黄金卷08（江苏南京专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 一、选择题：（每题2分，共12分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D B A A C 二、填空题：（每小题2分，共20分.） 7． 8．且 全体实数 9． 10． 0（答案不唯一） 11． 12. 13. 14. 4 15. 16. 三、解答题：（本大题共11个小题，共88分.） 17.【详解】（1）解： (2分) ；(3分) （2）解： (5分) ．7分) 18. 【详解】（1）解：， 解不等式①得，得，(1分) 解不等式②得，得，(2分) 不等式组的解集为．(4分) （2）解： (5分) ，．(7分) 19.【详解】（1）根据道路的宽为米，根据题意得， ，(2分) 解得：（舍去），， 答：道路的宽为6米；(4分) （2）设月租金上涨元，停车场月租金收入为元， 根据题意得：，(6分) 当时，月租金收入最大为12500元， 答：每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入最大．(8分) 20. 【详解】（1）解：（人）， ．(2分) （2）解：， 根据题意，中位数应是第100个、第101个数据的平均数，且第100个数据在等级，第101个数据在等级，它们的平均数也在等级， 故答案为：等级．(4分) （3）解：，(6分) （人），(8分) 答：受表扬的学生人数585人． 21. 【详解】（1）由题意得，选到的概率为   故答案为： (2分) （2）列表如下：(5分) 由表格知共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的结果有：，，，，，，，，，共种，(7分) 二人所选金属均能置换出氢气的概率为．(8分) 22.【详解】（1）证明：∵分别是的中点， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形，(2分) ∵， ∴，(3分) ∴四边形是菱形； （2）解：过点作于，则， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，(4分) ∵， ∴， ∴，(6分) ∴，(8分) 故答案为：． 23. 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点， (1分) 由题意得：，， 在中，海里，， （海里）， （海里），(3分) 海里，(4分) 在中，， （海里），(6分) 海里， （海里），(8分) 货轮航行的路程约为23.5海里． 24. 【详解】（1）解：直线与相切(1分)，理由如下， 连接、， ∵四边形是正方形， ∴(2分) ∵在和中， ，，， ∴． ∴． ∴，且点E在圆上，(3分) ∴直线与相切．(4分) （2）证明：连接、， ∵是直径， ∴． ∵，， ∴垂直平分．(5分) ∴． (6分) ∴． ∴． 即．(8分) 【详解】（1）连接并延长交于点H, 连接， ∵， ∴ 垂直平分， ∴，(1分) ∵， ∴， ∵， ∴，(2分) ∴ ∴；　(3分) （2）连接，设， 由（1）知，， ∴， ∵, 垂直平分， ∴， ∴， ∴，(4分) ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴；(5分) （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时， ， ∴，(6分) 随增大而减小，从4.5附近开始逐渐减小到0； 当时， ， ∴，(7分) 随增大而增大，从0附近开始逐渐增大．(8分) 26 【详解】（1）①∵二次函数（m为常数）， ∴当时，该函数的图像开口向上， 正确． ②∵   ∴该函数的图像的对称轴是直线， 不正确． ③令，则， ∴函数的图像一定经过， ∵，两点关于对称轴对称， ∴函数的图像一定经过，两点， 正确． 故答案为：①③．(2分) （2）解：∵点在函数图像上， ∴的对称点为，(3分) 若， ∵当时，y随x增大而增大， ∴， ∵， ∴当时， ， ∴， ， ∴， ∴；(4分) 或当时， ， ∴，(5分) 不合； 若， ∵当时，y随x增大而减小， ∴， ∴当时， ， ∴， ， ∴， ∴；(6分) 或当时， ， ∴， 不合．(7分) 综上， 或．(9分) 27.【详解】解：（1）（Ⅰ）∵， ∴， ∴；(1分) （Ⅱ）∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴；(3分) （2）∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，(4分) ∴， ∴， ∴；(6分) （3）如图，作的垂直平分线，交于点E，连接并延长作直线l，再以点A为圆心，为半径作弧，交直线l于点D， 理由如下：∵点E是的中点， ∴， ∴， 又∵点D、B在上， ∴． (9分) 【点睛】本题考查尺规作图−垂直平分线及圆、相似三角形的判定与性质、四边形的内角和，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共6题，每题2分，共12分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．若k为任意整数，则的值总能（    ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 【答案】B 【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式． 【详解】解： ， 能被3整除， ∴的值总能被3整除， 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式． 2．全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约公顷．