重难点04 圆的综合压轴题综合训练（6大题型+高分技巧+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（四川专用）

重难点04 圆的综合压轴题综合训练 中考数学中《圆的综合压轴题综合训练》部分主要考向分为六类： 一、圆与三角形综合 二、圆与相似三角形综合 三、圆与特殊四边形综合 四、圆与二次函数的综合 五、圆中阴影部分的面积 六、圆中探究创新题 圆的综合应用在四川中考中属于必考题型，此类题型通常会跟三角形、相似三角形、二次函数、特殊四边形等几何考查，难度偏上，多位于几何压轴题位置，此小节帮助广大考试快速了解圆综合在数学试卷中常考题型。 考向一：圆与三角形综合 一、圆与全等三角形的综合 1.圆中全等三角形的构造与证明 题型特点：利用圆的对称性(如直径、弦、切线等)构造全等三角形，常涉及半径相等、圆周角定理等条件。 2.直角三角形与圆的综合 题型特点：结合圆的切线性质(如垂直关系)和直角三角形全等(HL定理)。 3.动态几何中的全等变换 题型特点：涉及旋转(如手拉手模型)、翻折或平移后的图形全等，常以圆为背景。 二、圆与勾股定理综合 1.弦长、半径与距离问题 题型特征：已知圆中弦长、弦到圆心的距离或半径中的两者，求第三量。 解题方法：利用垂径定理(垂直于弦的直径平分弦)构造直角三角形，结合勾股定理计算。 公式：若弦长为l，半径为r，弦心距为d，则； 2.折叠问题 题型特征：圆与折叠图形结合，求折痕长度、未知边长等。 解题方法：①抓住折叠前后图形全等，标记对称点；②构造直角三角形，利用勾股定理列方程。 3.切线性质与勾股定理 题型特征：涉及切线的性质(如切线长定理)与直角三角形结合 解题方法：①连接圆心与切点，形成直角；②利用切线长相等、勾股定理求未知量。 1．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在中，点A，B，C，D为圆周的四等分点，为切线，连接，并延长交于点F，连接交于点G． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)若，，求的值． 2．（2024·四川广元·中考真题）如图，在△ABC中，，，经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 3．（2024·四川自贡·中考真题）在中，，是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F． (1)图1中三组相等的线段分别是，________，________；若，，则半径长为________； (2)如图2，延长到点M，使，过点M作于点N． 求证：是的切线． 4．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在中，，以为直径的与交于点D，点是的中点，连接，．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，点P是上一动点，求的最大值． 5．（2023·四川内江·中考真题）如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交的延长线于点M．    (1)求证：直线是的切线； (2)当时，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，，连接交于点P，求的长． 6．（2023·四川乐山·中考真题）如图，已知是的外接圆，，D是圆上一点，E是延长线上一点，连结，且．    (1)求证：直线是是的切线； (2)若，的半径为3，求的长． 考向二：圆与相似三角形综合 圆与相似三角形综合常考题型 1.切线性质与相似结合 典型特征：涉及切线的判定(如垂直半径)、弦切角定理，结合相似三角形证明线段比例或角度关系。 切线与平行线结合时，常通过同位角、弦切角构造相似关系。 2.垂径定理与相似结合 典型特征：利用垂径定理得出垂直平分关系，结合中点、勾股定理计算线段比例。 3.旋转模型(手拉手模型 ) 典型特征：两个等腰三角形绕公共顶点旋转，形成全等或相似三角形需抓住对应边、角的关系。 技巧：固定对应边比例，通过边角关系(如平行线、公共角)证明相似。 4.折叠与相似结合 典型特征：图形折叠后产生对称性，结合勾股定理和相似三角形求线段长度。 5.圆内接四边形与相似 典型特征：利用圆内接四边形对角互补、外角等于内对角等性质，结合相似求角度或比例。 1．（2024·四川资阳·中考真题）如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，点为线段的中点，，求的长． 2．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，交于，两点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，，求的长和的直径． 3．（2024·四川凉山·中考真题）如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点的直线，交的延长线于点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)连接并延长，分别交于两点，交于点，若的半径为，求的值． 4．（2024·四川德阳·中考真题）已知的半径为5，是上两定点，点是上一动点，且的平分线交于点． (1)证明：点为上一定点； (2)过点作的平行线交的延长线于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若△ABC为锐角三角形，求的取值范围． 5．（2023·四川德阳·中考真题）如图，已知是的直径，点，在上，的延长线与的延长线相交于点，且，．    (1)求证：是的平分线； (2)求的度数； (3)求的值． 6．（2023·四川眉山·中考真题）如图，△ABC中，以为直径的交于点E．平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 7．（2023·四川广安·中考真题）如图，以的直角边为直径作，交斜边于点，点是的中点，连接．    (1)求证：是的切线． (2)若，求的长． (3)求证：． 8．（2023·四川成都·中考真题）如图，以△ABC的边为直径作，交边于点D，过点C作交于点E，连接．    (1)求证：； (2)若，求和的长． 9．（2023·四川凉山·中考真题）如图，是的直径，弦，垂足为点，点是延长线上一点，，垂足为点，．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径和的长． 考向三：圆与特殊四边形综合 特殊四边形包括平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形等，它们除了具有四边形的性质外，还具有特殊的性质。以下是几种特殊四边形的性质和判定： 四边形类型 性质 判定 平行四边形 两组对边分别平行且相等；对角相等；对角线互相平分；是中心对称图形 两组对边分别平行的四边形；两组对边分别相等的四边形；对角线互相平分的四边形；一组对边平行且相等的四边形 矩形 四个角都是直角；对角线相等；既是中心对称图形，又是轴对称图形 有一个角是直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形；有三个角是直角的四边形 菱形 四条边都相等；两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 有一组邻边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形；四条边相等的四边形 正方形 四条边都相等，四个角都是直角；对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角 一组邻边相等、一个角是直角的平行四边形；一组邻边相等的矩形；一个角是直角的菱形 等腰梯形 两腰相等；同一底上的两个角相等；对角线相等；轴对称图形 对角线相等的梯形；同一底上两个角相等的梯形 核心解题技巧 1.圆性质与四边形性质的联动 直径的运用：直径所对的圆周角为90°，可构造直角三角形，结合勾股定理。 切线处理：若题目涉及切线，必连半径证垂直(或利用垂直证切线)，再结合特殊四边形的对称性。 2.数形结合与分类讨论 动态问题：通过画图分析动点在不同位置时图形的变化，注意临界状态(如相切、共线)。 存在性问题：分情况讨论四边形的可能形态，避免漏解(如菱形需邻边相等且对角线垂直)。 3.辅助线策略 构造直角三角形：通过垂径定理、切线性质或直径构造直角三角形，简化计算。 连接对角线：在圆内接四边形中，连接对角线可将问题转化为三角形问题，利用相似或全等。 4.方程思想 线段比例问题：设未知数，利用相似三角形比例关系或勾股定理建立方程。 最值问题：通过几何变换(如对称、旋转)转化为代数最值，或利用二次函数求最值。 1．（2024·四川广元·一模）如图是的直径，弦与相交于点E，与相切于点A，交的延长线于点F，，，． (1)求的度数； (2)求的长度； (3)判定四边形的形状，并证明你的结论． 2．（2023·四川绵阳·一模）如图，在矩形中，，．为射线上一动点，以为直径的交于点，过点作于点． (1)若为的中点，求证：为的切线． (2)若，请直接写出与线段的交点个数及相应的的取值范围． 3．（2023·四川乐山·二模）如图，在矩形中，点O在对角线上，且． (1)判断直线与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，，求的半径． 4．（2024·四川成都·二模）如图，是的直径，与相切于点，过作于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求及的半径长． 5．（2024·四川德阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴正半轴于点A，B，内切于，反比例函数的图象经过点P，交直线于点C，D（C在点D的左侧）． (1)求反比例函数的解析式； (2)过点C，D分别作x轴，y轴的平行线交于点E，求线段的长． 6．（2024·四川达州·一模）如图，为的直径，C为上一点，连接，点E在弧上且，过C作于点D． (1)求证：直线是的切线； (2)若， ，求的长． 7．（2024·四川达州·三模）如图，在四边形中，，，是的外接圆，已知．    (1)求证：是的切线； (2)若，的半径，求的值． 8．（2024·四川成都·一模）在菱形中，以为直径作半圆交于点，交于点． (1)证明：； (2)当菱形的边长为5，，求和的长． 9．（2024·四川广元·二模）如图，以 △ABC的边为直径作，交 BC于点D，过点 D作的切线，交于点F，且 ，延长交于点E，连接． (1)求证: (2)若 ，求的半径. 考向四：圆与二次函数的综合 高频解题技巧 1.几何性质与代数方法的结合 圆的性质：垂径定理、圆周角定理、切线性质(如半径与切线垂直)是解题突破口。 