第14讲 实系数一元二次方程与复数的三角形式（3大知识点+6种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第二册）

第14讲 实系数一元二次方程与复数的三角形式 课程标准 学习目标 1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示,了解复数的代数表示与三角表示之间的关系。 2.了解复数的乘、除运算的三角表示及其几何意义. 1.复数的三角形式及复数代数形式与三角形式的互化. 2.复数的模与辐角的主值,复数两种形式之间的互化, 3.用三角形式进行复数乘、除运算;乘、除运算的几何意义的运用. 4.复数三角形式的乘、除运算的几何意义的理解. 知识点01 几个重要的结论 ①②③若为虚数，则 4、运算律 ① ② ③ 5、关于虚数单位i的一些固定结论： ①②③④ 【即学即练1】（20-21高一下·上海·课后作业）方程的解集是（    ） A． B． C． D． 知识点02 复数的三角形式 （1）复数的三角形式：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式. （2）辐角主值：规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz. 【即学即练1】（21-22高一下·上海浦东新·阶段练习）若复数（为虚数单位），则 . 知识点03 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 （1）复数三角形式的乘法：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. r 1(cosθ1＋isinθ1)·r 2(cosθ2＋isinθ2)＝r 1 r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]. （2）复数三角形式的除法：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 【即学即练2】（20-21高一下·上海·课后作业）已知复数，则 ． 题型一：实数的平方根 1.（20-21高一下·上海·单元测试）下列命题：①是的一个平方根；②是一个负数；③如果，则.其中正确的命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（20-21高一下·上海宝山·期末）已知关于x的实系数一元二次方程有两个虚根，且，则满足条件的实数k的值为 ． 3．（20-21高一下·上海·课后作业）方程的根为 ． 题型二：复数的平方根与立方根 1．（23-24高一下·上海·期末）计算： ． 2．（20-21高二下·上海普陀·阶段练习）已知，且，则的值为 ． 3．（2021·上海徐汇·二模）若方程x2﹣2x+3＝0的两个根为α和β，则|α|+|β|＝ ． 4．（20-21高一下·上海·课后作业）复数的平方根是 . 5．（20-21高一下·上海·单元测试）复数的平方根是 . 6．（20-21高一下·上海·课后作业）的平方根是 ，的立方根是 ． 7．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知是关于的方程的两个虚根，为虚数单位. (1)当时，求实数的值. (2)当，且，求实数的值. 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）若（）是1的一个立方根，试用表示–1，8的立方根． 题型三：复数的三角表示 1．（24-25高一上·上海·课后作业）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 2．（2023高一下·上海·专题练习）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 3．（20-21高一下·上海·单元测试）复数的三角形式为（    ） A． B． C． D． 4．（20-21高一下·上海·课后作业）如果非零复数有一个辐角为，那么该复数的（    ） A．辐角唯一 B．辐角主值唯一 C．辐角主值为 D．辐角主值为 5．（20-21高一下·上海·课后作业）已知复数的辐角为，的辐角为，则复数等于（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·上海·课后作业）若复数（i为虚数单位），则 . 7．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知为虚数单位，，则的辐角主值为 . 8．（21-22高一下·上海普陀·期末）已知复数满足．若是实系数一元二次方程的一个根，则 ． 9．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算，并将结果用复数的代数形式表示： (1)； (2)． 10．（24-25高一上·上海·随堂练习）把下列复数用三角形式表示（用辐角主值）. (1)； (2)； (3)； (4). 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列复数是否是用三角形式来表示的？为什么？