专题06 幂的乘法运算中档培优（8种类型50道题）-【名校压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题精讲精练（浙教版2024）

专题06 幂的乘法运算中档培优（8种类型50道题） 考点导航 考点清单 题型01 同底数幂的乘法 1.一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n。 。m个a n个a （m+n）个a 因此，我们有 （m，n都是正整数）。 2.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数 不变 ，指数 相加 。 3.推广： (m，n，p都是正整数）；（m，n都是正整数） 注意： (1)不要忽略指数是1的因式吗，如=; (2)底数可以是单项式,也可以是多项式,当底数是多项式时通常把底数看做一个整体,运用整体思想求解。 1．已知均为正整数，且满足，则取值不可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，将原式化为，进而可得，，分类讨论：当时，和当时，和当时，，进而可求得的可能值，进而可求解，熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ，即：， ，， 当时，， ， 当时，， ， 当时，， ， 则取值不可能是5， 故选A． 2．已知，则下列给出之间的数量关系式中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，根据已知条件式得到，进而推出，则，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四个选项中只有C选项的关系式错误，符合题意； 故选C． 3．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，将原式变形为，再利用同底数幂的乘法运算法则计算即可． 【详解】 ， 故答案为：． 4．已知，，，现给出3个数，，之间的三个关系式： ①；②；③． 其中正确的关系式是 （填序号）． 【答案】①③ 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：，， ，， ，，， 故其中正确的关系式是①③， 故答案为：①③． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握相关运算法则为解题关键． （1）根据同底数幂的乘法法则进行求解即可； （2）根据同底数幂的乘法法则进行求解即可； （3）根据同底数幂的乘法法则进行求解即可； （4）根据同底数幂的乘法法则进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）； （3）； （4）． 6．若，求的值． 【答案】1024 【分析】本题主要考查的是同底数幂乘法，首先利用同底数幂的乘法法则进行计算，然后计算指数部分，最后将代入进行计算即可，将整体代入是解题的关键． 【详解】解：， ， 原式． 7．（1）已知，求m的值； （2）已知，，求的值． 【答案】； ． 【分析】本题考查了同底数幂的乘法． 根据同底数幂相乘底数不变指数相加可得，从而可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； 根据同底数幂相乘底数不变指数相加可得关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，代入计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得： ； 解：， ， ， 整理得：， ， ， ， 整理得：， 解方程组， 得， ． 8．若，求n的值． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据公式，得到，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：． 题型02 幂的乘方n个am n个m 1.一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n：. 因此，我们有 （m，n都是正整数）。 2.幂的乘方法则：幂的乘方，底数 不变 ，指数 相乘 。 3.推广：= (m，n，p都是正整数）；==（m，n都是正整数）。 4.同底数幂的乘法法则与乘方法则异同点： 注意： (1)应用幂的乘方法则进行计算时，要特别注意符号问题，负数的奇次幂为负，负数的偶次幂为正。 ； (2)①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②法则中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法法则中的“指数相加”的区别。 9．如果，那么 ． 【答案】81 【分析】本题主要考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算法则得出即可． 【详解】解：， ， 则． 故答案为：81． 10．若（且，m，n是正整数），则．利用此结论解决下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、一元一次方程的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先将等式的两边化成相同的底数，再计算幂的乘方和同底数幂的乘法，然后根据题干中的结论可得一个关于的方程，解方程即可得； （2）先将等式的两边化成相同的底数，再计算幂的乘方，然后根据题干中的结论可得一个关于的方程，解方程即可得． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴， 解得． （2）解： ， ∵， ∴， ∴， 解得． 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算，解题的关键是： （1）先计算幂的乘法、再计算同底数幂相乘即可； （2）先计算幂的乘法、再计算同底数幂相乘，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．