精品解析：河北省沧州市青县第二中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

河北省沧州市青县第二中学2024-2025学年八年级第一次月考试题 一、选择题（共12题，共36.0分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式是被开方数不含能开得尽的因数或因式,被开方数不含分母,可得答案. 【详解】A、,故A错误; B、被开方数中含分母,故B错误; C、被开方数含开得尽的因式,故C错误; D、被开方数不含能开得尽的因数或因式,被开方数不含分母,故D正确; 所以D选项是正确的. 【点睛】本题考查了最简二次根式,利用了最简二次根式定义. 2. 如果代数式有意义，那么x的取值范围是（　　） A. x≠2 B. x≥-1 C. x≠-1 D. x≥-1，且x≠2 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，x+1≥0且x-2≠0， 【详解】解得x≥-1且x≠2， 故选D． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数；分式有意义的条件是分母不为0． 3. 若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a是（ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是可以合并的二次根式， ∴， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，能根据题意得出是解此题的关键． 4. 已知ABC的三边长分别为a，b，c，由下列条件不能判断ABC是直角三角形的是（ ） A. ∠A＝2∠B＝3∠C B. ∠A＝∠C﹣∠B C. a：b：c＝3：4：5 D. a2＝（b+c）（b﹣c） 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理求出∠A的度数，即可判断选项A；根据三角形内角和定理求出∠C的度数，即可判断选项B；根据勾股定理的逆定理判定选项C和选项D即可． 【详解】设△ABC中，∠A的对边是a，∠B的对边是b，∠C的对边是c， A．∵∠A＝2∠B＝3∠C， ∴∠B＝∠A，∠C＝∠A， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A+∠A+∠A＝180°， 解得：∠A＝．， ∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意； B．∵∠A＝∠C﹣∠B， ∴∠A+∠B＝∠C， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意； C．∵a：b：c＝3：4：5， ∴a2+b2＝c2， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵a2＝（b+c）（b﹣c）， ∴a2＝b2﹣c2， 即a2+c2＝b2， ∴∠B＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解此题的关键． 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二次根式的乘除法、积的乘方，对每个选项的运算进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，故A错误，不符合题意； B、，故B正确，符合题意； C、，故C错误，不符合题意； D、，故D错误，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法、积的乘方等运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行判断． 6. 已知中，，，，则的周长等于（ ） A. 11 B. C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出BC即可求解。 【详解】解：∵，，， ∴ ∴的周长=AC+BC+AB=4+3+5=12. 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理．掌握勾股定理是解答本题的关键． 7. 下列四组数中，是勾股数的是（　　） A. B. 5，， C. 8，， D. 1，2， 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股数依次进行判断即可． 【详解】解：A、都不是整数，所以它们不是勾股数，选项说法错误，不符合题意； B、因为，所以它们不是勾股数，选项说法错误，不符合题意； C、因为，所以它们是勾股数，选项说法正确，符合题意； D、因为不是整数，所以它们不是勾股数，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股数，解题的关键是掌握勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数． 8. 如图，一个斜边长为的红色直角三角形纸片，一个斜边长为的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，因为DF=DE，∠AFD=∠DEB=90°，所以将三角形DEB绕点D逆时针旋转90°后，得到△FDT，此时A，F，T共线，证明∠ADT=90°，求出△ADT的面积即可． 【详解】解：如图，因为DF=DE，∠AFD=∠DEB=90°，所以将三角形DEB绕点D逆时针旋转90°后，得到△FDT，此时A，F，T共线．DT=DB=6 ∵∠EDF=90°， ∴∠ADF+∠EDB=90°， ∵∠EDB=∠FDT， ∴∠ADF+∠FDT=90° ∴红、蓝两张纸片的面积之和=△ADT的面积=×10×6=30． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，属于中考常考题型． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，延长到E，使得，连接，根据点A的坐标为得到，再证明是的中位线，得到；解得到，进一步求出点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，据此求出的最小值，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接， ∵的一条直角边在x轴上，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵点M为中点，点A为中点， ∴是的中位线， ∴； 在中，， ∴， ∵将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转， ∴点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动， ∴当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值， ∵， ∴最小值为， ∴的最小值为3， 故选A． 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键． 10. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则的值是（ ） A. 7 B. 14 C. 21 D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式与几何图形．熟练掌握正方形性质，勾股定理，完全平方公式，平方差公式 ，是解题的关键． 根据几何图形得到，，，利用完全平方公式变形求出，再求出，根据，求出，的值，根据即可得到答案． 【详解】解：∵大正方形的面积是29，小正方形的面积是9， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，∴， ∴． 故选：C． 11. 如图所示，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出的值最大值与最小值是解题关键． 