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． (6)． 12．（2024高一下·上海·专题练习）已知，且，若． (1)求复数的三角形式，并且复数的辐角主值； (2)求． 题型四：三角表示下复数的几何意义 1．（21-22高一下·上海松江·期末）设，则下列命题中的真命题为（    ） A．若，则 B．若，则为纯虚数 C．若，则或 D．若，则 2．（20-21高一下·上海浦东新·期末）设复数满足条件，则对应复平面上的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（20-21高一下·上海长宁·期末）已知复数在复平面上所对应的向量是，将绕原点顺时针旋转120°得到向量，则向量所对应的复数为 (结果用复数的代数形式表示). 4．（20-21高一下·上海宝山·期末）设，，复平面上对应的点分别为，，，．若，，，则四边形的面积为 ． 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）设、、在复平面上对应的点分别为A、B、C，.若，，，求四边形的面积. 题型五：复数乘、除运算的三角表示 1．（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 2．（23-24高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，设是坐标原点，向量，将绕点顺时针旋转得到向量，则点的坐标是 ． 3．（22-23高一下·上海浦东新·期末）将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是 . 4．（20-21高一下·上海·课后作业）设复数，，则的辐角主值为 ． 5．（20-21高一下·上海·课后作业）计算： ． 7．（24-25高一上·上海·课后作业）计算：． 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）设复数在复平面上所对应的向量是，将绕原点O按顺时针方向旋转，得到的向量为，求向量所对应的复数．（结果用复数的代数形式表示） 9．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算，并用复数的代数形式表示计算结果： (1)； (2)． 题型六：三角表示下复数的乘方与开方 1.（24-25高一上·上海·课后作业）计算： ． 2．（22-23高一下·上海杨浦·期末）若是纯虚数（其中是虚数单位），则正整数的最小值为 . 3．（20-21高一下·上海·单元测试）已知复数，若（，且），则的最小值为 ． 4．（23-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 5．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，，若、在复平面上分别对应点A、B，且，求的立方根． 6．（23-24高一·上海·课堂例题）计算，并将结果用复数的代数形式表示： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 一、单选题 1．（20-21高一下·上海·课后作业）已知复数和的辐角主值分别为、，则等于（    ） A． B． C． D．1 2．（20-21高一下·上海·课后作业）已知方程的两个根在复平面上对应的点分别为、，则的面积为（    ） A． B． C．2 D．4 3．（20-21高一下·上海·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（20-21高一下·上海宝山·期末）设是正整数，分别记方程、的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为与．若存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，则的值可以是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 二、填空题 5．（21-22高一下·上海闵行·期末）将复数化为三角形式： ． 6．（23-24高一下·上海·期末）在复数范围内因式分解： ． 7．（21-22高一下·上海闵行·期末）若复数为虚数单位），则 ． 8．（21-22高一下·上海嘉定·期末）复数的三角形式的辐角主值为 . 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）28的平方根为 ；的平方根为 . 10．（20-21高一下·上海·课后作业）计算： ． 11．（20-21高一下·上海·单元测试）若，则的辐角主值为 . 12．（21-22高一下·上海虹口·期末）已知复数，若复数z满足，则复数z的辐角主值为 . 13．（20-21高一下·上海长宁·期末）已知复数，满足，，则 . 14．（21-22高一下·上海浦东新·阶段练习）关于的方程的一个根是，则 . 15．（21-22高一下·上海长宁·期末）若是虚数单位，复数满足，则的取值范围是 ． 16．（21-22高一下·上海普陀·期末）已知是复数的辐角主值，是向量和向量的夹角，则 . 三、解答题 17．（2021高一·上海·专题练习）求及的平方根． 18．