黄金卷07（江苏南京专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 一、选择题：（每题2分，共12分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C D A B B 二、填空题：（每小题2分，共20分.） 7． 3 8．且/且 9． 10． 11． 12. 13. 或 14. 15. 或 16. / 三、解答题：（本大题共11个小题，共88分.） 17.【详解】（1）解：（1） ，（2分） =（3分） （2）解： ， ， （7分） 18. 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴x1=，x2=，（4分） （2）由①，得x>-3，（5分） 由②，得， （6分） ∴．（7分） 19. 【详解】解：设调整前可打印x个字符，则调整后可打印个字符， 根据题意得，（3分） 解得，（5分） 经检验是分式方程的解． 答：调整前可打印的字符数为720个．（7分） 20. 【详解】（1）解：将甲的数据从小到大排列，可以发现一共20个数据，第10个数据为202，第11个数据为206，所以这组数据的中位数为， ∴；（1分） 根据乙种水稻稻穗谷粒数的折线图可以发现，每柱稻穗的谷粒为195出现的次数最多，也就是说这组数据的众数为195， ∴．（2分） （2）解：根据表格可得乙的平均数、中位数、众数都比较接近，故乙更稳定． 故答案为：乙；（3分） （3）解：甲的水稻优良率为：， 乙的水稻优良率为：， 故从水稻优良率分析，应推荐种植甲种水稻； 若该实验田中有甲、乙两种水稻各4000株， 则甲的优良水稻有（株），（4分） 乙的优良水稻有（株），（5分） ∴共有（株）． 答：优良水稻株数为3800株．（7分） 21.【详解】（1）证明： ， ∴四边形是平行四边形，（1分） ∵四边形是矩形， ， ，（2分） ∴四边形是菱形；（3分） （2）解：∵四边形是矩形， ， ∵四边形是菱形， ， ，（4分） 在中，由勾股定理得：，（6分） ，（7分） ，（8分） 故答案为： ． 【详解】（1）解：由题意得，选中（古琴艺术）传承人的概率是； 故答案为： ；（2分） （2）解：画树状图如下： （5分） 共有种等可能的结果，其中选中琴书和香包的相关传承人的结果有种，（6分） ∴选中B（装裱技艺）和C（刺绣）的相关传承人的概率为．（8分） 23. 【详解】（1）解：过点C作于点F，过点B作于点M， （1分） ∴． 由题意得，， ∴四边形为矩形， ∴，．（2分） ∵， ∴． ∵， ∴． ∴．（3分） 答：支点C离桌面的高度为． （2）解：过点C作，过点E作于点H， （4分） ∴． ∵，， ∴． 当时，；（5分） 当时，；（6分） ∴ ∴当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度是增加了，增加了约．（8分） 24.【详解】（1）解：， ， ， ， ， ；（2分） （2）解：①作交于点， ②作，射线交于点，则点即为所求； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴; （4分） （3）解：直线与相切，（5分） 理由如下： 作交的延长线于点，连接，如图， ， 四边形是等腰梯形． ． 的面积等于， ， ，（6分） 是的半径， 直线与相切．（8分） 25. 【详解】（1）证明：在中，， ， ， ， 四边形是正方形， ，，且， ， ．（1分） 在和中， ， ，（2分） ， ．（3分） （2）解：如图，连接，，，过点作，垂足为． 在和中， ， ，，（4分） 由（1）得， ， ， ， ， ，（5分） 与相切． ， ， ， 由（1）得，， ， ，， ，， 在和中， ， ．（6分） 设，， ，，， 在中，， ，解得，（7分） 由（1）得， ．（8分） 26. 【详解】（1）解：当时，， ∴函数的图象的顶点坐标；（1分） （2）解：， ∴当 时, ， 当时, ,（2分） 当时, ,（3分） ∴该函数的图象总经过点和；（4分） （3）∵二次函数的对称轴为， ∴点的对称点坐标为， 当时, ∵二次函数的对称轴为， ∴点在线段上，即， ∴；（5分） 当时,点在抛物线内， 即时, , 则满足题意， 此时, 解得， 故；（6分） 若该函数顶点在线段上时，即方程有两个相等时实数根， ∴ 解得，（7分） 综上所述，m的取值范围为或或．（9分） 27. 【详解】（1）解：如图1，设，相交于点M， ， ， ， 四边形为正方形， ，， ， ， 即， ， ， ， 故答案为：1；（1分） （2）如图2，设与交于点G， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ∴， 即， 故答案为： ；（2分） （3）如图3，过点C作交的延长线于点H， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ，（4分） ， 即；（5分） （4）如图4所示，过点C作于点G，连接交于点H，与相交于点O， ，， ， ，， ， ，（6分） 在中，， ， 设， 则， ， ， （负值舍去）， ，， ， ，（7分） ， ，（8分） ．（9分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共6题，每题2分，共12分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．下列各数中，最小的数是（　　） A． B．0 C． D． 2． 2024年我国国内生产总值达到万亿元．用科学记数法表示万亿是（　　） A． B． C． D． 