二次函数性质：利用顶点坐标、对称轴x=、与坐标轴交点分析几何关系。 2.坐标系的灵活应用 设点技巧：合理设定关键点坐标(如圆心、抛物线与圆交点)，减少未知数。 对称性分析：利用抛物线对称轴简化计算，例如求对称点坐标。 3.动态问题中的“化动为静” 临界点法：分析动点的极限位置(如圆与抛物线相切时的临界状态)。 参数法：引入参数表示动点轨迹，转化为函数问题求解。 4. 模型化思维 常见模型：一线三等角、手拉手模型、阿基米德折弦定理等，可快速关联解题思路 。 辅助线构造：如连接圆心与切点、作垂线构造直角三角形等。 1．（2023·四川绵阳·一模）如图，已知：中，，，，是边上一点，以点为圆心，为半径的圆与边的另一个交点是点，与边的另一个交点是点，过点作的平行线与圆相交于点，与相交于点，的延长线交于点，连接． (1)求证：； (2)设，的面积为，求关于的函数关系式，并写出定义域． 2．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的图象交轴于，两点（点在点的左侧），过点的直线与抛物线交于另一点，交轴于点，且点的横坐标是，点的坐标是．    (1)求抛物线的函数表达式． (2)过点作交于点，若点是线段上的一个动点，求出当与相似时点的坐标． (3)设抛物线的顶点为，过点的直线交抛物线于另一点，试探究：是否存在常数，使得以为直径的圆过点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 3．（2024·四川广元·二模）如图1，抛物线与x轴交于两点，且点B的坐标为，与y轴交于点C，该抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线和直线的解析式． (2)在抛物线上是否存在点M，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为上的一个动点，连接，求面积的最大值． 4．（2023·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（）和直线． (1)抛物线的对称轴是______；抛物线的顶点坐标为______； (2)设该抛物线与直线的一个交点为，其横坐标为，若，求的取值范围； (3)我们规定若函数图像上存在一点，满足，则称点为函数图像上“圆满点”．例如：直线上存在的“圆满点”，若抛物线（）上存在唯一的“圆满点”，求此时的面积． 5．（2024·四川绵阳·一模）如图，平面直角坐标系中，点O（0，0）、A（1，0），过点A作x轴的垂线交直线y＝x于点B，以O为圆心，OA为半径的圆交y轴于C、D两点，抛物线y＝x2+bx+c经过B、D． (1)求b，c的值； (2)设抛物线的对称轴交x轴于点E，连接DE并延长交⊙O于F，求EF的长； (3)若⊙O交x轴负半轴于点G，过点C作⊙O的切线交DG的延长线于点P． 探究：点P是否在抛物线上？请说明理由． 6．（2024·四川自贡·中考真题）如图，抛物线与x轴交于，两点，顶点为P． (1)求抛物线的解析式及P点坐标； (2)抛物线交y轴于点C，经过点A，B，C的圆与y轴的另一个交点为D，求线段的长； (3)过点P的直线分别与抛物线、直线交于x轴下方的点M，N，直线交抛物线对称轴于点E，点P关于E的对称点为Q，轴于点H．请判断点H与直线的位置关系，并证明你的结论． 7．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线的图象的顶点坐标是，并且经过点，直线与抛物线交于B，D两点，以为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点，直线m上每一点的纵坐标都等于1．    (1)求抛物线的解析式； (2)证明：圆C与x轴相切； (3)过点B作，垂足为E，再过点D作，垂足为F，求的值． 考向五：圆中阴影部分的面积 圆中阴影部分的面积中考常考题型（公式：扇形面积公式，l为扇形所对弧长，n为扇形圆心角,r为扇形所在圆半径） 1.规则图形组合型：扇形与三角形、矩形等组合(如半圆与直角三角形结合) 示例：扇形面积减去三角形面积，或利用圆心角比例计算扇形面积。 2.正多边形与圆结合型：正六边形、正方形等与圆弧构成的阴影(如正六边形外接圆中的扇形面积差)。 技巧：分割正多边形为多个规则图形(如等边三角形、扇形)。 3.旋转与对称图形型：动态阴影问题，如形旋转后的重叠区域。 示例：半圆绕圆心旋转后形成的月牙形阴影，需通过几何变换(平移、旋转)求解。 4.组合图形与重叠区域型：多个圆、半圆或弧线交叉形成的复杂阴影(如“叶形“阴影)。 方法：利用容斥原理，计算各图形面积后加减重叠部分。 1．（2024·四川乐山·中考真题）如图，是△ABC的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． (1)求证：； (2)若垂直平分，，求阴影部分的面积． 2．（2024·四川内江·中考真题）如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点．    (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求阴影部分的面积． 3．（2023·四川巴中·中考真题）如图，已知等腰△ABC，，以为直径作交于点D，过D作于点E，交延长线于点F．    (1)求证：是的切线． (2)若，求图中阴影部分的面积（结果用表示） 4．（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，的直径垂直于弦于点F，点P在的延长线上，与相切于点C． (1)求证：； (2)若的直径为4，弦平分半径，求：图中阴影部分的面积． 5．（2022·四川内江·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF． (1)判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由； (2)若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 6．（2024·四川乐山·二模）如图，的直径垂直于弦，垂足为为延长线上一点，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 7．（2023·四川达州·一模）如图，是⊙的弦，是⊙的直径，是的中点，过点作，连接并延长交的延长线于点，已知． (1)判断与⊙的位置关系，并给予证明； (2)若，，试求阴影部分的面积． 8．（2024·四川乐山·二模）如图，为的直径，，点是上一点，直线垂直平分，交于，延长交的延长线于点．    (1)求证：是的切线； (2)作的平分线交于点．若，，求阴影部分的面积和的长． 9．（2024·四川内江·二模）如图，是的直径，点、是上的点，且，连结，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求弓形的面积（结果保留）； (3)若，，求的长． 考向六：圆中探究创新题 常考探究创新题型 1.新定义几何关系题 示例：如“遥望角”定义题(已知角平分线、外角平分线交点的性质推导角关系)14。 解题关键：将新定义转化为已知几何定理(如角平分线定理、圆周角定理)，结合方程或相似三角形推导。 2.多知识点综合题 常见形式：圆与三角函数、相似三角形、勾股定理结合。例如:利用垂径定理求弦长，结合三角函数求角度； 圆与等边三角形、平行四边形结合，证明线段关系或计算面积。 技巧：通过辅助线构造直角三角形或相似三角形，建立几何量与代数关系。 3.动态几何问题 题型特点：涉及点的运动轨迹(如旋转、平移)，求路径长或临界状态分析。 应对策略：①确定运动中的不变关系(如圆心到定点的距离)；②利用“隐圆模型“分析轨迹；③结合弧长公式计算动态路径。 1．（2023·四川乐山·中考真题）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动 【问题情境】 刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第页“探索”部分内容： 如图，将一个三角形纸板△ABC绕点逆时针旋转到达的位置，那么可以得到：，，；，，（    ）    刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学． 【问题解决】 （1）上述问题情境中“（    ）”处应填理由：____________________； （2）如图，小王将一个半径为，圆心角为的扇形纸板绕点逆时针旋转到达扇形纸板的位置．    ①请在图中作出点； ②如果，则在旋转过程中，点经过的路径长为__________； 【问题拓展】 小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．    2．（2024·四川泸州·一模）如图，为的直径，C为上一点，连接，过C作于点D，过C作，使，其中交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)如图2，点F是上一点，且满足，连接并延长交的延长线于点G． ①试探究线段与之间满足的数量关系； ②若，，求线段的长． 3．（2024·四川南充·一模）如图，在正方形中，P是边上的动点，交延长线于点E，交于点F，连接． (1)求证：； (2)当点P运动到的中点时，试探究线段与的关系，并说明理由； (3)当的面积最大时，求的值． 4．（2023·四川绵阳·一模）如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为点． (1)求证：平分； (2)如图2，若，点是半圆的中点，连接，求的长； (3)如图3，交于点，点是半圆的中点，作于点，交于点，试探究的数量关系． 5．（2023·四川遂宁·一模）定义：如图，若点在直线上，在的同侧有两条以为端点的线段、，满足，则称和关于直线满足“光学性质”； 定义：如图，在△ABC中，的三个顶点、、分别在、、上，若和关于满足“光学性质”，和关于满足“光学性质”，和关于满足“光学性质”，则称为△ABC的光线三角形． 阅读以上定义，并探究问题： 在△ABC中，，，三个顶点、、分别在、、上． (1)如图3，若，和关于满足“光学性质”，求的度数； (2)如图4，在△ABC中，作于，以为直径的圆分别交，于点，．证明：为△ABC的光线三角形． 6．（2024·四川德阳·二模）如图，在△ABC中，且点E为的中点，的平分线交于点M，点O在上，以点O为圆心，的长为半径的圆经过点M，交于点G，交于点F． (1)求证：为的切线； (2)当时，求的半径； (3)试探究线段和之间的数量关系． 7．（2024·四川乐山·二模）在学习完《点与圆的位置关系》后，王老师带领学生开展了一次数学探究活动． 【问题情境】（1）如图1点是外一点，点是上一动点．若的半径为2，且，则点到点的最长距离为 ； 【问题解决】（2）如图2，在中，，以上一点作圆，与都相切，点是上的一个动，连接，求的最小值； 【问题拓展】（3）如图3，的直径为8，弦，点为优弧上的一动点，，交直线于点，求面积的最大值． 