专题15 空间中点、线、面间的位置关系（3大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第二册）

专题15 空间中点、线、面间的位置关系 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 题型一、点、线共面问题 3 题型二、点共线、线共点问题 8 题型三、异面直线的判定 12 压轴能力测评（15题） 17 一、四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 注：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 注：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据 推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 注：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据 （2）此推论是判定若干平面重合的依据 （3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据 推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面； 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 注：（1）此公理是判定两个平面相交的依据 （2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点） （3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 二、直线与直线的位置关系 位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面 图形 符号 a∥b 公共点个数 1 0 0 特征 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平面 两条异面直线不同在如何一个平面内 三、直线与平面的位置关系 位置关系 包含（面内线） 相交（面外线） 平行（面外线） 图形 符号 ∥ 公共点个数 无数个 1 0 四、平面与平面的位置关系 位置关系 平行 相交（但不垂直） 垂直 图形 符号 ∥ ， 公共点个数 0 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 五、等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 【题型一 点、线共面问题】 一、单选题 1．（23-24高一下·河北邯郸·期末）如图，在空间四边形各边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则下列结论错误的是（    ） A．点必在平面内 B．点必在平面内 C．点必在直线上 D．直线与直线为异面直线 【答案】D 【分析】利用基本事实2,3可得正确的选项. 【详解】 对于AB， 因为直线在平面内，且，所以点必在平面内，故A正确； 同理直线在平面内，且，所以点必在平面内，故B正确； 由A，B选项得点在平面内，也在平面内， 对于CD， 由基本事实3得点在交线上，故C正确；直线与直线为相交直线， 故D不正确， 故选：D. 2．（23-24高一下·河南三门峡·阶段练习）如图正方体或四面体，分别是棱的中点，这四个点不共面的图是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据得可判断A；取的中点，可得，即四点共面，同理即四点共面可判断B；利用可判断C；利用点面关系可判断D， 【详解】对于A，如图，是的中点， 连接，连接， 因为，所以，所以共面；      对于B，如图，因为是的中点， 取的中点，连接， 可得，所以，即四点共面， 因为，所以，即四点共面， 因为过的平面有且只有1个， 所以四点共面；      对于C，如图，三棱锥中连接， 因为是的中点， 则，，所以，即四点共面； 对于D，如图，连接， 平面，即四点不共面. 故选：D. 二、解答题 3．（23-24高一下·云南大理·期中）如图，四边形和四边形都是梯形，，且分别为的中点. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四点共面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）结合三角形中位线性质可证得且，由此可得结论； （2）由，可证得四边形为平行四边形，结合（1）的结论可得，，由此可知四边形为平行四边形，得到，由此可得四点共面. 【详解】（1）因为分别为的中点，则，， 又因为，，则，， 所以四边形是平行四边形. （2）因为，，为中点，则，， 可知四边形为平行四边形，则，， 由（1）知：，，可得，， 所以四边形为平行四边形，则， 即，所以四点共面. 4．（23-24高一下·云南昆明·期中）如图是一个棱长为2的正方体的展开图，其中分别是棱的中点．请以三点所在面为底面将展开图还原为正方体． (1)求证：点在平面内； (2)用平面截正方体，将正方体分成两个几何体，两个几何体的体积分别为，试判断体积较小的几何体的形状（不需要证明），并求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)三棱台， 【分析】（1）根据两条平行线确定一个平面，得出四点共面； （2）由于平面截正方体的截面是四边形，得出是三棱台的体积，进一步求体积得出比值. 