数学（新高考Ⅱ卷03）-学易金卷：2025年高考第三次模拟考试

2025年高考数学第三次模拟考试 高三数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B C A A C B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ABC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． （13分） 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据已知等式应用等差数列的基本量运算得出，再应用裂项相消法计算求和； （2）先应用，再结合解得，得出，最后计算得出. 【详解】（1）当时，由， 则，由，则， 所以等差数列的公差为，所以， 故 故数列的前项和．.............6分 （2）当时，，可得， 当时， ， 将代入上式，则， 综上所述，． ，可得， 又因为，则， 由方程，可得，解得， 由，则等差数列的公差为3，所以， 由，则．.............13分 16． （15分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题知，进而解方程即可求得答案； （2）设，进而分别与椭圆和抛物线联立计算弦长，，进而计算面积，，再结合已知求得，且再求直线在轴上截距的范围即可. 【详解】（1）根据题意得解得所以，焦点. 所以椭圆的方程是：..............4分 （2）由题可设直线方程为：，，，，. 由得, 由题知，，,.............6分 . 又点到直线的距离， .............10分 由得，由题知，得，. . ，，解得：且, 或， 直线在轴上截距的取值范围是............15分 17． （15分） 【答案】(1) (2) (3)分布列答案见解析， 【分析】（1）分析可知，甲顾客摸到个红球个白球、或者是个红球个白球个黑球，利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得的值； （2）记事件乙顾客按照方案一摸球获奖，记事件乙顾客第二次摸到红球，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值； （3）分析可知随机变量的可能取值有、、、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【详解】（1）若，则甲顾客摸到个红球个白球、或者是个红球个白球个黑球， 所以，.............4分 （2）记事件乙顾客按照方案一摸球获奖，由（1）可知， 记事件乙顾客第二次摸到红球，则， ， 所以，...........9分 （3）摸到次红球的概率为，摸到次白球的概率为，摸到次黑球的概率为， 则的可能取值有、、、、、、， ，， ，， ，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 故...........15分 18． （17分） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)5． 【分析】（1）先求导，由在处取得极值，得解出验证即可； （2）设，验证的单调递增，即有，即可得证； （3）存在实数，使得成立，即成立．构造函数，即求即可. 【详解】（1）， 因为在处取得极值， 所以，所以， 解得． 经验证当时，在处取得极小值，符合题意， 故．...........4分 （2）对任意的m，，设，则， 由（1）知，则在上单调递增， 所以当时，，即，所以在上单调递增， 因为，所以，即， 故．.............6分9 （3）存在实数，使得成立，即成立． 令，，则，， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增． 又，， 故存在唯一的，使得，即． 当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 故，结合，得， 故k的最小整数值为5．.............17分 19． （17分） 【答案】(1) (2) (3)①16；② 【分析】（1）根据题意可得两个面的法向量，结合向量垂直运算求解； （2）分析可知几何体为正八面体.法1：根据题中公式直接求内切圆半径，即可得表面积；法2：利用等体积法求内切圆半径，即可得表面积； （3）根据题意分析几何体的结构特征.①利用割补法求体积；②求相应的法向量，利用空间向量求二面角. 【详解】（1）根据题意，平面的法向量，平面的法向量， 所以，故...........3分 （2）不妨设，在平面内取一点，则向量， 取平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为 对于， 当时，表示经过，，的平面在第一象限的部分. 由对称性可知表示，，这六个顶点形成的正八面体. 法1：设内切球的半径为，则即为原点到平面的距离， 则. 所以内切球的表面积为；.............9分 法2：考虑； 即为三个坐标平面与围成的四面体，其四个顶点分别为，，，， 此四面体的体积为， 由对称性知，正八面体的体积， 设内切球的半径为，正八面体的表面积为， 所以，解得：. 所以内切球的表面积为；............9分 （3）由（2）可知所围几何体是关于平面，，对称的， 其在第一卦限的形状为正三棱锥，如图其中、OB、两两垂直，且. 集合所表示的几何图形也关于平面，，对称， 其在第一卦限内的部分的图形如图（1），             图1 ①如图2，就是把图1的几何图形进行分割的结果.             图2 所以所构成的几何体如图3所示.         图3 法一：其中正方体记为集合所构成的区域. 而构成了一个正四棱锥，且到面的距离为1， 所以， 所以几何体的体积. 法二：从图2可以看出，几何体在第一卦限的部分为有公共底面的两个三棱锥和. 设其体积为. 由正方体的性质可知面. 因为，， 所以其体积. 