精品解析：河北省沧州市沧县中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

高一年级3月联考 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，，则（ ） A. B. C. 5 D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 9 3. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则（ ） A B. C. 4 D. 4. 在中，点D在线段BC上，且，E是线段AB的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定 6. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 7. 三角板是一种用于几何绘图和测量的工具，如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中，，，，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 若向量，满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组向量中，可以作基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称、中心对称都能给人以美感.已知是以为斜边的等腰直角三角形，，分别以，为直径作两个半圆，得到如图所示的几何图形，是两个半圆弧上的动点，则的值可能是（ ） A. B. 1 C. 8 D. 18 11. 在中，斜边，所在平面内的动点P满足（，且，），则（ ） A. 的取值范围为 B. 动点的运动轨迹是一条射线 C. 动点的运动轨迹经过的重心 D. 取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个物体在力的作用下，从点移动到点，则对该物体所做的功的大小为__________. 13. 如图，A，B，C三点位于同一水平面，A位于B的北偏西30°方向，C位于B的北偏东60°方向，A在C的正西方向，且A，C之间的距离为50米，B处正上方建有一栋楼房，C处正上方建有一座塔，从A处观察塔尖E，测得仰角为45°，从楼房顶D处观察塔尖E，测得仰角为30°，则楼房的高度为__________米. 14. 已知平面向量，，满足，，，其中，且，则的最大值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足，. （1）若与同向，求的坐标； （2）若，求与的夹角. 16. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，. （1）求； （2）若外接圆的半径为，求的周长. 17. 如图，，E是线段AD的中点，过点E的直线MN交线段AB于M，交线段AC于N，，，其中，. （1）用向量，表示. （2）证明：. （3）若，，，且，求m，n的值. 18. 锐角的内角，，的对边分别为，，.已知. （1）求； （2）若，求面积的最大值； （3）若，求周长的取值范围. 19. 定义：非零向量的“特征三角函数”为，向量称为函数的“特征向量”. （1）若，求的“特征向量”的坐标； （2）设向量的“特征三角函数”为，若关于的方程.在上有两个不同的实根，求的取值范围； （3）设向量的“特征三角函数”为，若函数的最小值不小于，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一年级3月联考 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，，则（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量运算的坐标表示，再利用向量模的坐标表示求解. 【详解】由，，得， 所以. 故选：C 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 4 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标公式代入计算即可得到结果. 【详解】由题意可得，解得. 故选：D 3. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理即可得出答案. 【详解】由余弦定理可得，则. 故选：B. 4. 在中，点D在线段BC上，且，E是线段AB的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到向量，再利用向量减法的三角形法则表示出即可求解. 【详解】因为，所以， 则. 故选：A 5. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定的 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理，结合题意，可得边的等量关系与角的不等关系，根据余强定理，可得答案. 【详解】因为，，所以，， 所以，，易知，即， 设，则，，则， 可得，所以是锐角三角形. 故选：C. 6. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据与的夹角为锐角，得出两向量的数量积大于0，且向量不共线，再用向量坐标代入计算即可得解. 【详解】因为，，所以.又与的夹角为锐角， 所以，且与不共线， 则解得，且. 故选：C. 7. 三角板是一种用于几何绘图和测量的工具，如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中，，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，结合向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】 以B为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向， 建立如图所示的直角坐标系. 作，交BA的延长线于点， 由题中数据可得，，，， 则，，. 因为，所以， 则解得故. 故选：B 8. 若向量，满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】设，，利用向量加法的三角形法则得到，从而将的最小值问题转化为△中的最小值问题，再借助三角函数求解即可. 【详解】如图，设，，则，. 过作，垂足为， 则， 即的最小值是2. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组向量中，可以作基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据基底需为不共线的非零向量，依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，因为，不共线，且都是非零向量，所以向量，可以作基底，故A符合题意； 对于B，因为，，则，所以，共线，则向量，不可以作基底，故B不符合题意； 对于C，因为，不共线，且都非零向量，所以向量，可以作基底，故C符合题意. 对于D，因为，，则，所以，共线，则向量，不可以作基底，故D不符合题意. 故选：AC. 10. 对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称、中心对称都能给人以美感.