【详解】（1）证明：将展开图还原为如图所示的正方体， 连接，在正方体中，且， 四边形是平行四边形，， 由分别是棱的中点，有，则， 所以四点共面，即点在平面内． （2）连接，所以平面截正方体的截面是四边形， 平面中，延长与的延长线交于点，是棱中点，则为中点， 为中点，则延长与的延长线交于点， 所以体积较小的几何体，即体积为的几何体是三棱台， 正方体的体积，其中是三棱台的体积， ， 5．（2024高一·全国·专题练习）证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内． 已知：如图，直线两两相交，且不共点．求证：直线在同一平面内. 【答案】证明见解析 【分析】证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1．先证某两线确定平面，然后证其它直线也在内． 【详解】图①中，没有三条直线交于一点， 因为，所以确定平面， 又因，所以， 所以， 同理可得， 所以直线在同一平面内； 图②中，三条直线交于一点， 因为又因，所以， 所以， 同理， 所以直线在同一平面内， 综上所述，所以直线在同一平面内. 【题型二 点共线、线共点问题】 一、解答题 1．（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．    【答案】证明见解析 【分析】由题意可证平面，平面，进而，即可证明. 【详解】因为，且平面，所以平面， 同理平面， 从而M在两个平面的交线上， 因为平面∩平面，所以成立． 所以点三点共线． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，已知四面体中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点． 【答案】证明见解析 【分析】先设两腰EG，FH的延长线相交于一点，再应用平面的基本性质证明三条线交于一点. 【详解】四边形是梯形，其两腰所在直线必相交． 设两腰EG，FH的延长线相交于一点， 平面ABC，平面ACD，平面ABC，平面ACD． 又平面平面， ，故直线EG，FH，AC相交于同一点． 3．（24-25高一上·上海·单元测试）已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先证明两直线平行，再根据两平行线可确定一平面证明共面； （2）结合面面交线证明三点共线； （3）根据面面相交于一条直线，再证明三线交于一点； 【详解】（1）证明：因为EF是的中位线，所以． 在正方体中，，所以． 所以EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面． （2）在正方体中，设平面为、平面BDEF为． 因为，所以．又，所以．所以Q是与的公共点． 同理，P也是与的公共点．所以． 又，所以，，且．则， 故P、Q、R三点共线． （3）因为且，所以DE与BF相交， 设交点为M，则由，平面，得平面， 同理，点平面．又平面平面， 所以．所以DE、BF、三线交于一点M． 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，在正四棱台中，分别为棱，，，上的点.已知，，，，正四棱台的高为6.证明：直线，，相交于同一点. 【答案】证明见解析 【分析】先证明四边形，均为梯形，则直线与必相交，与必相交，再结合长度关系得到点重合即证. 【详解】在正四棱台中，因为，，，，所以四边形，均为梯形， 则直线与必相交，与必相交. 延长，，，设的延长线与的延长线交于点， 的延长线与的延长线交于点． 在正四棱台中，，， 则，，得，所以点重合， 即直线，，相交于同一点. 5．（2024高一·全国·专题练习）若所在的平面和所在平面相交，并且直线相交于一点O，求证：    (1)和、和、和分别在同一平面内； (2)如果和、和、和分别相交，那么交点在同一直线上（如图）. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据空间中直线与平面、点与平面的位置关系即可判断； （2）证明三点分别在平面与平面的交线上即可. 【详解】（1）∵， ∴确定平面， ∵都在平面内， ∴平面；平面， ∵， ∴确定平面， ∵都在平面内， ∴平面；平面， ∵， ∴确定平面， ∵都在平面内， ∴平面；平面； （2）∵，∴， 因为平面，平面， 所以点在平面与平面的交线上， ∵，∴， 因为平面，平面， 所以点在平面与平面的交线上， ∵，∴， 因为平面，平面， 所以点在平面与平面的交线上， 所以三点共线. 【题型三 异面直线的判定】 一、单选题 1．（2025高一·全国·专题练习）已知点M是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是（ ） A． B． C．CD D． 【答案】C 【分析】举反例，排除ABD，结合异面直线定义证明C正确. 【详解】对于A，当点位于位置时，直线与直线相交，故A错误； 对于D，当点位于位置时，直线与直线相交，故D错误； 对于B，当点位于的中点时，如图， 因为四边形为平行四边形，所以也为的中点， 因为，所以四点共面，所以与共面，故B错误； 对于C，直线平面，直线平面， 点不在直线上，所以直线与直线为异面直线，故C正确； 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·期末）如图，正方体中，分别为线段、的中点，联结，对空间任意两点，若线段与线段不相交或与线段不相交，则称两点可视，下列选项中与点不可视的为（    ） A．