所以几何体的体积. ②由题意可知：面方程为，所以其法向量，面方程为，其法向量. 所以 由图知两个相邻的面所成角为钝角. 故相邻两个面所成角为.............17分 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何新定义，解题关键是利用新定义求出法向量，然后利用向量求法得到所要求的二面角余弦值即可． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考数学第三次模拟考试 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 良好以下 良好及以上 合计 男 800 1100 女 100 合计 1200 1600 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考数学第三次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，向量对应的复数是，则的值为（    ） A．6 B． C．13 D． 2．已知集合，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若以为直径的圆与以点为圆心、为半径的圆相切于点，且点在上，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．已知，，则（   ） A． B． C． D．，但和的大小关系无法确定 6．校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯，如图，奖杯的设计思路是将侧棱长为6的正三棱锥的三个侧面沿AB，BC，AC展开得到面，使得平面均与平面ABC垂直，再将球放到上面使得三个点在球的表面上，若奖杯的总高度为，且，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．若函数的定义域内存在，（），使得成立，则称为“完整函数”．已知（）是上的“完整函数”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知正实数，满足，则（    ） A．2 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 1．如图，向量对应的复数是，则的值为（    ） A．6 B． C．13 D． 2．已知集合，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若以为直径的圆与以点为圆心、为半径的圆相切于点，且点在上，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．已知，，则（   ） A． B． C． D．，但和的大小关系无法确定 6．校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯，如图，奖杯的设计思路是将侧棱长为6的正三棱锥的三个侧面沿AB，BC，AC展开得到面，使得平面均与平面ABC垂直，再将球放到上面使得三个点在球的表面上，若奖杯的总高度为，且，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．若函数的定义域内存在，（），使得成立，则称为“完整函数”．已知（）是上的“完整函数”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知正实数，满足，则（    ） A．2 B． C． D． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（    ） A．数据的第25百分位数是1； B．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为； C．已知随机变量，若，则； D．某班有50名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，则理论上说在分的人数约为17人．（参考数据：，， 10．已知函数，则（    ） A．函数的定义域为 B．当时，函数在定义域上单调递增 C．曲线是中心对称图形 D．若，且的最小值是0 11．数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一､下列说法正确的是（    ） A．曲线有4条对称轴 B．曲线内有9个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．若是曲线上的任意一点，则的最大值为5 D．设直线与曲线交于两点，则的最大值为4 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若为锐角，＝，则 . 13．如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为 ． 14．已知的内角对边分别为，边上的高为h，，则的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知数列为等差数列，且满足． (1)若，求数列的前项和； (2)若数列满足，且数列的前项和，求数列的通项公式． 16．（15分） 如图，椭圆过点，短轴长为，椭圆的左、右顶点分别为，，过椭圆的右焦点且与轴相交的直线与椭圆相交于，两点，与抛物线相交于，两点. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线在轴上截距的范围. 17． （15分） 某商场进行抽奖活动，设置摸奖箱内有红球个，白球个，黑球个，小球除颜色外没有任何区别.规定：摸到红球记分，摸到白球记分，摸到黑球记分.抽奖人摸个球为一次抽奖，总分记为，若，则获奖. 方案一：从中一次摸个球，记录分数后不放回. 方案二：从中一次摸个球，记录分数后放回. (1)若甲顾客按照方案一摸球记分，求甲顾客获奖的概率； (2)若乙顾客按照方案一摸球记分，求第二次摸到红球条件下，乙顾客获奖的概率； (3)若丙顾客按照方案二摸球记分，求的分布列和数学期望. 