解答下列问题： (1)若，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值； (3)若，，用含的代数式表示． 【答案】(1)27； (2)32； (3)． 【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方的运算法则是解此题的关键． （1）由题意可得，再将式子变形为，整体代入计算即可得解； （2）将式子变形为，整体代入计算即可得解； （3）由题意可得，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴． 13．（1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）8（2）7 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方的应用等知识点， （1）先根据同底数幂的乘法和幂的乘方将化成，然后将代入求值即可； （2）根据幂的乘方的定义，可化为，即，即可求得a的值，又可化为，即，即可求解b的值，即可求解的值； 熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】（1）∵， ∴， ； （2）∵， ∴， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴． 14．（1）已知，求的值； （2）已知，求t的值． 【答案】（1）8；（2） 【分析】此题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法及积的乘方，关键是能准确运用幂的乘方、同底数幂的乘法及积的乘方对代数式进行变形求解． （1）将变形为，再整体代入求解； （2）将变形为，再求解即可． 【详解】解：（1）因为，所以， 所以 ． （2）因为 ， 所以当时，， 所以， 解得． 15．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方，熟练掌握同底数幂的乘法和幂的乘方的运算法则及其逆运算是解题的关键，先利用同底数幂的乘法把变为，再利用幂的乘方把变为，代入即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴． 16．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、幂的乘方的逆用、同底数幂的乘法与逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据幂的乘方的逆用可得，，再根据同底数幂的乘法的逆用可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 题型03 积的乘方 1.一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n： .n个 n个a n个b 因此，我们有 （n是正整数）。 2.积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别 乘方 ，再把所得的幂 相乘 。 3.推广：= (n是正整数）；=（n是正整数）。 注意: (1)每个因式都要乘方，不要漏掉任何一个因式； (2)要注意系数连同它的符号一起乘方，尤其当系数是-1时，不可忽略； (3)式子中的a，b可以代表一个单项式，也可以代表一个多项式。 17．若，，则可以表示为 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，熟练掌握积的乘方法则是解题关键．将改写成，再计算积的乘方即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 18．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是乘方运算的含义，积的乘方运算的逆运算，先计算，再利用积的乘方运算的逆运算把 化成 ，然后再计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 19．已知，试说明． 【答案】见解析 【分析】此题考查了积的乘方与同底数幂的乘法，注意掌握公式的逆用是关键． 把P中的99写成11与9的积，利用幂的幂的乘方的性质化简P，然后再与Q对比． 【详解】解：， ∴． 20．（1）已知，求的值； （2）已知，求x的值． 【答案】（1）144；（2） 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方的逆运算： （1）先根据积的乘方计算法则把所求式子变形为，再根据幂的乘方的逆运算法则把所求式子变形为，据此代值计算即可； （2）根据积的乘方计算法则把已知条件式变形为，则可得到关于x的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴ ． （2）∵， ∴， ∴ ∴， 解得． 21．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了积的乘方的逆用、同底数幂的乘法与逆用、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据积的乘方的逆用计算即可得； （2）根据积的乘方的逆用计算即可得； （3）先将带分数化成假分数，再利用同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用计算即可得； （4）先计算积的乘方的逆用，再计算同底数幂的乘法，然后计算积的乘方与幂的乘方即可得． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 ． 22．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂相乘等知识，逆用幂的乘方法则、同底数幂相乘法则计算即可． 【详解】解：原式 题型04 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数 不变 ，指数 相减 。 