点 A B．点 C．点Q D．点 【答案】B 【分析】根据新定义、异面直线的定义判断即可. 【详解】对于A，连接，因为平面， 平面，且，所以直线与是异面直线， 所以点与点可视，故A错误； 对于B，如图，连接，得平面， 且与相交，连接，因为，， 所以四边形是平行四边形，得与相交，所以点与点不可视， 故B正确； 对于C，如图，连接，，因为平面， 平面，且，所以直线与是异面直线， 所以点与点可视，故C错误； 对于D，如图，连接，， 因为平面，平面，且， 所以直线与是异面直线，所以点与点可视，故D错误. 故选：B. 二、多选题 3．（2025高一·全国·专题练习）如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（    ） A．直线与是相交直线 B．直线与是异面直线 C．与平行 D．直线与共面 【答案】BD 【分析】根据异面直线的概念结合正方体性质可判断AB；根据直线的平行的判定可判断C；利用四点共面可判断D. 【详解】对于A，三点在平面内，M点不在直线上， A点不在平面内，可得直线与是异面直线，故A错误； 对于B，三点在平面内，不在直线上， M点不在平面内，可得直线与是异面直线，故B正确； 对于C，取的中点E，连接，又N为的中点， 则有，， 所以四边形是平行四边形，所以， ，则与不平行，故C错误； 对于D，连接， 因为M，N分别为棱的中点， 所以， 由正方体的性质可知：， 所以，则有四点共面， 所以直线与共面，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 4．（23-24高一下·北京顺义·期中）从正方体的12条面对角线中选出k条，使得这k条面对角线所在直线两两异面，则k的最大值为 ． 【答案】4 【分析】先依次选定第一条、第二条面对角线结合正方体结构特征进行分析即可求解. 【详解】如图，在面中选定一条面对角线， 由正方体结构特征剩余五个面内均只剩一条面对角线与异面， 但当继续选定第二条面对角线时， 面与面中与异面的直线均与面对角线相交，故不符合， 所以最终只剩最后两个面的对角线可以与和两两异面，故k的最大值为4. 故答案为：4. 四、解答题 5．（24-25高一上·上海·期中）如图，已知分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.    (1)求证：点在直线上； (2)求证：与是异面直线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上，来证得在直线上. （2）利用反证法可证明与是异面直线. 【详解】（1）平面平面， 由于平面，平面， 所以，也即点在直线上. （2）假设与不是异面直线. 则与是共面直线，又在直线外， 则过与直线有唯一平面，所以可得平面， 这与在平面外矛盾，故与是异面直线. 6．（24-25高一·上海·课堂例题）如图，在正方体中，P是的中点，Q是的中点，与是否为异面直线？请说明理由． 【答案】与不是异面直线，理由见解析 【详解】与不是异面直线．如图，连接， 因为P是的中点，Q是的中点， 所以是的中位线，故， 而在正方体中，， 所以四边形是平行四边形，故， 所以，得到共面，故与共面， 则与不是异面直线得证. 一、单选题 1．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则下列说法正确的是（　　） ①E，F，G，H四点共面；②EF与GH异面； ③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上； ④EF与GH的交点M一定在直线AC上． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理、平面基本事实推理，再逐一判断各个命题作答. 【详解】在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，则，且， 点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则，且， 因此，点E，F，G，H四点共面，①正确，②错误； 因，，即四边形是梯形，则EF与GH必相交，令交点为M， 点M在EF上，而EF在平面ACB上，则点M在平面ACB上，同理点M在平面ACD上，则点M是平面ACB与平面ACD的公共点， 而AC是平面ACB与平面ACD的交线，所以点M一定在直线AC上，④正确，③错误， 所以说法正确的命题序号是①④． 故选：B 2．（2024·湖南·二模）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（    ） A．四点共面 B． C．三线共点 D． 【答案】D 【分析】对于AB，利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断；对于C，利用平面公理判断得，的交点在，从而可判断；对于D，举反例即可判断. 【详解】对于AB，如图，连接，， 因为是的中位线，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以四点共面，故AB正确； 对于C，如图，延长，相交于点， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 因为平面平面， 所以，所以三线共点，故C正确； 对于D，因为，当时，， 又，则，故D错误. 