8．（2024·四川成都·三模）如图，在中，，，点，分别是，上的点，且满足，连接，若．将△ADE绕点逆时针旋转（旋转过程中不与直线重合），连接，，直线，交于点，连接． (1)如图，若为延长线与延长线交点时，判断与的位置关系，并说明理由； (2)试探究：在旋转过程中，与的位置关系是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； 若，请直接写出的长（用表示）； (3)如图，时，直线与直线相交于点，若，求证：． 9．（2024·四川成都·二模）如图，在中，，点D为边上一点（点D不与B，C重合），且满足．以D为顶点作，射线交边于点E． (1)求证：； (2)过A作，交射线于点G． i）试探究与之间满足的数量关系（用含n的代数式表示）； ii）连接，当时，求的值． 10．（2023·四川内江·一模）如图，为的切线，A为切点，直线交于点E，F过点A作的垂线垂足为D，交于点B，延长与交于点C，连接，． (1)求证：与相切； (2)是探究线段，，之间的数量关系，并加以证明； (3)若，求的值． （建议用时：90分钟） 1．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在中，，以为直径的交边于点D，过点C作的切线，交的延长线于点E．    (1)求证：； (2)若，，求的半径． 2．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，，过点的直线l交的延长线于点，交的延长线于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)当，时，求的长． 3．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，以为直径的上有两点、，，过点作直线交的延长线于点，交的延长线于点，过作平分交于点，交于点．    (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)如果是的中点，且，求的长． 4．（2023·四川泸州·中考真题）如图，是的直径，，的弦于点，．过点作的切线交的延长线于点，连接．    (1)求证：平分； (2)为上一点，连接交于点，若，求的长． 5．（2023·四川达州·中考真题）如图，内接于是延长线上的一点，，相交于点．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 6．（2022·四川巴中·中考真题）四边形内接于，直径与弦交于点，直线与相切于点． (1)如图1，若，且，求证：平分； (2)如图2，连接，若，求证：△OAB∽△CDE． 7．（2024·四川成都·二模）如图，在△ABC中，，以为直径作圆O，分别交于点D，交的延长线于点E，过点D作于点H，连接交线段于点F． (1)求证：是圆O的切线； (2)若，求圆O的半径． 8．（2024·四川泸州·一模）如图，是△ABC的外接圆，为直径，的平分线交于点D，过点D作分别交、的延长线于点E、F． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)连接，交于点P，若，求的长度． 9．（2025·四川成都·一模）如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，点为线段的中点，，求的长． 10．（2025·四川成都·一模）已知点是以为直径的圆上一点，连结，在上截取，连结并延长交圆于点，连结，设． (1)如图1，若时，求度数； (2)如图2，过点作，证明：； (3)如图3，若，连结并延长，交的延长线于点，设的面积为，设面积为，用含的代数式表示． 11．（2025·四川泸州·一模）如图，是的外接圆，为直径，的平分线交于点，过点作分别交、的延长线于点、． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)连接，交于点，若，，求的长度． 12．（2023·四川达州·二模）如图①，已知是⊙的直径，点是⊙上一点，的平分线交⊙于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是⊙的切线； (2)在（1）的条件下，如图②，点是中点，交于点，交于点， ①求证：； ②若，，求长． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点04 圆的综合压轴题综合训练 中考数学中《圆的综合压轴题综合训练》部分主要考向分为六类： 一、圆与三角形综合 二、圆与相似三角形综合 三、圆与特殊四边形综合 四、圆与二次函数的综合 五、圆中阴影部分的面积 六、圆中探究创新题 圆的综合应用在四川中考中属于必考题型，此类题型通常会跟三角形、相似三角形、二次函数、特殊四边形等几何考查，难度偏上，多位于几何压轴题位置，此小节帮助广大考试快速了解圆综合在数学试卷中常考题型。 考向一：圆与三角形综合 一、圆与全等三角形的综合 1.圆中全等三角形的构造与证明 题型特点：利用圆的对称性(如直径、弦、切线等)构造全等三角形，常涉及半径相等、圆周角定理等条件。 2.直角三角形与圆的综合 题型特点：结合圆的切线性质(如垂直关系)和直角三角形全等(HL定理)。 3.动态几何中的全等变换 题型特点：涉及旋转(如手拉手模型)、翻折或平移后的图形全等，常以圆为背景。 二、圆与勾股定理综合 1.弦长、半径与距离问题 题型特征：已知圆中弦长、弦到圆心的距离或半径中的两者，求第三量。 解题方法：利用垂径定理(垂直于弦的直径平分弦)构造直角三角形，结合勾股定理计算。 公式：若弦长为l，半径为r，弦心距为d，则； 2.折叠问题 题型特征：圆与折叠图形结合，求折痕长度、未知边长等。 解题方法：①抓住折叠前后图形全等，标记对称点；②构造直角三角形，利用勾股定理列方程。 3.切线性质与勾股定理 题型特征：涉及切线的性质(如切线长定理)与直角三角形结合 解题方法：①连接圆心与切点，形成直角；②利用切线长相等、勾股定理求未知量。 1．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在中，点A，B，C，D为圆周的四等分点，为切线，连接，并延长交于点F，连接交于点G． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)若，，求的值． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：连接. ∵点A，B，C，D为圆周的四等分点， ，即圆心角. ， . 为的切线， ， . . 平分. （2）∵， ∴. . 在四边形中，. 为直径， ， . ， . ∵点A，B，C，D为圆周的四等分点， ， . 在和中， . （3）连接， ， 由（2）中，得，. 又， 即， ， . 的半径为2. ∴在中，. 过点G作于点H. 由题意得， ∴为等腰直角三角形， . 在△BGH中，， . 2．（2024·四川广元·中考真题）如图，在△ABC中，，，经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【详解】（1）证明：连接． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的切线． （2）过点C作于点H， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在中，∵， 设半径为r，∴， ∴． 3．（2024·四川自贡·中考真题）在中，，是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F． (1)图1中三组相等的线段分别是，________，________；若，，则半径长为________； (2)如图2，延长到点M，使，过点M作于点N． 求证：是的切线． 【答案】(1)；；1(2)见解析 【详解】（1）解：连接，设半径为， ∵是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴，，； 在四边形中，， 四边形为矩形， 又因为， 四边形为正方形． 则，则，， 在中，由勾股定理得， ∴，即， 解得， 故答案为：；；1； （2）证明：连接，，，作于点， 设半径为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∵， ∴是的切线． 4．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在中，，以为直径的与交于点D，点是的中点，连接，．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，点P是上一动点，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析；(2)(3) 【详解】（1）证明：连接，如图所示，    ∵为的直径， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； （2）解：由（1）知，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵在中，，即：， ∴（负值以舍去）， ∴； （3）设的边高为，    由（2）可知， 又∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴当取最大值时，也取最大值， 又∵， ∴当取最大值时，取最大值， 此时边高为取最大值为半径， ∴， ∴ ∴， ∴， 综上所述：的最大值为． 5．（2023·四川内江·中考真题）如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交的延长线于点M．    (1)求证：直线是的切线； (2)当时，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，，连接交于点P，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 (3)． 【详解】（1）证明：连接，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径，， ∴， ∵，，即， ∴． 6．（2023·四川乐山·中考真题）如图，已知是的外接圆，，D是圆上一点，E是延长线上一点，连结，且．    (1)求证：直线是是的切线； (2)若，的半径为3，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵， ∴是的直径， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴直线是是的切线； （2）解：作，垂足为E，如图所示，    ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 由题意知，，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴的长为． 