二次函数中菱形的存在性问题2025年中考数学复习专项

二次函数中菱形的存在性问题 2025年中考数学复习专项 1．如图，已知二次函数的图象经过点，与轴分别交于点，点 ，点是直线上方的抛物线上一动点. (1)求二次函数的表达式； (2)连接，，并把沿轴翻折，得到四边形，若四边形 为菱形，请求出此时点的坐标； (3)当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标和四边形的最大面积. 2．如图1，已知菱形的边长为，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D的坐标为，抛物线经过两边的中点． (1)求这条拋物线的函数解析式； (2)将菱形以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作于点E，交抛物线于点F，连接．设菱形平移的时间为t秒 ①是否存在这样的t，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； ②连接，以点F为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得，当落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（不要求写解答过程，只需直接写出答案即可） 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，作直线．是第四象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为．过点作轴于点，交于点． (1)求，两点的坐标，并直接写出直线的函数表达式． (2)求线段的最大值． (3)若是平面内一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 5．如图，的两直角边分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，为坐标原点，两点的坐标分别为，抛物线经过点，且顶点在直线上． (1)求抛物线对应的函数关系式； (2)若把沿轴向右平移得到，点的对应点分别是，当四边形是菱形时，试判断点和点是否在该抛物线上，并说明理由； 6．如图，已知二次函数的图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于点，抛物线的顶点A坐标为），连接． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，点P在直线下方抛物线上的一个动点，过点P作交于点Q，过点P作轴交于点E，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点M在新抛物线对称轴上运动，点N是平面内一点，若以B、P、M、N为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 7．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．    (1)求b，c的值； (2)如图，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线相交于点D，点N是平面坐标系内一点，直线上是否存在点M，使B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P为直线上方抛物线上的一个动点，过点P作于点E，作轴交于点F，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线上的一点，在平面内确定一点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形为菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 9．如图，抛物线 与y轴交于点，点B 是抛物线的顶点，直线 是抛物线的对称轴，且与x轴交于点C．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)点D是对称轴左侧抛物线上一点，连接， 求点 D 的坐标． (3)在(2)的条件下，若点M是x轴上方抛物线对称轴上一点，点 P 在坐标平面内，且以点A，D，M，P为顶点的四边形是以为边的菱形，请求出所有符合条件的点M的坐标 10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，点P在线段上，过点P作轴，交抛物线于点D，交直线于点E． (1) ， ； (2)在点P运动过程中，若是直角三角形，求点P的坐标； (3)在y轴上是否存在点F，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，已知二次函数的图像与轴交于点、点，与轴交于点，且，点为抛物线的顶点，连接． (1)求点的坐标及该抛物线的解析式， (2)如图1，点在直线下方抛物线上的一个动点，过点作交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点在新抛物线对称轴上运动，点是平面内一点，若以、、、为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并选择其中一个点的坐标写出求解过程． 12．如图，抛物线与轴交于点（点在点左侧），与轴交于点，连接． (1)求线段的长； (2)点为直线上方抛物线上一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)将原抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线，与原抛物线交于点，点在直线上，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点为顶点的四边形的菱形，若存在，请直接写出点的坐标，并写出其中一个点的坐标的解答过程；若不存在，请说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交x轴于点，B两点，交y轴于点C．    (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，求周长的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 14．如图，二次函数的图像与轴交于点两点，连接，点是抛物线上一动点，设点的横坐标为，过点作直线轴于点，交直线于点．    (1)求二次函数及直线的表达式； (2)若点是平面直角坐标系中一点，在点运动的过程中，当四边形为菱形时，求此时点的坐标； (3)当时，直接写出点的坐标．. 15．如图，直线．与抛物线交于，两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点在抛物线上，且的面积为，求点的坐标； (3)若点在抛物线上，交直线于点，点在坐标平面内，当以为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《二次函数中菱形的存在性问题2025年中考数学复习专项》参考答案 1．(1) (2)点P的坐标为 (3)P点的坐标为 ，四边形的面积的最大值为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，与面积的综合问题，菱形的性质，综合性较强，熟练正确知识点是解题的关键． （1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标； （3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）解：将点B和点C的坐标代入 ， 得 ， 解得 ， ． ∴ 该二次函数的表达式为 ； （2）解：若四边形是菱形，则点P在线段的垂直平分线上；如图，连接，则，垂足为E， ∵， ∴ ， ∴ 点P的纵坐标等于 ． ∴ ， 解得 ， （不合题意，舍去）， ∴点P的坐标为； （3）解：过点P作y轴的平行线与交于点Q，与交于点F， 设，由题意可设设直线的表达式为 ， 则代入得：， 解得 . ∴直线的表达式为 ． ∴Q点的坐标为， ∴， 当， 解得， ∴， ∴， ∴ = = ， ∴ 当时，四边形的面积最大， 此时P点的坐标为，四边形的面积的最大值为． 2．(1) (2)①，② 【分析】（1）根据已知条件求出和的中点坐标，然后利用待定系数法求该二次函数的解析式； （2）①分时，时，三种情况分类讨论： ②如图3所示，画出旋转后的图形，认真分析满足题意要求时，需要具备什么样的限制条件，然后根据限制条件列出不等式，求出t的取值范围． 【详解】（1）解：∵菱形的边长为， ∴ ∴的中点坐标为， 同理得的中点坐标为， 把，分别代入得，， 解得，， ∴． （2）解：①如图2所示，在中，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴ 若是直角三角形．则有或或： （I）若， 在中，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， （II）若， 由（I）知，，， ∴， ∵， ∴， 整理得，，此时，，此方程无实数根． ∴此时t不存在； （III）由题意得， ， ∴，此时t不存在． 综上所述，存在，是直角三角形； ②如图3所示，依题意作出旋转后的三角形，过作轴，分别交抛物线、x轴于点M、点N． 观察图形可知，欲使落在指定区域内，必须满足：且． ∵， ∴， ∴， 由，得， 解得． ∵， ∴点的横坐标为， ∴， 又， ∵， ∴， 解得或（舍）． ∴t的取值范围为：． 【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、几何变换（平移与旋转）、菱形的性质等重要知识点，难度较大，对考生能力要求很高．本题难点在于第（2）问，（2）①中，需要分别进行讨论，避免漏解；（2）②中，确定“限制条件”是解题关键． 3．(1)抛物线的表达式为： (2)存在， 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数动点与菱形的存在性的问题． （1）把B、C点坐标代入二次函数解析式即可解出． （2）若四边形是菱形，和相互垂直，P点纵坐标是，代入二次函数表达式即可解得． 【详解】（1）解：将点B、C的坐标代入中，得： ， 解得：； ∴抛物线：． （2）解：存在．理由如下： 作的垂直平分线交直线下方的抛物线于点P，垂足为点E，如图2，      则． ∵沿翻折，得到四边形， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． ∵， ∴点E的坐标为， ∴点P的纵坐标为， 把代入得，解得． ∵点P在直线下方的抛物线上， ∴， ∴满足条件的点P的坐标为． 4．(1)，，直线的函数表达式为 (2) (3)存在，的值为或 【分析】（1）令，可求出的坐标，令，可求出的坐标，利用待定系数法可求出直线的函数表达式； （2）先表示出点的坐标，再表示出点的坐标，进而表示出的长，最后根据二次函数的性质即可求解； （3）分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时． 【详解】（1）解：令，则， 解得：，， 点在点的左侧， ，， 令，则， ， 设直线的函数表达式为， 将，代入， 得：， 解得：， 直线的函数表达式为； （2）根据题意得：， 轴于点，交于点， ， ， ，， 当时，线段有最大值，最大值为：； （3）存在，的值为或． 根据题意得：，，， 分以下三种情况讨论： ①当为对角线时，， 轴于点， ， ， ，， ， ， 解得：（舍去），； ②当为对角线时，， 如图，过点作于点，则， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：（舍去），； ③当为对角线时，， 如图，过点作于点，则， ， ， ， ， 解得:（舍去）； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图像与性质，平行线的判定与与性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 5．