热点04 二次函数的图象与性质（9大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（山东专用）

热点04 二次函数的图象与性质 中考数学中二次函数的图象与性质部分主要考向分为三类： 一、二次函数的图象（每年1~2道，3~6分） 二、二次函数的性质（每年1~2道，3~6分） 三、二次函数的简单应用（每年1~2题，3~12分） 二次函数的图象与性质的难度中等，题型比较多，选择题、填空题、解答题都可以考察．其中，二次函数的图象问题常考题型是由图象求参数范围，从而判断命题是否正确，综合性较强，灵活性大，熟练掌握图象与系数的关系是关键；在解答题中，常考二次函数的实际应用，第一问往往是根据题意列出解析式，第二问往往考查了函数的最值问题，忽略取值范围是本题的易错点。 考向一：二次函数的图象 【题型1 二次函数的图象的选择】 1 a>0时，图象开口向上；a<0时，图象开口向下； 2 a,b同号时，对称轴在y轴左侧；a,b异号时，对称轴在y轴右侧； 3 c>0时，图象交于y轴正半轴； c<0时，图象交于y轴负半轴； 4 b2-4ac>0时，图象与x轴有两个交点；b2-4ac=0时，图象与x轴有一个交点；b2-4ac<0时，图象与x轴没有交点； 1．（2022·山东菏泽·中考真题）根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东滨州·二模）如图，已知二次函数的图象，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   【题型2 二次函数图象与参数】 1 开口方向定a的符号；与y轴交点定c的符号；由对称轴定a、b是否同号；由图象与x轴交点个数定b2-4ac的符号； 2 若已知对称轴具体值，则由 可用a表示b；若已知图象上一点的坐标，代入解析式，则可用a表示c，从而对于ma+nb+pc型式子，都可以转化成多少倍的a，从而可判断符号； 3 a+b+c是时y的值；a-b+c是时y的值；4a+2b+c是时y的值；4a-2b+c是时y的值；9a+3b+c是时y的值；9a-3b+c是时y的值； 1．（2023·山东东营·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线，若点A的坐标为，则下列结论正确的是（        ）    A． B． C．是关于x的一元二次方程的一个根 D．点，在抛物线上，当时 2．（2024·广东惠州·一模）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为．以下结论：①；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2022·山东威海·中考真题）如图，二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图像过点（2，0），下列结论错误的是(   ) A．b＞0 B．a+b＞0 C．x＝2是关于x的方程ax2+bx＝0（a≠0）的一个根 D．点（x1，y1），（x2，y2）在二次函数的图像上，当x1＞x2＞2时，y2＜y1＜0 4．（2022·山东日照·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点（-1，0）．下列结论：①3a+b=0；②若点，（3，y2）是抛物线上的两点，则y1<y2；③10b-3c=0；④若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024·山东青岛·中考真题）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考向二：二次函数的性质 【题型3 二次函数的性质】 1 抛物线对称轴为； 2 a>0时，时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大；a<0时，时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小；因此，抛物线的开口方向和对称轴决定了抛物线的增减性，要确定函数的增减性，需要明确开口方向以及对称轴位置； 3 抛物线的顶点，横坐标为，即对称轴的数值，关于顶点的纵坐标，有三种求法：（1）公式法，即；（2）配方法，将解析式整理成顶点式；（3）将代入解析式，求y即可； 4 对于比较两点纵坐标的问题，可以比较两点到对称轴的距离：图象开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大；图象开口向下时，离对称轴越远的点函数值越小。 1．（2022·山东泰安·中考真题）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x -2 -1 0 1 y 0 4 6 6 下列结论不正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线与x轴的一个交点坐标为 D．函数的最大值为 2．（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为 ． 3．（2024·山东德州·中考真题）已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 4．（2022·山东济南·中考真题）抛物线与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点，为图形G上两点，若，则m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 5．（2024·山东济南·二模）已知函数（a为常数），当时，y随x的增大而增大，，是该函数图象上的两点，对任意的和，，总满足，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【题型4 二次函数求最值】 1 若 x可以取任意实数，则函数的最值在顶点处取，即当a>0时，函数有最小值，最小值为顶点的纵坐标，函数没有最大值；当a<0时，函数有最大值，最大值为顶点的纵坐标，函数没有最小值； 2 若x在某范围内取值，则函数的最值不一定在顶点处取，此时最好结合图象，即图象的最高点纵坐标为函数的最大值，图象的最低点纵坐标为函数的最小值； 3 对于 型的最值问题，当 时，函数可能取到最值。 1．（2023·山东泰安·中考真题）二次函数的最大值是 ． 2．（2022·山东淄博·中考真题）若二次函数的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等或互为相反数，则称点为“美丽点”．例如点，，，，都是“美丽点”．已知二次函数的图象上只有三个“美丽点”，其中一个“美丽点”是，当时，函数的最小值为，最大值为2，求的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山东德州·中考真题）已知抛物线，为实数． (1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． (2)如果当时，的最大值为4，求的值． (3)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围． 【题型5 二次函数与方程】 1 当时，解方程可以看作是 函数中，当y=0时，求横坐标的问题；因此， 解方程，可以看作是函数中，当y=d时，求横坐标的问题，或者函数中，当y=0时，求横坐标的问题； 2 当时，图象与x轴有两个交点，则，即有两个不同的实数根；图象与x轴有一个交点，则，即有两个相同的实数根；图象与x轴没有交点，则，即没有实数根，反之亦然。 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023·山东烟台·中考真题）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2023·山东·中考真题）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是三倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2022·山东青岛·中考真题）已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)． (1)求m的值； (2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由． 