3．下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A．8 B．6 C．−4 D．4 5．一个正方体的表面展开图如图所示，与“学”字相对的字是（    ） A．核 B．心 C．素 D．养 6．如图，在水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向的坐标系中标记了个格点，已知网格的单位长度为，若二次函数的图像经过其中的个格点，则的最大值为(    ) A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共10题，每小题2分，共20分.） 7． 的算术平方根是 ． 8．在函数中，自变量的取值范围是 ． 9．分解因式： ． 10．若关于的一元二次方程有实数根．则实数的取值范围是 ． 11．如图，直线，若，则的度数是 ． 12．在活动课上，“雄鹰组”用含角的直角三角尺设计风车，如图，，，，将直角三角尺绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，以此方法做下去……则点通过一次旋转至所经过的路径长为 ．（结果保留） 13．如图，在中，，点，分别为，上一个动点，以为对称轴将折叠得到，点的对应点为，若点落在上，且与相似，已知，．则的长为 ． 14．在中，若，则 ． 15．如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于A、B两点．已知点A的坐标为，点C为x轴上任意一点．如果，那么点C的坐标为 ． 16．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点为D，点C为的中点，以C为圆心，长为半径在x轴的上方作一个半圆，点E为半圆上一动点，连接，取的中点，当点沿着半圆从点运动至点的过程中，线段的最小值为 ．    三、解答题：（本大题共11题，共88分.） 17．（7分）计算：(1)；(2)． 18．（7分）（1）解方程：（2）解不等式组： 19．（8分）一张A4纸的标准尺寸如图（1）所示，调整页边距，纸张可打印的字符数会随之改变．如果调整前、后的页边距分别如图（2）、图（3）所示，则调整后比调整前可多打印90个字．假设每个字符的大小相同，求调整前可打印的字符数． 20．（8分）为了解甲、乙两种水稻的长势，农业科技人员从一块试验田中分别随机抽取甲、乙两种水稻的稻穗各20株，获取了每株稻穗的谷粒数（单位：颗），数据整理如下； a．甲种水稻稻穗谷粒数： 170，172，176，177，178，182，184，193，196，202， 206，206，206，206，208，208，214，215，216，219 b．乙种水稻稻穗谷粒数的拆线图： c．甲、乙两种水稻稻穗谷粒数统计汇总表： 数据品种 平均数 中位数 众数 甲 196.7 m 206 乙 196.8 195 n 根据以上信息，回答下列问题： (1)__________，__________； (2)若水稻稻穗谷粒数的方差越小，则认为水稻产量的稳定性越好．据此推断，甲、乙两种水稻中，产量更稳定的是__________（填“甲”或“乙”）； (3)单株稻穗的谷粒数不低于200颗的水稻视为优良水稻，若该试验田中有甲、乙两种水稻各4000株，请估计优良水稻的株数． 21．（8分）如图，矩形的对角线、交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接、、． (1)求证:四边形是菱形． (2)若，，则菱形的面积为 ． 22．（8分）非物质文化遗产是中华民族古老生命记忆和活态的文化基因，淮安市的非物质文化遗产资源丰富，涵盖了多种形式和风格，某学校为了让学生深入了解非物质文化遗产，决定邀请A（古琴艺术）、B（装裱技艺）、C（刺绣）、D（草编）的传承人进校园宣讲，每项邀请1名传承人． (1)若从以上非物质遗产中任选一个，则选中A：古琴艺术传承人的概率是______； (2)若该学校决定邀请两位非遗传承人进校园宣讲，请用画树状图或列表的方法，求选中B（装裱技艺）和C（刺绣）传承人的概率． 23．（8分）为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） (1)求支点C离桌面的高度；（结果保留根号） (2)当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度增加还是减少？面板上端E离桌面的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，） 24．（8分）已知：中，为边上的一点． (1)如图①，过点作交边于点，若，，，求的长； (2)在图（2），用无刻度的直尺和圆规在边上作点，使；（保留作图痕迹，不要求写作法） (3)如图③，点在边上，连接、，若，的面积等于，以为半径作，试判断直线与的位置关系，并说明理由． 25．（8分）如图，在正方形中，是上一点，是上一点，，过，，的交于点． (1)求证； (2)连接，当时，判断直线与的位置关系，并直接写出的值． 26．（9分）已知二次函数（m为常数，）． (1)当时，求该函数的图象的顶点坐标； (2)当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标； (3)已知，，若该函数的图象与线段恰有1个公共点，直接写出m的取值范围． 27．