当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件以及根据勾股定理即可求出的取值范围． 【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ， 如图2所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ， 此时， 的取值范围是． 故选：D． 12. 下列命题①如果a、b、c为一组勾股数，那么、、仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么另一边必是5；③如果一个三角形的三边是5、13、14，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（），那么．其中正确的是（    ） A. ①④ B. ①③ C. ①② D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数和直角三角形的性质，正确掌握勾股数的定义和直角三角形的性质是解题的关键． 根据勾股数的定义和直角三角形的性质，依次分析①②③④，选出正确的命题的序号，即可得到答案． 【详解】解：①如果为一组勾股数，则设， 则， 而、、一定是正整数，所以、、仍是勾股数，故①正确，符合题意； ②如果直角三角形的两边是3，4，则另一边的长可能为，且符合三角形的两边之和大于第三边，故②不正确，不符合题意； ③， ③错误，不符合题意； ④一个等腰直角三角形的三边，（）， ， 即， 故①④正确，符合题意； 故选：A． 二、填空题（共4题，共12.0分） 13. 在平面直角坐标系中，O为原点，点到原点的距离是______． 【答案】5 【解析】 【分析】将坐标转化为线段的长，然后利用勾股定理可求出点M与O的距离即可． 【详解】解：根据勾股定理得：， 故答案为：5． 【点睛】本题考查直角坐标系中坐标与图形的性质及勾股定理，熟练掌握和运用求两点间距离的公式是解决本题的关键． 14. 如图，在边长为的正方形内部（不含边界）有一点E，连结．过点A作，且．连结，将线段绕点E顺时针旋转，点F恰好落在点D上，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，将绕着点顺时针旋转到，连接，则，，，，，，，由旋转的性质可知，，，证明四边形是正方形，则，，，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：设，如图，将绕着点顺时针旋转到，连接， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，，， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴，， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，余弦等知识．熟练掌握旋转的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，余弦是解题的关键． 15. 如图，和为四边形的对角线，，，，，则的最大值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先证出，作，使，，证明出，从而得出，在中，由勾股定理求出的长度，在中，利用三角形三边关系可得的最大值． 【详解】解：取的中点为，连接，作，使，，连接，过点作于， ∵， ∴， ∵， ∴点与重合， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接，过点作于， ∵， 在中，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、相似三角形的判定及其性质、三角形的三边关系、勾股定理等知识点，做辅助线构造三角形是解题的关键． 16. 在直线上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质及勾股定理的应用，运用勾股定理可知，得每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，即，同理可得即可得出答案． 详解】解：如图所示，根据题意可得：， ∴， ∴ 在和中 ∴ ∴ 在中，， ， ， 同理可得：， ， 故答案为4 三、解答题（共8题，共72.0分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握和运用二次根式的性质，运算顺序和法则，完全平方公式，是解决本题的关键． （1）根据二次根式的性质先化简各项，然后合并即可； （2）先展开完全平方式，二次根式除法，而后合并即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 ． 18. 计算： （1）； （2）若实数、满足，求、的值． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、二次根式分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果； （2）由二次根式有意义的条件可求得x的值，再代入求y的值． 【详解】（1） ； （2）由题意得， 解得， 当时，． ∴，． 【点睛】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、二次根式的计算以及二次根式有意义的条件，（1）熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式等考点的运算；（2）注意题中隐含的条件：被开方数是非负数． 19. 已知：如图，在中，，于点D，如果，，那么值多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，先由勾股定理求出，利用面积法求出，然后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即的值为． 20. 观察下列等式：回答问题： ① ② ③， … （1）根据上面三个等式的信息，猜想； （2）请你找出其中规律，并将第个等式写出来． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的计算以及寻找规律，解题的关键是观察已知等式，找出数字变化的规律． （1）由前面的三个等式猜想结果； （2）根据观察，可得规律． 【小问1详解】 （1）根据上面三个等式的信息，猜想：； 故答案为：； 【小问2详解】 ∵，，，… ∴． 21. （1）计算：已知a，b在数轴上位置如图，化简：． （2）如图：已知等腰三角形中，，D是边上的一点，，，E，F分别为垂足．，三角形面积为，求的长． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质、数轴和绝对值的性质化简即可； （2）根据三角形的面积计算公式求解即可． 【详解】（1）原式； （2）连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ； 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，绝对值的性质，三角形的面积求解，解题的关键是准确计算． 22. 我们把满足的三个正整数a，b，c称为“勾股数”．若是一组勾股数，n为正整数． （1）当，时，请用含n的代数式表示，并直接写出n取何值时，a为满足题意的最小整数； （2）当，时，用含n的代数式表示，再完成下列勾股数表． a b c _____ 40 41 11 60 _____ 【答案】（1），当时，满足题意的最小整数 （2），9，61 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，准确理解题意是解题的关键． （1）根据变形式 可得到结果，根据的算术平方根是最小整数得到结果； （2）根据变形式得到结果，根据变形式 得即可得到c的值，根据变形成 得到a的值． 【小问1详解】 解：， 把，代入中， 得， ∵n为正整数， ∴当时，满足题意的最小整数； 【小问2详解】 ， ，，， ，，， 补全勾股数表如下： 23. 