18． （17分） 已知，函数在处取得极值． (1)求a； (2)证明：对任意的m，，都有； (3)若存在实数，使得成立，求k的最小整数值． 19．（17分） 空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中），且为该平面的法向量. (1)若平面，，且，求实数的值； (2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； (3)记集合中所有点构成的几何体为. ①求的体积的值； ②求的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学第三次模拟考试 高三数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，向量对应的复数是，则的值为（    ） A．6 B． C．13 D． 2．已知集合，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若以为直径的圆与以点为圆心、为半径的圆相切于点，且点在上，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．已知，，则（   ） A． B． C． D．，但和的大小关系无法确定 6．校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯，如图，奖杯的设计思路是将侧棱长为6的正三棱锥的三个侧面沿AB，BC，AC展开得到面，使得平面均与平面ABC垂直，再将球放到上面使得三个点在球的表面上，若奖杯的总高度为，且，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．若函数的定义域内存在，（），使得成立，则称为“完整函数”．已知（）是上的“完整函数”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知正实数，满足，则（    ） A．2 B． C． D． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（    ） A．数据的第25百分位数是1； B．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为； C．已知随机变量，若，则； D．某班有50名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，则理论上说在分的人数约为17人．（参考数据：，， 10．已知函数，则（    ） A．函数的定义域为 B．当时，函数在定义域上单调递增 C．曲线是中心对称图形 D．若，且的最小值是0 11．数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一､下列说法正确的是（    ） A．曲线有4条对称轴 B．曲线内有9个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．若是曲线上的任意一点，则的最大值为5 D．设直线与曲线交于两点，则的最大值为4 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若为锐角，＝，则 . 13．如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为 ． 14．已知的内角对边分别为，边上的高为h，，则的最小值为 . 四、解答题.本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知数列为等差数列，且满足． (1)若，求数列的前项和； (2)若数列满足，且数列的前项和，求数列的通项公式． 16． （15分） 如图，椭圆过点，短轴长为，椭圆的左、右顶点分别为，，过椭圆的右焦点且与轴相交的直线与椭圆相交于，两点，与抛物线相交于，两点. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线在轴上截距的范围. 17． （15分） 某商场进行抽奖活动，设置摸奖箱内有红球个，白球个，黑球个，小球除颜色外没有任何区别.规定：摸到红球记分，摸到白球记分，摸到黑球记分.抽奖人摸个球为一次抽奖，总分记为，若，则获奖. 方案一：从中一次摸个球，记录分数后不放回. 方案二：从中一次摸个球，记录分数后放回. (1)若甲顾客按照方案一摸球记分，求甲顾客获奖的概率； (2)若乙顾客按照方案一摸球记分，求第二次摸到红球条件下，乙顾客获奖的概率； (3)若丙顾客按照方案二摸球记分，求的分布列和数学期望. 18． （17分） 已知，函数在处取得极值． (1)求a； (2)证明：对任意的m，，都有； (3)若存在实数，使得成立，求k的最小整数值． 19． （17分） 空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中），且为该平面的法向量. (1)若平面，，且，求实数的值； (2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； (3)记集合中所有点构成的几何体为. ①求的体积的值； ②求的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 17．（15分）已知函数，m，． (1)当时，求的最小值； (2)当时，讨论的单调性； (3)当时，证明：，． 18．（17分）双曲线的左、右焦点分别为、，直线l过且与双曲线交于A、B两点． (1)若双曲线的离心率为2；求b的值； (2)若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； (3)设，若l的斜率存在，且，求l的斜率． 19．（17分）已知正项数列的前项和为，首项. (1)若，求数列的通项公式； (2)若函数，正项数列满足：. （i）证明：； （ii）证明：. