信息必刷卷01（辽宁专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（辽宁专用） 考情速递 中考·新动向：减少机械计算，增加探究性、开放性题目，题目设计更贴近生活，体现数学的应用价值。考察动手能力，如尺规作图等。 中考·新考法：对几何、函数等传统考点，通过逆向思维、多条件组合等方式创新设问。几何证明难度有可能提升。 中考·新情境：题目情境新颖，结合科技、经济等领域的实际问题，考查学生数学建模能力，从材料信息中抽象出方程、函数或几何模型。同时强调跨学科融合，考察综合能力。 命题·大预测：2025年辽宁中考数学将更注重核心素养、实际应用与创新思维，备考需夯实基础、强化思维训练，并关注跨学科融合（如第3题、第6题）与热点问题（如17题“2024年辽宁体育测试新增项目”、18题“AI软件Deepseek”）。考生可多练习探究性、开放性题目，培养多角度分析问题的能力。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图1， 古代叫“斗”， 官仓、 粮栈、 米行、 家里等都是必备的粮食度量用具． 如图2， 是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（    ） A． B． C． D． 2．某种药品的说明书上，贴有如下标签，若要存放该药品，则下列温度符合要求的是（   ） 用法用量：每天不少于，不超过，分次服用 药品规格： /粒 贮藏条件： A． B． C． D． 3．“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台”，这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只在左右，用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 4．如图所示，矩形的两条对角线相交于点，，，则对角线的长是（   ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．老师让小武同学随意配制两种溶液，实验室现有氯化钠、硝酸钾、硝酸钠、氯化铵这四种溶质，若在配制溶液时需将所有溶质溶解，则小武同学配制的两种溶液恰为氯化钠溶液和硝酸钠溶液的概率是（   ） A． B． C． D． 7．环保全称环境保护，是指人类为解决现实的或潜在的环境问题，协调人类与环境的关系，保障经济、社会的持续发展而采取的各种行动的总称．下列环保标志中，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 8．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在菱形中，是的中点、，交于点，如果，那么菱形的周长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，点A、B在y轴上，轴，对角线交于点E，，，反比例函数经过C、E两点，则k的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 二、填空题：本题共5小题，每题3分，共15分。 11．若分式的值为2，则 ． 12．将点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到点，则点的坐标为 ． 13．如图，直线．若，，则的长为 ． 14．如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，下列结论： ①； ②该抛物线与轴的另一个交点坐标是； ③若点和在该抛物线上，则； ④对任意实数，不等式总成立．其中正确的有 ． 15．如图，在矩形中，连接，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线，分别与交于点M、N，连接．若．则四边形的周长为 ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．(10分)计算 (1)； (2)． 17．（8分）2024年辽宁省体育考试新增了球类技能考试：篮球运球，足球运球，排球垫球等．某中学根据本校实际情况需要购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等． (1)篮球和足球的单价各是多少元？ (2)学校计划用不超过10350元购进两种球共100个，其中篮球不少于43个，问学校有哪几种进货方案？ 18．（8分）2025年是中国时代元年，技术已渗透至社会各领域，重塑职业结构、生活方式与个人发展路径．综合实践小组开展了对代表性的两种AI软件“”、“”进行使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（分数用x表示，单位：分，满分100分，分为四个等级：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 抽取的对“”的评分数据中B等级的数据：89，89，88，87，86，86，84； 抽取的对“”的评分数据：100，99，98，98，97，97，97，95，89，88，87，87，86，86，85，84，78，72，69，68． 抽取的对“Deepseek”、“Mauns”的评分统计表                品牌 平均数 中位数 众数 A等级所占百分比 88 b 98 88 87.5 c 抽取的对“”评分的扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_______，_______，______； (2)根据以上数据，你认为哪个软件更受用户的喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)此次测验中，有300人对“”进行评分，260人对“”进行评分，估计此次测验中对“”，“”两种软件评分为A等级的共有多少人？ 