（20-21高一下·上海·课后作业）是实系数一元二次方程的两个虚根，且是实数，求的值． 19．（20-21高一下·上海·课后作业）计算． （1）； （2）． 20．（20-21高一下·上海·课后作业）已知． （1）求的最大值和最小正周期； （2）复数，，求的辐角主值． 21．（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数z满足，且. (1)求z的三角形式； (2)记分别表示复数z、、在复平面上的对应点.已知三点成逆时针顺序，且为等边三角形，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 实系数一元二次方程与复数的三角形式 课程标准 学习目标 1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示,了解复数的代数表示与三角表示之间的关系。 2.了解复数的乘、除运算的三角表示及其几何意义. 1.复数的三角形式及复数代数形式与三角形式的互化. 2.复数的模与辐角的主值,复数两种形式之间的互化, 3.用三角形式进行复数乘、除运算;乘、除运算的几何意义的运用. 4.复数三角形式的乘、除运算的几何意义的理解. 知识点01 几个重要的结论 ①②③若为虚数，则 4、运算律 ① ② ③ 5、关于虚数单位i的一些固定结论： ①②③④ 【即学即练1】（20-21高一下·上海·课后作业）方程的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合选项，逐个进行验证即可得到答案. 【详解】显然0是它的一个解，不是它的解； 由于，； 所以也是它的解； 故选：C. 知识点02 复数的三角形式 （1）复数的三角形式：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式. （2）辐角主值：规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz. 【即学即练1】（21-22高一下·上海浦东新·阶段练习）若复数（为虚数单位），则 . 【答案】/ 【分析】根据复数，可知其实部和虚部，即可求得答案. 【详解】因为复数，其实部和虚部分别为，且在第二象限 故幅角的正切值，由于，则， 故答案为： 知识点03 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 （1）复数三角形式的乘法：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. r 1(cosθ1＋isinθ1)·r 2(cosθ2＋isinθ2)＝r 1 r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]. （2）复数三角形式的除法：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 【即学即练2】（20-21高一下·上海·课后作业）已知复数，则 ． 【答案】 【分析】根据复数三角形式的乘法运算得，进而得解. 【详解】 所以， 所以. 故答案为： 题型一：实数的平方根 1.（20-21高一下·上海·单元测试）下列命题：①是的一个平方根；②是一个负数；③如果，则.其中正确的命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据复数的性质有可知①的正误，，负数是实数的概念可知②的正误，复数相等时注意参数可判断③的正误. 【详解】①由，则是的一个平方根，正确； ②是一个虚部为的纯虚数，实数分正数、0、负数，错误； ③如果，当时，当时不一定，错误； 故正确命题为1个. 故选：B 2．（20-21高一下·上海宝山·期末）已知关于x的实系数一元二次方程有两个虚根，且，则满足条件的实数k的值为 ． 【答案】 【分析】设，根据题意及根与系数的关系可得，且。由此可得的值 【详解】解：设， 由根与系数的关系可得，则， 因为，所以， 所以，解得， 由，得或， 所以， 故答案为： 3．（20-21高一下·上海·课后作业）方程的根为 ． 【答案】 【分析】利用配方法将方程化为，然后根据虚数单位的意义即可得到方程的根. 【详解】由得, 配方得, ∴, ∴, 故答案为：. 题型二：复数的平方根与立方根 1．（23-24高一下·上海·期末）计算： ． 【答案】1000 【分析】利用复数的运算性质化简即可求解． 【详解】原式 ． 故答案为：1000． 2．（20-21高二下·上海普陀·阶段练习）已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，从而解得，进而得出，化简式子即可求解. 【详解】解：因为，且，所以， 所以，显然，， 又， 所以原式 ． 故答案为：． 3．（2021·上海徐汇·二模）若方程x2﹣2x+3＝0的两个根为α和β，则|α|+|β|＝ ． 【答案】 【分析】因为，设，则，根据根与系数关系及模求解. 【详解】因为，此时方程两根为共轭虚根， 设，则， ， . 故答案为：. 4．（20-21高一下·上海·课后作业）复数的平方根是 . 【答案】， 【分析】根据题意，设复数的平方根为，平方后结合相等复数的特征，即可求解. 【详解】设复数的平方根为， 则，即， 因此，解得或， 故复数的平方根为，. 