（9分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为 ． （2）如图2，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为 ； 【类比探究】 （3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：． 【拓展延伸】 （4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，．求的值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共6题，每题2分，共12分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．下列各数中，最小的数是（　　） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握实数大小比较的法则是关键．根据实数的大小比较法则：①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小，即可得出答案． 【详解】解： 所以最小的数是， 故选：D． 2． 2024年我国国内生产总值达到万亿元．用科学记数法表示万亿是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键．根据科学记数法的形式即可解答． 【详解】解：万亿． 故选：C． 3．下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，一定要记准法则才能做题．根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并；故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项正确． 故选：D． 4．若是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A．8 B．6 C．−4 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，． 首先根据一元二次方程的根与系数的关系得到，，然后把前面的值代入即可求出其值． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴，， ∴ 故选：A． 5．一个正方体的表面展开图如图所示，与“学”字相对的字是（    ） A．核 B．心 C．素 D．养 【答案】B 【分析】本题考查正方体展开图中的相对面，根据相对面必定相隔一个正方形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：与“学”字相对的字是心； 故选B． 6．如图，在水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向的坐标系中标记了个格点，已知网格的单位长度为，若二次函数的图像经过其中的个格点，则的最大值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数图象的性质，不共线三点确定抛物线解析式，根据开口向上，开口越小越大，进而建立坐标系，求解析式求得的值，即可求解． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系， 依题意，经过点时，抛物线开口向上，的值最大， ∵， 设抛物线解析式为，将代入得， 解得： 故选：B． 二、填空题：（本大题共10题，每小题2分，共20分.） 7． 的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 先计算，然后计算9的算术平方根即可得出答案． 【详解】 ，9的算术平方根为 的算术平方根为． 故答案为：． 8．在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且/且 【分析】本题主要考查了函数的自变量的取值范围及分式有意义的条件，根据分式的分母不为零和二次根式被开方数为非负数，即可确定自变量的取值范围，即可求解． 【详解】解：函数中，且， 解得：且， 故答案为：且． 9．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提公因式，然后用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 10．若关于的一元二次方程有实数根．则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的判别式，掌握根的判别式，求不等式的解集的方法是解题的关键． 根据，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实数根；再根据不等式的性质求解即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，即， 解得：， 故答案为：． 11．如图，直线，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．先根据三角形外角性质，得到，再根据平行线的性质，得出． 【详解】解：如图所示， ∵是的外角， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 12．