19．（8分）当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段.小亮在直播间销售一种进价为每件元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）满足一次函数关系，它们的关系如表： 销售单价x（元） 20 25 40 销售量y（件） 300 250 100 (1)求与之间的函数关系式； (2)该商家每天想获得元的利润，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？ 20．（8分）如图（1）是一台实物投影仪，图（2）是它的示意图，折线表示可转动支架，支架可以伸缩调节，投影探头始终垂直于水平桌面，与始终在同一平面内．已知投影仪的底座高3厘米，支架厘米，探头厘米．    (1)当支架与水平线的夹角为，与支架的夹角为，且时，求探头的端点到桌面的距离．（结果保留一位小数） (2)为获得更好的投影效果，调节支架，如图（3）所示，使得与水平线的夹角为，同时调节支架，使得探头端点与点在同一水平线上，且从点看点的俯角为，此时支架的长度为多少？（结果保留一位小数） （参考数据：，，，，） 21．（8分）如图，为的直径，四边形是矩形，连接，延长交于E，连接． (1)若，，求的长； (2)求证：为的切线． 22．（12分）综合与实践 （1）【探索发现】在中. ，，点为直线上一动点（点不与点，重合），过点作交直线于点，将绕点顺时针旋转得到，连接． 如图（1），当点在线段上，且时，试猜想： ①与之间的数量关系：______； ②______． （2）【拓展探究】 如图（2），当点在线段上，且时，判断与之间的数量关系及的度数，请说明理由． （3）【解决问题】 如图（3），在中，，，，点在射线上，将绕点顺时针旋转得到，连接．当时，直接写出的长． 23．（13分）如图，直线与坐标轴交于B，C两点，抛物线经过B，C两点，与x轴交于点A，连接AC． (1)求抛物线y1的解析式； (2)如图1，点D是直线上方抛物线上的一点，过点D作交于点E，连接，求的最大值； (3)如图2，只将图1中的抛物线向右平移两个单位长度得到新抛物线与x轴正半轴的交点为F，连接，点G是抛物线第二象限上的一点，连接．若，请求出点G的坐标． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（辽宁专用） 考情速递 中考·新动向：减少机械计算，增加探究性、开放性题目，题目设计更贴近生活，体现数学的应用价值。考察动手能力，如尺规作图等。 中考·新考法：对几何、函数等传统考点，通过逆向思维、多条件组合等方式创新设问。几何证明难度有可能提升。 中考·新情境：题目情境新颖，结合科技、经济等领域的实际问题，考查学生数学建模能力，从材料信息中抽象出方程、函数或几何模型。同时强调跨学科融合，考察综合能力。与中国传统文化相结合的试题背景也是辽宁中考的新变化之一。 命题·大预测：2025年辽宁中考数学将更注重核心素养、实际应用与创新思维，备考需夯实基础、强化思维训练，并关注跨学科融合（如第3题、第6题）与热点问题（如17题“2024年辽宁体育测试新增项目”、18题“AI软件Deepseek”）。考生可多练习探究性、开放性题目，培养多角度分析问题的能力。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图1， 古代叫“斗”， 官仓、 粮栈、 米行、 家里等都是必备的粮食度量用具． 如图2， 是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握俯视图的意义是解题的关键．根据俯视图的意义，判断解答即可． 【详解】解：由图知， “斗”的俯视图的是：． 故选：C． 【点睛】将简单几何体的三视图与中国传统文化相结合，是新中考考向之一。 2．某种药品的说明书上，贴有如下标签，若要存放该药品，则下列温度符合要求的是（   ） 用法用量：每天不少于，不超过，分次服用 药品规格： /粒 贮藏条件： A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数大小比较，把贮存条件和选项中的温度比较大小，进而可得出答案． 【详解】解：∵， ∴符合要求的是． 故选B． 【点睛】题目设计更贴近生活，体现数学的应用价值。 3．“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台”，这是诗仙李白眼里的雪花．单个雪花的重量其实很轻，只在左右，用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据科学记数法的表示方法进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为，故A正确． 故选：A． 【点睛】将科学记数法与古诗词相结合，体现学科间融合。 4．如图所示，矩形的两条对角线相交于点，，，则对角线的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的对角线相等且互相平分可得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：矩形的两条对角线相交于点， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 5．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方的运算法则是关键． 