用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示形式为整数，当原数大于或等于时，原数变为时，小数点向左移动了几位，的值就是几，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 3．某商店原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，为了减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价元，那么每天可多售出，若要每天盈利元，则每千克应降价多少元？ 设每千克应降价元，则所列方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解数量关系，找出降价后的盈利与销售量是解题的关键． 根据题意，设每千克应降价元，则降价后每千克盈利元，销售量为千克，由此列式即可求解． 【详解】解：已知原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，每千克降价元，那么每天可多售出， 设每千克应降价元，则降价后每千克盈利元，销售量为千克， ∴， 故选：B ． 4．（2023·山西·中考真题）已知都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“＜”连接的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，先求出反比例函数的图象两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，再进行判断求解即可． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴反比例函数的图象两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小， ∵点都在第三象限， ∵， ∴， 又∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选：A． 5．如图，，垂足分别为B、D，和相交于点E，垂足为F．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 利用平行线的性质以及相似三角形的性质一一判断即可． 【详解】解： ∴ ∴， ，故选项A错误，选项 B正确， ∵， ∴， ∴，故选项C正确； ∵， ∴， ，故选项D正确， 故选：A． 6．如图，在中，，P是边上的动点，将沿翻折得射线与射线交于点E．下列说法正确的个数是（  ） （1）当时，； （2）当点落在上时，四边形是菱形； （3）在点P运动的过程中，线段的最小值为2； （4）连接，则四边形的面积始终等于． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查翻折变换，涉及轴对称的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，（1）画出图形，求出，根据等角对等边即可判断其正确；（2）画出图形，证明出是等边三角形，从而得到，根据四条边相等的四边形是菱形即可判断其正确；（3）画出反例的图形，即可判断其错误；（4）画出图形，连接交于点O，根据，即可判断其正确． 【详解】解：（1）如图所示，当时， ∵， ∴， ∵将沿翻折得， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故（1）正确； （2）如图所示，当落在上时，点E和重合， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵将沿翻折得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，故（2）正确； （3）如图所示， 当点P靠近点C时，在四边形外部，此时， ∴，故（3）错误； （4）如图所示，连接交于点O， ∵将沿翻折得， ∴垂直平分， ∴，故（4）正确． 综上，正确的有3个， 选：C． 二、填空题：（本大题共10题，每小题2分，共20分.） 7． ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算，利用二次根式化简的法则即可计算，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 8．代数式中，自变量的取值范围是 ；代数式中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 且 全体实数 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0，列式，即可求解；根据非负数的性质，即可求解， 本题考查了，函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解题的关键是：根据条件列出关系式． 【详解】解：由题意得：且，解得：且； ∵， ∴， ∴的取值范围是：全体实数， 故答案为：且；全体实数． 9．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再用平方差公式分解即可． 【详解】， 故答案为：． 10．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值： ． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据判别式的意义得到，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【详解】解∶∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴当k取0时，方程有两个不相等的实数根． 故答案为：0（答案不唯一）． 11．