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学第三次模拟考试 高三数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，向量对应的复数是，则的值为（    ） A．6 B． C．13 D． 【答案】C 【分析】利用复数的几何意义和复数的四则运算法则计算即得. 【详解】由题意，向量对应的复数是， 则.故选：C. 2．已知集合，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解集合，再得到，然后根据，即可求解实数的取值范围. 【详解】因为，所以或， 所以， 所以， 因为，所以， 所以实数的取值范围为. 故选：. 3．如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，结合平面向量的减法可得出，结合，，可得出，利用、、三点共线，可求出的值. 【详解】连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则， 即，所以，， 又因为，，则， 因为、、三点共线，设，则， 所以，，且、不共线， 所以，，，故，因此，. 故选：C. 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若以为直径的圆与以点为圆心、为半径的圆相切于点，且点在上，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得点为的中点，即可得的坐标，即可得，即可得解出即可. 【详解】由两圆的圆心分别为，.且圆的半径为，， 可得点在以为直径的圆内，且两圆内切， 所以点为的中点，所以，，所以圆的半径为3， 即，所以，解得，，所以的离心率为， 故选：A.    5．已知，，则（   ） A． B． C． D．，但和的大小关系无法确定 【答案】A 【分析】分别由题意证出且，得出结论即可. 【详解】由于，所以，因此， 又因为，即，故 故选：A. 6．校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯，如图，奖杯的设计思路是将侧棱长为6的正三棱锥的三个侧面沿AB，BC，AC展开得到面，使得平面均与平面ABC垂直，再将球放到上面使得三个点在球的表面上，若奖杯的总高度为，且，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奖杯的总高度为，结合题意，可将其拆解为多段，得到，结合题目所给条件，运用勾股定理计算即可得球的半径，结合球的表面积公式即可得解. 【详解】如图：连接、、， 取、、中点、、，连接、、， 由已知侧棱长为的正三棱锥， 即，又因为， 所以， 因为平面，，均与平面垂直， 设，，三点所在的圆为圆，底面的中心为， 则，又因为奖杯总高度为， 设球半径为，球心到圆面的距离为， 则，即， 如图，易知≌， 因为， 所以是边长为的等边三角形， 设的外接圆半径为， 则， 则在直角中，， 即，解得， 所以． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助奖杯的总高度为，得到，从而可由题目所给条件逐步计算出球的半径，即可得解. 7．若函数的定义域内存在，（），使得成立，则称为“完整函数”．已知（）是上的“完整函数”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用诱导公式和辅助角公式化简，再结合给定定义并对进行分类讨论，得到参数取值范围即可. 【详解】由题意得， ， 因为，所以， 故在上有两个最大值点， 令，则函数在区间上至少存在两个最大值点， 则，解得．当，即时，显然符合题意． 当时，因为，所以， 因为，所以，，分以下两种情况讨论： ①当，即时，，即，所以； ②当，即时，，即，所以． 综上，的取值范围为，故B正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，解题关键是先化简函数，然后结合给定定义并对参数分类讨论，得到所要求的参数范围即可． 8．已知正实数，满足，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先将已知变形为,然后再运用基本不等式得到,利用导数求证再用取得等号时的条件可得，即可求解. 【详解】由题设可得 (当且仅当时取等号), 即,由于，均为正实数，即， 设， 则当时，在单调递减，当时，在单调递增，故当， 故当且仅当时取等号， 因此，故，则， 故，解得,所以, 故选：C. 【点睛】结论点睛：常用的不等式：，，，，，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（    ） A．数据的第25百分位数是1； B．若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为； C．已知随机变量，若，则； D．某班有50名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，则理论上说在分的人数约为17人．（参考数据：，， 【答案】ACD 【分析】根据百分位数、相关系数、二项分布、正态分布等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于选项A，8个数据从小到大排列，由于， 所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数，故A正确； 对于选项B，因为样本点都在直线上，说明是负相关且线性相关性很强，所以相关系数为，故B错误． 对于选项C，因为， 所以，解得，故C正确； 对于选项D，由， 可得在90~100分的人数是，故D正确. 故选：ACD． 10．已知函数，则（    ） A．函数的定义域为 B．当时，函数在定义域上单调递增 C．曲线是中心对称图形 D．若，且的最小值是0 【答案】ABC 【分析】利用对数函数定义域求法可得A正确，由复合型对数函数单调性可判断B正确，利用函数对称性定义代入计算可得，因此C正确，求导可得，再由基本不等式计算可得即可，可判断D错误. 