精品解析：辽宁省鞍山市千山区部分联考2024-2025学年九年级下学期三月学情调查数学试卷

九年级数学学情调查（三月）2025 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的） 1. 有理数在数轴上对应的点如图所示，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，对称轴最多的图形是（ ） A. 等边三角形 B. 正五边形 C. 正方形 D. 平行四边形 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是（ ） A. -2 B. 1 C. 2 D. 3 6. 在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高交点 D. 三条垂直平分线的交点 7. 我国古代数学著《算法统宗》中有这样一个数学问题，其大意是：现有一根竿和一条绳索，若用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；若将绳索对折去量竿，绳索就比竿子短5尺，若设竿长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆上有两点，，连结，分别以，为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点交于点E，交于点F，若，则该圆的半径长是( ) A. 10 B. 6 C. 5 D. 4 9. 一个口袋中装有分别写有“吉祥”“如意”字的小球共20个，它们除此之外完全相同，将口袋中的球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下上面的字后，再放回口袋中搅匀，不断重复这过程，发现摸到“如意”球的频率稳定在0.65左右，则估计这个口袋中“吉祥”球的个数为（ ） A. 13个 B. 14个 C. 6个 D. 7个 10. 如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，则为（ ） A. 5 B. C. D. 6 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 化简：_______． 12. 已知一元二次方程，则方程的根为______． 13. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的表达式是______． 14. 如图，，点是上一点，点与点关于对称，于点，若，则的长为______． 15. 如图，点，是上两点，连接，直径与垂直于点，点在上，连接，，过点作的垂线交于点，交于点，若，，，则的长度为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步㵵或推理过程） 16. （1）计算： （2）解方程：． 17. 我区某学校组织开展了疫情防控知识的培训．为了解学生们对疫情防控知识的学习情况，学校准备采用以下调查方式中的一种进行调查： ①从九年级一班随机选取20名学生作调查对象进行调查； ②从八年级中随机选取200名学生作为调查对象进行调查； ③从全校学生学籍档案中随机抽取300名学生作为调查对象进行调查． 按照一种比较合理调查方式所得到的数据后，学校按成绩分成五个等级，并绘制了如下不完整的统计图． 等级 成绩 （1）上述调查方式中，你认为比较合理的一个是______（填序号）： （2）在学生成绩频数分布直方图中的值为______人； （3）在学生成绩扇形统计图中，D项所在的圆心角的度数为______； （4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有1600名学生估计成绩优秀的学生有多少人？ 18. 如图，在中，是对角线． （1）请你用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，分别交、于点、（不写作法、保留作图痕迹）； （2）判断四边形的形状，并说明理由； （3）若，，则四边形的周长为______． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若． （1）求点坐标及的值； （2）若，求一次函数的表达式． 20. 如图，数学兴趣小组想测量一座古塔的高度（如图①），测量小组使无人机在点处竖直上升后，飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，如图②，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为，点，，，，均在同一竖直平面内，且点，在同一水平线上，．根据以上数据，求古塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 21. 已知二次函数图像经过． （1）求二次函数表达式； （2）设点在该二次函数图像上，求最大值． 22. 新定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“1方程”．例如：方程和为“1方程”． （1）若关于的方程与方程是“1方程”，求的值； （2）若“1方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值； （3）若关于的一元一次方程和是“1方程”，求关于的一元一次方程的解． 23. 在中，，，点在内部，将线段绕点逆时针旋转，得到线段． （1）如图1，连接，若，求的面积； （2）如图2，连接，，．点是线段的中点，连接，若，，求证：， （3）如图3， ①按题意画图：点为平面内一动点，连接，，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接，点是线段的中点，以为直角边，点为直角顶点，在上方作等腰直角三角形，，点为上最靠近点的四等分点，连接． ②在①的条件下，直接写出的最大值______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学学情调查（三月）2025 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的） 1. 有理数在数轴上对应的点如图所示，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟知数轴的特点是解题的关键．根据数轴上各点的位置进行解答即可． 【详解】解：由数轴知：a在原点的左侧， ∴， ∵a到原点的距离大于到原点的距离， ∴，即， ∴． 