故选：D. 3．（24-25高一上·上海·期中）在正方体的12条棱、12条面对角线中，总共可以组成（   ）对异面直线． A．72 B．96 C．102 D．126 【答案】D 【分析】根据异面直线的定义，分每条棱与其他棱构成异面直线，每条棱与面对角线构成异面直线，每条面对角线每条面对角线与其他面对角线构成异面直线，三种情况讨论即可. 【详解】每条棱与其他棱构成异面直线，共有条； 每条棱与面对角线构成异面直线，共有条； 每条面对角线每条面对角线与其他面对角线构成异面直线，共有条， 所以共有条. 故选：D. 【点睛】思路点睛：根据异面直线的定义结合图形分类讨论求解. 二、多选题 4．（23-24高一下·四川广安·期中）如图所示，在空间四边形中，点分别是边的中点，点分别是边上的三等分点，且，则下列说法正确的是（    ） A．四点共面 B．与异面 C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点一定在直线上 【答案】AD 【分析】利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例的性质可得，即可判断A，B；由平面基本事实推理可判断C，D. 【详解】在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，则，且， 点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则，且， 因此，点E，F，G，H四点共面，故A正确，B错误； ，，即四边形是梯形，则EF与GH必相交，交点为M， 点M在EF上，而EF在平面ACB上，则点M在平面ACB上，同理点M在平面ACD上， 则点M是平面ACB与平面ACD的公共点，而AC是平面ACB与平面ACD的交线， 所以点M一定在直线AC上，故C错误，D正确. 故选：AD. 5．（23-24高一上·四川乐山·阶段练习）如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的是（ ） A．直线与直线垂直； B．直线与直线相交； C．直线与直线平行； D．直线与直线异面； 【答案】AD 【分析】画出正方体，，，故，A 正确；根据相交推出矛盾得到B错误；根据，与相交得到C错误；排除共面的情况得到D正确，得到答案. 【详解】 如图所示的正方体中，，，故，故A 正确； 若直线与直线相交，则四点共面，即在平面内，不成立，故B错误； ，与相交，故直线与直线不平行，故C错误； ，与不平行，故与不平行， 若与相交，则四点共面，在平面内，不成立， 故直线与直线异面，故D 正确. 故选：AD. 三、填空题 6．（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）如图所示，在正方体中，点为边上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是 . ①②③④ 【答案】② 【分析】根据异面直线的定义一一判定即可. 【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，此时， 而，所以共面，则、在平面上，故①不符题意； 因为，即共面，易知平面，而平面， ，， 故与异面，故②符合题意； 当重合时，易知，则四边形是平行四边形， 则此时，故③不符合题意； 当重合时，显然，相交，故④不符合题意. 故答案为：② 7．（23-24高一·全国·课后作业）如图，是长方体，是的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是 ．（填写所有符合要求的结论序号） ①三点共线；        ②四点共面； ③四点共面；    ④四点共面． 【答案】①②③ 【分析】对于①，利用公理，证明为两个平面的公共部分即可； 对于②，③，利用“直线和直线外一点确定一个平面”判断； 对于④，根据异面直线的定义，判定直线，直线为异面直线后可知其错误. 【详解】对于①，两条平行线确定一个平面，即共面，显然平面平面，结合公理三：两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，设平面，平面的交线为，注意到是的中点，矩形对角线互相平分，故也是的中点，即，平面，故平面，又，平面，故平面，即；由，平面，即平面，由题干直接可知，平面，故，故三点共线； 对于②，由直线和直线外一点可确定一个平面，结合①正确可知，故确定的直线和共面，故②正确； 对于③，类似②，确定的直线和共面，故③正确； 对于④，平面，平面，平面，且，根据异面直线的定义，直线，直线为异面直线，故不可能四点共面，故④错误. 故答案为：①②③ 四、解答题 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）如图，已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. (1)若，判断四边形的形状： (2)证明：和是异面直线. 【答案】(1)菱形； (2)证明见解析 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再由证明它是菱形即得； （2）运用反证法思路，先假设和共面，即共面，与题设产生矛盾，得出假设不成立即可. 