. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元． （1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； （3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元； （2）共3种购买方案，方案一：购进型车6辆，型车5辆；方案二：购进型车4辆，型车10辆；方案三：购进型车2辆，型车15辆； （3）购进型车2辆，型车15辆获利最大，最大利润是91000元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价单价数量求出三种购车方案获得的利润． （1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论； （3）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 依题意，得：， 解得：． 答：型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元； 【小问2详解】 解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 依题意，得：， 解得：． ，均为正整数， ，，， 共3种购买方案，方案一：购进型车6辆，型车5辆；方案二：购进型车4辆，型车10辆；方案三：购进型车2辆，型车15辆； 【小问3详解】 解：方案一获得利润：（元； 方案二获得利润：（元； 方案三获得利润：（元． ， 购进型车2辆，型车15辆获利最大，最大利润是91000元． 22. 已知中，点D是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点． （1）如图1，若，，直接求出的度数； （2）如图2，若，试判断与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，若，求证： ． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）详见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，解决该题型题目时，利用平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键． （1）先根据三角形的内角和得，分别根据角平分线的定义和三角形外角的性质得∠G的度数； （2）根据三角形内角和定理和角平分线定义，可得和的关系； （3）根据平行线的性质和角平分线定义可得结论． 【小问1详解】 解：如图1，∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图2，，理由是： 由（1）知：，， 设，， ∵， ∴，即， ∴， 同理得， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 如图3，∵， ∴， 由（2）得：， 中，，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$