考向二：圆与相似三角形综合 圆与相似三角形综合常考题型 1.切线性质与相似结合 典型特征：涉及切线的判定(如垂直半径)、弦切角定理，结合相似三角形证明线段比例或角度关系。 切线与平行线结合时，常通过同位角、弦切角构造相似关系。 2.垂径定理与相似结合 典型特征：利用垂径定理得出垂直平分关系，结合中点、勾股定理计算线段比例。 3.旋转模型(手拉手模型 ) 典型特征：两个等腰三角形绕公共顶点旋转，形成全等或相似三角形需抓住对应边、角的关系。 技巧：固定对应边比例，通过边角关系(如平行线、公共角)证明相似。 4.折叠与相似结合 典型特征：图形折叠后产生对称性，结合勾股定理和相似三角形求线段长度。 5.圆内接四边形与相似 典型特征：利用圆内接四边形对角互补、外角等于内对角等性质，结合相似求角度或比例。 1．（2024·四川资阳·中考真题）如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，点为线段的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接，如图， ，， ，， ， ， 又， ， ， ， 是的切线； （2）解：如（1）图，， 又，， ， ， 的半径为6，， ， ，即， 又点为线段的中点， ， ， ， ． 2．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径作，交于，两点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，，求的长和的直径． 【答案】(1)见详解；(2)，． 【详解】（1）是的直径 又 （2）由（1）可知， 不妨设，那么 ， 不妨设，那么 在中，，， 在中，， 3．（2024·四川凉山·中考真题）如图，是的直径，点在上，平分交于点，过点的直线，交的延长线于点，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)连接并延长，分别交于两点，交于点，若的半径为，求的值． 【答案】(1)见详解(2) 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 即， ∵是的半径 ∴是的切线； （2）解：连接， ∵， ∴在中，， 由勾股定理得： ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（2024·四川德阳·中考真题）已知的半径为5，是上两定点，点是上一动点，且的平分线交于点． (1)证明：点为上一定点； (2)过点作的平行线交的延长线于点． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若△ABC为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①与相切，理由见解析；②的取值范围为． 【详解】（1）证明：∵的平分线交于点，， ∴， ∴， ∵是上两定点， ∴点为的中点，是一定点； （2）解：①如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； ②如图，当时， ∴为直径，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴； 如图，连接，当， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当△ABC为锐角三角形，的取值范围为． 5．（2023·四川德阳·中考真题）如图，已知是的直径，点，在上，的延长线与的延长线相交于点，且，．    (1)求证：是的平分线； (2)求的度数； (3)求的值． 【答案】(1)见解析．(2)(3) 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是的平分线． （2）如图所示，连接．    设． 根据（1）证明可知，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （3）设的半径为，，则． ∵， ∴． 又， ∴． ∵， ∴． ∴． 即． 变形，得 ． 解得 ． ． 6．（2023·四川眉山·中考真题）如图，△ABC中，以为直径的交于点E．平分，过点E作于点D，延长交的延长线于点P．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：如图，连接，   ， ， 平分， ， ， ， , , 是的切线； （2）解：设，则， ，解得， ， ， 根据勾股定理可得，, ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ．    7．（2023·四川广安·中考真题）如图，以的直角边为直径作，交斜边于点，点是的中点，连接．    (1)求证：是的切线． (2)若，求的长． (3)求证：． 【答案】(1)见详解(2)(3)见详解 【详解】（1）证明：连接，      在中，， 是的直径， 即， 在中，点是的中点， ， 又， ， ， 在上 是的切线． （2）解：由（1）中结论，得， 在中，， ， ， ， ， ， ； （3）证明：， ， ， ， ， ， 由（1）中结论，得， ， ， 即． 8．（2023·四川成都·中考真题）如图，以△ABC的边为直径作，交边于点D，过点C作交于点E，连接．    (1)求证：； (2)若，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：设， 是的直径， ， ， ，即， 根据（1）中的结论，可得， 根据勾股定理，可得，即， 解得，（舍去）， ，, 根据勾股定理，可得； 解法一：如图，过点作的垂线段，交的延长线于点F，   ， ， ， ，即， ，，， ， ， ， 设，则， ， 可得方程，解得， ，， 根据勾股定理，可得． 解法二：如图，连接,   ，， ， ， 又，，， ， ． 9．（2023·四川凉山·中考真题）如图，是的直径，弦，垂足为点，点是延长线上一点，，垂足为点，．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径为3，的长为 【详解】（1）证明：如图，连接，   弦， ， ， ， ， ， ，即， ， 又是的半径， 是的切线． （2）解：如图，连接，    设的半径为，则， ， ， 在中，，即， 解得， ， ， ， ， ，即， 解得， 所以的半径为3，的长为． 考向三：圆与特殊四边形综合 特殊四边形包括平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形等，它们除了具有四边形的性质外，还具有特殊的性质。以下是几种特殊四边形的性质和判定： 四边形类型 性质 判定 平行四边形 两组对边分别平行且相等；对角相等；对角线互相平分；是中心对称图形 两组对边分别平行的四边形；两组对边分别相等的四边形；对角线互相平分的四边形；一组对边平行且相等的四边形 矩形 四个角都是直角；对角线相等；既是中心对称图形，又是轴对称图形 有一个角是直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形；有三个角是直角的四边形 菱形 四条边都相等；两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 有一组邻边相等的平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形；四条边相等的四边形 正方形 四条边都相等，四个角都是直角；对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角 一组邻边相等、一个角是直角的平行四边形；一组邻边相等的矩形；一个角是直角的菱形 等腰梯形 两腰相等；同一底上的两个角相等；对角线相等；轴对称图形 对角线相等的梯形；同一底上两个角相等的梯形 核心解题技巧 1.圆性质与四边形性质的联动 直径的运用：直径所对的圆周角为90°，可构造直角三角形，结合勾股定理。 切线处理：若题目涉及切线，必连半径证垂直(或利用垂直证切线)，再结合特殊四边形的对称性。 2.数形结合与分类讨论 动态问题：通过画图分析动点在不同位置时图形的变化，注意临界状态(如相切、共线)。 存在性问题：分情况讨论四边形的可能形态，避免漏解(如菱形需邻边相等且对角线垂直)。 3.辅助线策略 构造直角三角形：通过垂径定理、切线性质或直径构造直角三角形，简化计算。 连接对角线：在圆内接四边形中，连接对角线可将问题转化为三角形问题，利用相似或全等。 4.方程思想 线段比例问题：设未知数，利用相似三角形比例关系或勾股定理建立方程。 最值问题：通过几何变换(如对称、旋转)转化为代数最值，或利用二次函数求最值。 1．（2024·四川广元·一模）如图是的直径，弦与相交于点E，与相切于点A，交的延长线于点F，，，． (1)求的度数； (2)求的长度； (3)判定四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)平行四边形，证明见解析 【详解】（1）解：∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴△AOB是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，由勾股定理得：， 即， ∴， ∴． （3）解：四边形是平行四边形，证明如下： ∵， ∴， ∵△AOB是等边三角形， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 2．（2023·四川绵阳·一模）如图，在矩形中，，．为射线上一动点，以为直径的交于点，过点作于点． (1)若为的中点，求证：为的切线． (2)若，请直接写出与线段的交点个数及相应的的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)当或当时，与线段没有交点；当时，与线段有1个交点；当时，与线段有2个交点 【详解】（1）如图①，连接、， 由矩形可得，，， 为的中点， ， ， ， ， ，， 在中，， ， ， ， ， ， 点在上， 是的切线． （2）如图②，当与线段相切于点时，连接并延长交于点， 与线段相切， ， 四边形是矩形， ， ， ， 设，则，在中， 根据勾股定理，得， ， 解得， ， 点，分别是，的中点， 是的中位线， ， ， ， 当时，与线段只有1个交点； 当时，与线段没有交点； 如图③，当点与点重合时，，此时与线段有2个交点； 如图④，当，即时，此时与线段有2个交点； 如图⑤，当点在点的右侧时，，即，此时与线段没有交点． 综上所述当或当时，与线段没有交点；当时，与线段有1个交点；当时，与线段有2个交点． 3．