故答案为：，. 5．（20-21高一下·上海·单元测试）复数的平方根是 . 【答案】 【知识点】复数的平方根与立方根、复数的相等、复数的乘方 【分析】令且，应用复数的乘方运算及复数相等列方程组求参数，即可得到平方根. 【详解】令且， ∴，即，解得或， ∴复数的平方根是. 故答案为： 6．（20-21高一下·上海·课后作业）的平方根是 ，的立方根是 ． 【答案】 【分析】根据平方根和立方根的概念在复数范围内求解即可. 【详解】因为，，所以的平方根是， 因为， ， ， 所以的立方根是. 故答案为：；. 7．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知是关于的方程的两个虚根，为虚数单位. (1)当时，求实数的值. (2)当，且，求实数的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据实系数一元二次方程的根互为共轭复数及根与系数的关系求解； （2）由实系数的一元二次方程的求根公式化简求解即可. 【详解】（1）因为是关于的方程的两个虚根， 所以当时，， 所以； （2）当时，，由求根公式可知，两根分别为， 所以， 所以，解得. 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）若（）是1的一个立方根，试用表示–1，8的立方根． 【答案】–1的立方根为–1，，，8的立方根为2，，． 【分析】求出1的立方根，后变形方程，与，对照，整体换元，求出–1，8的立方根即可. 【详解】令，则， 解得， 则（舍去），， 解得， 不妨设，为的另一个非实数立方根. 令，则，整体换元，， 分别解得， 因此–1的立方根为–1，，； 令，则，整体换元，， 分别解得， 因此8的立方根为2，，． 题型三：复数的三角表示 1．（24-25高一上·上海·课后作业）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】合理化简原复数，表示为三角形式即可. 【详解】由题意得，故D正确. 故选：D 2．（2023高一下·上海·专题练习）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用复数三角形式的意义求解即得. 【详解】，故B正确； 经检验，ACD都错误. 故选：B 3．（20-21高一下·上海·单元测试）复数的三角形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的三角形式直接写出结果即可. 【详解】因为，所以，辐角为，所以复数的三角形式为， 故选：C. 4．（20-21高一下·上海·课后作业）如果非零复数有一个辐角为，那么该复数的（    ） A．辐角唯一 B．辐角主值唯一 C．辐角主值为 D．辐角主值为 【答案】B 【分析】由给出的非0复数有一个辐角为，结合辐角主值的概念得答案． 【详解】解：辐角主值的范围是，，任何一个复数都有唯一的辐角主值， 非0复数有一个辐角为，则该复数有唯一的一个辐角主值． 故选：B． 5．（20-21高一下·上海·课后作业）已知复数的辐角为，的辐角为，则复数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据辐角的定义得到方程组，解得即可； 【详解】解：设， 因为的辐角为，所以 因为的辐角为，所以 解得，所以 故选：B 6．（24-25高一上·上海·课后作业）若复数（i为虚数单位），则 . 【答案】 【分析】利用辐角的性质求解即可. 【详解】设辐角为，由辐角性质得， 且 所以. 故答案为： 7．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知为虚数单位，，则的辐角主值为 . 【答案】 【分析】根据复数的三角表示分析求解. 【详解】因为， 所以的辐角主值为. 故答案为：. 8．（21-22高一下·上海普陀·期末）已知复数满足．若是实系数一元二次方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】根据题意求出，然后根据是实系数一元二次方程的一个根即可求解. 【详解】设，因为， 所以，且复数在第一象限， 又复数满足，所以， 因为是实系数一元二次方程的一个根， 则有，也即， 所以，则， 故答案为：. 9．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算，并将结果用复数的代数形式表示： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数诱导公式，两角和差公式及运算化简即可； （2）根据三角函数诱导公式，两角和差公式及运算化简即可. 【详解】（1） ． （2） ． 10．（24-25高一上·上海·随堂练习）把下列复数用三角形式表示（用辐角主值）. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】由复数的三角形式表示的概念可得解. 【详解】（1）由复数的三角形式表示为，且，且，， 又，所以，解得， 所以； （2）由，所以，解得， 所以； （3）由，所以，解得， 所以； （4）由，所以，解得， 所以. 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列复数是否是用三角形式来表示的？