【详解】（1）因为，，，分别是空间四边形的边，，，的中点， 所以线段是的中位线，所以且， 同理可得且， 即，，所以四边形为平行四边形， 又同理可得且，且，所以， 故平行四边形为菱形； （2）假设和不是异面直线，则与平行或相交， 即与确定一个平面，则，，，， 这与四边形为空间四边形矛盾，故和是异面直线. 9．（2024高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，，是的中点，分别在上，且．证明：四点共面； 【答案】证明见解析. 【分析】取的中点，连接，由三角形中位线定理得，再根据线段间的关系得到，，从而得到四边形为平行四边形，即得，最后利用平行线的传递性得到，即可证得结论； 【详解】在四棱锥中，取的中点，连接， 由分别是的中点，得， 又，则且， 而，，于是，且， 即四边形为平行四边形，则， 所以四点共面． 10．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，在四面体中，E、F分别是线段AD、BC上的点，．求证：直线与是异面直线． 【答案】证明见解析 【分析】取为上靠近的三等分点，易知，利用异面直线的定义即可得出证明. 【详解】若为上靠近的三等分点，则，故， 所以可得四点共面，显然不共线， 故面与面为同一个平面， 而面，面，即面，面，， 所以直线与是异面直线． 11．（23-24高一下·安徽·阶段练习）空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别在AB，BC，CD，AD上，且满足，. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)求证：EH，FG，BD三线共点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由线段成比例证∥，∥即可； （2）先证四边形EFGH为梯形其腰交于一点，再证该点同属于面BDC和面ABD即可. 【详解】（1）， ∥ ∥ ∥，所以四点共面； （2）∥，且，， ， 四边形EFGH为梯形， 设，则，而平面ABD，所以平面ABD , 又，平面BCD，所以平面BCD， 而平面平面， ， EH，FG，BD三线共点. 12．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点． (1)求证：三线交于点P； (2)在（1）的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）连接，，可得到且，则EC与相交，设交点为P，则能得到P平面ABCD，平面，结合平面平面，即可得证； （2）可证明P，E，H都在平面与平面ABCD的交线上，即可得证 【详解】（1）证明：连接，， 正方体中，E，F分别是的中点， ∴且， ∵且， ∴且， ∴EC与相交，设交点为P， ∵PEC，EC平面ABCD，∴P平面ABCD； 又∵，平面，∴平面， ∴P为两平面的公共点， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P； （2） 在（1）的结论中，G是上一点，FG交平面ABCD于点H， 则FH平面，∴平面，又平面ABCD， ∴平面平面ABCD， 同理，平面平面ABCD， 平面平面ABCD， ∴P，E，H都在平面与平面ABCD的交线上， ∴P，E，H三点共线． 13．（2024高一·全国·专题练习）如图，在正四棱柱中，，，点分别在棱，，，上，，，．证明：点在平面中. 【答案】证明见解析 【分析】取中点，中点，连接，，，证明出，得出四点共面，即可证明点在平面中. 【详解】取中点，中点，连接，，， 则，， 由正四棱柱，可得， 则，又点为中点， 所以，即四边形为平行四边形， 同理可得，四边形为平行四边形， 所以且， 则，所以四边形为平行四边形，所以， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 所以四点共面，即点在平面中． 14．（23-24高一下·陕西西安·期中）（1）已知直线，直线与，都相交，求证：过，，有且只有一个平面； （2）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且.求证：直线，，相交于一点.    【答案】证明过程见解析 【分析】（1）设两平行直线确定的平面为，从而得到，，直线，即平面，证明出结论； （2）作出辅助线，得到，且，得到四边形为梯形，与交于一点，再证明点在直线上，证明出结论. 【详解】（1）证明：设直线与，分别交于点， 如图1，    因为，所以确定一个平面，记为平面， 因为点直线，点直线，所以，， 所以直线，即平面，所以过，，有且只有一个平面； （2）在空间四边形中，连接， 因为分别为的中点，则，且， 又由，则，且， 故，且，故四边形为梯形，与交于一点， 设与交于点，如图2，    由于平面，点在平面内，同理点在平面内， 又因为平面平面， 所以点在直线上， 故直线相交于一点. 15．（23-24高一上·上海虹口·阶段练习）如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）证明，即可说明、、、四点共面. （2）先证明点面和面，即点在面与面的交线上在证明面 面 ，即点，即可得到答案. （3）延长交于,由于面 面，则在交线上. 