故选：B． 2. 下列图形中，对称轴最多的图形是（ ） A 等边三角形 B. 正五边形 C. 正方形 D. 平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形里边对称轴的定义，熟练掌握对称轴的定义是解答本题的关键． 依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，从而可以作出正确选择． 【详解】解：等边三角形有条对称轴，正五边形有条对称轴，正方形有条对称轴，一般的平行四边形没有对称轴， 对称轴最多的图形是正五边形， 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法等知识点，熟练掌握相关运算法则和性质是解题的关键．根据积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法逐项判断即可． 【详解】解：A、 ，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项正确，符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 4. 在中，，，，则的值为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，首先利用勾股定理求出，根据在直角三角形中一个锐角的正弦等于这个角的对边比上斜边，可得． 【详解】解：如下图所示， 中，，，， ， ．   故选：D ． 5. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值可以是（ ） A. -2 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由反比例函数的性质得，解得，即可做出判断． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， ∴， 的取值可以是3， 故选：D 【点睛】此题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数经过的象限是解题的关键． 6. 在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三条垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等即可得解． 【详解】解：、、三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，要使游戏公平，那么凳子到三个人额距离相等才行， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点． 故选：D． 【点睛】本题考线段垂直平分线的性质，正确理解游戏的公平性是解题的关键． 7. 我国古代数学著《算法统宗》中有这样一个数学问题，其大意是：现有一根竿和一条绳索，若用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；若将绳索对折去量竿，绳索就比竿子短5尺，若设竿长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系是解题的关键．根据索子和竿子之间的关系，可得出索长为尺，根据“将索子对折去量竿，索子就比竿子短5尺”，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：∵用索去量竿，索比竿长5尺， ∴索长为尺， 又∵将索子对折去量竿，索子就比竿子短5尺， ∴． 故选B． 8. 如图，圆上有两点，，连结，分别以，为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点交于点E，交于点F，若，则该圆的半径长是( ) A. 10 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意知，CD为AB的垂直平分线；设圆的半径为r，根据勾股定理即可求出r的值，r即为所求. 【详解】 由题意可知，分别以，为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点两点 CD为AB的垂直平分线 AE=BE=AB=3，AB⊥CD 设该圆的半径为r AO=OF=r EF=1 OE=OF-EF=r-1 又 AB⊥CD AO2=OE2+AE2 即r2=（r-1）2+32 r=5 该圆的半径为5 故选C 【点睛】本题考查了勾股定理以及线段的垂直平分线，构造直角三角形是解题的关键. 9. 一个口袋中装有分别写有“吉祥”“如意”字的小球共20个，它们除此之外完全相同，将口袋中的球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下上面的字后，再放回口袋中搅匀，不断重复这过程，发现摸到“如意”球的频率稳定在0.65左右，则估计这个口袋中“吉祥”球的个数为（ ） A. 13个 B. 14个 C. 6个 D. 7个 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．解题的关键是根据摸到“如意”球的频率稳定在左右进行求解即可． 【详解】解：设口袋中“如意”球有x个，根据题意，得：， 所以估计口袋中“如意”球有个． 则估计这个口袋中“吉祥”球的个数为个． 故选：D 10. 如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，则为（ ） A. 5 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识．证明，则，再证明，则，得到垂直平分，连接与交于点，得出，，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：连接与交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， 又为公共边， ， ， 又， ∴垂直平分， 正方形的边长为4， ， ， ， 故选：C． 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 化简：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键，将式子通分然后合并同类项即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 已知一元二次方程，则方程的根为______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程；根据两个数的积为0，则其中至少一个为0即可求解，熟练掌握因式分解解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，． 