6．（2023·山东青岛·中考真题）如图，二次函数的图象与正比例函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③关于x的方程的两根为，；④．其中正确的是 ．（只填写序号） 【题型6 二次函数与不等式】 1．（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．(为任意实数) 2．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是．下列结论正确的有（    ） A． B．该抛物线与轴的另一个交点坐标是 C．若点和在该抛物线上，则 D．对任意实数，不等式总成立 3．（2023·山东枣庄·中考真题）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程（）必有一个根大于2且小于3；③若是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数m，都有，其中正确结论的个数是（　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 考向三：二次函数的简单应用 【题型7 面积问题】 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米．    2．（2022·山东威海·中考真题）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值． 【题型8 喷泉问题】 1．（2023·山东·中考真题）城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点处，另一端与路面的垂直高度为1.8米，且与喷泉水流的水平距离为0.3米．点到水池外壁的水平距离米，求步行通道的宽．（结果精确到0.1米）参考数据：        2．（2024年江苏省扬州市宝应县二模数学试题）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为 ． 【题型9 利润问题】 1．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 2．（2024·山东青岛·中考真题）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A樱桃园 第x天的单价、销售量与x的关系如下表： 单价（元/盒） 销售量（盒） 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 40 第4天 44 50 … … … 第x天 10x+10 第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元． B樱桃园 第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图： (1)A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）； (2)求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润单价销售量固定成本） (3)①与x的函数关系式是______； ②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？ (4)这15天中，共有______天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大． 3．（2024·山东济宁·中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式； (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 4．（2022·山东滨州·中考真题）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数． (1)求y关于x的一次函数解析式； (2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润． （建议用时：15分钟） 1．（2023·山东泰安·二模）已知二次函数的图象如图所示，点是坐标系的原点，点是图象对称轴上的点，图象与轴交于点，则下面结论： ①； ②关于的方程的解是； ③当时，； ④当时，； ⑤周长的最小值是． 正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2024·山东济南·模拟预测）已知二次函数的图象与轴交于点，顶点在第三象限，设，则的最小整数解是（    ） A．－4 B．－3 C．2 D．3 3．（2024·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（是常数，且）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山东泰安·二模）已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（　　） A．或4 B．0或6 C．1或3 D．或6 5．（2023·山东烟台·模拟预测）已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山东滨州·模拟预测）抛物线的部分图像如图所示，则当时，的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 7．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，若二次函数图象的对称轴为直线，与轴交于点，与轴交于点A，点，则下列结论：①；②；③当时，；④（的实数）⑤若，为函数图象上的两点，则．其中正确的结论有 ． 8．（2024·山东青岛·三模）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．（2020·山东泰安·二模）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（2023·山东枣庄·模拟预测）如图，抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C．若点A坐标为，则下列结论错误的是（　　） A．二次函数的最大值为 B． C． D． 11．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，坐标平面上有一透明片，透明片上有一抛物线及一点，的坐标．若将此透明片向右、向上移动后，得抛物线的顶点坐标为，则此时的坐标为 ． 12．（2024·山东青岛·一模）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的有 个 ①抛物线的对称轴为直线 ②抛物线的顶点坐标为 ③，两点之间的距离为5 ④当时，的值随值的增大而增大 13．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，抛物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④方程的解为，，其中正确的是 ． 14．（2024·山东青岛·三模）如图，无人机在离地面的A处发现大楼E处出现火灾，同时观察到A点与大楼前的旗杆顶端C及着火点E正好在同一直线上．此时消防员正在其正下方离地面的B处进行喷水灭火，水流近似的呈抛物线形状喷出，且正好经过C，E．已知旗杆离消防员的水平距离是，高度是，大楼离旗杆，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求直线的解析式，并求E点坐标； (2)求抛物线的解析式，并求水喷出的最大高度； (3)由于火势太猛，消防员退后了，要使水仍然能喷到着火点E处，消防员应升高多少米？（期间抛物线形状保持不变） (4)在（3）的条件下，水流能否顺利越过旗杆？请说明理由． 15．（2024·山东济宁·二模）【综合与实践】 矩形种植园最大面积探究 情境 劳动实践基地有一长为12米的墙，研究小组想利用墙和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为S．    分析 要探究面积S的最大值，首先应将另一边用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值． 