精品解析：2025年贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县中考数学模拟试卷

2025年初中学业水平考试适应性训练试题 数学试卷 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．本卷为数学试题卷，全卷共6页，三大题25小题，满分150分，考试时间为120分钟． 2．一律在《答题卡》相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每题3分，共36分． 1. 的相反数是（　　） A. 3 B. ﹣3 C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，数轴上表示是某不等式组的解集，该不等式组可能是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（　　） A. B. C. D. 6. 如图是红军长征路线图，如果表示会宁会师的点的坐标为，表示吴起镇会师的点的坐标为，则表示瑞金的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下表所示，一般地，在相同条件下，2000粒油菜籽中不能发芽的约有（ ） 油菜籽粒数n 100 200 400 600 800 1000 发芽的粒数m 95 193 382 582 768 961 发芽的频率 0.95 0.965 0.955 0.97 0.96 0.961 A. 1920粒 B. 960粒 C. 80粒 D. 40粒 8. 如图所示，矩形的两条对角线相交于点，，，则对角线的长是（ ） A B. C. D. 9. 为估计某地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊分别做上标志，然后放回，待有标志的黄羊完全混合于黄羊羊群后，第二次捕捉60只黄羊，发现其中两只有标志，从而估计该地区有黄羊（ ）只． A. 1200 B. 400 C. 200 D. 600 10. 如图，圆心重合的两圆半径分别为4、2，，则阴影部分图形的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右边不能放的是（ ） A. ▲▲▲▲ B. ▲▲▲▲▲ C. ●●▲ D. ●▲▲▲ 12. 已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示： … … … … 抛物线对称轴为直线；抛物线的开口向上；抛物线与轴的交点坐标为；该函数图象向上平移个单位后经过原点；当时，的取值范围是，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 比较两数的大小：______3．（填“<”或“>”） 14. 如图，中，，是边上一点，点在线段的垂直平分线上，连接，若，则___________度． 15. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，那么木头长 ___________尺． 16. 如图，在矩形中，，点E在边上， ，在矩形内找一点P，使得，则线段的最小值为______． 三、解答题（本大题共9题，共98分．） 17. （1）计算：； （2）下面是小明同学化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务．计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 任务一：上述计算过程中，第______步出现错误，发生错误的原因是______； 任务二：请写出该分式正确化简过程． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，）的图象交于A、B两点，B点的坐标为． （1）求两个函数的表达式和A点坐标； （2）根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围． 19. 下表是小明这一学期数学成绩测试记录，根据表格提供的信息，回答下列问题： 测试 平时成绩 期中测试 期末测试 练习一 练习二 练习三 练习四 成绩 88 92 90 86 90 96 （1）小明6次成绩的众数是　　，中位数是　　； （2）若把四次练习成绩的平均分89分作为平时成绩，按照学校规定，本学期的综合成绩的权重如图所示，请求出小明本学期的综合成绩； （3）若从四次练习成绩中随机抽取两次成绩作为平时成绩，则小明抽到两次成绩最好的练习的概率是多少？请用树状图或列表法示意． 20. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求平行四边形的面积． 21. 为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，20本文学名著比20本人物传记多100元． （1）求每本文学名著和人物传记各多少元？ （2）若学校要求购买文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 22. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管， ，试管倾斜角为．（参考数据：） （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度（结果精确到）． 23. 如图，点为上一点，点在直径的延长线上，且，过点作的切线，交的延长线于点. 判断直线与的位置关系，并说明理由； 若，求:①的半径，②的长. 24. 某经销商销售一种成本价为10元/kg的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元/kg．在销售过程中发现销量y（kg）与售价x（元/kg）之间满足一次函数关系，对应关系如下表所示： ⑴求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ⑵若该经销商想使这种商品获得平均每天168元的利润，求售价应定为多少元/kg？ ⑶设销售这种商品每天所获得利润为W元，求W与x之间的函数关系式；并求出该商品销售单价定为多少元时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？ 25. 综合与实践 【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【实践探究】 （2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】 （3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年初中学业水平考试适应性训练试题 数学试卷 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．本卷为数学试题卷，全卷共6页，三大题25小题，满分150分，考试时间为120分钟． 2．