为什么？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． (6)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 (5)答案见解析 (6)答案见解析 【分析】利用复数的三角形式判断即可． 【详解】（1）解：，，，满足复数三角形式，所以正确； （2）解：，不满足复数的三角形式，所以不正确； （3）解：，，满足复数的三角形式，所以正确； （4）解：，，，满足复数的三角形式，正确； （5）解：，不满足复数的三角形式，不是复数的模，所以不正确； （6）解：不满足复数的三角形式，的前面是，不是，所以不正确． 12．（2024高一下·上海·专题练习）已知，且，若． (1)求复数的三角形式，并且复数的辐角主值； (2)求． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）直接利用三角变换可得复数的三角形式及辐角主值. （2）设，结合求得，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解． 【详解】（1）， 则； （2）设，而，则， 又，于是， 则，解得，，即， 因此，所以． 题型四：三角表示下复数的几何意义 1．（21-22高一下·上海松江·期末）设，则下列命题中的真命题为（    ） A．若，则 B．若，则为纯虚数 C．若，则或 D．若，则 【答案】C 【分析】根据虚数不能比较大小判断A，取可判断B，根据复数模的性质判断C，取特例可判断D. 【详解】当为实数时，成立，否则不成立，故A错误； 当时，满足，但不为纯虚数，故B错误； 当时，，故或，所以或，故C正确； 当时，，，即，故D错误. 故选：C 2．（20-21高一下·上海浦东新·期末）设复数满足条件，则对应复平面上的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】复数的三角表示、判断复数对应的点所在的象限、三角表示下复数的几何意义 【分析】设出复数的三角形式，利用复数的运算法则化简求解，即可判断出对应点所在的象限即可. 【详解】复数满足条件，所以可设 所以 所以 因为，所以，所以， 所以对应复平面上的点位于第四象限. 故选：D 3．（20-21高一下·上海长宁·期末）已知复数在复平面上所对应的向量是，将绕原点顺时针旋转120°得到向量，则向量所对应的复数为 (结果用复数的代数形式表示). 【答案】 【分析】把绕原点按顺时针方向旋转得到，可知与所对应的复数为，代入三角函数值，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：向量与复数对应，把绕原点按顺时针方向旋转得到， 可得与对应的复数为 ， 故答案为：． 4．（20-21高一下·上海宝山·期末）设，，复平面上对应的点分别为，，，．若，，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意，将复数改写成三角形式，结合已知条件分别算出、、、和，即可求解. 【详解】由，得，由，得， 因，所以，即，且， 又因，所以，即，且, 因此. 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）设、、在复平面上对应的点分别为A、B、C，.若，，，求四边形的面积. 【答案】 【知识点】复数的三角表示、三角表示下复数的几何意义、三角形面积公式及其应用 【分析】写出复数的三角形式，根据三角形式几何意义得到，且，，且，利用三角形面积公式得到，相加后得到答案. 【详解】，得，由， 得. 因为，所以，即，且. 因为，所以，即，且. 设四边形的面积为， 则 题型五：复数乘、除运算的三角表示 1．（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】C 【分析】根据两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角，通过计算得到答案. 【详解】， 故选：C. 2．（23-24高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，设是坐标原点，向量，将绕点顺时针旋转得到向量，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】易得对应的复数，再由对应的复数是求解. 【详解】解：设向量对应的复数是，则， 所以对应的复数是： ， ， 所以的坐标是， 故答案为： 3．（22-23高一下·上海浦东新·期末）将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是 . 【答案】 【分析】根据复数的三角形式运算即可求解. 【详解】复数的三角形式是, 向量对应的复数是. 故答案为： 4．（20-21高一下·上海·课后作业）设复数，，则的辐角主值为 ． 【答案】 【分析】根据复数的三角形式，利用除法的集合意义为将辐角顺时针减小即可得解. 【详解】复数，， 则 . 所以的辐角主值为. 故答案为： 5．（20-21高一下·上海·课后作业）计算： ． 【答案】 【分析】根据复数相乘，辐角相加可得解. 【详解】. 故答案为：. 6．