探究 方案一：将墙的一部分用来替代篱笆 按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分）． 方案二：将墙的全部用来替代篱笆 按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分）． 【解决问题】 根据分析，分别求出两种方案中S的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少？ 16．（2025·山东济宁·模拟预测）某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，周销量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示： 销售单价x（元） … 60 65 70 … 周销量y（盒） … 240 210 180 … (1)求y关于x的函数表达式． (2)当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？ (3)若规定销售单价需满足，则每周至少可获得多少利润？ 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点04 二次函数的图象与性质 中考数学中二次函数的图象与性质部分主要考向分为三类： 一、二次函数的图象（每年1~2道，3~6分） 二、二次函数的性质（每年1~2道，3~6分） 三、二次函数的简单应用（每年1~2题，3~12分） 二次函数的图象与性质的难度中等，题型比较多，选择题、填空题、解答题都可以考察．其中，二次函数的图象问题常考题型是由图象求参数范围，从而判断命题是否正确，综合性较强，灵活性大，熟练掌握图象与系数的关系是关键；在解答题中，常考二次函数的实际应用，第一问往往是根据题意列出解析式，第二问往往考查了函数的最值问题，忽略取值范围是本题的易错点。 考向一：二次函数的图象 【题型1 二次函数的图象的选择】 1 a>0时，图象开口向上；a<0时，图象开口向下； 2 a,b同号时，对称轴在y轴左侧；a,b异号时，对称轴在y轴右侧； 3 c>0时，图象交于y轴正半轴； c<0时，图象交于y轴负半轴； 4 b2-4ac>0时，图象与x轴有两个交点；b2-4ac=0时，图象与x轴有一个交点；b2-4ac<0时，图象与x轴没有交点； 1．（2022·山东菏泽·中考真题）根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【分析】先根据二次函数的图象，确定a、b、c的符号，再根据a、b、c的符号判断反比例函数y与一次函数y＝bx+c的图象经过的象限即可． 【详解】解：由二次函数图象可知a＞0，c＜0， 由对称轴x0，可知b＜0， 所以反比例函数y的图象在一、三象限， 一次函数y＝bx+c经过二、三、四象限． 故选：A． 2．（2023·山东滨州·二模）如图，已知二次函数的图象，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ）    A．   B．   C．   D．   【分析】根据抛物线的图象，判断出c，，的符号，进而判断一次函数、反比例函数的图象的位置即可得出答案． 【详解】解：由抛物线的图象可知：横坐标为的点，即在第一象限， 因此， 所以反比例函数的图象分布在一、三象限； 由于抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，因此，抛物线开口向下，与x轴有两个交点， ， 因此一次函数经过一、二、三象限； 故选：A． 【题型2 二次函数图象与参数】 1 开口方向定a的符号；与y轴交点定c的符号；由对称轴定a、b是否同号；由图象与x轴交点个数定b2-4ac的符号； 2 若已知对称轴具体值，则由 可用a表示b；若已知图象上一点的坐标，代入解析式，则可用a表示c，从而对于ma+nb+pc型式子，都可以转化成多少倍的a，从而可判断符号； 3 a+b+c是时y的值；a-b+c是时y的值；4a+2b+c是时y的值；4a-2b+c是时y的值；9a+3b+c是时y的值；9a-3b+c是时y的值； 1．（2023·山东东营·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线，若点A的坐标为，则下列结论正确的是（        ）    A． B． C．是关于x的一元二次方程的一个根 D．点，在抛物线上，当时 【分析】根据对称轴为得到，即可判断A选项；根据当时，，即可判断B选项；根据当时，即可判断C选项；根据当时，y随着x的增大而增大即可判断D选项． 【详解】解：A．抛物线的对称轴为直线，则，则，即，故选项错误，不符合题意； B．抛物线的对称轴为直线，点A的坐标为，当时，，故选项错误，不符合题意； C．抛物线的对称轴为直线，若点A的坐标为，可得点，当时，，即是关于x的一元二次方程的一个根，故选项正确，符合题意； D．∵抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，y随着x的增大而增大， ∴点，在抛物线上，当时，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．（2024·广东惠州·一模）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为．以下结论：①；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据所给函数图象可得出，，的正负，再结合抛物线的对称性和增减性依次对四个结论进行判断即可． 【详解】解：由所给函数图象可知， ，，， 所以． 故①正确． 因为抛物线的对称轴为直线，且与轴的一个交点坐标为， 所以抛物线与轴的另一个交点坐标为， 将其代入二次函数解析式得， ． 故②正确． 因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 则． 由函数图象可知， 当时，函数值大于零， 所以， 则． 故③正确． 因为抛物线开口向上， 所以抛物线上的点，离对称轴越近，其函数值越小． 又因为， 且， 所以． 故④错误． 故选：C． 3．（2022·山东威海·中考真题）如图，二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图像过点（2，0），下列结论错误的是(   ) A．b＞0 B．a+b＞0 C．x＝2是关于x的方程ax2+bx＝0（a≠0）的一个根 D．点（x1，y1），（x2，y2）在二次函数的图像上，当x1＞x2＞2时，y2＜y1＜0 【分析】根据二次函数的图像和性质作出判断即可． 【详解】解：根据图像知，当时，， 故B选项结论正确，不符合题意， ， ， 故A选项结论正确，不符合题意； 由题可知二次函数对称轴为， ， ， 故B选项结论正确，不符合题意； 根据图像可知是关于的方程的一个根， 故选项结论正确，不符合题意， 若点，在二次函数的图像上， 当时，， 故D选项结论不正确，符合题意， 故选：D． 4．（2022·山东日照·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点（-1，0）．下列结论：①3a+b=0；②若点，（3，y2）是抛物线上的两点，则y1<y2；③10b-3c=0；④若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由对称轴为即可判断①；根据点，（3，y2）到对称轴的距离即可判断②；由抛物线经过点（-1，0），得出a-b+c=0，对称轴，得出，代入即可判断③；根据二次函数的性质以及抛物线的对称性即可判断④． 【详解】解：∵对称轴， ∴b=-3a， ∴3a+b=0，①正确； ∵抛物线开口向上，点到对称轴的距离小于点（3，y2）的距离， ∴y1<y2，故②正确； ∵经过点（-1，0）， ∴a-b+c=0， ∵对称轴， ∴， ∴， ∴3c=4b， ∴4b-3c=0，故③错误； ∵对称轴， ∴点（0，c）的对称点为（3，c）， ∵开口向上， ∴y≤c时，0≤x≤3．故④正确； 故选：C． 5．