(1) (2)C在抛物线上，D不在抛物线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数综合，菱形的性质，勾股定理等等： （1）根据对称轴计算公式得到，再利用待定系数法求解即可； （2）先利用勾股定理求出，则由菱形的性质得到，，则，即可推出，再验证C、D是否在抛物线上即可. 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在直线上， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入中得，， ∴抛物线解析式为； （2）解：C在抛物线上，D不在抛物线上，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴不在抛物线上，在抛物线上。 6．(1) (2)的最大值为，此时点P的坐标为 (3) 【分析】（1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）利用待定系数法可得直线的解析式为设，可表示出，利用等腰直角三角形性质可将表示的长，进而用点坐标将表示成函数，借助二次函数求最值的方法即可求得的最大值． （3）菱形的存在性问题先转化为求以为边的等腰三角形的存在性问题，然后根据平行四边形存在性问题的处理方法写出第四点N即可． 【详解】（1）解：由题意得抛物线解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴抛物线解析式为 （2）解：在中，当时，解得或， ∴ 设直线的解析式为， 则 解得：， ∴直线的解析式为， 设， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴，点E的纵坐标与点P的纵坐标相同， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵ ∴当时，取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为； （3）解：依题意，抛物线沿射线平移个单位即抛物线向右平移2个单位，向上平移2个单位． ∴平移后抛物线解析式为：， ∴平移后的抛物线对称轴为直线． 故设点， 又∵， ∴， ， ， 由题意知，以为腰的等腰三角形有两种情况： 如图1，当时，    则， 解得： 由平行四边形对角线互相平分可知： ∴ ②如图2，当时，    则 解得： ∴ ∴ 综上：使以BM为边的菱形的N点有：． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，菱形的性质，等腰三角形的定义，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 7．(1)b的值为，c的值为3 (2)存在，或或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，二次函数图象的平移，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求解即可； （2）求出平移后的解析式，求出点坐标，根据菱形的性质，分3种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）把点和点代入，得： ，解得：； ∴b的值为，c的值为3； （2）存在； 由（1）知：， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，把，代入，得：， ∴， ∵ ∴抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线为， 联立：，解得：， ∴， 设， ∵， ∴，，， ①当时，，解得：或， ∴或， 由中点坐标公式可得：或； ②当时，，解得：（舍去）或， ∴， 由中点坐标公式可得：； ③当时，，解得：， ∴， 由中点坐标公式可得：； 综上：或或或 8．(1)抛物线的解析式为； (2)有最大值，此时 (3)N点坐标为或或或或，求解点N的坐标的其中一种情况的过程见解析． 【分析】（1）将点，代入即可； （2）由题意可得，设点，则，可求，即可求解； （3）由题可求平移后的抛物线解析式为，从而求出，设，根据菱形的性质，分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将点，代入， 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时， ∴， 当时，， 解得 ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴ 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则 ∴ ∴当，即点时，有最大值， （3）解：由题意得：抛物线向x轴负方向平移1个单位，则向y轴负方向平移1个单位， ∵， ∴平移后的抛物线解析式为 当时，， ∴， 设， 当为菱形的对角线时，， 解得 ∴； 当为菱形的对角线时，， 解得或 或 当为菱形的对角线时，， 解得或 ∴或； 综上所述：N点坐标为或或或或 【点睛】本题考查二次函数与线段、特殊四边形的综合问题，熟练掌握二次函数的性质和菱形的性质，分类讨论是解题关键． 9．(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出顶点坐标和点坐标，进而得到，推出点为直线与抛物线的交点，进行求解即可； （3）设，分，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 与y轴交于点，直线 是抛线物的对称轴， ∴，解得：， ∴； （2）解：由题意，得：， ∵， ∴， ∴， 连接，则：， ∵ ∴点是直线与抛物线的交点， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 联立，解得：或， ∴； （3）解：设， ∵，， ∴，，， ∵点A，D，M，P为顶点的四边形是以为边的菱形， ∴分两种情况： ①当时，则：， 解得：或（舍去）； ∴； 当时，则：， 解得：或（舍去）， ∴； 综上：或．    