（20-21高一下·上海·课后作业）复数的辐角主值为 ． 【答案】 【分析】根据复数三角形式的运算得，进而得解. 【详解】 所以复数的辐角主值为. 故答案为：. 7．（24-25高一上·上海·课后作业）计算：． 【答案】 【分析】利用三角形式的复数乘法、除法、乘方运算法则求解即可. 【详解】因为 ． 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）设复数在复平面上所对应的向量是，将绕原点O按顺时针方向旋转，得到的向量为，求向量所对应的复数．（结果用复数的代数形式表示） 【答案】 【分析】将复数改写成三角形式，再利用三角形式的复数乘法的几何意义即得. 【详解】复数的三角形式是， 依题意，向量对应的复数是: ． 9．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算，并用复数的代数形式表示计算结果： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）运用复数的三角形式表示，并按照乘除规则计算即可. 【详解】（1） ． （2） ． 题型六：三角表示下复数的乘方与开方 1.（24-25高一上·上海·课后作业）计算： ． 【答案】 【分析】利用三角形式的复数乘法、除法、乘方运算法则求解即可. 【详解】 ． 故答案为：. 2．（22-23高一下·上海杨浦·期末）若是纯虚数（其中是虚数单位），则正整数的最小值为 . 【答案】 【分析】求得，根据复数的概念可得出的表达式，即可求得正整数的最小值. 【详解】因为 因为为纯虚数，则，可得， 可得，又因为，当时，正整数取最小值. 故答案为：. 3．（20-21高一下·上海·单元测试）已知复数，若（，且），则的最小值为 ． 【答案】7 【分析】根据复数的三角表示及三角形式下的乘方求得，然后根据的范围求得最小值. 【详解】复数，若 则， 则，，且 故的最小值为7， 故答案为：7. 4．（23-24高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用三角形式的复数乘法、除法、乘方运算法则，并结合特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】（1） （2） （3） 5．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，，若、在复平面上分别对应点A、B，且，求的立方根． 【答案】，， 【分析】根据题意，由条件可得，，然后结合复数的运算代入计算，即可得到结果. 【详解】由题设知．因为，即， 所以．又， 所以， ， 所以的立方根为，，1，2， 即，，． 6．（23-24高一·上海·课堂例题）计算，并将结果用复数的代数形式表示： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】利用三角形式的复数乘法、除法、乘方运算法则，并结合特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】（1） . （2） . （3） （4） . （5） . 一、单选题 1．（20-21高一下·上海·课后作业）已知复数和的辐角主值分别为、，则等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据题意，得到，结合两角和的正切公式，即可求解. 【详解】由题意，复数和的辐角主值分别为， 则，所以 . 故选：D. 2．（20-21高一下·上海·课后作业）已知方程的两个根在复平面上对应的点分别为、，则的面积为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】解方程求出两个复数根，从而可得、两点的坐标，再求出，进而可得三角形的面积 【详解】解：方程的根为， 即，， 所以， 所以，， ， 所以， 所以， 故选：B 3．（20-21高一下·上海·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的乘法计算化简，化为复数的三角形式，即可求解。 【详解】因为， 所以. 故选：D 4．（20-21高一下·上海宝山·期末）设是正整数，分别记方程、的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为与．若存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，则的值可以是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据题意，结合复数的乘方与开方，表示出集合，再把选项中的值分别代入计算得到集合，一一判断即可求解. 【详解】由，得， 即，故，0，1，2，4，5， 因此集合. 当时，同理得， 此时不存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个， 同理可知，时，也不满足题意，故ACD错； 当时，得： ， 当时，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，故B正确. 故选B. 二、填空题 5．（21-22高一下·上海闵行·期末）将复数化为三角形式： ． 【答案】 【分析】根据复数的三角表示的定义计算即可. 