用式子表示： (a≠0，m，n都是正整数，且m>n) 注意： (1)底数a≠0，因为0不能做除数； (2)单独的一个字母，其指数是1 ，而不是0； (3)应用同底数幂除法的法则时，底数a可以是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么。 拓展： (a≠0，m，n，p都是正整数，且m>n+p)。 此法则可以逆用，即(a≠0，m，n都是正整数，且m>n) 23．已知，则的值为 ，的值为 ． 【答案】 2 81 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，根据同底数幂的除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 又 ∴ ， 故答案为：2；81 24．已知，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，熟记相关运算法则是解答本题的关键． 把变形为，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：2． 25．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的除法运算，由条件可得，再把化为，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为： 26．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查同底数幂的除法运算和积的乘方， （1）根据同底数幂的除法计算即可； （2）根据同底数幂的除法和积的乘方计算即可； （3）根据同底数幂的除法计算即可； （4）根据同底数幂的除法计算即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 27．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】本题考查同底数幂的除法，积的乘方运算： （1）利用同底数幂的除法法则进行计算即可； （2）利用同底数幂的除法法则进行计算即可； （3）先利用同底数幂的除法法则进行计算，再利用积的乘方法则进行计算即可； （4）利用同底数幂的除法法则进行计算即可； （5）利用同底数幂的除法法则进行计算即可； （6）利用同底数幂的除法法则进行计算即可； 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5） ； （6） ． 28．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法，逆用幂的乘方，根据，得到，再根据同底数幂的除法，逆用幂的乘方法则计算，即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以． 题型05 异底化同 若，求x的值． 答案： 【思路点拨】解决本题只需要将底数均化为3即可 第一步：异底化同 解：∵． 第二步：代入求值 ∴， 第3步：写出解 解为得 总结：此类题型特点，①底数不同；②底数均为同一个数字或字母的乘方 29．若，则的结果是 ． 【答案】256/ 【分析】本题考查了同底数幂乘法以及幂的乘方的逆用，根据计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：256 30．已知，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．由可得，再根据同底数幂的乘法法则以及逆用幂的乘方运算法则把所求式子变形求解即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：16． 31．已知，，，试比较a，b，c的大小，用“>”将它们连接起来： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则得到，，，据此可得答案． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故答案为：． 32．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和代数式求值，将已知变形得，因此，整体代入代数式即可求出答案． 【详解】解： ， ， ， 即， ， 故答案为：． 33．若，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘方计算，幂的乘方计算，先根据幂的乘方的逆运算法则得到，，进而根据幂的乘方计算法则得到，，再由同底数幂乘法计算法则得到，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 34．已知，，，则、、的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算．解题的关键是利用幂的乘方运算对各式变形，变成底数相同的形式． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故答案为：． 题型06 异指化同 已知，，，，则a，b，c的大小关系是 ．（用符号表示） 答案： 【思路点拨】解决本题只需要利用幂的乘方将指数均化为11，再比较底数大小即可 第一步：异指化同 解∶ ， ， ， 第二步：比较底数大小 ∵， 第三步：得出结论 ∴． 总结：此类题型特点，指数不同；可通过幂的乘法公式将指数变为一致。 35．若，则a、b、c的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了幂运算的性质，根据幂运算的性质把它们变成相同的指数，只需比较它们的底数的大小，底数大的就大． 【详解】解：， ， ， ， ， 即， 故答案为：． 36．已知，，，，则 a、b、c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数乘方的应用，解决本题的关键是熟记有理数的乘方法则．应先将化为指数都为11的乘方形式，再比较底数的大小，即可确定出的大小． 【详解】解：， ， 故选：A 37．已知，则的值 ． 【答案】2006 【分析】根据幂的乘方由得，从而得，再利用多项式的乘法将化为即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方和多项式的乘法，熟练运用幂的乘方由得，是解题的关键． 38．