（2023·四川乐山·二模）如图，在矩形中，点O在对角线上，且． (1)判断直线与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)直线与相切，见解析 (2) 【详解】（1）解：（1）直线与相切．理由如下： ∵四边形是矩形， ∴； 又∵， ∴． 连接，则． ∵ ∴ ∴，即． 又是的半径， ∴直线与相切． （2）解：∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∵矩形中，， ∴； 在中，， 设的半径为r，， 即 解得：， 即的半径为． 4．（2024·四川成都·二模）如图，是的直径，与相切于点，过作于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求及的半径长． 【答案】(1)见解析(2)， 【详解】（1）证明：如图，连接交于点， ∵是的切线，切点为点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 设半径为，即，则， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得． 5．（2024·四川德阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴正半轴于点A，B，内切于，反比例函数的图象经过点P，交直线于点C，D（C在点D的左侧）． (1)求反比例函数的解析式； (2)过点C，D分别作x轴，y轴的平行线交于点E，求线段的长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别交x轴，y轴正半轴于点A，B， 令，即，得；令，得， ∴， ∴由勾股定理得：， 设圆P的半径为R， ∵内切于，设分别切x轴、y轴于点E、F， 平分，， ， ∴四边形是正方形； ∴； ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：； （2）解：联立方程组得， 解得或， ∴，， ∴， ∴． 6．（2024·四川达州·一模）如图，为的直径，C为上一点，连接，点E在弧上且，过C作于点D． (1)求证：直线是的切线； (2)若， ，求的长． 【答案】(1)见解析(2)4 【详解】（1）证明：如图：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2）解：如图：连接交于H， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设,则, ∵， ∴, ∴, ∴， ∴． 7．（2024·四川达州·三模）如图，在四边形中，，，是的外接圆，已知．    (1)求证：是的切线； (2)若，的半径，求的值． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接，如图所示：    ， ， ， ， 是的半径， 是切线； （2）连接，设与交于，如图所示：   ， 四边形是矩形， ， ， ， 解得： ∴ ∴ 8．（2024·四川成都·一模）在菱形中，以为直径作半圆交于点，交于点． (1)证明：； (2)当菱形的边长为5，，求和的长． 【答案】(1)见解析(2)， 【详解】（1）解：连接，如图， ∵以为直径作半圆交于点，交于点， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等腰三角形， ∴ （2）解：连接， ∵， ∴， ∵菱形的边长是5， ∴，， ∴， ∴， 由（1）知，，， ∴， ∵是半圆直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（2024·四川广元·二模）如图，以 △ABC的边为直径作，交 BC于点D，过点 D作的切线，交于点F，且 ，延长交于点E，连接． (1)求证: (2)若 ，求的半径. 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点作于，设， 过圆心， ， ，， ， 四边形为矩形， ， 在中，， 即 ， ． ∴， 即的半径为5. 考向四：圆与二次函数的综合 高频解题技巧 1.几何性质与代数方法的结合 圆的性质：垂径定理、圆周角定理、切线性质(如半径与切线垂直)是解题突破口。 二次函数性质：利用顶点坐标、对称轴x=、与坐标轴交点分析几何关系。 2.坐标系的灵活应用 设点技巧：合理设定关键点坐标(如圆心、抛物线与圆交点)，减少未知数。 对称性分析：利用抛物线对称轴简化计算，例如求对称点坐标。 3.动态问题中的“化动为静” 临界点法：分析动点的极限位置(如圆与抛物线相切时的临界状态)。 参数法：引入参数表示动点轨迹，转化为函数问题求解。 4. 模型化思维 常见模型：一线三等角、手拉手模型、阿基米德折弦定理等，可快速关联解题思路 。 辅助线构造：如连接圆心与切点、作垂线构造直角三角形等。 1．（2023·四川绵阳·一模）如图，已知：中，，，，是边上一点，以点为圆心，为半径的圆与边的另一个交点是点，与边的另一个交点是点，过点作的平行线与圆相交于点，与相交于点，的延长线交于点，连接． (1)求证：； (2)设，的面积为，求关于的函数关系式，并写出定义域． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴． （2）解∶作，，垂足分别为、， ∵，，， ∴， ∵在中，，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 根据题意得∶， ∴， ∴． 2．（2024·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的图象交轴于，两点（点在点的左侧），过点的直线与抛物线交于另一点，交轴于点，且点的横坐标是，点的坐标是．    (1)求抛物线的函数表达式． (2)过点作交于点，若点是线段上的一个动点，求出当与相似时点的坐标． (3)设抛物线的顶点为，过点的直线交抛物线于另一点，试探究：是否存在常数，使得以为直径的圆过点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）解：对于直线，当时，； 当时，； 所以，，， 把，，代入得， ， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：对于，当时，， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴, 过点O作于点R，如图，    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 解得， ∴， 设，则： ， ∴ 因为与相似， 所以，当时，即， ∴ 解得，（舍去） ∴； 当时，即， ∴ 解得，（舍去） ∴； 综上，点Q的坐标为或； （3）解：， ∴抛物线顶点F的坐标为， ∵直线过， ∴ ∴ ∴ 联立方程组得，， 解得，， ∴， 假设是直径，则, 而，, ∵， ∴， 整理得， 解得，或， ∴， ∴    3．（2024·四川广元·二模）如图1，抛物线与x轴交于两点，且点B的坐标为，与y轴交于点C，该抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线和直线的解析式． (2)在抛物线上是否存在点M，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为上的一个动点，连接，求面积的最大值． 【答案】(1)抛物线的解析式为；直线的解析式为 (2)存在点M，坐标为， (3) 【详解】（1）解∶抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为． 将代入， 解得， 抛物线的解析式为． 令， 解得 当，得， ． 设直线的解析式为， 将代入， 得， 直线的解析式为． （2）存在点M，使得是以为底边的等腰三角形． 是以为底边的等腰三角形． ， ， ， 连接交于点D如图： ， 是中垂线， 是中点， ， 设直线为， 将代入可得 直线为， 联立， 解得或， ∴点M的坐标为，． （3）如图2，过点B作，交的延长线于点H，此时点P的位置使得的面积最大． ， ． ． ， ． ， ． ． 4．（2023·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（）和直线． (1)抛物线的对称轴是______；抛物线的顶点坐标为______； (2)设该抛物线与直线的一个交点为，其横坐标为，若，求的取值范围； (3)我们规定若函数图像上存在一点，满足，则称点为函数图像上“圆满点”．例如：直线上存在的“圆满点”，若抛物线（）上存在唯一的“圆满点”，求此时的面积． 【答案】(1)直线；；(2)(3) 【详解】（1）解： 抛物线的对称轴是直线 抛物线的顶点坐标为 故答案为：直线；； （2）解：∵抛物线的顶点M在直线上，且点的横坐标满足， ∴， 根据题意：对于 当时，； 当时，； 对于， 当时， 当时， ∵， ∴， 解得； （3）解：∵点，满足， ∴点P在直线上运动， 根据题意得： 即中 ∴解得， ∴， ∴， ， ∴直线， ∴． 5．（2024·四川绵阳·一模）如图，平面直角坐标系中，点O（0，0）、A（1，0），过点A作x轴的垂线交直线y＝x于点B，以O为圆心，OA为半径的圆交y轴于C、D两点，抛物线y＝x2+bx+c经过B、D． (1)求b，c的值； (2)设抛物线的对称轴交x轴于点E，连接DE并延长交⊙O于F，求EF的长； (3)若⊙O交x轴负半轴于点G，过点C作⊙O的切线交DG的延长线于点P． 探究：点P是否在抛物线上？请说明理由． 【答案】(1)b的值为1，c的值为﹣1 (2) (3)点P在抛物线上，理由见解析 【详解】（1）解：∵A（1，0），过点A作的x轴的垂线交直线y＝x于点B， ∴B（1，1），OA=1．     ∵以O为圆心，OA为半径的圆交y轴于C、D两点， ∴DO=OA=1． ∴D（0，﹣1）． 将B，D坐标代入抛物线解析式得 解得 ∴b的值为1，c的值为﹣1． （2）解：如下图所示，连接CF． ∵b=1，c=-1， ∴抛物线的解析式为． ∴抛物线的对称轴是直线． ∴． ∴． ∵∠DOE=90°， ∴DE＝． ∵以O为圆心，OA为半径的圆交y轴于C、D两点， ∴DC是的直径，CO=OA=1． ∴∠DFC=90°，DC=CO+DO=2． ∴∠DOE=∠DFC． ∵∠ODE=∠FDC， ∴． ∴． ∴． ∴DF＝． ∴EF＝DF﹣DE＝． （3）解：点P在抛物线上，理由如下： 如（2）中图所示： ∵⊙O交x轴负半轴于点G， ∴GO=1． ∴． 设过D、G点的直线为：y＝kx+b． 将点G（﹣1，0），D（0，﹣1）代入解析式得 解得 ∴直线DG解析式为：y＝﹣x﹣1． ∵CO=1， ∴ ∵CP是的切线， ∴OC⊥CP． ∴． ∵点P在直线DG上， ∴． ∴． ∴． 对于抛物线，当x=-2时，． ∴点P在抛物线y＝x2+x﹣1上． 6．