将P点向上平移2个单位到Q点，且点Q在x轴上，那么P点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移，根据上加下减平移规律得到平移坐标，根据点Q在x轴上，得到，计算即可，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵将P点向上平移2个单位到Q点， ∴， ∵点Q在x轴上， ∴， ∴， ∴P点坐标为． 故答案为： 12．如图，工人师傅用活口扳手拧六角螺丝，六角螺丝为正六边形，边长为，扳手每次旋转一个六角螺丝中心角的度数，旋转四次后，点经过的弧长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆综合，求弧长，先求出正六边形的中心角是，结合旋转四次，然后根据弧长公式进行列式计算即可作答，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由正六边形的性质可知，，中心角为， 由弧长公式可得，旋转四次后，点经过的弧长为， 答案为：． 13．如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若，，，则的长度为_________． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的性质，矩形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 分别作出两条抛物线的对称轴，，交于点，，得四边形是矩形，利用抛物线的对称性计算即可． 【详解】解：通过点、分别作出两条抛物线的对称轴，，交于点M，，如图所示， ，四边形是矩形， ， ，，， ， ， ， ． 故答案为：． 14．欢欢同学通过学习数学和物理句识，知道了电磁波的波长会随着电磁波的频率的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，如表是它们的部分对应值．若，则电磁波的波长 ． 频率 10 15 50 波长 30 20 6 【答案】4 【分析】本题是反比例函数的应用问题，设解析式为 ，用待定系数法求解得到把值代入所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长．考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设波长关于频率的函数解析式为 ， 把点代入上式中得：， 解得：， ； 当时，， 答：当时，此电磁波的波长为． 故答案为：4． 15．如图，已知与是的两条直径，首尾顺次连接点，，，得到四边形．若，，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的概率为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件得到四边形是矩形，求得图中阴影部分的面积，根据等腰三角形的性质得到，由圆周角定理得到，于是得到阴影区域的面积，再根据圆的面积和概率公式即可求得结论． 【详解】解：与是的两条直径， ， 四边形是矩形， 与的面积的和与的面积的和， 图中阴影部分的面积， ， ， ， 图中阴影部分的面积， 针尖落在阴影区域内的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何概率，扇形的面积，矩形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 16．如图，在平行四边形中，，点从点出发，以的速度沿匀速运动，点同时从点出发，以的速度沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图是的面积（cm2）随时间（s）变化的函数图象（图中为线段）， ；当的面积为时，运动时间为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动，即得，，进而由勾股定理得，再分和两种情况，分别画出图形，求出与的函数关系式，再把代入计算即可求解，看懂函数图象并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动， ∵四边形是平行四边形，点、点的速度都是， ∴，； ∵， ∴， ∴， 当时，如图，作，交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，则， 解得； 当时，如图，作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则， 解得，不合题意，舍去； 综上，； 故答案为：，． 三、解答题：（本大题共11题，共88分.） 17．（7分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数、整式的运算、分式的化简． （1）先根据零指数幂，负整数指数幂，特殊三角函数值化简，再计算乘法，最后计算加减，即可作答； （2）先算括号里的，再算除法，然后化简，即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（7分）（1）解不等式组：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元二次方程； （1）先求出每个不等式的解集，后根据口诀确定不等式组的解集； （2）根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 解不等式①得，得， 解不等式②得，得， 不等式组的解集为． （2）解： ，． 19．（8分）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知米，米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为880平方米． (1)求道路的宽是多少米？ (2)该停车场共有车位60个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，问当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入最大？ 【答案】(1)道路的宽为6米 (2)每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入最大 【分析】考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用． （1）由题意知，道路的宽为x米，根据铺花砖的面积列出方程并解答； （2）设月租金上涨元，停车场月租金收入为元，，根据“月租金=每个车位的月租金×车位数”列出函数表达式，进而求解． 【详解】（1）根据道路的宽为米，根据题意得， ， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为6米； （2）设月租金上涨元，停车场月租金收入为元， 根据题意得：， 当时，月租金收入最大为12500元， 答：每个车位的月租金上涨50元时，停车场的月租金收入最大． 20．（8分）某学校开展“家国情·诵经典”读书活动．为了解学生的参与程度，从全校学生中随机抽取200人进行问卷调查，获取了他们每人平均每天阅读时间的数据（m/分钟），将收集的数据分为，，，，五个等级，绘制成如下统计图表（尚不完整）： 平均每天阅读时间统计表 等级 人数（频数） 5 10 80 请根据图表中的信息，解答下列问题： (1)求的值； (2)这组数据的中位数所在的等级是_______， (3)学校拟将平均每天阅读时间不低于50分钟的学生评为“阅读达人”予以表扬．若全校学生以1800人计算，估计受表扬的学生人数． 【答案】(1)40 (2)D等级 (3)585人 【分析】本题考查了频数分布表、扇形统计图，中位数，样本估计总体，熟练掌握统计图的意义，中位数的计算是解题的关键． （1）根据频数样本容量所占百分数，合理选择计算即可； （2）根据中位数的定义计算即可； （3）利用样本估计总体的思想计算即可． 【详解】（1）解：（人）， ． （2）解：， 根据题意，中位数应是第100个、第101个数据的平均数，且第100个数据在等级，第101个数据在等级，它们的平均数也在等级， 故答案为：等级． （3）解：， （人）， 答：受表扬的学生人数585人． 21．（8分）化学实验课上，王老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） (1)小明从四种金属中随机选一种，则选到（镁）的概率为________； (2)小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属分别进行实验，请用列表或画树状图的方法，求二人所选金属均能置换出氢气的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，用列表法求概率． （1）直接由概率公式求解即可； （2）根据列表法求概率即可求解． 【详解】（1）由题意得，选到的概率为   故答案为： （2）列表如下： 由表格知共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的结果有：，，，，，，，，，共种， 二人所选金属均能置换出氢气的概率为． 22．（8分）如图，在中，，分别是的中点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，则菱形的面积为 ． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由三角形中位线的性质可得，，即可得四边形为平行四边形，又由中点定义可得，即可求证； （）过点作于，由可得为等腰直角三角形，即得，又由可得，即可得到，再根据菱形的面积公式即可求解； 本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的面积，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵分别是的中点， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：过点作于，则， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 23．（8分）如图，处的一艘货轮位于处的一艘护卫舰的北偏东方向，此时两船之间的距离为26海里．两船同时沿着正北方向航行，护卫舰航行40海里到达处，此时货轮到达处，测得货轮位于护卫舰的北偏东方向．求货轮航行的路程．（参考数据：，，，，，） 【答案】货轮航行的路程为23.5海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点， 由题意得：，， 在中，海里，， （海里）， （海里）， 海里， 在中，， （海里）， 海里， （海里）， 货轮航行的路程约为23.5海里． 24．（8分）如图，以正方形的边为直径作半圆O，E为半圆上一点，，延长，相交于点M． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接、，根据证明，则可得，即可证明与相切． （2）连接、，由，可得垂直平分．再证，则可得，进而可得． 本题考查了切线的判定、线段垂直平分线的判定和性质以及平行线分线段成比例定理．遇切线连半径，这是常用的作辅助线方法．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下， 连接、， ∵四边形是正方形， ∴ ∵在和中， ，，， ∴． ∴． ∴，且点E在圆上， ∴直线与相切． （2）证明：连接、， ∵是直径， ∴． ∵，， ∴垂直平分． ∴． ∴． ∴． 即． 25．（8分）如图，在中，，是的外接圆，过点 O作的垂线，垂足为 D，分别交直线，于点E，F，射线交直线于点G． (1)求证． (2)若点E在的延长线上，且，求的度数． (3)当时，随着的长度的增大，的长度如何变化? 