【详解】（1）连接 在长方体中 、分别是和的中点 、、、四点共面 （2） 确定一个平面 面 面 对角线与平面交于点 面 在面与面的交线上 面且面 面 面 即点共线. （3）延长交于 面 面 面 面 面 面 、、三线共点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 空间中点、线、面间的位置关系 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 题型一、点、线共面问题 3 题型二、点共线、线共点问题 4 题型三、异面直线的判定 6 压轴能力测评（15题） 7 一、四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 注：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 注：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据 推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 注：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据 （2）此推论是判定若干平面重合的依据 （3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据 推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面； 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 注：（1）此公理是判定两个平面相交的依据 （2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点） （3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 二、直线与直线的位置关系 位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面 图形 符号 a∥b 公共点个数 1 0 0 特征 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平面 两条异面直线不同在如何一个平面内 三、直线与平面的位置关系 位置关系 包含（面内线） 相交（面外线） 平行（面外线） 图形 符号 ∥ 公共点个数 无数个 1 0 四、平面与平面的位置关系 位置关系 平行 相交（但不垂直） 垂直 图形 符号 ∥ ， 公共点个数 0 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 五、等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 【题型一 点、线共面问题】 一、单选题 1．（23-24高一下·河北邯郸·期末）如图，在空间四边形各边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则下列结论错误的是（    ） A．点必在平面内 B．点必在平面内 C．点必在直线上 D．直线与直线为异面直线 2．（23-24高一下·河南三门峡·阶段练习）如图正方体或四面体，分别是棱的中点，这四个点不共面的图是（ ） A． B． C． D． 二、解答题 3．（23-24高一下·云南大理·期中）如图，四边形和四边形都是梯形，，且分别为的中点. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四点共面. 4．（23-24高一下·云南昆明·期中）如图是一个棱长为2的正方体的展开图，其中分别是棱的中点．请以三点所在面为底面将展开图还原为正方体． (1)求证：点在平面内； (2)用平面截正方体，将正方体分成两个几何体，两个几何体的体积分别为，试判断体积较小的几何体的形状（不需要证明），并求的值． 5．（2024高一·全国·专题练习）证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内． 已知：如图，直线两两相交，且不共点．求证：直线在同一平面内. 【题型二 点共线、线共点问题】 一、解答题 1．（2024高一·江苏·专题练习）如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．    2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，已知四面体中，E，F分别是AB，AD上的点，G，H分别是BC，CD上的点，且四边形是以EF，GH为底的梯形．求证：直线EG，FH，AC相交于同一点． 3．（24-25高一上·上海·单元测试）已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，在正四棱台中，分别为棱，，，上的点.已知，，，，正四棱台的高为6.证明：直线，，相交于同一点. 5．（2024高一·全国·专题练习）若所在的平面和所在平面相交，并且直线相交于一点O，求证：    (1)和、和、和分别在同一平面内； (2)如果和、和、和分别相交，那么交点在同一直线上（如图）. 【题型三 异面直线的判定】 一、单选题 1．（2025高一·全国·专题练习）已知点M是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是（ ） A． B． C．CD D． 2．