（2024·四川自贡·中考真题）如图，抛物线与x轴交于，两点，顶点为P． (1)求抛物线的解析式及P点坐标； (2)抛物线交y轴于点C，经过点A，B，C的圆与y轴的另一个交点为D，求线段的长； (3)过点P的直线分别与抛物线、直线交于x轴下方的点M，N，直线交抛物线对称轴于点E，点P关于E的对称点为Q，轴于点H．请判断点H与直线的位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，(2)4 (3)点H在直线上，见详解 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， 而， ∴； （2）解：如图： 当时，， ∴点， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是经过点A、B、C的的直径， ∵，经过圆心， ∴； （3）解：如图： 将点代入，得， ∴， 把点N横坐标，代入得， ∵轴，轴， ∴，点G为中点， ∴， ∴点E为中点， ∴， ∵点P关于E的对称点为Q， ∴， ∴， 联立抛物线与直线表达式， 得：， 整理得：， ∴， 解得：， 即， ∵，， ∴， ∴点N、Q、H三点共线， ∴点H在直线上． 7．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线的图象的顶点坐标是，并且经过点，直线与抛物线交于B，D两点，以为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点，直线m上每一点的纵坐标都等于1．    (1)求抛物线的解析式； (2)证明：圆C与x轴相切； (3)过点B作，垂足为E，再过点D作，垂足为F，求的值． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【详解】（1）解：抛物线的图象的顶点坐标是， 可设抛物线解析式为， 抛物线经过点， ， 解得，                                                                                                                                         抛物线解析式为； （2）解：联立直线和抛物线解析式可得， 解得或， ，， 为的中点， 点的纵坐标为， ， 圆的半径为， 点到轴的距离等于圆的半径， 圆与轴相切； （3）解：如图，过点作，垂足为H，连接，    由〔2〕可知，， 在中，由勾股定理可求得， ， ， ， ． 考向五：圆中阴影部分的面积 圆中阴影部分的面积中考常考题型（公式：扇形面积公式，l为扇形所对弧长，n为扇形圆心角,r为扇形所在圆半径） 1.规则图形组合型：扇形与三角形、矩形等组合(如半圆与直角三角形结合) 示例：扇形面积减去三角形面积，或利用圆心角比例计算扇形面积。 2.正多边形与圆结合型：正六边形、正方形等与圆弧构成的阴影(如正六边形外接圆中的扇形面积差)。 技巧：分割正多边形为多个规则图形(如等边三角形、扇形)。 3.旋转与对称图形型：动态阴影问题，如形旋转后的重叠区域。 示例：半圆绕圆心旋转后形成的月牙形阴影，需通过几何变换(平移、旋转)求解。 4.组合图形与重叠区域型：多个圆、半圆或弧线交叉形成的复杂阴影(如“叶形“阴影)。 方法：利用容斥原理，计算各图形面积后加减重叠部分。 1．（2024·四川乐山·中考真题）如图，是△ABC的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且． (1)求证：； (2)若垂直平分，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图1，连接．          图1 ∵为的切线， ∴，即． 又∵为直径， ∴，即． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：如图2，连接．           图2 ∵垂直平分， ∴． 又∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴为等边三角形． ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴阴影部分的面积为． 2．（2024·四川内江·中考真题）如图，是的直径，是的中点，过点作的垂线，垂足为点．    (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：∵是的直径 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （3）解：连接、    ∵是的直径， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是半径，是的中点， ∴，， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 3．（2023·四川巴中·中考真题）如图，已知等腰△ABC，，以为直径作交于点D，过D作于点E，交延长线于点F．    (1)求证：是的切线． (2)若，求图中阴影部分的面积（结果用表示） 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接OD，    ∵， ， 又， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：连接，设半径为r 在中， ， ， 又， ， ， ， 是的直径． ， ， ∵， ∴， 又， ， (负值已舍)， ， ． 4．（2022·四川攀枝花·中考真题）如图，的直径垂直于弦于点F，点P在的延长线上，与相切于点C． (1)求证：； (2)若的直径为4，弦平分半径，求：图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 由圆周角定理得：， ， 与相切， ， ， ， ， ； （2）解：如图：连接， 弦平分半径，， ，在中，， ， ， ， ， ，， ， ． 5．（2022·四川内江·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF． (1)判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由； (2)若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】(1)直线AF与⊙O相切．理由见解析(2)6(3)18﹣6π． 【详解】（1）直线AF与⊙O相切． 理由如下：连接OC， ∵PC为圆O切线， ∴CP⊥OC， ∴∠OCP＝90°， ∵OF∥BC， ∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠B， ∴∠AOF＝∠COF， ∵在△AOF和△COF中， ， ∴△AOF≌△COF（SAS），   ∴∠OAF＝∠OCF＝90°， ∴AF⊥OA， 又∵OA为圆O的半径， ∴AF为圆O的切线； （2）∵△AOF≌△COF， ∴∠AOF＝∠COF， ∵OA＝OC， ∴E为AC中点， 即， ∵∠， ∴， ∴∠AOF＝30°，   ∴， ∴； （3）∵AC＝OA＝6，OC＝OA， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠AOC＝60°，OC＝6， ∵∠OCP＝90°， ∴， ∴S△OCP＝， ∴阴影部分的面积=S△OCP﹣S扇形AOC＝． 6．（2024·四川乐山·二模）如图，的直径垂直于弦，垂足为为延长线上一点，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 是直径， ， 又， ， 又， ， ， ，即， 是圆的切线； （2）解：是圆的直径，， ， ， ， 由（1）知为的切线， ， 在中，，，则， 在中，，，则， 在中，，则， ，则由勾股定理可知，即， 解得， ， ． 7．（2023·四川达州·一模）如图，是⊙的弦，是⊙的直径，是的中点，过点作，连接并延长交的延长线于点，已知． (1)判断与⊙的位置关系，并给予证明； (2)若，，试求阴影部分的面积． 【答案】(1)相切，见解析 (2) 【详解】（1）解： 与相切．证明如下： 如图，连接， ， ， ． ， ． ， ， ， ， ， 与相切． （2）如图，过点作于点， ，， ， ，， ， ， ，， ． 设， 则，， ， 解得：， 即， 在中， ，， ，， ． 8．（2024·四川乐山·二模）如图，为的直径，，点是上一点，直线垂直平分，交于，延长交的延长线于点．    (1)求证：是的切线； (2)作的平分线交于点．若，，求阴影部分的面积和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)； 【详解】（1）证明：连接，   垂直平分， ，， 在与中， ， ， ， ， ， 即，又是的半径， 是的切线． （2）解：连接，   为的直径， ， 平分， ， ， ，， ， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 9．（2024·四川内江·二模）如图，是的直径，点、是上的点，且，连结，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，过点作于点，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求弓形的面积（结果保留）； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【详解】（1）证明：连接交于点，则， ， 交的延长线于点 是的切线； （2）连接， 由（1）可知，垂直平分 ， 弓形的面积为； （3）作于点，则 由（1）可知 又 ， 四边形是矩形 ， 于点 是直径 的长是． 考向六：圆中探究创新题 常考探究创新题型 1.新定义几何关系题 示例：如“遥望角”定义题(已知角平分线、外角平分线交点的性质推导角关系)14。 解题关键：将新定义转化为已知几何定理(如角平分线定理、圆周角定理)，结合方程或相似三角形推导。 2.多知识点综合题 常见形式：圆与三角函数、相似三角形、勾股定理结合。例如:利用垂径定理求弦长，结合三角函数求角度； 圆与等边三角形、平行四边形结合，证明线段关系或计算面积。 技巧：通过辅助线构造直角三角形或相似三角形，建立几何量与代数关系。 3.动态几何问题 题型特点：涉及点的运动轨迹(如旋转、平移)，求路径长或临界状态分析。 应对策略：①确定运动中的不变关系(如圆心到定点的距离)；②利用“隐圆模型“分析轨迹；③结合弧长公式计算动态路径。 1．（2023·四川乐山·中考真题）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动 【问题情境】 刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第页“探索”部分内容： 如图，将一个三角形纸板△ABC绕点逆时针旋转到达的位置，那么可以得到：，，；，，（    ）    刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学． 