若x，y均为实数，，则 ． 【答案】1 【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则得出，再根据积的乘方法则得出，得出，从而求出答案． 【详解】解：∵， ∴； 又∵， ∴ ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，根据运算法则将式子进行相应的换算是解题的关键． 题型07 规律探究题 39．按一定规律排列的一组数：，…．若表示这组数中连续的三个数，猜想满足的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查数据的排列规律的探究，同底数幂的乘法公式，根据数据的排列特点找到变化的规律是解题的关键． 分析这组数的排列规律：底数都是2，前两个数的指数相加是下一个数的指数，由此根据同底数幂的乘法列式计算即可． 【详解】解：观察数列可发现：， ∴前两个数的积等于第三个数， ∵x、y、z表示这列数中的连续三个数， ∴x、y、z满足的关系式是． 故答案为：． 40．观察下列算式，，，，，，…，通过观察，用你发现的规律，可以得出的末位数字为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了数字的变化规律，幂的乘方，能够通过所给条件，探索出数的规律是解题的关键．计算，通过观察可知每4次运算的尾数循环一次，则的个位数字与的个位数字相同，即可求解． 【详解】解：∵， 由题意可知，，，，，，的个位数字，每4个是一组循环， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同， ∴的个位数字是6， 故答案为：6． 41．观察下列等式：…现有一组数：，如果，那么这组数据的和为 （用含S的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用该规律计算是解题的关键．通过观察，然后根据题中所给规律可进行求解． 【详解】解：由…..；可知： ； ∵， ∴； 故答案为． 42．（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； （2）为了求的值， 可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ，即． 仿照以上推理，计算． 【答案】（1）2，，；（2） 【分析】本题考查数字类规律探索，同底数幂的乘法运算，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，根据题意进行求解． （1）观察可知：第二项与第一项之比为2；第三项与第二项之比为2；第四项与第三项之比为2；所以每一项与前一项之比是2，总结规律得到答案； （2）仿照题干中的求法解答即可． 【详解】（1）解：2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2； ∵， ∴类推得到：， ∴， 故答案为：2，，； （2）解：为了求的值，可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ， 即． 43．为了求的值，可令，然后两边同乘2变成，再让两式相减，因此有，所以，即． 仿照上面的计算的值． 【答案】 【分析】本题是数字类的规律题，也是同底数幂的乘法，根据扩大倍数，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键．设，求出，用，求出的值，进而求出S的值． 【详解】解：设， 则， ， ， ， 即． 题型08 新定义题 44．新定义题  同底数幂的乘法法则为（其中为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数的一种新运算：．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算，同底数幂的乘法，根据新定义运算的含义可得，再进一步计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴， ； 故答案为：． 45．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”． 例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则 ， 即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【答案】(1)2，0，3 (2)，见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键： （1）根据题干规定计算即可得到结论； （2）设，，根据同底数幂的乘法法则即可求解； （3）设，于是得到，即根据“雅对”定义即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：2，0，3； （2）解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：，于是得到，即， ∴，即， ∴． 46．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果，（，且），那么数叫做以为底的对数，记作：，例如：，则，其中的对数叫做常用对数，此时可记为．当，且，，时，，． (1)解方程：， ________； (2)求值：________； (3)计算：________； (4)计算：． 【答案】(1)2 (2)3 (3)1 (4) 【分析】本题考查了新定义下的实数的运算、同底数幂相乘，理解题意的新运算是解此题的关键． （1）由题意可得，求解即可； （2）由结合题意计算即可得解； （3）根据计算即可得解； （4）根据题干所给公式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴； （4）解： ． 47．