【详解】解：复数中，，设为复数的辐角主值， 又 所以. 故答案为：. 6．（23-24高一下·上海·期末）在复数范围内因式分解： ． 【答案】． 【分析】根据已知条件，结合求根公式和复数的概念，即可求解． 【详解】令， ，由求根公式可知，， 故． 故答案为：． 7．（21-22高一下·上海闵行·期末）若复数为虚数单位），则 ． 【答案】 【分析】将复数化为三角形式即可得辐角. 【详解】设复数的辐角为， 由 所以 故答案为： 8．（21-22高一下·上海嘉定·期末）复数的三角形式的辐角主值为 . 【答案】/ 【分析】直接由辐角主值的概念求解即可. 【详解】由辐角主值的概念知，的辐角主值为. 故答案为：. 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）28的平方根为 ；的平方根为 . 【答案】 【分析】利用平方根的定义求解即得. 【详解】令是28的平方根，则，而，于是， 所以28的平方根为； 令为的平方根，则，而，于是， 所以的平方根为. 故答案为：； 10．（20-21高一下·上海·课后作业）计算： ． 【答案】 【分析】根据复数三角形式的乘法法则计算可得； 【详解】解： 故答案为： 11．（20-21高一下·上海·单元测试）若，则的辐角主值为 . 【答案】 【分析】直接利用复数三角形式进行化简，求出的辐角主值． 【详解】，辐角． 得的辐角主值. 故答案为：. 12．（21-22高一下·上海虹口·期末）已知复数，若复数z满足，则复数z的辐角主值为 . 【答案】/ 【分析】根据复数的除法运算求出复数，再化为三角形式，即可得出答案. 【详解】解：因为，， 所以， 所以复数z的辐角主值为. 故答案为：. 13．（20-21高一下·上海长宁·期末）已知复数，满足，，则 . 【答案】 【分析】令，，由，得，从而，由此能求出． 【详解】解：复数，满足， 令， ，，整理得， 又， ． 故答案为：． 14．（21-22高一下·上海浦东新·阶段练习）关于的方程的一个根是，则 . 【答案】 【分析】将代入到方程中，可得到相应的方程组，解得m,n的值，可得答案. 【详解】因为关于的方程的一个根是， 故，即 ， 则，，解得 ，故， 故答案为： 15．（21-22高一下·上海长宁·期末）若是虚数单位，复数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据模长，设出，利用模长公式及三角恒等变换得到，由求出的取值范围. 【详解】因为，所以设， 故 ，其中， 因为，所以. 故答案为：. 16．（21-22高一下·上海普陀·期末）已知是复数的辐角主值，是向量和向量的夹角，则 . 【答案】 【分析】根据复数的三角形式求出的值，根据向量的数量积求出，然后根据来求解. 【详解】复数，可写成 即，其中称为的辐角，在间的辐角称为辐角主值.又 则，则. 又因为是向量和向量的夹角,则 ,又因为，所以. 则 故答案为： 三、解答题 17．（2021高一·上海·专题练习）求及的平方根． 【答案】的平方根为或；的平方根为或. 【分析】由可得出的平方根，设，根据复数的乘法运算可得出关于、的方程组，解出、的值，可得出的平方根. 【详解】，所以，的平方根为或. 设，即，所以，， 解得或，因此，的平方根为或. 18．（20-21高一下·上海·课后作业）是实系数一元二次方程的两个虚根，且是实数，求的值． 【答案】 【分析】利用实系数二次方程的两个虚根互为共轭的性质，结合是实数，利用共轭复数的运算性质将分母实数化，可以得到，再结合是虚数，利用1的立方根的性质，可以得到或，进而通过复数的运算求得. 【详解】． 或，其中， 从而可得． 或， ∴. 【点睛】本题考查实系数一元二次方程的虚根互为共轭，考查共轭复数的性质和运算，关键是1的立方虚根的性质与应用，一般的一个虚数的立方根为实数，设这个数,则,则,于是可设或. 19．（20-21高一下·上海·课后作业）计算． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）将复数写成三角形形式后，根据除法即为辐角作差，模相除可得解； （2）将复数写成三角形形式后，根据除法即为辐角作差，模相除可得解； 【详解】（1） ； （2） 20．（20-21高一下·上海·课后作业）已知． （1）求的最大值和最小正周期； （2）复数，，求的辐角主值． 【答案】（1）最大值，最小正周期；（2）． 【分析】（1）化简函数，进而可得最值和周期； （2）由可得解. 【详解】（1）∵， ∴的最大值和最小正周期． （2）∵，， ∴， 故辐角主值为． 21．（24-25高一上·上海·课后作业）已知复数z满足，且. (1)求z的三角形式； (2)记分别表示复数z、、在复平面上的对应点.已知三点成逆时针顺序，且为等边三角形，求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）解方程结合辐角范围得到复数，再表示为三角形式即可. （2）利用旋转的性质求出z、，最后利用辐角的性质求解即可. 【详解】（1）由，解得. ∵，∴应舍去， ∴. （2）由题意得，：，：. ∵，位置成逆时针顺序，又， ∴把按逆时针方向旋转即得， ∴， 将代入上式，解得， 由点在第三象限知. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$