【问题解决】 （1）上述问题情境中“（    ）”处应填理由：____________________； （2）如图，小王将一个半径为，圆心角为的扇形纸板绕点逆时针旋转到达扇形纸板的位置．    ①请在图中作出点； ②如果，则在旋转过程中，点经过的路径长为__________； 【问题拓展】 小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．    【答案】问题解决（1）旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；（2）①见解析②；问题拓展： 【详解】解：【问题解决】（1）旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等                   （2）①下图中，点O为所求                     ②连接，， 扇形纸板绕点逆时针旋转到达扇形纸板的位置， ，, ， 设， ， ， 在旋转过程中，点经过的路径长为以点为圆心，圆心角为，为半径的所对应的弧长， 点经过的路径长；    【问题拓展】解：连接，交于，连接，，如图所示   ． 由旋转得，．     在中， ． 在中， ， ， ．        ． ． ，        在和中， ， 又，， ． 又， ， ． 2．（2024·四川泸州·一模）如图，为的直径，C为上一点，连接，过C作于点D，过C作，使，其中交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)如图2，点F是上一点，且满足，连接并延长交的延长线于点G． ①试探究线段与之间满足的数量关系； ②若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；② 【详解】（1）证明：如图1，连接， ， ， ， ， ， ， ， 即， 是的切线； （2）解：①线段与之间满足的数量关系是：， 理由如下：如图2，过作于点，连接， ， ，且， ， 为公共边， ， ， ； ②过点C作，连接，过点C作， 是的直径， ， ，， ． ， ， ， 由得：， 设，则， 在中，， ， 解得：，即， ， ， ，， ， 四边形为的内接四边形， ， ， ， ， ． ， ， 四边形是矩形， ， ， 3．（2024·四川南充·一模）如图，在正方形中，P是边上的动点，交延长线于点E，交于点F，连接． (1)求证：； (2)当点P运动到的中点时，试探究线段与的关系，并说明理由； (3)当的面积最大时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【详解】（1）在正方形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，（对顶角相等）， ∴， 在和中， ∴， ∴， （2），．理由： 如图，过点A作交于点H， 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴，， 由（1）知：， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴，． （3）连接，，设它们交于点O，连接，交于点G，如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． ∴点E在以为弦，所含圆周角为135°的圆弧上运动， 即点E在以正方形的中心O为圆心，对角线的一半为半径的圆弧上， 当点E运动弧的中点时，点E到的距离最大，此时面积的最大， ∴， 设， ∴， ∴． ∴，， ∴， ∵, ∴，, ∴, ∴, ∴，即, ∴, ∴，, ∴． 4．（2023·四川绵阳·一模）如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为点． (1)求证：平分； (2)如图2，若，点是半圆的中点，连接，求的长； (3)如图3，交于点，点是半圆的中点，作于点，交于点，试探究的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明: ∵是切线, ∴， ∵， ∴， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：在中，， 则，则， ∵点P是半圆 的中点，则，过点A作于点H， 则， 则 ， 解得：， 则 ； （3）解：∵点P是半圆的中点， 则，， 则为等腰直角三角形，则， 如图, 过点P作且使， ∵，则， 则， 过点P作交于点T 则，为等腰直角三角形，则， ∵， ∴，则， ∵ ∴， ∵， ∴， 则， ∴， 在中，， 则 5．（2023·四川遂宁·一模）定义：如图，若点在直线上，在的同侧有两条以为端点的线段、，满足，则称和关于直线满足“光学性质”； 定义：如图，在△ABC中，的三个顶点、、分别在、、上，若和关于满足“光学性质”，和关于满足“光学性质”，和关于满足“光学性质”，则称为△ABC的光线三角形． 阅读以上定义，并探究问题： 在△ABC中，，，三个顶点、、分别在、、上． (1)如图3，若，和关于满足“光学性质”，求的度数； (2)如图4，在△ABC中，作于，以为直径的圆分别交，于点，．证明：为△ABC的光线三角形． 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵和关于满足“光学性质”， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，关于满足“光学性质”， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，关于满足“光学性质”，，关于满足“光学性质”， ∴是为△ABC的光线三角形． 6．（2024·四川德阳·二模）如图，在△ABC中，且点E为的中点，的平分线交于点M，点O在上，以点O为圆心，的长为半径的圆经过点M，交于点G，交于点F． (1)求证：为的切线； (2)当时，求的半径； (3)试探究线段和之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为3 (3) 【详解】（1）证明：连接，如图： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：设的半径为，如图： ∵为中点， ， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 即圆的半径为3； （3）解：过作于，如图： ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ， 即． 7．（2024·四川乐山·二模）在学习完《点与圆的位置关系》后，王老师带领学生开展了一次数学探究活动． 【问题情境】（1）如图1点是外一点，点是上一动点．若的半径为2，且，则点到点的最长距离为 ； 【问题解决】（2）如图2，在中，，以上一点作圆，与都相切，点是上的一个动，连接，求的最小值； 【问题拓展】（3）如图3，的直径为8，弦，点为优弧上的一动点，，交直线于点，求面积的最大值． 【答案】问题情境：7；问题解决：的最小值为；问题拓展：面积的最大值为 【详解】解：（1）如图所示，连接， ∵，， ∴ ∴当O、A、P三点共线且点O在上时，有最大值，最大值为7； （2）如图所示，连接，设与切于点E，连接， ， 与都相切，， ， 又 ∴， 解得， ， ∵， ∴当三点共线，且点P在上时，有最小值，最小值为； （3）连接，过点作于点． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 如图，作的外接圆， 要使最大，则点M到的距离最大， 如图所示，连接， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； 连接，设点M到的距离为h， ∴， ∴当三点共线，且时，h有最大值，即此时有最大值， ∵，， ∴， ∴点M到的最大距离为， ∴． 8．（2024·四川成都·三模）如图，在中，，，点，分别是，上的点，且满足，连接，若．将△ADE绕点逆时针旋转（旋转过程中不与直线重合），连接，，直线，交于点，连接． (1)如图，若为延长线与延长线交点时，判断与的位置关系，并说明理由； (2)试探究：在旋转过程中，与的位置关系是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； 若，请直接写出的长（用表示）； (3)如图，时，直线与直线相交于点，若，求证：． 【答案】(1)，理由见解析； (2)在旋转过程中，始终成立，理由见解析；的长为或， (3)证明见解析； 【详解】（1）解：，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，，四点共圆， ∵， ∴， ∴； （2）在旋转过程中，始终成立， 证明：如解图，若为延长线与线段的交点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，，，四点共圆， ∵， ∴， ∴； 如解图，若为线段与线段的交点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，，，四点共圆， ∵， ∴， ∴； 综上可知：在旋转过程中，始终成立； 当时，如解图，过点作，垂足为点， ∵，， ∴， ∵，， ∴，，，四点共圆， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴在等腰中，， 在中，， ∵，， ∴，， 由（）得，，，四点共圆， ∴， ∴，， ∵在中，，， ∴； 当时，如解图，过点作，交延长线于点， ∵，， ∴， 由（）可知，，，四点共圆， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴在等腰中，， ∴在中，， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 综上，的长为或； （3）证明：∵， ∴，， ∴， 由（）知，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，四点共圆， ∴平分 如解图，过点作交于点，交于点，过点作于点， 则四边形为平行四边形， ∵平分， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，即， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 9．（2024·四川成都·二模）如图，在中，，点D为边上一点（点D不与B，C重合），且满足．以D为顶点作，射线交边于点E． (1) 求证：； (2)过A作，交射线于点G． i）试探究与之间满足的数量关系（用含n的代数式表示）； ii）连接，当时，求的值． 