请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 【答案】(1) 1 (2)3； (3)， 【分析】本题考查新定义，有理数的运算，理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键： （1）根据新定义将，转换成幂的运算求解即可得到答案； （2）根据性质将用表示出来，代入求解即可得到答案； （3）根据，代入求解即可得到答案 【详解】（1）解：∵如果，那么b为n的“劳格数”，记为， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：3； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 48．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使成立的一对有理数为“共生有理数对”，记为，如数对都是“共生有理数对”． (1)判断数对是否为“共生有理数对”，并说明理由； (2)若是“共生有理数对”，且，求的值； (3)若是“共生有理数对”，且，求的值． 【答案】(1)不是，理由见详解 (2)64 (3)16 【分析】（1）根据题目中的定义，可以计算出数对是否为“共生有理数对”； （2）根据是“共生有理数对”，且，可以求得的值； （3）根据是“共生有理数对”，且，可以求得的值； 本题考查新定义，已知式子的值求代数式的值，幂的乘方，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 【详解】（1）解：不是“共生有理数对”， 理由：，， 不是“共生有理数对”； （2）是“共生有理数对”，且， ， 解得， ； （3）解：∵是“共生有理数对”，且， ∴， ∴， 则． 49．阅读下列材料： 材料一：我们知道，个相同的因数相乘，记为．例如，此时，我们将指数3称作以2为底8的对数，记为（即当2为底数且乘方结果为8时的指数，显然，）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即，如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）． 材料二：由材料一可知，若（且，），则，对等式两边同时乘方，有（正整数），即，故． (1)计算以下各对数的值：__________，___________； (2)证明：（且，，），并求． (3)若，求的值 【答案】(1)3，6； (2)证明见详解，2； (3)15 【分析】本题考了整式的混合运算，有理数的乘方，利用阅读材料中的运算法则计算各式，得出关系式是解题的关键． （1）根据对数的定义计算即可； （2）设，，根据对数定义，知，，根据同底数幂的乘法法则得：，结合材料二可得，即可得证；然后利用求解即可； （3）利用（2）中和材料二中进行化简，可得，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 故答案为：3，6； （2）解：设，， 根据对数定义，知，， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：根据题意，得 ， ∵， ∴， ∴， ∴． 50．设，x，y是正整数，定义新运算（如果有括号，规定先算括号里面的）如：，． (1)若，则 ；若，则 ； (2)若且，求x、y的值． 【答案】(1)6； (2) 【分析】本题主要考查了新定义下幂的运算性质，运算律的混合运算和解二元一次方程组， （1）利用新运算的规定列式运算即可； （2）利用新运算的规定列式，再利用幂的运算性质列出关于x，y的方程组，解方程组解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：6；； （2）∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 幂的乘法运算中档培优（8种类型50道题） 考点导航 考点清单 题型01 同底数幂的乘法 1.一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n。 。m个a n个a （m+n）个a 因此，我们有 （m，n都是正整数）。 2.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数 不变 ，指数 相加 。 3.推广： (m，n，p都是正整数）；（m，n都是正整数） 注意： (1)不要忽略指数是1的因式吗，如=; (2)底数可以是单项式,也可以是多项式,当底数是多项式时通常把底数看做一个整体,运用整体思想求解。 1．已知均为正整数，且满足，则取值不可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．已知，则下列给出之间的数量关系式中，错误的是（    ） A． B． C． D． 3．计算： ． 4．已知，，，现给出3个数，，之间的三个关系式： ①；②；③． 其中正确的关系式是 （填序号）． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．若，求的值． 7．（1）已知，求m的值； （2）已知，，求的值． 8．若，求n的值． 题型02 幂的乘方n个am n个m 1.一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n：. 因此，我们有 （m，n都是正整数）。 2.幂的乘方法则：幂的乘方，底数 不变 ，指数 相乘 。 3.推广：= (m，n，p都是正整数）；==（m，n都是正整数）。 4.同底数幂的乘法法则与乘方法则异同点： 注意： (1)应用幂的乘方法则进行计算时，要特别注意符号问题，负数的奇次幂为负，负数的偶次幂为正。 ； (2)①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②法则中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法法则中的“指数相加”的区别。 9．如果，那么 ． 10．若（且，m，n是正整数），则．利用此结论解决下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值． 11．计算： (1)； (2)． 12．解答下列问题： (1)若，求的值； (2)已知为正整数，且，求的值； (3)若，，用含的代数式表示． 13．（1）若，求的值； （2）若，求的值． 14．（1）已知，求的值； （2）已知，求t的值． 15．已知，，求的值． 16．若，求的值． 