请描述变化过程，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当时，，随增大，从4.5附近开始逐渐减小到0；当时，，随增大，从0附近开始逐渐增大． 【分析】（1）连接并延长交于点H, 连接，根据线段垂直平分线判断垂直平分，得到，结合，，即得； （2）连接，设，得，得，根据， 垂直平分，得到，得到，根据垂径定理推出，得到，在中，推出, 得到，即得； （3）在和中，根据，得，得，结合，得，当时， ，随增大而减小，从4.5附近开始逐渐减小到0；当时， ，随增大而增大，从0附近开始逐渐增大． 【详解】（1）连接并延长交于点H, 连接， ∵， ∴ 垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴；　 （2）连接，设， 由（1）知，， ∴， ∵, 垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时， ， ∴， 随增大而减小，从4.5附近开始逐渐减小到0； 当时， ， ∴， 随增大而增大，从0附近开始逐渐增大． 【点睛】本题主要考查了圆与三角形结合．熟练掌握等腰三角形的判定和性质，垂径定理，三角形外角性质，线段垂直平分线的判定和性质，正弦定义，分类讨论，是解决问题的关键 ． 26．（9分）已知二次函数（m为常数） (1)下列结论：①当时，该函数的图像开口向上；②该函数的图像的对称轴是直线；③该函数的图像一定经过，两点其中，正确结论的序号是___________． (2)若点在该函数图像上，当时，结合图像，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①③ (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的开口方向，函数值正负，对称性，增减性，是解题的关键．（1）根据二次函数（m为常数）时，图像开口向上，判断①；根据  得对称轴是直线，判断②； ③令，则， ，两点关于对称轴对称，得函数的图像一定经过，两点，判断③； （2）根据与对称，当时，当时，y随x增大而增大，得，根据，得当时，， ，解得，或 当时，得，解得；当时，当时，y随x增大而减小，则，当时，， ，解得，或当时，得，解得，即可． 【详解】（1）①∵二次函数（m为常数）， ∴当时，该函数的图像开口向上， 正确． ②∵   ∴该函数的图像的对称轴是直线， 不正确． ③令，则， ∴函数的图像一定经过， ∵，两点关于对称轴对称， ∴函数的图像一定经过，两点， 正确． 故答案为：①③． （2）解：∵点在函数图像上， ∴的对称点为， 若， ∵当时，y随x增大而增大， ∴， ∵， ∴当时， ， ∴， ， ∴， ∴； 或当时， ， ∴， 不合； 若， ∵当时，y随x增大而减小， ∴， ∴当时， ， ∴， ， ∴， ∴； 或当时， ， ∴， 不合． 综上， 或． 27．（9分）几何图形中，两条线段乘积关系的构造往往可以借助相似三角形的比例关系去关联……． 【模型认识】 （1）如图①，在四边形中，点E在边上，连接，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）与满足的数量关系为______； 【初步理解】 （2）如图②，在中，，，点D在外，，连接并延长到点E，，点N在上，交于点M，，求证：． 【问题解决】 （3）如图③，在中，，点D在外，D到A的距离等于，过点D作直线l，使l分别交于点，且平分的面积．（要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．） 【答案】（1）（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）（Ⅰ）根据相似三角形的性质可得，即可得出结论； （Ⅱ）根据相似三角形的性质可得，，从而可得，，再根据四边形的内角和可得，即可得出结论； （2）证明，可得，即，再根据三角形面积公式及，即可得出结论； （3）作的垂直平分线，交于点E，连接并延长作直线l，再以点A为圆心，为半径作弧，交直线l于点D． 【详解】解：（1）（Ⅰ）∵， ∴， ∴； （Ⅱ）∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，作的垂直平分线，交于点E，连接并延长作直线l，再以点A为圆心，为半径作弧，交直线l于点D， 理由如下：∵点E是的中点， ∴， ∴， 又∵点D、B在上， ∴． 【点睛】本题考查尺规作图−垂直平分线及圆、相似三角形的判定与性质、四边形的内角和，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共6题，每题2分，共12分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．若k为任意整数，则的值总能（    ） A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除 2．全国深入践行习近平生态文明思想，科学开展大规模国土绿化行动，厚植美丽中国亮丽底色，去年完成造林约公顷．用科学记数法表示是（   ） A． B． C． D． 3．某商店原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，为了减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价元，那么每天可多售出，若要每天盈利元，则每千克应降价多少元？ 设每千克应降价元，则所列方程是（       ） A． B． C． D． 4．（2023·山西·中考真题）已知都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“＜”连接的结果为（　　） A． B． C． D． 5．如图，，垂足分别为B、D，和相交于点E，垂足为F．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，P是边上的动点，将沿翻折得射线与射线交于点E．