【详解】对于A，由函数解析式可得，解得，因此函数的定义域为，显然A正确； 对于B，当时， 易知函数单调递增，单调递减，所以函数在定义域上单调递增，B正确； 对于C，令，， 因此的图象关于点中心对称， 易知满足， 可得的图象关于点中心对称，可得C正确； 对于D，时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故， 而成立，故，即，所以的最小值为，即D错误. 故选：ABC. 11．数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一､下列说法正确的是（    ） A．曲线有4条对称轴 B．曲线内有9个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．若是曲线上的任意一点，则的最大值为5 D．设直线与曲线交于两点，则的最大值为4 【答案】ABD 【分析】求出曲线对称轴判断A；求出曲线的范围并求出整点判断B；令，与曲线的方程联立，利用判别式求出最大值判断C；联立直线与曲线方程，利用弦长公式，结合基本不等式求出最大值判断D. 【详解】对于A，点是曲线上任意点，显然都满足曲线的方程， 因此曲线关于轴、轴、直线、直线都对称，A正确； 对于B，由，得， 解得，同理，因此曲线在两组平行直线所围成的正方形及内部， 而点中，任意一点坐标都使， 因此曲线内有9个整点，B正确； 对于C，由曲线的对称性知，当位于第二象限时，取得最大值， 此时方程为，令，将代入， 得，故，解得， 因此的最大值为，C错误； 对于D，由消去得，解得， 则，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： ①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若为锐角，＝，则 . 【答案】 【分析】由为锐角，，运用三角函数的同角公式，可得，进而可得的值，再结合正切函数的两角差公式，即可求解． 【详解】为锐角，， 又， ，， ， 故答案为：． 13．如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为 ． 【答案】 【分析】根据相邻原则把9个灯区分为三类：第一类灯区，第二类灯区，第三类灯区，然后由题意分别按各类中的两个保持灯区最终仍处于“点亮”状态，由此求得方法数，再求得总的方法数，最后由概率公式计算概率． 【详解】从9个灯区中随机先后按下两个灯区，共有种按法． 与相邻的灯区为；与相邻的灯区为，故将9个灯区分为三类：第一类灯区，第二类灯区，第三类灯区．若要使得灯区最终仍处于“点亮”状态，则需在同类灯区中随机先后按两个不同灯区． ①若先后按下的是两个灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法； ②若先后按下的是灯区中的两个，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法； ③若先后按下的是灯区中的两个，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法．故灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为． 故答案为：． 14．已知的内角对边分别为，边上的高为h，，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】首先根据余弦定理，并结合三角形面积公式求出与的关系；通过几何图形作辅助线，构造可得，求出的范围，进而根据二倍角公式，求得的取值范围. 【详解】在中，， ， 即； 又，，即，又； 故， 如图，在中，过作的垂线，且使，则，   ，即，可得， ，即，， , 设，，在区间单调递减， ，即, ，当且仅当时，即三点共线时等号成立. 验证：如下图中，若时，满足， 此时，， 故存在这样的，使得成立.    因此的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决此题关键有二，一是通过已知条件结合面积公式与余弦定理得到等量关系；二是构造几何图形求解的范围，进而利用二倍角公式求解的范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15． （13分） 已知数列为等差数列，且满足． (1)若，求数列的前项和； (2)若数列满足，且数列的前项和，求数列的通项公式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知等式应用等差数列的基本量运算得出，再应用裂项相消法计算求和； （2）先应用，再结合解得，得出，最后计算得出. 【详解】（1）当时，由， 则，由，则， 所以等差数列的公差为，所以， 故 故数列的前项和．.............6分 （2）当时，，可得， 当时， ， 将代入上式，则， 综上所述，． ，可得， 又因为，则， 由方程，可得，解得， 由，则等差数列的公差为3，所以， 由，则．.............13分 16． （15分） 如图，椭圆过点，短轴长为，椭圆的左、右顶点分别为，，过椭圆的右焦点且与轴相交的直线与椭圆相交于，两点，与抛物线相交于，两点. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线在轴上截距的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题知，进而解方程即可求得答案； （2）设，进而分别与椭圆和抛物线联立计算弦长，，进而计算面积，，再结合已知求得，且再求直线在轴上截距的范围即可. 【详解】（1）根据题意得解得所以，焦点. 所以椭圆的方程是：..............4分 （2）由题可设直线方程为：，，，，. 由得, 由题知，，,.............6分 . 