故答案为：，． 13. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移法则是关键．根据抛物线图象的平移法则“左加右减，上加下减”解答即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移1单位长度可得：，再向下平移3单位长度得到 故答案为： 14. 如图，，点是上一点，点与点关于对称，于点，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，直角三角形度角的性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．如图，连接．构造特殊直角三角形解决问题即可． 【详解】解：如图，连接． ∵点与点关于对称， ， ， ， ， ， 在中， 故答案为：． 15. 如图，点，是上两点，连接，直径与垂直于点，点在上，连接，，过点作的垂线交于点，交于点，若，，，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，，由垂径定理可得，，由勾股定理可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，由可得，进而可得，由圆周角定理可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，，令，则，，由可得，进而可得，在中，根据勾股定理可得，即，解得，然后根据即可求出的长． 【详解】解：如图，连接，，， ，且是的直径， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 令，则，， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：或（不合题意，故舍去）， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，求角的正切值，特殊角的三角函数，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，已知正切值求边长，直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步㵵或推理过程） 16. （1）计算： （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程； （1）先根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值、算术平方根和立方根的意义化简，再算乘法，后算加减．； （2）先化为一般形式，然后根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：（1） ． （2） ∴， ∴， ∴，． 17. 我区某学校组织开展了疫情防控知识的培训．为了解学生们对疫情防控知识的学习情况，学校准备采用以下调查方式中的一种进行调查： ①从九年级一班随机选取20名学生作为调查对象进行调查； ②从八年级中随机选取200名学生作为调查对象进行调查； ③从全校学生学籍档案中随机抽取300名学生作为调查对象进行调查． 按照一种比较合理调查方式所得到的数据后，学校按成绩分成五个等级，并绘制了如下不完整的统计图． 等级 成绩 （1）上述调查方式中，你认为比较合理的一个是______（填序号）： （2）在学生成绩频数分布直方图中的值为______人； （3）在学生成绩扇形统计图中，D项所在的圆心角的度数为______； （4）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有1600名学生估计成绩优秀的学生有多少人？ 【答案】（1）③ （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查简单随机抽样，频数分布直方图和扇形统计图、用样本估计总体等知识，明确题意，利用数形结合的思想，找到直方图和扇形图共同表示的量是解题关键． （1）根据题意和抽样调查的特点，可以选出比较合理的调查方式； （2）根据B组求出总人数，用总人数乘以A等级的百分比即可计算出m的值； （3）用乘以D组的百分比即可； （4）用1600乘以80分以上的百分比即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，从全校学生学籍档案中随机抽取300名学生作为调查对象进行调查，比较合理， 故答案为：③； 【小问2详解】 解：（人）， ， 故答案为：18； 【小问3详解】 解：， 故答案为：°； 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计成绩优秀的学生有832人． 18. 如图，在中，对角线． （1）请你用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，分别交、于点、（不写作法、保留作图痕迹）； （2）判断四边形的形状，并说明理由； （3）若，，则四边形的周长为______． 【答案】（1）见解析； （2）四边形是菱形，理由见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，在线段两侧分别得到一个交点，连接两个交点，交于点、，交于点即可； （2）四边形是菱形，连接、，根据平行四边形的性质结合，直线是的垂直平分线，证明，得到，，即可证明； （3）证明，求出，再根据四边形是菱形，即可得解． 【小问1详解】 解：如图所示，直线即为的垂直平分线： 【小问2详解】 解：四边形是菱形，理由如下： 连接、， 四边形是平行四边形， ， ，， 直线是的垂直平分线， ， ， ， ， 四边形是菱形； 【小问3详解】 解： ，， ， ， ， ，， ， ， 四边形是菱形， 四边形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及三角形相似的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，垂直平分线的作法及性质，熟练掌握菱形的判定与平行四边形的性质是解题的关键． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若． （1）求点的坐标及的值； （2）若，求一次函数的表达式． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数图象的交点坐标，掌握两函数图象的交点坐标满足两函数解析式是解题的关键，注意反比例函数中的几何意义的应用． （1）在直线中令可求得点坐标；连接，得，根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解； （2）利用勾股定理求出，设，代入反比例函数，求出点坐标，再利用待定系数法，即可求解． 【小问1详解】 解：在中，令可得，解得， 点坐标为； 连接， 轴， 轴， ， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的图象在二、四象限， ，即：； 【小问2详解】 点， ， 又， 在中，， 轴， 设， ，即，即， 把代入，得：，解得：， ∴一次函数的解析式为：． 20. 如图，数学兴趣小组想测量一座古塔的高度（如图①），测量小组使无人机在点处竖直上升后，飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，如图②，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为，点，，，，均在同一竖直平面内，且点，在同一水平线上，．根据以上数据，求古塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】古塔高度约为 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意求出，再根据等腰直角三角形的性质求出；延长交的延长线于点F，设，用x表示出、，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：由题意可知：， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 如图，延长交的延长线于点， 则四边形为矩形， ∴， 设， 则， 在中，， 则， ∴， 中，， ， ∴，即， 解得：， 答：古塔的高度约为． 21. 已知二次函数图像经过． （1）求二次函数的表达式； （2）设点在该二次函数图像上，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，熟练掌握待定系数法，把二次函数的一般式化为顶点式是解决问题的关键. （1）把点A的坐标代入解析式求出c即可得到结论; （2）把点代入二次函数解析式得到，代入，求二次函数的最值即可. 【小问1详解】 二次函数图象经过， ， 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 点在该二次函数图象上， ， ， ，开口向上 的最大值为 22. 新定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“1方程”．例如：方程和为“1方程”． （1）若关于的方程与方程是“1方程”，求的值； （2）若“1方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值； （3）若关于的一元一次方程和是“1方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义： （1）先解方程得，根据“1方程”的定义得到关于的方程的解为，则，解得； （2）由题意得，另一个解为，则根据“1方程”的定义得到或，解方程即可得到答案； （3）先解方程得：，根据“1方程”的定义得到关于的方程的解为，进而得到关于的方程的解为，即可求解． 【小问1详解】 解：解方程得， ∵关于的方程与方程是“1方程”， ∴关于的方程的解为， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得，另一个解为， ∵“1方程”的两个解的差为8， ∴或， 解得或； 【小问3详解】 解：解方程得：， ∵关于的一元一次方程和是“1方程”， ∴关于的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， 即的解为， ∴关于的方程的解为 解得： 23. 在中，，，点在内部，将线段绕点逆时针旋转，得到线段． （1）如图1，连接，若，求的面积； （2）如图2，连接，，．点是线段的中点，连接，若，，求证：， （3）如图3， ①按题意画图：点为平面内一动点，连接，，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接，点是线段的中点，以为直角边，点为直角顶点，在上方作等腰直角三角形，，点为上最靠近点的四等分点，连接． ②在①的条件下，直接写出的最大值______． 【答案】（1） （2）见解析 （3）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）求含有等腰三角形的面积，作高线，进而求解即可； （2）延长到，使，则，连接、，先证明，再证明，最后证明，再根据已知条件证即可得证； （3）根据题意知点在以为圆心为半径的圆上运动，证明，所以点在以点圆心，以为半径的定圆上运动，当最大时，过点，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段，， ∴，， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴的面积为； 【小问2详解】 证明：如图，延长到，使，则，连接、， ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问3详解】 ①如图所示， ②解：∵沿所在直线翻折至所在平面内得到， ∴， 如图，点是以为圆心为半径的圆上运动，过点作于点，在射线线上截取， ∵，， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，，，， ∴， ∴， ∴是个定值， ∴点在以点圆心，以为半径的定圆上运动， 连接，当过点，取得最大值，如图所示， ∵，，，，点为上最靠近点的四等分点， ∴，，则 ∴， ∴取得最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，旋转和轴对称的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定；求一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$