下列说法正确的个数是（  ） （1）当时，； （2）当点落在上时，四边形是菱形； （3）在点P运动的过程中，线段的最小值为2； （4）连接，则四边形的面积始终等于． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：（本大题共10题，每小题2分，共20分.） 7． ． 8．代数式中，自变量的取值范围是 ；代数式中，自变量的取值范围是 ． 9．因式分解： ． 10．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值： ． 11．将P点向上平移2个单位到Q点，且点Q在x轴上，那么P点坐标为 ． 12．如图，工人师傅用活口扳手拧六角螺丝，六角螺丝为正六边形，边长为，扳手每次旋转一个六角螺丝中心角的度数，旋转四次后，点经过的弧长为 ． 13．如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P，Q都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若，，，则的长度为_________． 14．欢欢同学通过学习数学和物理句识，知道了电磁波的波长会随着电磁波的频率的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，如表是它们的部分对应值．若，则电磁波的波长 ． 频率 10 15 50 波长 30 20 6 15．如图，已知与是的两条直径，首尾顺次连接点，，，得到四边形．若，，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的概率为 ． 16．如图，在平行四边形中，，点从点出发，以的速度沿匀速运动，点同时从点出发，以的速度沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图是的面积（cm2）随时间（s）变化的函数图象（图中为线段）， ；当的面积为时，运动时间为 ． 三、解答题：（本大题共11题，共88分.） 17．（7分）计算： (1)；(2)． 18．（7分）（1）解不等式组：；（2）解方程：． 19．（8分）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知米，米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为880平方米． (1)求道路的宽是多少米？ (2)该停车场共有车位60个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，问当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入最大？ 20．（8分）某学校开展“家国情·诵经典”读书活动．为了解学生的参与程度，从全校学生中随机抽取200人进行问卷调查，获取了他们每人平均每天阅读时间的数据（m/分钟），将收集的数据分为，，，，五个等级，绘制成如下统计图表（尚不完整）： 平均每天阅读时间统计表 等级 人数（频数） 5 10 80 请根据图表中的信息，解答下列问题： (1)求的值； (2)这组数据的中位数所在的等级是_______， (3)学校拟将平均每天阅读时间不低于50分钟的学生评为“阅读达人”予以表扬．若全校学生以1800人计算，估计受表扬的学生人数． 21．（8分）化学实验课上，王老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） (1)小明从四种金属中随机选一种，则选到（镁）的概率为________； (2)小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属分别进行实验，请用列表或画树状图的方法，求二人所选金属均能置换出氢气的概率． 22．（8分）如图，在中，，分别是的中点． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，则菱形的面积为 ． 23．（8分）如图，处的一艘货轮位于处的一艘护卫舰的北偏东方向，此时两船之间的距离为26海里．两船同时沿着正北方向航行，护卫舰航行40海里到达处，此时货轮到达处，测得货轮位于护卫舰的北偏东方向．求货轮航行的路程．（参考数据：，，，，，） 24．（8分）如图，以正方形的边为直径作半圆O，E为半圆上一点，，延长，相交于点M． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)求证：． 25．（8分）如图，在中，，是的外接圆，过点 O作的垂线，垂足为 D，分别交直线，于点E，F，射线交直线于点G． (1)求证． (2)若点E在的延长线上，且，求的度数． (3)当时，随着的长度的增大，的长度如何变化? 请描述变化过程，并说明理由． 26．（9分）已知二次函数（m为常数） (1)下列结论：①当时，该函数的图像开口向上；②该函数的图像的对称轴是直线；③该函数的图像一定经过，两点其中，正确结论的序号是___________． (2)若点在该函数图像上，当时，结合图像，直接写出的取值范围． 27．（9分）几何图形中，两条线段乘积关系的构造往往可以借助相似三角形的比例关系去关联……． 【模型认识】 （1）如图①，在四边形中，点E在边上，连接，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）与满足的数量关系为______； 【初步理解】 （2）如图②，在中，，，点D在外，，连接并延长到点E，，点N在上，交于点M，，求证：． 【问题解决】 （3）如图③，在中，，点D在外，D到A的距离等于，过点D作直线l，使l分别交于点，且平分的面积．（要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．） 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$