【答案】(1)见详解 (2)i）；ii） 【详解】（1）证明：在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：i）设，则，， 作于点H， ∵在中，， ∴，， ， ∴， ． ， ． 又， ， ． ∵， ∴， ∴， 解得， ， ， ． ii） ， ， ． ， ∴A、H、D、G四点共圆． ， ． ， ， ． 又， ∴垂直平分， ， ， 整理得， 解得（舍去），， ． 10．（2023·四川内江·一模）如图，为的切线，A为切点，直线交于点E，F过点A作的垂线垂足为D，交于点B，延长与交于点C，连接，． (1)求证：与相切； (2)是探究线段，，之间的数量关系，并加以证明； (3)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析(2)，证明见解析(3) 【详解】（1）解：如图，连接， ， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ， 为的切线， ， ， ∵点B在上， 与相切． （2）解：，，间的数量关系为， 理由：，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：， 设， 即， ，， 在中，, ， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ． （建议用时：90分钟） 1．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在中，，以为直径的交边于点D，过点C作的切线，交的延长线于点E．    (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴． ∵为的切线， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， 即， ∴， ∴， ∴的半径为． 2．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径，，过点的直线l交的延长线于点，交的延长线于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【详解】（1）连接，，如图：    ∵， ∴， ∵四边形内接于，为的直径， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴， 即是的切线； （2）连接，如图：    ∵ ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴； （3）令与交于点，如图：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴, ∴ ∵， ∴， ∴ 即， ∴, ∴． 3．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，以为直径的上有两点、，，过点作直线交的延长线于点，交的延长线于点，过作平分交于点，交于点．    (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)如果是的中点，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）证明：如图所示，    ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴是的切线； （2）证明：如图所示，    ∵平分 ∴ 又∵， 则， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，取的中点，连接，      ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴ 设，则， ∴ ∵ ∴ ∴，, ∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴到的距离相等，设为，在，设点到的距离为， ∴， ∴， ∴． 4．（2023·四川泸州·中考真题）如图，是的直径，，的弦于点，．过点作的切线交的延长线于点，连接．    (1)求证：平分； (2)为上一点，连接交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【详解】（1）解：连接，    ∵是的切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵是的直径，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：连接，，过点G作于点M，    ∵是的直径，且， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，   ∴， ∴， 设，则， ∴，， 在中，，即， 解得(负值已舍去)， ∴． 5．（2023·四川达州·中考真题）如图，内接于是延长线上的一点，，相交于点．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴，由等边对等角可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：如图2，记与交点为，连接，过作于，    ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 设半径为， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得或（舍去）， ∴， ∴ 的长为6． 6．（2022·四川巴中·中考真题）四边形内接于，直径与弦交于点，直线与相切于点． (1)如图1，若，且，求证：平分； (2)如图2，连接，若，求证：△OAB∽△CDE． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：连接， 直线与相切于点， ， ， ， ， 又， 为等边三角形， 又， 平分， ， 平分； （2）证明：∵直线与相切于点， ， ， ∵AC为直径， ∴∠ABC=90°， ∴∠OBC+∠ABO=90°， ∴∠OBC=∠PBA， ∵OB=OC， ∴， ， ， ， 又， ． 7．（2024·四川成都·二模）如图，在△ABC中，，以为直径作圆O，分别交于点D，交的延长线于点E，过点D作于点H，连接交线段于点F． (1)求证：是圆O的切线； (2)若，求圆O的半径． 【答案】(1)见解析(2)的半径为 【详解】（1）证明：连接， ∵以为直径作圆O， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是△ABC的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是圆O的切线； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设的半径为，则：，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， 解得：或（舍去）； 故的半径为． 8．（2024·四川泸州·一模）如图，是△ABC的外接圆，为直径，的平分线交于点D，过点D作分别交、的延长线于点E、F． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)连接，交于点P，若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； （2）证明：如图，连接， 是直径， ， ，， ， ， ； （3）解：如图，令与的交点为， 是直径， ， ， 四边形是矩形， ，，， 是半径，， ， 设的半径为，则，，， 在中，， ， 解得：， ，， ， ， ， ， ， ，即， 解得：． 9．（2025·四川成都·一模）如图，已知是的直径，是的弦，点在外，延长，相交于点，过点作于点，交于点，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，点为线段的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接，如图， ，， ，， ， ， 又， ， ， ， 是的切线； （2）解：是的切线 ， ，， ， ， 的半径为6，， ， ，即， 又点为线段的中点， ， ， ， ． 10．（2025·四川成都·一模）已知点是以为直径的圆上一点，连结，在上截取，连结并延长交圆于点，连结，设． (1)如图1，若时，求度数； (2)如图2，过点作，证明：； (3)如图3，若，连结并延长，交的延长线于点，设的面积为，设面积为，用含的代数式表示． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）解：连接，作于点，如图所示： ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ； （2）证明：连接，如图所示： ，， ， ，， ，， ，，， ， ， ， ， ； （3）解：作的垂直平分线，交于，连接，如图所示： ， ， ， 由（2）知：， ， ， ， 设，，， ， ， 在中，，则， ， 是直径， ， ， ， ， 即． 11．（2025·四川泸州·一模）如图，是的外接圆，为直径，的平分线交于点，过点作分别交、的延长线于点、． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)连接，交于点，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【详解】（1）证明：连接，如图， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 为圆的半径， 是的切线； （2）证明：连接，如图， 为直径， ， ， ， ， ， 即； （3）解：作于点，连接，如图， 则， ， 四边形是矩形， ，，， 设，则， ， ， ， ， ， ， ． ，， ， ． ， ． 12．（2023·四川达州·二模）如图①，已知是⊙的直径，点是⊙上一点，的平分线交⊙于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是⊙的切线； (2)在（1）的条件下，如图②，点是中点，交于点，交于点， ①求证：； ②若，，求长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②8 【详解】（1）证明：如图①中，       连接． ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线． （2）①证明：由（1）知，， 在中，， ，， ， ． ②解：∵为直径， ∴， ， 设，则， 点是中点， ， ， ， ， 过点作，交于点，       ， ， ， ，， ， 在中，， ， ， 解得， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$