（2024·山东青岛·中考真题）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到，根据对称轴计算公式得到，即，则在x轴正半轴上；由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与x轴无交点，得到，则点在第二象限，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴在x轴正半轴上； ∵二次函数顶点在第二象限， ∴当时，， ∵二次函数与x轴无交点， ∴， ∴点在第二象限， ∴经过点和点的直线一定经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 考向二：二次函数的性质 【题型3 二次函数的性质】 1 抛物线对称轴为； 2 a>0时，时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大；a<0时，时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小；因此，抛物线的开口方向和对称轴决定了抛物线的增减性，要确定函数的增减性，需要明确开口方向以及对称轴位置； 3 抛物线的顶点，横坐标为，即对称轴的数值，关于顶点的纵坐标，有三种求法：（1）公式法，即；（2）配方法，将解析式整理成顶点式；（3）将代入解析式，求y即可； 4 对于比较两点纵坐标的问题，可以比较两点到对称轴的距离：图象开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大；图象开口向下时，离对称轴越远的点函数值越小。 1．（2022·山东泰安·中考真题）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x -2 -1 0 1 y 0 4 6 6 下列结论不正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线与x轴的一个交点坐标为 D．函数的最大值为 【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可 【详解】解：由题意得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线，该函数的最大值为，故A、B、D说法正确，不符合题意； 令，则， 解得或， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C说法错误，符合题意； 故选C． 2．（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为 ． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出的值即可判断；利用根的判别式即可判断；利用二次函数的性质可判断；利用对称性可判断；画出函数图形可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：把，，代入得， ， 解得， ∴，故正确； ∵，，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， 又∵， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值， ∵与时函数值相等，等于， ∴当时， 的取值范围为，故错误； ∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴，故正确； 由得， 即， 画函数和图象如下： 由，解得，， ∴，， 由图形可得，当或时，，即，故错误； 综上，正确的结论为， 故答案为：． 3．（2024·山东德州·中考真题）已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的增减性． 由题意可得当时，y随x的增大而增大，逐个选项判断函数的增减性，即可额解答． 【详解】解：∵当时，，即， ∴当时，y随x的增大而增大． A、对于函数，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； B、对于，当时，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； C、函数的图象开口向上，对称轴为， 则当，y随x的增大而增大，故该函数符合题意； D、函数的图象开口向下，对称轴为， 则当，y随x的增大而减小，故该函数不合题意． 故选：C 4．（2022·山东济南·中考真题）抛物线与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点，为图形G上两点，若，则m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【分析】求出抛物线的对称轴、C点坐标以及当x=m-1和x=m+1时的函数值，再根据m-1＜m+1，判断出M点在N点左侧，此时分类讨论：第一种情况，当N点在y轴左侧时，第二种情况，当M点在y轴的右侧时，第三种情况，当y轴在M、N点之间时，来讨论，结合图像即可求解． 【详解】抛物线解析式变形为：， 即抛物线对称轴为， 当x=m-1时，有， 当x=m+1时，有， 设(m-1,1)为A点，(m+1,1)为B点， 即点A(m-1,1)与B(m+1,1)关于抛物线对称轴对称， 当x=0时，有， ∴C点坐标为， 当x=m时，有， ∴抛物线顶点坐标为， ∵直线l⊥y轴， ∴直线l为， ∵m-1＜m+1， ∴M点在N点左侧， 此时分情况讨论： 第一种情况，当N点在y轴左侧时，如图， 由图可知此时M、N点分别对应A、B点，即有， ∴此时不符合题意； 第二种情况，当M点在y轴的右侧时，如图， 由图可知此时M、N点满足， ∴此时不符合题意； 第三种情况，当y轴在M、N点之间时，如图， 或者 ， 由图可知此时M、N点满足， ∴此时符合题意； 此时由图可知：， 解得， 综上所述：m的取值范围为：， 故选：D． 5．（2024·山东济南·二模）已知函数（a为常数），当时，y随x的增大而增大，，是该函数图象上的两点，对任意的和，，总满足，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数最值问题，以及不等式性质，弄清楚二次函数的增减性与二次函数的最值何时取到是解题基础．由时，y随x的增大而增大，可得，即；又由二次函数的增减性可知，时，，时，；根据，建立不等式求解，即可解题． 【详解】解：由题意，抛物线开口向上， 当时，y随x的增大而增大， 对称轴直线，即． 抛物线上的点离对称轴越远就越大， 又，即，， ，总满足，， ， 当时，， 当时，． ， ， 解得，， ． 故选：B． 【题型4 二次函数求最值】 1 若 x可以取任意实数，则函数的最值在顶点处取，即当a>0时，函数有最小值，最小值为顶点的纵坐标，函数没有最大值；当a<0时，函数有最大值，最大值为顶点的纵坐标，函数没有最小值； 2 若x在某范围内取值，则函数的最值不一定在顶点处取，此时最好结合图象，即图象的最高点纵坐标为函数的最大值，图象的最低点纵坐标为函数的最小值； 3 对于 型的最值问题，当 时，函数可能取到最值。 1．（2023·山东泰安·中考真题）二次函数的最大值是 ． 【分析】利用配方法把二次函数一般式化为顶点式，即可求解． 【详解】解：利用配方法，将一般式化成顶点式： 二次函数开口向下， 顶点处取最大值， 即当时，最大值为． 故答案为：． 2．（2022·山东淄博·中考真题）若二次函数的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先求得a=1，推出，原式化简得，利用偶次方的非负性，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过P（1，3）， ∴， ∴a=1， ∴二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过Q（m，n）， ∴即， ∴ ， ∵， ∴的最小值为1， 故选：A． 3．（2024·山东济南·二模）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等或互为相反数，则称点为“美丽点”．例如点，，，，都是“美丽点”．已知二次函数的图象上只有三个“美丽点”，其中一个“美丽点”是，当时，函数的最小值为，最大值为2，求的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【分析】将代入可得，再由的图象上只有三个“美丽点”可得对应的一元二次方程必有一个有两个相等的实数根，可求得、，进而可求的取值范围．本题主要考查了函数的新定义问题以及函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，能正确理解题意是解决本题的关键． 