科华数学之星在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解决的： ， ， ，， ， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1） ， ． （2）化简：． （3）若，请按照小明的方法求出的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化．熟练掌握分母有理化，整体代入法求代数式的值，是解决本题的关键． （1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母同时乘以分母的有理化因式化简即可； （2）将式子中的每一个分式进行分母有理化，问题随之得解； （3）根据小明的分析过程，得，可求出代数式的值． 【小问1详解】 解：， ． 故答案为：，． 【小问2详解】 原式． 小问3详解】 ∵， ． ，． ． 原式． 24. 【背景介绍】 如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 （1）请利用“双求法”解决问题：如图2，在网格图中，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高的长度为______； （2）在中，，于点D．设，，． ①用“双求法”表示，可以得到关于a，b，m的关系式：______； ②用含a，b的代数式表示的斜边上的中线与高线，并直接比较它们的大小； 【知识迁移】 （3）如图，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长），在此规划一个面积为50平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 【答案】 （1）（2）①；②中线长为，高线长为，（3）40米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及由勾股定理得到的新知识的应用，解答中涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，二次根式的运算等．由勾股定理延伸得到结论，并对其进行应用是解决本题的关键． （1）先用割补法求出的面积，再用底×高表示面积，根据双求法列式，即可求出边上的高； （2）①在中，利用勾股定理表示出，在中，用勾股定理表示出，在中，用勾股定理表示出，根据“双求法”列式，化简即可得到关于a，b，m的关系式； ②根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可用含a，b的代数式表示的斜边上的中线，根据①的结论可用含a，b的代数式表示与高线，再根据的变形，即可得到结论； （3）设与墙平行的边长x米，垂直于墙的边长y米，可得所有虚线的和为，根据（2）中得到的结论，可得，整理可得所有虚线和的最小值． 【详解】解：（1）如图，作边上的高， ∵， ， ， ∴， 解得， 故答案为：； （2）①如图， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵斜边长为， ∴斜边上的中线长为，高线长为， ∵， ∴， ∴； 故大小关系为：； （3）设大长方形的长为x米，宽为y米，则小栅栏的总长度为平方米，（平方米）， ∵， ∴， ∴， 答：小栅栏的总长度最少为40米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河北省沧州市青县第二中学2024-2025学年八年级第一次月考试题 一、选择题（共12题，共36.0分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 2. 如果代数式有意义，那么x取值范围是（　　） A. x≠2 B. x≥-1 C. x≠-1 D. x≥-1，且x≠2 3. 若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a是（ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 4. 已知ABC的三边长分别为a，b，c，由下列条件不能判断ABC是直角三角形的是（ ） A. ∠A＝2∠B＝3∠C B. ∠A＝∠C﹣∠B C. a：b：c＝3：4：5 D. a2＝（b+c）（b﹣c） 5. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知中，，，，则的周长等于（ ） A 11 B. C. 12 D. 13 7. 下列四组数中，是勾股数的是（　　） A. B. 5，， C. 8，， D. 1，2， 8. 如图，一个斜边长为的红色直角三角形纸片，一个斜边长为的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ） A. 3 B. C. D. 2 10. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学骄傲．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则的值是（ ） A. 7 B. 14 C. 21 D. 28 11. 如图所示，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中， 设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 下列命题①如果a、b、c为一组勾股数，那么、、仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么另一边必是5；③如果一个三角形的三边是5、13、14，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（），那么．其中正确的是（    ） A. ①④ B. ①③ C. ①② D. ②④ 二、填空题（共4题，共12.0分） 13. 在平面直角坐标系中，O为原点，点到原点的距离是______． 14. 如图，在边长为的正方形内部（不含边界）有一点E，连结．过点A作，且．连结，将线段绕点E顺时针旋转，点F恰好落在点D上，则的长为______． 15. 如图，和为四边形的对角线，，，，，则的最大值为____________． 16. 在直线上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则_____． 三、解答题（共8题，共72.0分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2）若实数、满足，求、的值． 19. 已知：如图，在中，，于点D，如果，，那么的值多少？ 20. 观察下列等式：回答问题： ① ② ③， … （1）根据上面三个等式的信息，猜想； （2）请你找出其中规律，并将第个等式写出来． 21. （1）计算：已知a，b在数轴上位置如图，化简：． （2）如图：已知等腰三角形中，，D是边上的一点，，，E，F分别为垂足．，三角形面积为，求的长． 22. 我们把满足的三个正整数a，b，c称为“勾股数”．若是一组勾股数，n为正整数． （1）当，时，请用含n的代数式表示，并直接写出n取何值时，a为满足题意的最小整数； （2）当，时，用含n的代数式表示，再完成下列勾股数表． a b c _____ 40 41 11 60 _____ 23. 科华数学之星在解决问题：已知，求的值． 他是这样分析与解决的： ， ， ，， ， ． 请你根据小明分析过程，解决如下问题： （1） ， ． （2）化简：． （3）若，请按照小明的方法求出的值． 24. 【背景介绍】 如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 （1）请利用“双求法”解决问题：如图2，在的网格图中，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高的长度为______； （2）在中，，于点D．设，，． ①用“双求法”表示，可以得到关于a，b，m的关系式：______； ②用含a，b代数式表示的斜边上的中线与高线，并直接比较它们的大小； 【知识迁移】 （3）如图，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长），在此规划一个面积为50平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$