又点到直线的距离， .............10分 由得，由题知，得，. . ，，解得：且, 或， 直线在轴上截距的取值范围是............15分 17． （15分） 某商场进行抽奖活动，设置摸奖箱内有红球个，白球个，黑球个，小球除颜色外没有任何区别.规定：摸到红球记分，摸到白球记分，摸到黑球记分.抽奖人摸个球为一次抽奖，总分记为，若，则获奖. 方案一：从中一次摸个球，记录分数后不放回. 方案二：从中一次摸个球，记录分数后放回. (1)若甲顾客按照方案一摸球记分，求甲顾客获奖的概率； (2)若乙顾客按照方案一摸球记分，求第二次摸到红球条件下，乙顾客获奖的概率； (3)若丙顾客按照方案二摸球记分，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列答案见解析， 【分析】（1）分析可知，甲顾客摸到个红球个白球、或者是个红球个白球个黑球，利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得的值； （2）记事件乙顾客按照方案一摸球获奖，记事件乙顾客第二次摸到红球，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值； （3）分析可知随机变量的可能取值有、、、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【详解】（1）若，则甲顾客摸到个红球个白球、或者是个红球个白球个黑球， 所以，.............4分 （2）记事件乙顾客按照方案一摸球获奖，由（1）可知， 记事件乙顾客第二次摸到红球，则， ， 所以，...........9分 （3）摸到次红球的概率为，摸到次白球的概率为，摸到次黑球的概率为， 则的可能取值有、、、、、、， ，， ，， ，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 故...........15分 18． （17分） 已知，函数在处取得极值． (1)求a； (2)证明：对任意的m，，都有； (3)若存在实数，使得成立，求k的最小整数值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)5． 【分析】（1）先求导，由在处取得极值，得解出验证即可； （2）设，验证的单调递增，即有，即可得证； （3）存在实数，使得成立，即成立．构造函数，即求即可. 【详解】（1）， 因为在处取得极值， 所以，所以， 解得． 经验证当时，在处取得极小值，符合题意， 故．...........4分 （2）对任意的m，，设，则， 由（1）知，则在上单调递增， 所以当时，，即，所以在上单调递增， 因为，所以，即， 故．.............6分9 （3）存在实数，使得成立，即成立． 令，，则，， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增． 又，， 故存在唯一的，使得，即． 当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 故，结合，得， 故k的最小整数值为5．.............17分 19． （17分） 空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中），且为该平面的法向量. (1)若平面，，且，求实数的值； (2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； (3)记集合中所有点构成的几何体为. ①求的体积的值； ②求的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小. 【答案】(1) (2) (3)①16；② 【分析】（1）根据题意可得两个面的法向量，结合向量垂直运算求解； （2）分析可知几何体为正八面体.法1：根据题中公式直接求内切圆半径，即可得表面积；法2：利用等体积法求内切圆半径，即可得表面积； （3）根据题意分析几何体的结构特征.①利用割补法求体积；②求相应的法向量，利用空间向量求二面角. 【详解】（1）根据题意，平面的法向量，平面的法向量， 所以，故...........3分 （2）不妨设，在平面内取一点，则向量， 取平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为 对于， 当时，表示经过，，的平面在第一象限的部分. 由对称性可知表示，，这六个顶点形成的正八面体. 法1：设内切球的半径为，则即为原点到平面的距离， 则. 所以内切球的表面积为；.............9分 法2：考虑； 即为三个坐标平面与围成的四面体，其四个顶点分别为，，，， 此四面体的体积为， 由对称性知，正八面体的体积， 设内切球的半径为，正八面体的表面积为， 所以，解得：. 所以内切球的表面积为；............9分 （3）由（2）可知所围几何体是关于平面，，对称的， 其在第一卦限的形状为正三棱锥，如图其中、OB、两两垂直，且. 集合所表示的几何图形也关于平面，，对称， 其在第一卦限内的部分的图形如图（1），             图1 ①如图2，就是把图1的几何图形进行分割的结果.             图2 所以所构成的几何体如图3所示.         图3 法一：其中正方体记为集合所构成的区域. 而构成了一个正四棱锥，且到面的距离为1， 所以， 所以几何体的体积. 法二：从图2可以看出，几何体在第一卦限的部分为有公共底面的两个三棱锥和. 设其体积为. 由正方体的性质可知面. 因为，， 所以其体积. 所以几何体的体积. ②由题意可知：面方程为，所以其法向量，面方程为，其法向量. 所以 由图知两个相邻的面所成角为钝角. 故相邻两个面所成角为.............17分 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何新定义，解题关键是利用新定义求出法向量，然后利用向量求法得到所要求的二面角余弦值即可． 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$