【详解】解：一个“美丽点”是， ， ， 的图象上只有三个“美丽点”， 对应的一元二次方程必有一个有两个相等的实数根， 当时，有， ， 化简得：， ，此方程无解， 当时，有， ， 化简得：， ， ， ， 原二次函数为， ， ， 当时，二次函数有最大值为2， 当时，， 关于抛物线的对称轴直线的对称点为， 当时，函数的最小值为，最大值为2， 的取值范围为：． 故选：C． 4．（2024·山东德州·中考真题）已知抛物线，为实数． (1)如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． (2)如果当时，的最大值为4，求的值． (3)点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法求出函数表达式，然后化成顶点式，从而解得答案； （2）先求出函数的对称轴为，判断函数的开口向上，判断出当时，取最大值4，代入从而求得答案； （3）当，，当时，，当交点在线段之间时，那么且，或者当时，，从而解得答案； 【详解】（1）解：该抛物线经过点 解得 顶点坐标为 （2）解： 对称轴为，函数图象开口向上 ， 当时，取最大值4 解得， （3）解： 当， 当时， 当交点在线段之间时，当时， 解得； 当时， 解得； 综上，或． 【题型5 二次函数与方程】 1 当时，解方程可以看作是 函数中，当y=0时，求横坐标的问题；因此， 解方程，可以看作是函数中，当y=d时，求横坐标的问题，或者函数中，当y=0时，求横坐标的问题； 2 当时，图象与x轴有两个交点，则，即有两个不同的实数根；图象与x轴有一个交点，则，即有两个相同的实数根；图象与x轴没有交点，则，即没有实数根，反之亦然。 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴, ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在2、3之间， ∴与x轴的另一个交点在、0之间， ∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误； ∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间， ∴， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴， ∴， ∴．故④错误． 综上，①③正确，共2个． 故选：B． 2．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．①根据图像分别判断，，的符号即可；②将点代入函数即可得到答案；③根据题意可得该函数与轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到；④由，得到，，将代入函数得，从而推出当时，该抛物线与直线的图象无交点，即可判断． 【详解】解：由题图可知，， ，故①正确； 当时，，即，故②正确； 二次函数与轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点的横坐标为5， 多项式，故③错误； 当时，有最大值，即， 当时，抛物线与直线的图象无交点， 即关于x的方程无实数根，故④正确． 综上，①②④正确． 故选：C． 3．（2023·山东烟台·中考真题）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据图象，分别得出a、b、c的符号，即可判断①；根据对称轴得出，再根据图象得出当时，，即可判断②；分别计算两点到对称轴的距离，再根据该抛物线开口向下，在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，即可判断③；将方程移项可得，根据该方程无实数根，得出抛物线与直线没有交点，即可判断④． 【详解】解：①∵该抛物线开口向下， ∴， ∵该抛物线的对称轴在y轴左侧， ∴， ∵该抛物线于y轴交于正半轴， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ②∵， ∴该抛物线的对称轴为直线，则， 当时，， 把得：当时，， 由图可知：当时，， ∴， 故②不正确，不符合题意； ③∵该抛物线的对称轴为直线， ∴到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， ∵该抛物线开口向下， ∴在抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴， 故③正确，符合题意； ④将方程移项可得， ∵无实数根， ∴抛物线与直线没有交点， ∵， ∴．故④正确 综上：正确的有：①③④，共三个． 故选：C． 4．（2023·山东·中考真题）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是三倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】由题意可得：三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求出． 【详解】解：由题意可得：三倍点所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在的范围内，和至少有一个交点， 令，整理得：， 则，解得， ， ∴， ∴或 当时，，即，解得， 当时，，即，解得， 综上，c的取值范围是， 故选：D． 5．（2022·山东青岛·中考真题）已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)． (1)求m的值； (2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由． 【分析】（1）把P(2，4)代入y=x2+mx+m2−3即可求得m的值； （2）首先求出Δ=b2-4ac的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵二次函数y= x2+mx+m2−3图象经过点P(2，4) ， ∴4=4+2m+m2−3， 即m2+2m−3=0， 解得：m1=1，m2=−3， 又∵m>0， ∴m=1； （2）解：由（1）知二次函数y=x2+x−2， ∵Δ=b2−4ac=12+8=9>0， ∴二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点． 6．（2023·山东青岛·中考真题）如图，二次函数的图象与正比例函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③关于x的方程的两根为，；④．其中正确的是 ．（只填写序号） 【分析】依据题意，根据所给图象可以得出，，再结合对称轴，同时令，从而由根与系数的关系，逐个判断可以得解． 【详解】解：由图象可得，，，又， ． ． ①正确． 由题意，令， ． 又二次函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，已知点的横坐标为，点的横坐标为2， 的两根之和为，两根之积为． ，． ． 又， ． ． ②错误，③正确． ，， ． ④错误． 故答案为：①③． 【题型6 二次函数与不等式】 1．（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．(为任意实数) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键； 由图象可知：，，根据抛物线的与x轴的交点可求对称轴，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断选项A、B、C，由当时，函数有最大值，可判断选项D． 【详解】解：A、抛物线开口往下， ， 抛物线与y轴交于正半轴， 抛物线的与x轴的交点是：和 ∴对称轴为， ， ， ，故选项A错误． ∵， ∴，故选项B错误（否则可得，不合题意）． ，， ∴，故选项C错误． 抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 当时，函数值最大为， 当时，， ， ，故选项D正确． 故选：D． 2．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是．下列结论正确的有（    ） A． B．该抛物线与轴的另一个交点坐标是 C．若点和在该抛物线上，则 D．对任意实数，不等式总成立 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据二次函数的图像和性质进行解题即可． 