（24-25高一上·上海·期末）如图，正方体中，分别为线段、的中点，联结，对空间任意两点，若线段与线段不相交或与线段不相交，则称两点可视，下列选项中与点不可视的为（    ） A．点 A B．点 C．点Q D．点 二、多选题 3．（2025高一·全国·专题练习）如图，在正方体中，M，N分别为棱的中点，则以下四个结论中，正确的有（    ） A．直线与是相交直线 B．直线与是异面直线 C．与平行 D．直线与共面 三、填空题 4．（23-24高一下·北京顺义·期中）从正方体的12条面对角线中选出k条，使得这k条面对角线所在直线两两异面，则k的最大值为 ． 四、解答题 5．（24-25高一上·上海·期中）如图，已知分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.    (1)求证：点在直线上； (2)求证：与是异面直线. 6．（24-25高一·上海·课堂例题）如图，在正方体中，P是的中点，Q是的中点，与是否为异面直线？请说明理由． 一、单选题 1．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则下列说法正确的是（　　） ①E，F，G，H四点共面；②EF与GH异面； ③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上； ④EF与GH的交点M一定在直线AC上． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 2．（2024·湖南·二模）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（    ） A．四点共面 B． C．三线共点 D． 3．（24-25高一上·上海·期中）在正方体的12条棱、12条面对角线中，总共可以组成（   ）对异面直线． A．72 B．96 C．102 D．126 二、多选题 4．（23-24高一下·四川广安·期中）如图所示，在空间四边形中，点分别是边的中点，点分别是边上的三等分点，且，则下列说法正确的是（    ） A．四点共面 B．与异面 C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点一定在直线上 5．（23-24高一上·四川乐山·阶段练习）如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的是（ ） A．直线与直线垂直； B．直线与直线相交； C．直线与直线平行； D．直线与直线异面； 三、填空题 6．（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）如图所示，在正方体中，点为边上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是 . ①②③④ 7．（23-24高一·全国·课后作业）如图，是长方体，是的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是 ．（填写所有符合要求的结论序号） ①三点共线；        ②四点共面； ③四点共面；    ④四点共面． 四、解答题 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）如图，已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. (1)若，判断四边形的形状： (2)证明：和是异面直线. 9．（2024高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，，是的中点，分别在上，且．证明：四点共面； 10．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，在四面体中，E、F分别是线段AD、BC上的点，．求证：直线与是异面直线． 11．（23-24高一下·安徽·阶段练习）空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别在AB，BC，CD，AD上，且满足，. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)求证：EH，FG，BD三线共点. 12．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点． (1)求证：三线交于点P； (2)在（1）的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线． 13．（2024高一·全国·专题练习）如图，在正四棱柱中，，，点分别在棱，，，上，，，．证明：点在平面中. 14．（23-24高一下·陕西西安·期中）（1）已知直线，直线与，都相交，求证：过，，有且只有一个平面； （2）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且.求证：直线，，相交于一点.    15．（23-24高一上·上海虹口·阶段练习）如图，在长方体中，、分别是和的中点． (1)证明：、、、四点共面； (2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线； (3)证明：、、三线共点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$