精品解析：天津市宝坻区第九中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

宝坻九中2024-2025学年度第二学期第一次练习 高二数学 一、单选题（共9小题，每小题4分，共36分） 1. 解1道数学题，有三种方法，有3个人只会用第一种方法，有4个人只会用第二种方法，有3个人只会用第三种方法，从这10个人中选1个人能解这道题目，则不同的选法共有（ ） A. 10种 B. 21种 C. 24种 D. 36种 【答案】A 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理计算即可. 【详解】根据分类加法计数原理得： 不同的选法共有（种）． 故选：A． 2. 若5名学生报名参加数学、物理、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式即得. 【详解】依题意，每名学生有4种报名方式，由分步乘法计数原理得不同的报名方式有种. 故选：A 3. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的计算公式与求导法则计算即得. 【详解】选项A：，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C错误； 选项D：，故D正确. 故选：D 4. 二项式的展开式的第4项的系数是（ ） A. 8 B. 35 C. 280 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式求解. 【详解】通项为，则， 则第4项的系数是. 故选：C. 5. 设函数的导函数为，若，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导后，令即可求解. 【详解】因为， 所以，令，则， 解得：. 故选：C. 6. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接求导，再令，解出不等式即可. 【详解】，令，解得， 所以的单调递减区间为， 故选：A. 7. 设是函数的导函数，则的图象可能是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求出原函数的单调性，选择图像即可. 【详解】由，得或， 由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 由图知，只有C选项的图象符合. 故选：C. 8. 从0，2，4中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字三位数．其中奇数的个数为（ ） A. 48 B. 30 C. 24 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】考虑到百位数字非零的限制，将三位奇数分成三类，分别用排列组合数表示方法数，最后运用分类加法计数原理计算即得. 【详解】依题意，这样的三位奇数分为三类： ①元素0被选中，则应放在十位，从1，3，5中选两个数字排在个位与百位，共有种方法； ②元素2被选中，则可放在百位或十位，再从1，3，5中选两个数字排在余下的两个数位，有种方法； ③元素4被选中，与②情况相同，有种方法. 由分类加法计数原理可得，奇数的个数为个. 故选：B. 9. 若函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用求导，将函数在给定区间上为增函数转化为不等式在上恒成立问题，即求出二次函数在上的最大值即得. 【详解】由可得， 因在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立， 而函数在上单调递减，则， 故，即a的取值范围是. 故选：A. 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 10. ______． 【答案】 【解析】 【分析】利用排列、组合数的计算公式计算即得. 【详解】因. 故答案为：. 11. 质点M按规律做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在时的瞬时速度为______m/s． 【答案】8 【解析】 【分析】利用质点M在时的瞬时速度即质点M 在时的位移的导函数，求出导函数在的函数值即可. 【详解】依题意，质点M在时的瞬时速度为， 故质点M在时的瞬时速度为. 故答案为：8. 12. 已知函数，则函数在点处切线方程 _________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，求出斜率，写出切线方程. 【详解】由已知， 则，又， 所以切线方程为， 即. 故答案为：. 13. 在的展开式中，x的系数为______________． 【答案】 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得展开式中含x项的系数． 【详解】的展开式中，通项公式为， 令，求得，可得展开式中含x项的系数， 故答案：． 14. 第十三届冬残奥会于2022年3月4日至3月13日在北京举行．现从4名男生，2名女生中选3人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有1名女生被选中，不同的选择方案的种数为______． 【答案】96 【解析】 【分析】分有一名女生的选法和没有女生的选法两种情况求解. 【详解】解：有一名女生的选法有种，没有女生的选法有种， 所以至多有1名女生被选中，不同的选择方案的种数为， 故答案为：96 15. 关于函数，下列判断正确序号是_____________. ①的单减区间为； ②是的极大值点； ③函数有且只有1个零点； ④存在正实数，使得恒成立. 【答案】③ 【解析】 【分析】对于①，利用导数可判断②；令，利用导数判断出的单调性可判断③；转化为，令，利用导数判断出的单调性，求出值域可判断④. 【详解】对于①，， 当时，，单调递减，单调递减区间为，故①错误； 对于②，当时，，单调递增， 所以是的极小值点，故②错误； 对于③，，令， 所以， 所以在单调递减， 又因为，， 所以有且只有1个零点，且，故③正确； 对于④，由得，因为，所以， 即求， 令，， 令，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 可得，单调递减，当时，，无最小值， 所以的大致图象如下， 所以，要使，结合图象可得，，故④错误. 故答案为：③. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解． 三、解答题（共5题，每题12分，共60分） 16. 名男生与名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答. （1）从中选出名男生和名女生排成一列； （2）全体站成一排，男生互不相邻； （3）全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾； （4）全体站成一排，甲、乙必须站在一起； 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用组合与排列先选后排，即可求解； （2）根据条件，利用不相邻问题插入法，即可求解； （3）利用特殊元素优先考虑，结合条件，即可求解； （4）利用相邻问题捆绑法，即可求解. 