【详解】解：将代入，可得，由图像可知，此时图像在轴上方，故，故选项A正确； 对称轴是直线， 故该抛物线与轴的另一个交点坐标是，故选项B错误； 时，函数有最大值，距离对称轴更近，故，故选项C正确； 时，函数有最大值，故，即不等式总成立，故选项D正确； 故选ACD． 3．（2023·山东枣庄·中考真题）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程（）必有一个根大于2且小于3；③若是抛物线上的两点，那么；④；⑤对于任意实数m，都有，其中正确结论的个数是（　　）    A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①；对称性判断②；增减性，判断③；对称轴和特殊点判断④；最值判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴， ∴， ∴；故①错误； 由图可知，抛物线与轴的一个交点的横坐标的取值范围为：， ∵抛物线关于直线对称， ∴抛物线与轴的一个交点的横坐标的取值范围为：， ∴方程（）必有一个根大于2且小于3；故②正确； ∵， ∴抛物线上的点离对称轴的距离越远，函数值越大， ∵是抛物线上的两点，且， ∴；故③错误； ∵ ∴， 由图象知：，， ∴；故④正确； ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数值最小为：， ∴对于任意实数m，都有， 即：， ∴；故⑤正确； 综上：正确的有3个； 故选C． 考向三：二次函数的简单应用 【题型7 面积问题】 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米．    【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，又墙长为40米，从而可得，故，又菜园的面积，进而结合二次函数的性质即可解答． 【详解】解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 又墙长为40米， ∴． ∴． 菜园的面积， ∴当时，可围成的菜园的最大面积是450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米． 故答案为：450． 2．（2022·山东威海·中考真题）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长25m，木栅栏长47m，在与墙垂直的一边留出1m宽的出入口（另选材料建出入门）．求鸡场面积的最大值． 【分析】设与墙平行的一边为xm（x≤25），则与墙垂直的一边长为m，设鸡场面积为ym2，根据矩形面积公式写出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质求出最值即可． 【详解】解：设与墙平行的一边为xm（x≤25），则与墙垂直的一边长为m，设鸡场面积为ym2， 根据题意，得， ∴当x=24时，y有最大值为288， ∴鸡场面积的最大值为288m2． 【题型8 喷泉问题】 1．（2023·山东·中考真题）城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点处，另一端与路面的垂直高度为1.8米，且与喷泉水流的水平距离为0.3米．点到水池外壁的水平距离米，求步行通道的宽．（结果精确到0.1米）参考数据：        【分析】先以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，，设设抛物线的解析式为，把代入，求得，即，再求出点D的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，      由题意知：，， ∵抛物线的最高点B， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， 解得：， ∴， ∴ (米)， 答：步行通道的宽的长约为3.2米． 2．（2024年江苏省扬州市宝应县二模数学试题）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为 ． 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 水管的高度为， 故答案为：． 【题型9 利润问题】 1．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （2）令，得到关于的一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； ∵每辆轮椅的利润不低于180元， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，每天的利润最大，为元； 答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元； （2）当时，， 解得：（不合题意，舍去）； ∴（辆）； 答：这天售出了64辆轮椅． 2．（2024·山东青岛·中考真题）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A樱桃园 第x天的单价、销售量与x的关系如下表： 单价（元/盒） 销售量（盒） 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 40 第4天 44 50 … … … 第x天 10x+10 第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元． B樱桃园 第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图： (1)A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）； (2)求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润单价销售量固定成本） (3)①与x的函数关系式是______； ②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？ (4)这15天中，共有______天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用： （1）设出对应的函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求结合利润单价销售量固定成本进行求解即可； （3）①利用待定系数法求解即可；②根据前面所求求出的结果，再利用二次函数的性质求解即可； （4）根据题意建立不等式，求出不等式的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：第天的单价与满足的一次函数关系式为， 把代入中得， ∴， ∴第天的单价与满足的一次函数关系式为， ∴A樱桃园第x天的单价是元/盒， 故答案为：； （2）解：由题意得， （3）解：①把代入中得：， 解得， ∴； ②∵，， ∴ ， ∵，且（x为正整数）， ∴当时，有最大值，最大值为4800， ∴第10天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是4800元； （4）解：当时，则， ∴， ∴， ∴， ∵x的正整数解有4个， ∴这15天中，共有4天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大． 3．（2024·山东济宁·中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式； (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）设这段时间内y与x之间的函数解析式为，函数经过，，可以利用待定系数法建立二元一次方程组，即可求出解析式； （2）根据销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，建立一元一次不等式组，即可求出销售单价的取值范围，要求最大利润，首先设获得利润为，写出关于的二次函数解析式，根据二次函数的增减性和的取值范围，即可求出获得利润的最大值 【详解】（1）解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为， 由图象可知，函数经过，， 可得，解得， 这段时间内y与x之间的函数解析式为； （2）解：销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件， ，， 即，解得， 设获得利润为，即， 对称轴， ，即二次函数开口向下，的取值范围是， 在范围内，随着的增大而增大， 即当销售单价时，获得利润有最大值， 最大利润元． 