已知是以为斜边的等腰直角三角形，，分别以，为直径作两个半圆，得到如图所示的几何图形，是两个半圆弧上的动点，则的值可能是（ ） A. B. 1 C. 8 D. 18 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意建立标系，利用平面向量数量积的坐标表示，可得.答案 【详解】取线段中点为，连接， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立直角坐标系，如下图： 则，，， 由图易知， 可得，， ， 易知. 故选：BC. 11. 在中，斜边，所在平面内的动点P满足（，且，），则（ ） A. 的取值范围为 B. 动点的运动轨迹是一条射线 C. 动点的运动轨迹经过的重心 D. 的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，可直接利用三角函数定义得到，从而得到其取值范围；对于B，C，D，可取的中点，利用向量三点共线定理可得三点共线，从而判断各个选项正误. 【详解】由题可知，，则， 因为斜边，所以，从而，故A正确； 记的中点为，则，由， 得，因为， 且，，所以三点共线， 且点在的延长线上（包含点），动点的运动轨迹不经过的重心， ，故B，D正确，C不正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个物体在力的作用下，从点移动到点，则对该物体所做的功的大小为__________. 【答案】10 【解析】 【分析】根据两点坐标求出位移向量，再利用向量数量积的坐标运算公式计算力对物体所做的功. 【详解】因为，，所以， 则对该物体所做的功的大小为. 故答案为：10. 13. 如图，A，B，C三点位于同一水平面，A位于B的北偏西30°方向，C位于B的北偏东60°方向，A在C的正西方向，且A，C之间的距离为50米，B处正上方建有一栋楼房，C处正上方建有一座塔，从A处观察塔尖E，测得仰角为45°，从楼房顶D处观察塔尖E，测得仰角为30°，则楼房的高度为__________米. 【答案】25 【解析】 【分析】画出图形，通过作辅助线将空间几何问题转化为平面几何问题通过三角函数即可解决. 【详解】因为位于的北偏西30°方向，位于的北偏东60°方向，在的正西方向，且，之间的距离为50米， 则,,, 所以米. 又从处观察塔尖，测得仰角为45°，所以米. 过作的垂线，垂足为（如图）， 则米，， 所以米， 所以楼房的高度为米. 14. 已知平面向量，，满足，，，其中，且，则的最大值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由可得，两边平方并结合已知可将转化为的函数，再由求函数最大值即可. 【详解】由，得， 两边平方得， 因为，，， 所以， 当时，取得最大值. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足，. （1）若与同向，求的坐标； （2）若，求与的夹角. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，则，通过求向量的模可得，即可得答案； （2）设与的夹角为，由平方得，求得的值，再结合的范围可得答案. 【小问1详解】 因为向量与同向，设， 因为，所以. 所以， 则. 【小问2详解】 因为， 所以. 因为，， 所以， 所以. 设与的夹角为，因为， 所以. 又， 所以向量与的夹角为. 16. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，. （1）求； （2）若外接圆的半径为，求的周长. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理进行边角互化，得到，求出，求出，得到即可. （2）运用正弦定理进行边角互化，求出，再用和角公式计算，最后用正弦定理计算即可. 【小问1详解】 因为，所以. 由正弦定理可知，所以，则. 因为，所以. 因为，所以，所以. 因为，所以. 【小问2详解】 由正弦定理可知， 则，，. 由（1）可知，所以，所以. 由（1）可知，所以，所以. 因为，所以， 则， 故的周长为. 17. 如图，，E是线段AD的中点，过点E的直线MN交线段AB于M，交线段AC于N，，，其中，. （1）用向量，表示. （2）证明：. （3）若，，，且，求m，n的值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3），. 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算，结会图形的几何性质，可得答案； （2）由共线定理的推论，利用与（1）同一组基底表示，建立方程组，可得答案； （3）由题干中给定的数量积，利用同一组基底表示，根据数量积的运算律，可得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 则. 因为E是线段AD的中点，所以. 【小问2详解】 证明：因为M，E，N三点共线，所以. 因为，，所以. 由（1）可知，则， 所以，所以. 【小问3详解】 因为，，所以. 由（1）可知，所以 因为，，，且，所以. 由（2）可知，联立，解得，. 18. 锐角的内角，，的对边分别为，，.已知. （1）求； （2）若，求面积的最大值； （3）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再由两角和的正切公式求出，即可得解； （2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，再由面积公式计算可得； （3）利用正弦定理得到，，从而转化为关于的三角函数，再结合的范围计算可得. 【小问1详解】 由， 可得， 又为锐角三角形，则， 所以， 所以，又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理知，， 当且仅当时，等号成立. 因为，所以， 故的面积， 所以面积的最大值为. 【小问3详解】 由正弦定理知， 所以，，则的周长为. 因为， 所以. 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则， 故周长的取值范围为. 19. 定义：非零向量的“特征三角函数”为，向量称为函数的“特征向量”. （1）若，求的“特征向量”的坐标； （2）设向量的“特征三角函数”为，若关于的方程.在上有两个不同的实根，求的取值范围； （3）设向量的“特征三角函数”为，若函数的最小值不小于，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正弦公式及两角差的余弦公式化简函数解析式，再结合函数的“特征向量”的定义即可求解； （2）将题意转化为关于的方程在上有两个不同的实根，求出的值域，即可得出答案； （3）通过换元法结合同角三角函数的基本关系可得，再进行分类讨论求解的最小值，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）由题意可得， 则的“特征向量”. （2）由题意可得，其中. 因为关于的方程在上有两个不同的实根， 所以关于的方程在上有两个不同的实根. 当时，在上单调递增，在上单调递减. 因为，，， 所以，即. （3）由题意可得. 设， 则，令. 则当，即时，在上单调递增， 则，解得， 又因为，所以； 当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 则，解得，满足题意； 当，即时，在上单调递减， 则，解得， 又因为，所以. 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$