根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方的运算法则计算即可求解． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算正确，符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：B ． 6．老师让小武同学随意配制两种溶液，实验室现有氯化钠、硝酸钾、硝酸钠、氯化铵这四种溶质，若在配制溶液时需将所有溶质溶解，则小武同学配制的两种溶液恰为氯化钠溶液和硝酸钠溶液的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来是解题的关键． 运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再找出需要的结果，运用概率公式计算即可． 【详解】解：分别用表示氯化钠、硝酸钾、硝酸钠、氯化铵这四种溶质，列表把所有等可能结果表示如下， 共有12种等可能结果，其中是氯化钠溶液和硝酸钠溶液的结果为，共2种， ∴小武同学配制的两种溶液恰为氯化钠溶液和硝酸钠溶液的概率是， 故选：A ． 【点睛】将科学记数法与化学实验相结合，体现学科间融合。 7．环保全称环境保护，是指人类为解决现实的或潜在的环境问题，协调人类与环境的关系，保障经济、社会的持续发展而采取的各种行动的总称．下列环保标志中，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 8．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设竿长尺，绳索长尺，根据题意，列出方程组即可求解． 【详解】解：设竿长尺，绳索长尺， 由题意可得，， 故选：C． 【点睛】以中国古代数学典籍中的问题为背景，是辽宁新中考方向之一。 9．如图，在菱形中，是的中点、，交于点，如果，那么菱形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例定理，菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键，根据三角形中位线的性质，可得，再根据菱形的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长为：． 故选：A． 10．如图，在矩形中，点A、B在y轴上，轴，对角线交于点E，，，反比例函数经过C、E两点，则k的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键． 设，则，，根据反比例函数经过C、E两点列方程求出，进而可求出k的值． 【详解】解：设， ∵，， ∴，． ∵矩形的对角线交于点E， ∴． ∵反比例函数经过C、E两点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选C． 二、填空题：本题共5小题，每题3分，共15分。 11．若分式的值为2，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查解分式方程，根据题意得分式方程，再求解方程即可． 【详解】解：根据题意可得：， 解得，， 经检验：是原方程的解, 故答案为：9． 12．将点向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移，根据点的平移规则，左减右加，上加下减，求出的值，即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， 故答案为： ． 13．如图，直线．若，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．根据平行线分线段成比例定理可得，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：3． 14．如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，下列结论： ①； ②该抛物线与轴的另一个交点坐标是； ③若点和在该抛物线上，则； ④对任意实数，不等式总成立．其中正确的有 ． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据二次函数的图像和性质进行解题即可． 【详解】解：对称轴是直线， ， 故该抛物线与轴的另一个交点坐标是，故②错误； 将代入，可得， 由图像可知，此时图像在轴上方，故，故①正确； 时，函数有最大值，距离对称轴更近，故，故③正确； 时，函数有最大值， 故，即不等式总成立，故④正确； 故答案为：①③④． 15．如图，在矩形中，连接，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线，分别与交于点M、N，连接．若．则四边形的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查矩形的性质，尺规作图—作垂线，菱形的判定和性质，勾股定理，根据作图可知：垂直平分，证明，得到，推出四边形为菱形，设，在中，利用勾股定理求出的值，进而求出四边形的周长即可． 【详解】解：由作图可知：垂直平分，设，相交于点， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴四边形的周长为． 故答案为：10． 【点睛】尺规作图是近两年中考热点，需要重点关注。 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）先计算乘方、二次根式，再计算加减即可得出答案； （2）先计算括号里面的加法和将除法转化为乘法，再约分即可得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 17．