【小问1详解】 从名男生中任选名有种选法，从名女生中任选名有种选法， 再将选取的人排列有种排法，由乘法原理共有种排法， 【小问2详解】 先将女生全排有种，再从个空隙中选出3个将3个男生插入到3个空隙中有种， 由乘法原理共有种排法. 【小问3详解】 先排甲，有种方法，其余人有种排列方法，共有种， 【小问4详解】 甲乙必须相邻，先将甲乙捆绑有种，再与剩下的个人排列有种，共有种. 17. 已知函数，且当时，取得极值 （1）求的解析式; （2）求在上的单调区间和最值. 【答案】（1） （2）的单调递减区间为，单调递增区间为， 最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）利用极值的性质结合导数建立方程求解即可. （2）利用导数研究单调性，得到极值，再结合端点值求解最值即可. 【小问1详解】 因为， 所以，因为当时，取得极值， 所以，则， 也可得到，所以，解得， 代入中，解得， 所以解析式为， 此时，令，解得， 令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以极小值为，符合题意. 【小问2详解】 由上问知， 在上单调递减，在上单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 而，，，， 故最大值为，最小值为. 18. 完成下列问题. （1）求的展开式中的常数项； （2）求的展开式的中间项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用的展开式的通项公式，即可求解； （2）根据条件，利用二项式展开式的通项公式，即可求解. 【小问1详解】 的展开式的通项为：， 其中且，令，得， 所以的展开式中的常数项为. 【小问2详解】 的展开式有项，中间项为第4项，则， . 19. 已知函数的图象在点处的切线方程为 （1）求的解析式； （2）若对任意有恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数在内有3个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，，即可求出、的值，从而得解； （2）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最大值（），即可得解； （3）由（1）可得，利用导数研究函数的单调性极值与最值，根据函数在区间内有3个零点，可得最值满足的条件，进而得出实数的取值范围． 【小问1详解】 因为，则， 依题意，，解得，， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 当时恒成立， 所以在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，， 因为对任意有恒成立，所以，. . 实数的取值范围为. 【小问3详解】 由（1）可得：， ， 令，解得或， 所以、、列表如下： 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表格可知：当时，函数取得极小值；当时，函数取得极大值， 且当时，当时， 要满足函数在区间内有3个零点， 则，解得， 所以实数的取值范围. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 20. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程； （2）设，，利用导数可求得单调性，结合可得单调性，得到，由此可证得结论. 【小问1详解】 ，，又， 所求切线方程为：. 【小问2详解】 设，则定义域为，， 令，则， 在上单调递增，又， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，， 即. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数几何意义求解切线方程、不等式的证明问题；本题证明不等式的关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数最值的求解问题，从而利用导数求解函数的最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宝坻九中2024-2025学年度第二学期第一次练习 高二数学 一、单选题（共9小题，每小题4分，共36分） 1. 解1道数学题，有三种方法，有3个人只会用第一种方法，有4个人只会用第二种方法，有3个人只会用第三种方法，从这10个人中选1个人能解这道题目，则不同的选法共有（ ） A. 10种 B. 21种 C. 24种 D. 36种 2. 若5名学生报名参加数学、物理、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 3. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 二项式的展开式的第4项的系数是（ ） A. 8 B. 35 C. 280 D. 60 5. 设函数的导函数为，若，则=（ ） A. B. C. D. 6. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 7. 设是函数导函数，则的图象可能是（ ） A B. C. D. 8. 从0，2，4中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（ ） A. 48 B. 30 C. 24 D. 6 9. 若函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 10. ______． 11. 质点M按规律做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在时的瞬时速度为______m/s． 12. 已知函数，则函数在点处切线方程为 _________． 13. 在的展开式中，x的系数为______________． 14. 第十三届冬残奥会于2022年3月4日至3月13日在北京举行．现从4名男生，2名女生中选3人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有1名女生被选中，不同的选择方案的种数为______． 15. 关于函数，下列判断正确的序号是_____________. ①的单减区间为； ②是的极大值点； ③函数有且只有1个零点； ④存在正实数，使得恒成立. 三、解答题（共5题，每题12分，共60分） 16. 名男生与名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答. （1）从中选出名男生和名女生排成一列； （2）全体站成一排，男生互不相邻； （3）全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾； （4）全体站成一排，甲、乙必须站在一起； 17. 已知函数，且当时，取得极值 （1）求的解析式; （2）求在上的单调区间和最值. 18. 完成下列问题. （1）求的展开式中的常数项； （2）求的展开式的中间项. 19. 已知函数的图象在点处的切线方程为 （1）求解析式； （2）若对任意有恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数在内有3个零点，求实数取值范围. 20. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$