一律在《答题卡》相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用计算器． 一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答，每题3分，共36分． 1. 的相反数是（　　） A. 3 B. ﹣3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在一个数前面放上“﹣”，就是该数的相反数． 【详解】解：的相反数为﹣． 故选：D． 【点睛】本题考查了相反数的概念，求一个数的相反数只要改变这个数的符号即可． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A选项不是轴对称图形而是中心对称图形，不符合题意； B选项是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； C选项不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； D选项是中心对称图形也是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方，单项式乘单项式，根据运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，该不等式组可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的步骤和解不等式的依据．分别求出每个不等式组的解集，再结合数轴判断即可得出答案． 【详解】解：由数轴知不等式组的解集为， A选项不等式组的解集为； B选项不等式组的解集为； C选项不等式组的解集为； D选项不等式组无解． 故选：B． 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，其步骤为：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方；把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数． 根据配方法解一元二次方程的步骤即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B ． 6. 如图是红军长征路线图，如果表示会宁会师的点的坐标为，表示吴起镇会师的点的坐标为，则表示瑞金的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．由已知点建立平面直角坐标系，得出原点位置，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 表示瑞金的点的坐标为． 故选：C． 7. 某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下表所示，一般地，在相同条件下，2000粒油菜籽中不能发芽的约有（ ） 油菜籽粒数n 100 200 400 600 800 1000 发芽的粒数m 95 193 382 582 768 961 发芽的频率 0.95 0.965 0.955 0.97 0.96 0.961 A. 1920粒 B. 960粒 C. 80粒 D. 40粒 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了频数与频率，用样本估计总体，根据题意可得：2000粒油某籽中发芽的频率约为0.96，从而可得2000粒油某籽中不能发芽的频率为0.04，然后根据频数=频率×总次数，进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：2000粒油某籽中发芽的频率约为0.96， ∴2000粒油某籽中不能发芽的频率， ∴2000粒油某籽中不能发芽的约（粒）， 故选：C． 8. 如图所示，矩形的两条对角线相交于点，，，则对角线的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的对角线相等且互相平分可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：矩形的两条对角线相交于点， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 9. 为估计某地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊分别做上标志，然后放回，待有标志的黄羊完全混合于黄羊羊群后，第二次捕捉60只黄羊，发现其中两只有标志，从而估计该地区有黄羊（ ）只． A. 1200 B. 400 C. 200 D. 600 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用样本估计总体，解题关键是捕捉60只黄羊，发现其中2只有标志．说明有标记的占到，而有标记的共有20只，根据所占比例． 【详解】解：估计该地区有黄羊只， 故选D． 10. 如图，圆心重合的两圆半径分别为4、2，，则阴影部分图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积公式，关键是找出图中阴影部分面积的计算方法．阴影部分的面积是一个环形，可用大圆中的扇形面积减去小圆中扇形的面积来求得． 【详解】解：所求扇环的圆心角为， 阴影部分图形的面积． 故选：C． 11. 设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右边不能放的是（ ） A. ▲▲▲▲ B. ▲▲▲▲▲ C. ●●▲ D. ●▲▲▲ 【答案】A 【解析】 【分析】设■，●，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c，根据前面两幅图可以得到，进而推出，，由此即可得到答案． 【详解】解：设■，●，▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c， 由左边第一幅图可知①，由中间一幅图可知②， ∴得， ∴， ∴， 由②得，，即 ∴ ∴，故A不正确，B正确， ，故C，D正确， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，正确理解题意得到，是解题的关键． ． 12. 已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示： … … … … 抛物线的对称轴为直线；抛物线的开口向上；抛物线与轴的交点坐标为；该函数图象向上平移个单位后经过原点；当时，的取值范围是，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是掌握二次函数的性质． 根据二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：设，将，，代入得： ， ， ， 对称轴为直线，故错误； ， 开口向上，故正确； 当时，， 与轴的交点坐标为，故正确； 与轴的交点坐标为， 向上平移个单位后经过原点，故正确； ， 顶点坐标为，开口向上， 当时，，当时，， 当时，的取值范围是，故正确， 故选：C． 