在活动课上，“雄鹰组”用含角的直角三角尺设计风车，如图，，，，将直角三角尺绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，以此方法做下去……则点通过一次旋转至所经过的路径长为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，弧长公式，含有角直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用含有角直角三角形的性质求出，再根据弧长公式求解． 【详解】解：， ， 由旋转的性质得，． 点通过一次旋转至所经过的路径长为． 故答案为：． 13．如图，在中，，点，分别为，上一个动点，以为对称轴将折叠得到，点的对应点为，若点落在上，且与相似，已知，．则的长为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了勾股定理、图形的折叠变化及其性质、相似三角形的判定与性质等，理解图形的折叠变换及其性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 先根据勾股定理求出，当与相似时，有以下两种情况：当时，当时，分情况讨论计算即可解答． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理得：， 与相似， 有以下两种情况： 当时，，连接，如图所示： ， 由折叠的性质得：， ， ， 又， ， ， 即， ； 当时，，连接，如图所示： 则， 由折叠的性质得：， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 14．在中，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值非负性，特殊角的三角函数，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握特殊角的三角函数是解题的关键． 由绝对值的非负性及完全平方式的非负性可得，，进而可得，，由特殊角的三角函数可得，，由三角形的内角和定理可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 15．如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于A、B两点．已知点A的坐标为，点C为x轴上任意一点．如果，那么点C的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例数交点问题，待定系数法求解析式，求得点的坐标是解题的关键． 反比例函数的图象过点，可得，进而求得直线的解析式为，得出点的坐标，设，根据，解方程即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 设， ∵， 解得：或， ∴的坐标为或， 故答案为：或． 16．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点为D，点C为的中点，以C为圆心，长为半径在x轴的上方作一个半圆，点E为半圆上一动点，连接，取的中点，当点沿着半圆从点运动至点的过程中，线段的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，点与圆的位置关系，三角形中位线定理以及抛物线与轴的交点，熟练掌握二次函数的图象及性质，点与圆的位置关系，确定点的运动轨迹是解题的关键．由题意可知点在以为圆心，2为半径的半圆上，则点在以为圆心，1为半径的半圆上，的最小值为，求出即可求解． 【详解】解：如图，作直线，则为抛物线的对称轴，取的中点，连接，，    令，则 ， 解得或， ∴，， ∵为的中点，， ∴，， ∵ ， ∴顶点， ∴，， 由中位线的性质可得：， ∴点在以为圆心，1为半径的半圆上运动， 连接交于， ∴， 如图，当A、G、F三点共线时，即与重合，最小， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共11题，共88分.） 17．（7分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）根据负整数指数幂以及零指数幂的意义即可求出答案． （2）根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】（1）解：（1） ， = （2）解： ， ， 18．（7分）（1）解方程： （2）解不等式组： 【答案】（1）x1=，x2= （2） 【分析】本题考查解一元二次方程及解不等式方程组． （1）根据题意利用根与系数的关系即可求出两个根． （2）根据题意先分别求出每个不等式得解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴x1=，x2=， （2）由①，得x>-3， 由②，得， ∴． 19．（8分）一张A4纸的标准尺寸如图（1）所示，调整页边距，纸张可打印的字符数会随之改变．如果调整前、后的页边距分别如图（2）、图（3）所示，则调整后比调整前可多打印90个字．假设每个字符的大小相同，求调整前可打印的字符数． 【答案】720个 【分析】设调整前可打印x个字符，则调整后可打印个字符，根据每个字符的大小相同，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设调整前可打印x个字符，则调整后可打印个字符， 根据题意得， 解得， 经检验是分式方程的解． 答：调整前可打印的字符数为720个． 20．（8分）为了解甲、乙两种水稻的长势，农业科技人员从一块试验田中分别随机抽取甲、乙两种水稻的稻穗各20株，获取了每株稻穗的谷粒数（单位：颗），数据整理如下； a．