10．(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）把代入，运用待定系数法解二次函数的解析式，即可作答． （2）因为，先排除一种情况，再进行分类讨论，即和，分别列式计算，即可作答． （3）根据菱形性质，结合图象性质，进行分类讨论，即四边形为菱形或四边形为菱形，运用中点法列式，以及勾股定理，代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交x轴于两点， ∴把代入 得 解得 ∴ 故答案为：； （2）解：∵轴 ∴ ∴ ∵是直角三角形 ∴当时， ∴ ∴ ∵对称轴 ∴ 此时点P的坐标为 ∴当时， 设的解析式为 ∴把代入 ∴得 解得 ∴ 设点 则 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 则 即 解得（此时点E和点C重合，故舍去） ∴点 综上或 （3）解：存在，或 如图：依题意，当四边形为菱形时，由（2）知的解析式为 设点， ∵四边形为菱形 ∴ 即 则 由（2）知，此时 ∴ ∴ 即如下图所示： 如图：依题意，当四边形为菱形时 ∵点， ∴ 即 ∵ ∴ ∴解得，（舍去） ∴ ∴ 综上或 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，菱形性质，待定系数法解函数解析式，勾股定理，解直角三角形的相关性质，熟练运用分类讨论思想以及数形结合思想是解题的关键． 11．(1)， (2)， (3)或或，过程见解析 【分析】（1）根据题意确定点坐标，然后利用待定系数法求该二次函数解析式即可； （2）首先利用待定系数法解得直线的解析式，设，根据题意可知均为等腰直角三角形，可确定点坐标，易知，，进而可得，然后根据二次函数的图像与性质，即可获得答案； （3）根据题意，抛物线沿射线平移个单位，即抛物线向右平移2个单位，向上平移2个单位，即可确定平移后抛物线解析式以及对称轴，设点，结合点，，可得，，的长度，然后分和两种情况讨论，分别求解即可获得答案． 【详解】（1）解：∵点 ∴， ∵ ∴， ∵抛物线与轴交于点， ∴， 又∵抛物线的图像与轴交于点、点， 将点，，代入， 可得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴，点的纵坐标与点的纵坐标相同， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为，此时点的坐标为； （3）依题意，抛物线沿射线平移个单位，即抛物线向右平移2个单位，向上平移2个单位，平移后抛物线解析式为，对称轴为直线， 故设点， 又∵，， ∴，， ， 由题意可知，以为腰的等腰三角形有两种情况： ①如图1，当时， 则， 解得：，． ，， 由平行四边形对角线互相平分可知， ∴，； ②如图2，当时，    则， 解得：， ∴， ∴， 综上所述，使以为边的菱形的点有： 或或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、待定系数法解一次函数和二次函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、菱形的性质、二次函数综合应用等知识，综合性强，难度较大，解题关键是综合运用相关知识，并运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 12．(1) (2)当时，四边形面积的最大值为，此时点的坐标为 (3)存在点，使以点为顶点的四边形的菱形，点的坐标为或或 【分析】（1）令，则，得出点的坐标，然后令，则，解出即可得出点、的坐标，再根据两点之间的距离公式，计算即可； （2）根据（1）得出，，再根据三角形的面积公式，得出，再根据待定系数法求出一次函数解析式，然后过点作轴交于点，垂足为点，设点，则，根据两点之间的距离公式，得出，再根据，计算得出，再根据，计算得出，再根据二次函数的性质，即可得出答案； （3）根据抛物线的平移的规律，得出平移后的解析式为，再根据两抛物线相交于一点，联立方程组，解出即可得出点的坐标，再设，，分两种情况讨论：当为菱形的对角线时，和当为菱形的对角线时，，再根据菱形的性质和两点之间的距离公式，列出方程组，求解即可． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 令，则， 解得：，， ∴，， ∴； （2）解：由（1）可知：，， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴可得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 如图，过点作轴交于点，垂足为点， 设点，则， ∴， ∴ ， ∴ ， 当时，四边形面积的最大值为，此时点的坐标为； （3）解：存在点，使以点为顶点的四边形的菱形，理由如下： ∵将抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线， ∴平移后的解析式为， 联立方程组，可得：， 解得：， ∴， 设，， 当为菱形的对角线时，， ∴可得：， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为， 当为菱形的对角线时，， ∴可得：， 解得：或， ∴点的坐标为或， 综上可得：点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、坐标与图形、两点之间的距离、求一次函数解析式、抛物线的平移、解一元二次方程、菱形的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质，并充分利用数形结合思想解答． 