2024年辽宁省体育考试新增了球类技能考试：篮球运球，足球运球，排球垫球等．某中学根据本校实际情况需要购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等． (1)篮球和足球的单价各是多少元？ (2)学校计划用不超过10350元购进两种球共100个，其中篮球不少于43个，问学校有哪几种进货方案？ 【答案】(1)足球的单价为90元，则篮球的单价为120元 (2)共有3种进货方案：方案一：篮球43个，足球个；方案二：篮球44个，足球个；方案三：篮球45个，足球个 【分析】（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据“用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等．”列出方程，即可求解； （2）设购进篮球a个，则购进足球个，根据题意，列出不等式，可得，再设商场获利W元，根据题意，列出关于W与a的函数关系式，再根据一次函数的性质，即可求解． 本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意； ∴， 答：足球的单价为90元，则篮球的单价为120元； （2）解：设购进篮球a个，则购进足球个，根据题意得： ， 解得：， ∵篮球不少于43个， ∴， ∵a为整数， ∴a取43，44，45， 即方案一：篮球43个，足球个； 方案二：篮球44个，足球个； 方案三：篮球45个，足球个； ∴共有3种进货方案。 【点睛】以2024年辽宁省体育考试新增项目为背景，题目设计更贴近生活，体现数学的应用价值。 18．2025年是中国时代元年，技术已渗透至社会各领域，重塑职业结构、生活方式与个人发展路径．综合实践小组开展了对代表性的两种AI软件“”、“”进行使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（分数用x表示，单位：分，满分100分，分为四个等级：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 抽取的对“”的评分数据中B等级的数据：89，89，88，87，86，86，84； 抽取的对“”的评分数据：100，99，98，98，97，97，97，95，89，88，87，87，86，86，85，84，78，72，69，68． 抽取的对“Deepseek”、“Mauns”的评分统计表                品牌 平均数 中位数 众数 A等级所占百分比 88 b 98 88 87.5 c 抽取的对“”评分的扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_______，_______，______； (2)根据以上数据，你认为哪个软件更受用户的喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)此次测验中，有300人对“”进行评分，260人对“”进行评分，估计此次测验中对“”，“”两种软件评分为A等级的共有多少人？ 【答案】(1)15，89，97 (2)“”软件更受用户的喜爱，理由见解析 (3)239人 【分析】本题考查调查与统计，利用样本估计总体，掌握中位数、众数的定义是解题的关键． （1）用1减去A，B，D所占百分数，即可得到；根据中位数定义可求b；根据众数的定义可求c； （2）比较A等级所占百分比或中位数即可； （3）用总人数乘以A等级所占百分比，然后相加即可． 【详解】（1）解：“”的评分数据中B等级数据有7份，占：， ； “”的评分数据中A等级数据份数为：， B等级数据按从大到小顺序排列为：89，89，88，87，86，86，84， 可知“”的评分数据中从大到小排序，第10，11位数据均为89， ； “”的评分数据中97出现了3次，出现的次数最多， ； 故答案为：15，89，97； （2）解：“”软件更受用户的喜爱， 理由：“”评分数据中A等级所占百分比比“”高；（答案不唯一） （3）解：（人） 答：估计此次测验中对“”，“”两种软件评分为A等级的共有239人． 【点睛】将中国AI软件Deepseek融入试题，题目情境新颖。 19．当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段.小亮在直播间销售一种进价为每件元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）满足一次函数关系，它们的关系如表： 销售单价x（元） 20 25 40 销售量y（件） 300 250 100 (1)求与之间的函数关系式； (2)该商家每天想获得元的利润，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？ 【答案】(1)； (2)应将销售单价定为元． 【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用 （1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）直接利用（1）中所求，表示出总利润，进而解方程的得出答案． 【详解】（1）解：设商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系， 根据题意可得：， 解得：， 故与之间的函数关系式为：； （2）解：根据题意可得：， 整理得：， ， 解得：（不合题意，舍去），， 答：应将销售单价定为24元． 20．如图（1）是一台实物投影仪，图（2）是它的示意图，折线表示可转动支架，支架可以伸缩调节，投影探头始终垂直于水平桌面，与始终在同一平面内．已知投影仪的底座高3厘米，支架厘米，探头厘米．    (1)当支架与水平线的夹角为，与支架的夹角为，且时，求探头的端点到桌面的距离．（结果保留一位小数） (2)为获得更好的投影效果，调节支架，如图（3）所示，使得与水平线的夹角为，同时调节支架，使得探头端点与点在同一水平线上，且从点看点的俯角为，此时支架的长度为多少？（结果保留一位小数） （参考数据：，，，，） 【答案】(1)29.7厘米 (2)31.6厘米 【分析】本题考查解直角三角形的应用、勾股定理，添加适当的辅助线，构造直角三角形，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）连接，延长交过点的水平线于点．根据是等腰直角三角形可得厘米，，求出，再解直角三角形得出的长度，从而即可得解； （2）作于点．易得，解直角三角形求出的长，由勾股定理得出的长，再解直角三角形得出的长，从而得出的长，最后由勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接，延长交过点的水平线于点．    由题意得：厘米，，， ∴（厘米），． ∴． ∵始终垂直于水平桌面， ∴． ∴（厘米）． ∵投影仪的底座高3厘米， ∴探头的端点到桌面的距离（厘米）． 答：探头的端点到桌面的距离约为29.7厘米； （2）解：如图，作于点．    ∴． 由题意得：，． ∴． ∵厘米， ∴（厘米）， ∴（厘米）． 由题意得：． ∴（厘米）． ∴（厘米）． 由题意得：， ∴（厘米）． 答：支架的长度大约为31.6厘米． 21．如图，为的直径，四边形是矩形，连接，延长交于E，连接． (1)若，，求的长； (2)求证：为的切线． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）连接，求出圆心角的度数，根据弧长公式即可求解； （2）连接、，根据矩形性质和圆半径相等，推出，进而得到，然后根据，可以推出，最后通过证明即可求解． 【详解】（1）如图：连接， ，且 半径 的长 ． （2）如图：连接、，交于点P， 四边形是矩形 ，， 在中， 在和中 又为的半径 为的切线． 【点睛】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质、弧长公式等众多知识点，熟悉掌握以上知识点是解题关键． 22．综合与实践 （1）【探索发现】在中. ，，点为直线上一动点（点不与点，重合），过点作交直线于点，将绕点顺时针旋转得到，连接． 如图（1），当点在线段上，且时，试猜想： ①与之间的数量关系：______； ②______． （2）【拓展探究】 如图（2），当点在线段上，且时，判断与之间的数量关系及的度数，请说明理由． （3）【解决问题】 如图（3），在中，，，，点在射线上，将绕点顺时针旋转得到，连接．当时，直接写出的长． 【答案】（1）①；②；（2），．理由见解析；（3）的长为1或2． 【分析】（1）由“SAS”△ADF≌△EDB，可得AF=BE，再利用“8字型”字母∠OBE=∠ADO=90°即可解决问题； （2）结论：AF=BF，∠ABE=a．由“SAS”△ADF≌△EDB，即可解决问题； （3）分当点D在线段BC上和当点D在BC的延长线上两种情形讨论，利用平行线分线段成比例可求解． 【详解】解： （1）如图1中，设AB交DE于O． ∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠ABC=45°， ∵DF∥AC， ∴∠FDB=∠C=90°， ∴∠DFB=∠DBF=45°， ∴DF=DB， ∵∠ADE=∠FDB=90°， ∴∠ADF=∠EDB，且DA=DE，DF=DB ∴△ADF≌△EDB（SAS）， ∴AF=BE，∠DAF=∠E， ∵∠AOD=∠EOB， ∴∠ABE=∠ADO=90° 故答案为AF=BE，90°． （2），. 理由：∵， ∴，. ∵， ∴.∴. ∴ ∵，，， ∴. 又∵， ∴. ∴，. ∴，， ∴. （3）1或2. 解：当点在线段上时，过点作交直线于点，如图（1）. ∵，∴. ∵，∴. ∵，∴，. ∵，， ∴. ∵，∴.∴.∴. 又，∴，. 当点在线段的延长线上时，过点作交的延长线于点，如图（2）. ∵， ∴. ∴. ∴. 同理可得. 综上可得，的长为1或2. 【点睛】本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 23．如图，直线与坐标轴交于B，C两点，抛物线经过B，C两点，与x轴交于点A，连接AC． (1)求抛物线y1的解析式； (2)如图1，点D是直线上方抛物线上的一点，过点D作交于点E，连接，求的最大值； (3)如图2，只将图1中的抛物线向右平移两个单位长度得到新抛物线与x轴正半轴的交点为F，连接，点G是抛物线第二象限上的一点，连接．若，请求出点G的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)先根据一次函数求出与坐标轴的交点，再代入二次函数解析式，求解即可； (2)要想求出的最大值，把它转化成求的最大值，根据三角形面积的公式和分割法，把三角形面积变成二次函数的性质，根据二次函数的性质求出最大值即可； (3)根据相关条件先得到是等腰直角三角形，进而得到，求出点的坐标，根据待定系数法求出的解析式，进而把二次函数移动后的解析式和的解析式联立起来求解即可； 【详解】（1）解：直线与坐标轴交于B，C两点， 则点B，C坐标分别为：， 由题意得：， 解得， ∴； （2） 解：连接， ∵， ∴， ∴， 过点D作轴于点M交于点H，设，则， 则， ∴， ， ， ∴，抛物线开口向下， 当，最大值； 即的最大值； （3）解：当时，可得， ∵抛物线向右平移两个单位长度得到新抛物线与x轴正半轴的交点为F， 即， ∴， ∴， 如图，设交于点N，当时， ∴， ∴， ∴， 则点 由点N，F的坐标得，直线的解析式为：， ∴ 解得：，（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，全等三角形的判定和性质，一次函数图像的性质和二次函数的图形性质等知识点，解决此题的关键是要熟练的运用以上知识点． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷（辽宁专用） 数学·参考答案 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B A B B A D C A C 二、填空题：本题共5小题，每题3分，共15分，请把答案直接填写在横线上 11． 9 12．(2,3) 13． 3 14．①③④ 15． 10 三、解答题:本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（10分） 【答案】(1)0 (2) 【解析】（1）解：； （2）解：． 17．（8分） 【答案】(1)足球的单价为90元，则篮球的单价为120元 (2)共有3种进货方案：方案一：篮球43个，足球57个；方案二：篮球44个，足球56个；方案三：篮球45个，足球55个 【解析】（1）解：设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意； ∴， 答：足球的单价为90元，则篮球的单价为120元； （2）解：设购进篮球a个，则购进足球个，根据题意得： ， 解得：， ∵篮球不少于43个， ∴， ∵a为整数， ∴a取43，44，45， 即方案一：篮球43个，足球个； 方案二：篮球44个，足球个； 方案三：篮球45个，足球个； ∴共有3种进货方案。 18．（9分） 【答案】(1)15，89，97 (2)“Deepseek”软件更受用户的喜爱，理由：理由：“Deepseek”评分数据中A等级所占百分比比“Manus”高（答案不唯一） (3)239人 【解析】（1）解：“”的评分数据中B等级数据有7份，占：， ； “”的评分数据中A等级数据份数为：， B等级数据按从大到小顺序排列为：89，89，88，87，86，86，84， 可知“”的评分数据中从大到小排序，第10，11位数据均为89， ； “”的评分数据中97出现了3次，出现的次数最多， ； 故答案为：15，89，97； （2）解：“”软件更受用户的喜爱， 理由：“”评分数据中A等级所占百分比比“”高；（答案不唯一） （3）解：（人） 答：估计此次测验中对“”，“”两种软件评分为A等级的共有239人． 19．（8分） 【答案】(1)； (2)应将销售单价定为元． 【解析】（1）解：设商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系， 根据题意可得：， 解得：， 故与之间的函数关系式为：； （2）解：根据题意可得：， 整理得：， ， 解得：（不合题意，舍去），， 答：应将销售单价定为24元． 20．（8分） 【答案】(1)29.7厘米 (2)31.6厘米 【解析】（1）解：如图，连接，延长交过点的水平线于点．    由题意得：厘米，，， ∴（厘米），． ∴． ∵始终垂直于水平桌面， ∴． ∴（厘米）． ∵投影仪的底座高3厘米， ∴探头的端点到桌面的距离（厘米）． 答：探头的端点到桌面的距离约为29.7厘米； （2）解：如图，作于点．    ∴． 由题意得：，． ∴． ∵厘米， ∴（厘米）， ∴（厘米）． 由题意得：． ∴（厘米）． ∴（厘米）． 由题意得：， ∴（厘米）． 答：支架的长度大约为31.6厘米． 21．（8分） 【答案】(1) (2)见解析 【解析】（1）如图：连接， ，且 半径 的长 ． （2）如图：连接、，交于点P， 四边形是矩形 ，， 在中， 在和中 又为的半径 为的切线． 22．（12分） 【答案】【答案】（1）①；②；（2），．理由见解析；（3）的长为1或2． 【解析】解： （1）如图1中，设AB交DE于O． ∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠ABC=45°， ∵DF∥AC， ∴∠FDB=∠C=90°， ∴∠DFB=∠DBF=45°， ∴DF=DB， ∵∠ADE=∠FDB=90°， ∴∠ADF=∠EDB，且DA=DE，DF=DB ∴△ADF≌△EDB（SAS）， ∴AF=BE，∠DAF=∠E， ∵∠AOD=∠EOB， ∴∠ABE=∠ADO=90° 故答案为AF=BE，90°． （2），. 理由：∵， ∴，. ∵， ∴.∴. ∴ ∵，，， ∴. 又∵， ∴. ∴，. ∴，， ∴. （3）1或2. 解：当点在线段上时，过点作交直线于点，如图（1）. ∵，∴. ∵，∴. ∵，∴，. ∵，， ∴. ∵，∴.∴.∴. 又，∴，. 当点在线段的延长线上时，过点作交的延长线于点，如图（2）. ∵， ∴. ∴. ∴. 同理可得. 综上可得，的长为1或2. 23．（13分） 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）解：直线与坐标轴交于B，C两点， 则点B，C坐标分别为：， 由题意得：， 解得， ∴； （2） 解：连接， ∵， ∴， ∴， 过点D作轴于点M交于点H，设，则， 则， ∴， ， ， ∴，抛物线开口向下， 当，最大值； 即的最大值； （3）解：当时，可得， ∵抛物线向右平移两个单位长度得到新抛物线与x轴正半轴的交点为F， 即， ∴， ∴， 如图，设交于点N，当时， ∴， ∴， ∴， 则点 由点N，F的坐标得，直线的解析式为：， ∴ 解得：，（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，全等三角形的判定和性质，一次函数图像的性质和二次函数的图形性质等知识点，解决此题的关键是要熟练的运用以上知识点． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$