甲种水稻稻穗谷粒数： 170，172，176，177，178，182，184，193，196，202， 206，206，206，206，208，208，214，215，216，219 b．乙种水稻稻穗谷粒数的拆线图： c．甲、乙两种水稻稻穗谷粒数统计汇总表： 数据品种 平均数 中位数 众数 甲 196.7 m 206 乙 196.8 195 n 根据以上信息，回答下列问题： (1)__________，__________； (2)若水稻稻穗谷粒数的方差越小，则认为水稻产量的稳定性越好．据此推断，甲、乙两种水稻中，产量更稳定的是__________（填“甲”或“乙”）； (3)单株稻穗的谷粒数不低于200颗的水稻视为优良水稻，若该试验田中有甲、乙两种水稻各4000株，请估计优良水稻的株数． 【答案】(1)204，195； (2)乙； (3)3800株． 【分析】本题考查了折线统计图，样本估计总体，中位数，众数等． （1）根据中位数和众数的概念，即可解答； （2）根据表格分析以及方差的概念和意义，即可解答； （3）分别计算出两种睡到的优良率即可求解；分别求出两种水稻的优良水稻数量，相加即可求解． 【详解】（1）解：将甲的数据从小到大排列，可以发现一共20个数据，第10个数据为202，第11个数据为206，所以这组数据的中位数为， ∴； 根据乙种水稻稻穗谷粒数的折线图可以发现，每柱稻穗的谷粒为195出现的次数最多，也就是说这组数据的众数为195， ∴． （2）解：根据表格可得乙的平均数、中位数、众数都比较接近，故乙更稳定． 故答案为：乙； （3）解：甲的水稻优良率为：， 乙的水稻优良率为：， 故从水稻优良率分析，应推荐种植甲种水稻； 若该实验田中有甲、乙两种水稻各4000株， 则甲的优良水稻有（株）， 乙的优良水稻有（株）， ∴共有（株）． 答：优良水稻株数为3800株． 21．（8分）如图，矩形的对角线、交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接、、． (1)求证:四边形是菱形． (2)若，，则菱形的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识； 熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键. （1）先由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出即可得出结论； （2）由矩形的性质得出由菱形的性质得出，的长，然后由菱形的面积公式即可得出结果. 【详解】（1）证明： ， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ， ∵四边形是菱形， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故答案为： ． 22．（8分）非物质文化遗产是中华民族古老生命记忆和活态的文化基因，淮安市的非物质文化遗产资源丰富，涵盖了多种形式和风格，某学校为了让学生深入了解非物质文化遗产，决定邀请A（古琴艺术）、B（装裱技艺）、C（刺绣）、D（草编）的传承人进校园宣讲，每项邀请1名传承人． (1)若从以上非物质遗产中任选一个，则选中A：古琴艺术传承人的概率是______； (2)若该学校决定邀请两位非遗传承人进校园宣讲，请用画树状图或列表的方法，求选中B（装裱技艺）和C（刺绣）传承人的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案. （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及选中B（装裱技艺）和C（刺绣）的相关传承人的结果数，再利用概率公式可得出答案. 【详解】（1）解：由题意得，选中（古琴艺术）传承人的概率是； 故答案为： ； （2）解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中选中琴书和香包的相关传承人的结果有种， ∴选中B（装裱技艺）和C（刺绣）的相关传承人的概率为． 23．（8分）为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） (1)求支点C离桌面的高度；（结果保留根号） (2)当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度增加还是减少？面板上端E离桌面的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1) (2)高度是增加了，增加了约 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）过点C作于点F，过点B作于点M，则四边形为矩形，可得，．求出，解直角三角形求出的长，即可得解； （2）过点C作，过点E作于点H，分别求出从变化到的过程中的值，即可得解． 【详解】（1）解：过点C作于点F，过点B作于点M， ∴． 由题意得，， ∴四边形为矩形， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 答：支点C离桌面的高度为． （2）解：过点C作，过点E作于点H， ∴． ∵，， ∴． 当时，； 当时，； ∴ ∴当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度是增加了，增加了约． 24．