4．（2022·山东滨州·中考真题）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数． (1)求y关于x的一次函数解析式； (2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润． 【分析】（1）设，把，和，代入求出k、b的值，从而得出答案； （2）根据总利润=每件利润×每月销售量列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得答案． 【详解】（1）解：设，把，和，代入可得 ， 解得， 则； （2）解：每月获得利润 ． ∵， ∴当时，P有最大值，最大值为3630． 答：当价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元． （建议用时：15分钟） 1．（2023·山东泰安·二模）已知二次函数的图象如图所示，点是坐标系的原点，点是图象对称轴上的点，图象与轴交于点，则下面结论： ①； ②关于的方程的解是； ③当时，； ④当时，； ⑤周长的最小值是． 正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】本题考查了抛物线的图像和性质，利用数形结合的思想求解即可． 【详解】把代入，解得：，故①正确； ∵得对称轴为直线 而抛物线与x轴的一个交点坐标为 ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ∴关于的方程的解是，故②正确； ∵ ∴ 当时，，故③正确； 当时，，故④正确； 作原点关于直线的对称点D， 则 连接交直线于P点， ∵ ∴ 此时的值最小， ∴周长有最小值 ∵ ∴周长最小值为，故⑤正确； 故选：D． 2．（2024·山东济南·模拟预测）已知二次函数的图象与轴交于点，顶点在第三象限，设，则的最小整数解是（    ） A．－4 B．－3 C．2 D．3 【分析】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 先把点代入，求得，则，，根据二次函数的图象顶点在第三象限，则，解得，则，即可求解． 【详解】解：把点代入，得 ， ∴， ∴， ∴， ∵二次函数的图象顶点在第三象限， ∴， ∴， ∴， ∴的最小整数解是3． 故选：D． 3．（2024·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（是常数，且）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像性质，利用待定系数法和根的判别式建立方程求出二次函数解析式作出图像是解题的关键，根据完美点只有一个得到判别式等于0，再根据完美点为，可建立a，b的方程组，解方程组即可得到函数的解析式，画出函数的图形即可得到答案． 【详解】解：当时，， 整理得， 根据题意得， ∵二次函数经过点， ∴， 整理得， 解方程组得， ∴函数的解析式为：， 整理得：， 函数的图像如下：    ∵时，时，解得或，当时，， ∴， 故选：B． 4．（2024·山东泰安·二模）已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（　　） A．或4 B．0或6 C．1或3 D．或6 【分析】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．由解析式可知该函数在时取得最大值5，时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大，根据时，函数的最大值为，可分如下两种情况：①若，时，取得最大值；②若，当时，取得最大值，分别列出关于的方程求解即可． 【详解】解：∵，二次函数关于对称，在时取得最大值5， 时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大， ①若，时，取得最大值， 可得：， 解得：或（舍）； ②若，当时，取得最大值， 可得：， 解得：或（舍）． 综上，的值为或6， 故选：D． 5．（2023·山东烟台·模拟预测）已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，对称轴为直线，开口方向由的正负决定，增减性由开口方向和对称轴共同决定，据此及可求解． 【详解】解：由题意得：二次函数图象的开口向下，对称轴为直线, ∵当时，随的增大而减小， ∴ 故选：C 6．（2025·山东滨州·模拟预测）抛物线的部分图像如图所示，则当时，的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【分析】本题考查的是二次函数与不等式，能根据题意利用数形结合求出的取值范围是解答此题的关键． 先结合图像求出抛物线的对称轴与轴的交点坐标，再利用函数对称性可得，关于对称轴的对称点是，结合图像即可而出结论． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的交点坐标为， ∴关于对称轴的对称点是， ∴当时，或． 故选：B． 7．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，若二次函数图象的对称轴为直线，与轴交于点，与轴交于点A，点，则下列结论：①；②；③当时，；④（的实数）⑤若，为函数图象上的两点，则．其中正确的结论有 ． 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象与x轴的交点等知识点，根据二次函数的开口方向、对称轴，与y轴交点在正半轴，可判断①；由点B坐标可判断②；由抛物线的对称性求得点A坐标，结合图象可判断③；由抛物线的最高点可判断④；由两个点与对称轴的距离，距离越远，函数值越小可判断⑤；进而可得答案． 【详解】解：∵图象开口向下，与y轴正半轴相交， ∴，， ∵图象的对称轴为直线， ∴，则， ∴，故①正确； ∵函数图象与轴交于点， ∴，故②不正确； ∵二次函数图象的对称轴为直线，点， ∴图象与轴另一个交点A的坐标为， 由图象得：当时，，故③正确； ∵图象的对称轴为直线， ∴当时，y取得最大值， ∴（的实数）， 即（的实数），故④正确； ∵， ∴点B离对称轴比点C远一点， ∴，故⑤不正确； 综上，正确的结论有①③④， 故答案为：①③④． 8．（2024·山东青岛·三模）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行判断，是解题的关键． ①根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③利用最值进行判断；④根据对称性和图象上的点，进行判断；⑤利用对称性进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上，则， ∵对称轴为直线，则， ∴，故②正确 抛物线与轴交于负半轴，则， ∴，故①错误； ∵当时，取得小值， ∴， 当m为任意实数，则，故③正确， ④∵抛物线关于对称， ∴和的函数值相同， 即：， 由图象知，当时，函数值大于0， ∴，故④正确； ⑤当关于对称时：即：时， 对应的函数值相同， 即：， ∴ ∴若，且，则；故⑤正确； 综上所述，正确的是②③④⑤，共4个， 故选：C． 9．（2020·山东泰安·二模）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】本次主要考查了二次函数图像与性质，准确的找出隐含的等量关系和利用数形结合的思想是解题关键．根据抛物线图像的性质得到的范围，根据对称轴和轴上的点可得到两个等量关系，变形替换从而可以判断①②，根据顶点最高可得到③符合题意，由数形结合可得到④不符合题意． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故①符合题意； ∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∵与轴的交点在，，之间包含端点， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ∵顶点坐标 ，抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴对于任意实数，， ∴， ∴，故③符合题意； ∵顶点坐标，且开口向下， ∴直线与抛物线没有交点， ∴关于的方程没有实数根，故④不符合题意． 