13．(1) (2)周长的最大值，此时点 (3)以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时或或 【分析】（1）把、代入计算即可； （2）延长交轴于，可得，进而得到，，求出的最大值即可； （3）先求出平移后的解析式，再设出M，N的坐标，最后根据菱形的性质和判定计算即可． 【详解】（1）把、代入得，， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）延长交轴于，    ∵过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时周长的最大 ∵抛物线的表达式为， ∴， ∴直线解析式为， 设，则 ∴， ∴当时最大，此时 ∵周长为， ∴周长的最大值为，此时， 即周长的最大值，此时点； （3）∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，可以看成是向右平移2个单位长度再向下平移一个单位长度， ∴平移后的解析式为，此抛物线对称轴为直线， ∴设， ∵， ∴，，， 当为对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形 ∴与互相平分，且 ∴，解得 ∵中点坐标为，中点坐标为， ∴，解得， 此时； 当为边长且和是对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形 ∴与互相平分，且 ∴，解得 ∵中点坐标为，中点坐标为， ∴，解得， 此时或； 同理，当为边长且和是对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形 ∴和互相平分，且 ，此方程无解； 综上所述，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时或或； 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，相似三角形的性质与判定，菱形的性质及应用，中点坐标公式等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度． 14．(1)， (2) (3)或 【分析】（1）先运用待定系数法求得抛物线的表达式为，进而求得点C的坐标，然后再运用待定系数法求直线的表达式即可； （2）先用m表示出、，然后根据菱形的性质可得，即可得，解二元一次方程可得m，然后再根据二次函数图像的对称性即可解答； （3）由点B、C的坐标可得，在上取点M，连接,使，则，即；设，则，运用勾股定理可得，即，进而得到；然后再分点P在线段上方和下方两种情况解答即可． 【详解】（1）解：把点，代入中得， ，解得， ∴抛物线的表达式为：； 当时， ∴， 设直线的表达式为：， ∵， ∴，解得， ∴直线的表达式为：． （2）解：∵点的横坐标为，点在抛物线上， ∴， ∵轴， ∴， 当四边形为菱形时， ∴，即 ∴，解得：（舍去），， ∴由对称性可得． （3）解：∵， ∴ 在上取点M，连接,使，则 ∴ 设，则 在中，,即，解得：， ∴, ∴, ∵，即 ∴ ∴ ①如图：当点P在线段上方时，连接 ∵轴且，此时 ∴, ∴， ∴， ∵, ∴ ∴，解得：或8（舍） 当时，， ∴；    ①如图：当点P在线段下方时，连接 ∵ ∴且 ∴， ∴， ∵, ∴ ∴，解得：或8（舍） 当时，， ∴． 综上，或．    【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数与菱形的综合、二次函数与几何的综合、正切的应用等知识点，灵活运用二次函数图像的性质是解答本题的关键． 15．(1) (2)点的坐标为或或或； (3)点的坐标为或或或； 【分析】（1）将、代入二次函数解析式，利用待定系数法即可解答； （2）根据题意分当点在直线上方时和点在的下方两种情况即可解答； （3）设点根据菱形的性质分情况讨论即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，两点， ∴， ∴解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设点的坐标为， 如图1，当点在直线上方时，过点作轴，垂足为，连接，    ∴点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴点在直线上， ∵点在抛物线上， ∴点是直线与抛物线的交点， ∴， 解得：，， ∴点的坐标或； 设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴， ∴直线是直线向上平移2个单位得到的， ∴将直线向下平移2个单位，得到直线，与抛物线的交点与点组成的三角形的面积也为3， 即：当点在直线下方时，为直线与抛物线的交点，    ∴， 解得：，； ∴点的坐标为或 综上，点的坐标为或或或． （3）解：由（2）知：直线为，设直线与轴的交点为，    当时，， ∴直线与轴的交点为：， ∴， ∴， 设点，则：点， ∵以为顶点的四边形是菱形， 当为边，则：，即：点的横坐标为：2， 点在点上方时：①如图，当时，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴轴， ∵， ∴点， ∴， ∴点； ②当时，如图，过点作，则：，    ∵， ∴， 又， ∴， 解得：(舍)，， ∴， ∴； 当点在点下方时：如图：    同上②法可得：， 解得：(舍)，， ∴， ∴； 当为对角线时，如图，则：， ∴轴，即点的纵坐标为3， 设相交与点，      ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， 解得：或（舍去）； ∴， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用．熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$