（8分）已知：中，为边上的一点． (1)如图①，过点作交边于点，若，，，求的长； (2)在图（2），用无刻度的直尺和圆规在边上作点，使；（保留作图痕迹，不要求写作法） (3)如图③，点在边上，连接、，若，的面积等于，以为半径作，试判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)相切；理由见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定是解题的关键． （1）由题意易得，则有，根据相似三角形的性质与判定可进行求解； （2）作交于点，作，射线交于点，则点即为所求； （3）作交的延长线于点，连接，证明四边形是等腰梯形，推出，由，推出，推出，然后问题可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：①作交于点， ②作，射线交于点，则点即为所求； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴; （3）解：直线与相切，理由如下： 作交的延长线于点，连接，如图， ， 四边形是等腰梯形． ． 的面积等于， ， ， 是的半径， 直线与相切． 25．（8分）如图，在正方形中，是上一点，是上一点，，过，，的交于点． (1)求证； (2)连接，当时，判断直线与的位置关系，并直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过圆周角定理可知，利用特殊的平行四边形——正方形的性质可得，证明即可求证； （2）连接，．结合题意即可得，结合平行四边形的性质——对角线互相平分可得，利用平行的判定和性质即可得，即与相切；连接，过点作，垂足为，先证得，利用角平分线的性质得，即可证得，设，正方形的边长为1，则，，，即可通过勾股定理得 ，解得，即可求解． 【详解】（1）证明：在中，， ， ， ， 四边形是正方形， ，，且， ， ． 在和中， ， ， ， ． （2）解：如图，连接，，，过点作，垂足为． 在和中， ， ，， 由（1）得， ， ， ， ， ， 与相切． ， ， ， 由（1）得，， ， ，， ，， 在和中， ， ． 设，， ，，， 在中，， ，解得， 由（1）得， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、切线的判定、两直线平行的判定和性质、角平分线的性质以及勾股定理，熟练掌握各种性质、定理，作好辅助线是解题关键． 26．（9分）已知二次函数（m为常数，）． (1)当时，求该函数的图象的顶点坐标； (2)当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标； (3)已知，，若该函数的图象与线段恰有1个公共点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键. （1）把代入，求出顶点坐标即可； （2）把变形为,即可求出定点坐标； （3）根据题意，利用分类讨论的方法可以求得的取值范围. 【详解】（1）解：当时，， ∴函数的图象的顶点坐标； （2）解：， ∴当 时, ， 当时, , 当时, , ∴该函数的图象总经过点和； （3）∵二次函数的对称轴为， ∴点的对称点坐标为， 当时, ∵二次函数的对称轴为， ∴点在线段上，即， ∴； 当时,点在抛物线内， 即时, , 则满足题意， 此时, 解得， 故； 若该函数顶点在线段上时，即方程有两个相等时实数根， ∴ 解得， 综上所述，m的取值范围为或或． 27．（9分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为 ． （2）如图2，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为 ； 【类比探究】 （3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：． 【拓展延伸】 （4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，．求的值． 【答案】（1）1；（2）；（3）见解析；（4） 【分析】（1）设，相交于点M，证明，利用全等三角形性质即可解题； （2）设与交于点G，利用矩形和垂直的性质证明，得到，即可解题； （3）过点C作交的延长线于点H，得到四边形为矩形，利用矩形和垂直的性质证明，利用相似三角形性质即可证明； （4）过点C作于点G，连接交于点H，与相交于点O，证明，得到，利用锐角三角函数得到，设，则，利用勾股定理建立等式求出的值，得到，，利用等面积法求得，即可解题． 【详解】（1）解：如图1，设，相交于点M， ， ， ， 四边形为正方形， ，， ， ， 即， ， ， ， 故答案为：1； （2）如图2，设与交于点G， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ∴， 即， 故答案为： ； （3）如图3，过点C作交的延长线于点H， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， 即； （4）如图4所示，过点C作于点G，连接交于点H，与相交于点O， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， 设， 则， ， ， （负值舍去）， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查全等三角形性质和判定，矩形的性质，相似三角形性质和判定，锐角三角函数，勾股定理，翻折的性质，等面积法，解题的关键是作辅助线构造相似三角形． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$