故选：C． 10．（2023·山东枣庄·模拟预测）如图，抛物线交x轴于点A，B，交y轴于点C．若点A坐标为，则下列结论错误的是（　　） A．二次函数的最大值为 B． C． D． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数a、b、c 的关系是正确判断的前提．根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴、y轴的交点以及过特殊点时相应的系数a、b、c 满足的关系进行综合判断即可． 【详解】解：当时，的值最大；故A不符合题意； 抛物线与x轴的另一个交点为， 当时，；故B不符合题意； 抛物线与x轴有两个不同交点，因此，故选项C不符合题意； 抛物线的对称轴为直线， 因此有：，即；故D符合题意； 故选：D． 11．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，坐标平面上有一透明片，透明片上有一抛物线及一点，的坐标．若将此透明片向右、向上移动后，得抛物线的顶点坐标为，则此时的坐标为 ． 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握点的坐标平移规律为“左减右加，上加下减”是解题的关键． 根据抛物线平移前后的顶点坐标即可判断出其平移方式，从而可得出平移后的点坐标． 【详解】解：抛物线平移前的顶点坐标为，平移后的顶点坐标为， 抛物线是向右平移了个单位，向上平移了个单位， 平移后的点坐标为，即， 故答案为：． 12．（2024·山东青岛·一模）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的有 个 ①抛物线的对称轴为直线 ②抛物线的顶点坐标为 ③，两点之间的距离为5 ④当时，的值随值的增大而增大 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点， ∴ ∴ ∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故①，②不正确，不符合题意； ∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故④不正确，不符合题意； 当时， 即 ∴， ∴，故③正确，符合题意； 正确的有③，共1个， 故答案为：1． 13．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，抛物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④方程的解为，，其中正确的是 ． 【分析】本题考查二次函数，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数图象可知：，，，得出，故①不正确；将点，代入，得出：，再求出，故②不正确；根据函数图象可得，故③正确；把，代入方程，解出方程，故④不正确． 【详解】根据二次函数图象可知：，，， ∴， ∴，故①不正确； 将点，代入得出：， 得出：， ∴， 再代入得出：，故②不正确； ∵， ∴，， ∵， ∴， 根据图象可知：，故③正确； ∵方程， ∴， ∴ ∴故④不正确； 故填③． 14．（2024·山东青岛·三模）如图，无人机在离地面的A处发现大楼E处出现火灾，同时观察到A点与大楼前的旗杆顶端C及着火点E正好在同一直线上．此时消防员正在其正下方离地面的B处进行喷水灭火，水流近似的呈抛物线形状喷出，且正好经过C，E．已知旗杆离消防员的水平距离是，高度是，大楼离旗杆，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求直线的解析式，并求E点坐标； (2)求抛物线的解析式，并求水喷出的最大高度； (3)由于火势太猛，消防员退后了，要使水仍然能喷到着火点E处，消防员应升高多少米？（期间抛物线形状保持不变） (4)在（3）的条件下，水流能否顺利越过旗杆？请说明理由． 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； （1）根据点A、C得坐标运用待定法求出直线的解析式，再根据，令，求出y，即可得出结论； （2）设抛物线为，分别将B、C、E坐标代入即可得出解析式，然后化为顶点式即可判断得解； （3）由抛物线形状不变，消防员后退，设出新的抛物线，根据过点E，求出k，可得解析式，然后令即可解答； （4）令代入新的抛物线求出y，比较即可得出结论． 【详解】（1）解：无人机在离地面的A处发现大楼E处出现火灾，旗杆离消防员的水平距离是，高度是， ，． 设直线为， ， ， 直线AC为， 又， 令，则． ． （2）解：由题意知抛物线过，，， 设抛物线为， ， ．， 抛物线为， 当时，y取最大值为． 水喷出的最大高度． （3）由题意，∵抛物线形状保持不变，消防员后退， 可设新抛物线为， 又过，， ， 新抛物线为， 令，则， 又， 消防员应升高4米． （4）解：∵新抛物线为， 令，则． 水流能顺利越过旗杆． 15．（2024·山东济宁·二模）【综合与实践】 矩形种植园最大面积探究 情境 劳动实践基地有一长为12米的墙，研究小组想利用墙和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为S．    分析 要探究面积S的最大值，首先应将另一边用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值． 探究 方案一：将墙的一部分用来替代篱笆 按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分）． 方案二：将墙的全部用来替代篱笆 按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分）． 【解决问题】 根据分析，分别求出两种方案中S的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少？ 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，求出二次函数解析式． （1）设，则，根据矩形面积公式得出，根据，求出最大值即可； （2）设，得出，根据矩形面积公式得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：方案1：∵，则， ∴， ∵， ∴当时，． 方案2：设， 则， ∴． ∵，当时，． ∵， ∴矩形种植园面积最大为． 16．（2025·山东济宁·模拟预测）某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，周销量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示： 销售单价x（元） … 60 65 70 … 周销量y（盒） … 240 210 180 … (1)求y关于x的函数表达式． (2)当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？ (3)若规定销售单价需满足，则每周至少可获得多少利润？ 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用： （1）用待定系数法求解即可； （2）设销售利润为W元，列出W关于x的函数关系式，利用二次函数的性质即可求得最大利润； （3）由（2）每周出售这种糕点所获利润，利用二次函数的性质结合自变量的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：由题意，设y关于x的函数表达式为， ∴． ∴． ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：设销售利润为W元， 由题意，可得每周出售这种糕点所获利润 ， ∵， ∴当时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元； （3）解：由（2）每周出售这种糕点所获利润 又∵， ∴当时，所获利润最小为3000元；当时，所获利润最大为5400元． ∴销售单价需满足，则每周至少可获得3000元的利润． 48 / 50 学科网（北京）股份有限公司 $$