题型03 积的乘方 1.一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n： .n个 n个a n个b 因此，我们有 （n是正整数）。 2.积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别 乘方 ，再把所得的幂 相乘 。 3.推广：= (n是正整数）；=（n是正整数）。 注意: (1)每个因式都要乘方，不要漏掉任何一个因式； (2)要注意系数连同它的符号一起乘方，尤其当系数是-1时，不可忽略； (3)式子中的a，b可以代表一个单项式，也可以代表一个多项式。 17．若，，则可以表示为 18．计算： ． 19．已知，试说明． 20．（1）已知，求的值； （2）已知，求x的值． 21．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．计算：． 题型04 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数 不变 ，指数 相减 。 用式子表示： (a≠0，m，n都是正整数，且m>n) 注意： (1)底数a≠0，因为0不能做除数； (2)单独的一个字母，其指数是1 ，而不是0； (3)应用同底数幂除法的法则时，底数a可以是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么。 拓展： (a≠0，m，n，p都是正整数，且m>n+p)。 此法则可以逆用，即(a≠0，m，n都是正整数，且m>n) 23．已知，则的值为 ，的值为 ． 24．已知，则的值为 ． 25．若，则 ． 26．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 27．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 28．已知，求的值． 题型05 异底化同 若，求x的值． 答案： 【思路点拨】解决本题只需要将底数均化为3即可 第一步：异底化同 解：∵． 第二步：代入求值 ∴， 第3步：写出解 解为得 总结：此类题型特点，①底数不同；②底数均为同一个数字或字母的乘方 29．若，则的结果是 ． 30．已知，则 ． 31．已知，，，试比较a，b，c的大小，用“>”将它们连接起来： ． 32．已知，则的值为 ． 33．若，，则的值是 ． 34．已知，，，则、、的大小关系是 ． 题型06 异指化同 已知，，，，则a，b，c的大小关系是 ．（用符号表示） 答案： 【思路点拨】解决本题只需要利用幂的乘方将指数均化为11，再比较底数大小即可 第一步：异指化同 解∶ ， ， ， 第二步：比较底数大小 ∵， 第三步：得出结论 ∴． 总结：此类题型特点，指数不同；可通过幂的乘法公式将指数变为一致。 35．若，则a、b、c的大小关系是 ．（用“”连接） 36．已知，，，，则 a、b、c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 37．已知，则的值 ． 38．若x，y均为实数，，则 ． 题型07 规律探究题 39．按一定规律排列的一组数：，…．若表示这组数中连续的三个数，猜想满足的关系式是 ． 40．观察下列算式，，，，，，…，通过观察，用你发现的规律，可以得出的末位数字为 ． 41．观察下列等式：…现有一组数：，如果，那么这组数据的和为 （用含S的代数式表示）． 42．（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； （2）为了求的值， 可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ，即． 仿照以上推理，计算． 43．为了求的值，可令，然后两边同乘2变成，再让两式相减，因此有，所以，即． 仿照上面的计算的值． 题型08 新定义题 44．新定义题  同底数幂的乘法法则为（其中为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数的一种新运算：．若，则 ． 45．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”． 例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则 ， 即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 46．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果，（，且），那么数叫做以为底的对数，记作：，例如：，则，其中的对数叫做常用对数，此时可记为．当，且，，时，，． (1)解方程：， ________； (2)求值：________； (3)计算：________； (4)计算：． 47．请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 48．观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使成立的一对有理数为“共生有理数对”，记为，如数对都是“共生有理数对”． (1)判断数对是否为“共生有理数对”，并说明理由； (2)若是“共生有理数对”，且，求的值； (3)若是“共生有理数对”，且，求的值． 49．阅读下列材料： 材料一：我们知道，个相同的因数相乘，记为．例如，此时，我们将指数3称作以2为底8的对数，记为（即当2为底数且乘方结果为8时的指数，显然，）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即，如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）． 材料二：由材料一可知，若（且，），则，对等式两边同时乘方，有（正整数），即，故． (1)计算以下各对数的值：__________，___________； (2)证明：（且，，），并求． (3)若，求的值 50．设，x，y是正整数，定义新运算（如果有括号，规定先算括号里面的）如：，． (1)若，则 ；若，则 ； (2)若且，求x、y的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$