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13. 比较两数的大小：______3．（填“<”或“>”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 由题意知，，由，可得，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， ， ， 故答案为：． 14. 如图，中，，是边上一点，点在线段的垂直平分线上，连接，若，则___________度． 【答案】15 【解析】 【分析】根据，只要求出即可解决问题． 【详解】解：，， ， 点在线段的垂直平分线上， ， ， ， ， ， 故答案为15． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 15. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，那么木头长 ___________尺． 【答案】6.5 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设木头长尺，则绳子长尺，根据“将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设木头长尺，则绳子长尺， 根据题意得：， 解得， 答：木头长6.5尺． 故答案为：6.5 16. 如图，在矩形中，，点E在边上， ，在矩形内找一点P，使得，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，矩形的性质，关键是判定点P在所对圆周角的圆O上运动． 点P在所对圆周角的圆O上运动，当的延长线过圆心O时，有最小值，连接，，过O作于H，过O作于M，求出，，由等腰三角形的性质推出，，由圆周角定理得到，由，求出，由含30度角的直角三角形的性质得到，判定四边形是矩形，得到，，由勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：点P在所对圆周角的圆O上运动， 当的延长线过圆心O时，有最小值，连接，，过O作于H，过O作于M， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9题，共98分．） 17. （1）计算：； （2）下面是小明同学化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务．计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ．……第三步 任务一：上述计算过程中，第______步出现错误，发生错误的原因是______； 任务二：请写出该分式正确化简过程． 【答案】（1）；（2）任务一：三，分式的分母去掉了；任务二：见解析 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算和异分母分式减法运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，再计算除法，最后计算加减即可； （2）任务一：根据异分母分式减法运算法则逐步判断即可得出答案；任务二：根据异分母分式减法运算法则计算即可得出答案． 详解】解：（1） ； （2）任务一：上述计算过程中，第三步出现错误，发生错误的原因是分式的分母去掉了； 故答案为：三；分式的分母去掉了； 任务二：原式 ． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，）的图象交于A、B两点，B点的坐标为． （1）求两个函数的表达式和A点坐标； （2）根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】（1），， （2）或 【解析】 【分析】（1）把点坐标代入反比例函数，一次函数解析式可求得的值，解析式联立，解方程即可求得的坐标； （2）根据图象即可求得． 【小问1详解】 解：反比例函数图象过， ， 反比例函数， 一次函数，图象过点， ，解得， 一次函数的解析式为， 解方程组，得或， ； 【小问2详解】 由图可知：当反比例函数图像在一次函数图像上方时，对应的x的取值范围是或， ∴当时的取值范围是或． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点、待定系数法求函数解析式以及函数与不等式的关系，求得图象的交点的坐标是解题的关键． 19. 下表是小明这一学期数学成绩测试记录，根据表格提供的信息，回答下列问题： 测试 平时成绩 期中测试 期末测试 练习一 练习二 练习三 练习四 成绩 88 92 90 86 90 96 （1）小明6次成绩的众数是　　，中位数是　　； （2）若把四次练习成绩的平均分89分作为平时成绩，按照学校规定，本学期的综合成绩的权重如图所示，请求出小明本学期的综合成绩； （3）若从四次练习成绩中随机抽取两次成绩作为平时成绩，则小明抽到两次成绩最好的练习的概率是多少？请用树状图或列表法示意． 【答案】（1）90，90 （2）小明本学期的综合成绩为93.5分 （3）小明抽到两次成绩最好的练习的概率是；用树状图示意见解析 【解析】 【分析】本题主要考查列表或画树状图求概率，中位数、众数、平均数的概念，熟练掌握中位数、众数、平均数的概念是解题的关键． （1）根据众数和中位数的概念得出结论即可； （2）根据各种成绩的比例得出综合成绩即可； （3）画出树状图，得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 由题意知，小明6次成绩的众数是90，中位数是， 故答案为：90，90； 【小问2详解】 综合成绩为：（分， 即小明本学期的综合成绩为93.5分． 【小问3详解】 画树状图如下：（练习一、二、三、四的成绩记为A，B，C，D） 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中小明抽到两次成绩最好的练习，两组的有2种结果， 概率为． 20. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求平行四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和角平分线的性质证明四边形是平行四边形，再由可得出结论； （2）先由菱形的性质得出，，，再由勾股定理求出，从而得，即可求得，则，设与之间的距离为h，则可求解菱形的面积平行四边形的面积，而菱形的面积，代入即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形 ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设与之间的距离为h， ∵菱形的面积，平行四边形的面积， ∴菱形的面积平行四边形的面积， ∵菱形的面积， ∴四边形的面积． 21. 为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，20本文学名著比20本人物传记多100元． （1）求每本文学名著和人物传记各多少元？ （2）若学校要求购买文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 【答案】（1）每本文学名著25元，每本人物传记20元 （2）人物传记至多买33本 【解析】 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，属于基础题型．解决这个问题的关键就是找出等量关系和不等式关系． （1），首先设每本文学名著元，每本人物传记元，然后根据题意列出二元一次方程组，从而得出答案； （2），设购买人物传记本，文学名著（）本，根据题意列出不等式，从而求出不等式的解，最后根据m为整数得出答案． 【小问1详解】 解：设每本文学名著元，每本人物传记元， ， 解得， 答：每本文学名著25元，每本人物传记20元． 【小问2详解】 解：设购买人物传记本，文学名著本， ， 解得：， 为整数， ， 答：人物传记至多买33本． 22. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管， ，试管倾斜角为．（参考数据：） （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度（结果精确到）． 【答案】（1）． （2）的长度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题关键． （1）过点E作于点G．可得四边形矩形，推出．根据题意得，．结合，即可求解； （2）过点B分别作于点H，于点P．可推出四边形是矩形，得∴．在中，根据，，即可求解； 【小问1详解】 解：如图，过点E作于点G． ∵， ∴四边形为矩形， ∴． ∵， ， ∴， ∴． 在中，， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点B分别作于点H，于点P． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 易知， 在中， ， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴（）． 答：的长度约为． 23. 如图，点为上一点，点在直径的延长线上，且，过点作的切线，交的延长线于点. 判断直线与的位置关系，并说明理由； 若，求:①的半径，②的长. 【答案】(1) 直线与相切；见解析（2）①3；②6. 【解析】 【分析】（1）首先由圆的性质得出，然后由圆内接直角三角形得出，，进而得出，即可判定其相切； （2）①首先根据根据元的性质得出，，进而可判定，即可得出半径； ②首先由OP、OB得出OC，然后由切线性质得出，再由判定进而利用相似性质构建方程，即可得解. 【详解】直线与相切； 理由:连接， ， ， 是直径， ， ， ， ， 即， 为上的一点， 直线与相切； ①， ， ， ， ， ， ， 圆的半径为; ②， ， ∵过点作的切线交的延长线于点， ， ，即 【点睛】此题主要考查直线和圆的位置关系以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握。即可解题. 24. 某经销商销售一种成本价为10元/kg的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元/kg．在销售过程中发现销量y（kg）与售价x（元/kg）之间满足一次函数关系，对应关系如下表所示： ⑴求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ⑵若该经销商想使这种商品获得平均每天168元的利润，求售价应定为多少元/kg？ ⑶设销售这种商品每天所获得的利润为W元，求W与x之间的函数关系式；并求出该商品销售单价定为多少元时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y=-2x+60，10≤x≤18；（2）16元/kg；（3）W=-2（x-20）2+200，18元，192元． 【解析】 【分析】（1）根据一次函数过（12，36）（14，32）可求出函数关系式，然后验证其它数据是否符合关系式，进而确定函数关系式， （2）根据总利润为168元列方程解答即可， （3）先求出总利润W与x的函数关系式，再依据函数的增减性和自变量的取值范围确定何时获得最大利润，但应注意抛物线的对称轴，不能使用顶点式直接求． 【详解】（1）设关系式为y=kx+b，把（12，36），（14，32）代入得： ， 解得：k=-2，b=60， ∴y与x的之间函数关系式为y=-2x+60， 通过验证（15，30）（17，26）满足上述关系式， 因此y与x之间的函数关系式就是y=-2x+60． 自变量的取值范围为：10≤x≤18． （2）根据题意得：（x-10）（-2x+60）=168， 解得：x=16，x=24舍去， 答：获得平均每天168元的利润，售价应定为16元/kg； （3）W=（x-10）（-2x+60）=-2x2+80x-600=-2（x-20）2+200， ∵a=-2＜0，抛物线开口向下，对称轴为x=20，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ∵10≤x≤18， ∴当x=18时，W最大=-2（18-20）2+200=192元， 答：W与x之间的函数关系式为W=-2（x-20）2+200，当该商品销售单价定为18元时，才能使经销商所获利润最大，最大利润是192元． 【点睛】考查一次函数、二次函数的性质，求出相应的函数关系式和自变量的取值范围是解决问题的关键，在求二次函数的最值时，注意自变量的取值范围，容易出错． 25. 综合与实践 【思考尝试】 （1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【实践探究】 （2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题； 【拓展迁移】 （3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题． 【答案】（1）四边形是正方形，证明见解析；（2）；（3），证明见解析； 【解析】 分析】（1）证明，可得，从而可得结论； （2）证明四边形是矩形，可得，同理可得：，证明，，，证明四边形是正方形，可得，从而可得结论； （3）如图，连接，证明，，，，可得，再证明，可得，证明，可得，从而可得答案． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． （2）∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可得：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． （3）如图，连接， ∵，正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线，构建相似三角形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$