第09讲 向量的数量积（5大知识点+7种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第二册）

第09讲 向量的数量积 课程标准 学习目标 1.通过平面向量的物理背景给出向量数量积的概念和几何意义的学习，培养数学建模和数学抽象的核心素养. 2.通过向量数量积的运算学习，提升数学运算和数据分析的核心素养. 1.平面向量的数量积．(重点) 2.投影向量的概念．(难点) 3.向量的数量积与实数的乘法的区别．(易混点) 知识点01 向量夹角的定义 （1）向量的夹角：两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为 （2）向量的夹角的定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量＝a， ＝b，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角. 当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 【即学即练1】（20-21高一下·上海浦东新·期中）已知，，． （1）求与的夹角大小； （2）求的值． 知识点02 向量的数量积及其几何意义 向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正可负可为0 【即学即练2】．已知向量，均为非零向量，且在方向上的投影是2，则下列说法正确的是（    ） A．在方向上的投影是－4 B．在方向上的投影是2 C．在方向上的投影是2 D．在方向上的投影是4 知识点03 向量的数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0. 【即学即练3】（22-23高一下·上海虹口·期中）两个非零平面向量的夹角的取值范围是 ． 知识点04 投影 如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下变换：过的起点a和终点b，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. 【即学即练4】（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知向量在上的投影向量为，且，则 ． 知识点05 向量数量积的性质、运算律、运算性质 向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 ①a·e＝e·a＝|a|cosθ②a⊥b⇔a·b＝0③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.在求解向量的模时一般转化为模的平方，但不要忘记开方④|a·b|≤|a|·|b|. 运算律：①a·b＝b·a；②（a＋b）·c＝a·c＋b·c 运算性质：类比多项式的乘法公式 【即学即练5】（23-24高一下·上海·期中）已知，满足，，，求. 题型一：平面向量数量积的几何意义 1.（21-22高一下·上海闵行·期末）如图，将四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，、是原来小正方形的其中两个顶点边，是小正方形的其余顶点，在所有中，不同的数值有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2.（23-24高一下·上海·期中）已知向量，，则在的方向上的数量投影为 ． 3.（22-23高一下·上海嘉定·期中）若，向量在方向上的数量投影为－1，则向量与的夹角 . 4．（22-23高一下·上海杨浦·期末）向量在向量方向上的数量投影为 . 5．（22-23高一下·上海虹口·期中）在边长为的正六边形中，点为其内部或边界上一点，则的取值范围是 ． 6.（20-21高一下·上海徐汇·期中）已知，两个向量，，，，求在方向上的投影与数量投影． 题型二：求投影向量 1.（20-21高一下·上海浦东新·期中）已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量与投影数量分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 2.（24-25高一·上海·随堂练习）已知的外接圆圆心为O，且，则在上的投影向量为 ． 3．（23-24高一下·上海·期末）已知，则在上的数量投影是 ． 4．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知向量，，与的夹角为，则在方向上的投影向量是 ． 5．（22-23高一下·上海嘉定·期末）若将向量绕原点按逆时针方向旋转得到，则在方向上的投影为 . 题型三：平面向量数量积的定义及辨析 1.（22-23高一下·上海闵行·期末）下列命题中正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 2．（22-23高一下·上海黄浦·阶段练习）已知平面上有三个点A，B，C，则命题“A，B，C可以构成一个A为钝角的钝角三角形”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（23-24高一下·上海·期中）在正方形中，向量与向量的夹角是 ．（用弧度制表示） 4．（21-22高一下·上海浦东新·期末）若平面向量､满足条件：､，则向量在向量的方向上的数量投影为 . 5．（21-22高一下·上海杨浦·期末）已知向量满足且，则在方向上的数量投影为 . 6.（2021高一下·上海·专题练习）求函数的最大值. 题型四：数量积的运算律 1.（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知是圆的直径上的两点，且是圆上的两个动点，且，则的最大值为 ． 2．（23-24高一下·上海·期中）已知等边的边长为6，点在边上，且，则 . 3．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知中，，，，则在方向上的数量投影为 ． 4．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知向量，的夹角为，且，，求． 5．（22-23高一下·上海闵行·期末）在矩形中，，，点、分别是边、的中点，设向量， (1)试用表示向量与； (2)求的值. 题型五：向量夹角的计算 1．（23-24高一下·上海·期中）已知为平面向量，且，，，则 ． 2．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知中，，且，则 . 3．（23-24高一下·上海·期末）已知，，则 . 4．（21-22高一下·上海长宁·期末）若，则 ． 5.（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知向量､的夹角为，且，设，. (1)求； (2)试用来表示的值； (3)若与的夹角为钝角，试求实数的取值范围. 6．（22-23高一下·上海虹口·期中）已知向量是同一平面内的两个向量，其中． (1)若，且与垂直，求与的夹角； (2)若，向量满足，且，求的值． 题型六：垂直关系的向量垂直 1.（22-23高一下·上海·期中）已知非零向量，，则是成立的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 2.（22-23高一下·上海普陀·期末）已知、是互相垂直的单位向量，则下列四个向量中模最大的是（    ） A． B． C． D． 3.（22-23高一下·上海普陀·期中）已知、均为单位向量，且，则 . 4.（21-22高一下·上海闵行·期中）已知向量 满足 ， 且 . (1)求向量 的夹角; (2)若 与 垂直， 求 的值. 题型七：已知模求数量积 1.（21-22高一下·上海普陀·期中）已知，，． (1)求； (2)求的值． 2．（22-23高一下·上海静安·期中）已知，求： (1)； (2)在方向上的数量投影 (3)； 3．（20-21高一下·上海静安·期中）已知三个互不相同的平面向量|，与夹角为，与夹角为，与夹角为． （1）求证：； （2），求的范围． 一、单选题 1．（22-23高一下·上海·期中）已知两个单位向量和的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·单元测试）在四边形中，若，且，则四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 3．（20-21高一下·上海·单元测试）已知与是非零向量，则是与垂直的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高一下·上海·期末）已知向量，满足，，，则下列四个命题中，正确命题的个数是（    ）． ①若，则的最小值为； ②若，则存在唯一的y，使得； ③若，则的最小值为； ④若，则的最小值为． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 5．（23-24高一下·上海·阶段练习）在直角中，，则的值是 ． 6．（24-25高一下·上海·单元测试）设，若向量、、满足，且，则满足条件的k的取值范围是 ． 7．（23-24高一下·上海松江·期末）已知，且，则 ． 8．（23-24高一下·上海·期中）已知，，则向量在向量方向上的投影向量为 . 9．（24-25高一上·上海·单元测试）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，则角C的大小为 . 10．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知 则在上的投影向量为 11．（23-24高一下·上海·期末）平面向量与是单位向量，夹角为，那么，向量、构成平面的一个基．若，则将有序实数对称为向量的在这个基下的斜坐标，表示为．设，，则 ． 12．（23-24高一下·上海·期末）在平面内，若有，，，则的最大值为 . 13．（24-25高一下·上海·单元测试）若，，与的夹角为，则向量与的夹角为 . 14．（23-24高一下·上海·期末）北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（如图②），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图①）.已知这个正六边形的边长为1，且P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是 . 15．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，线段上有动点，则的最小值为 ． 16．（23-24高一下·上海·期中）若均为单位向量，下列结论中正确的是 （填写你认为所有正确结论的序号） （1）若且，且，则的取值范围为； （2）若且，且，则的取值范围为； （3）若且对任意实数恒成立，则的最小值为； （4）若且对任意实数恒成立，则的最小值为. 三、解答题 17．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知是单位向量，，若向量满足，求的取值范围. 18．（20-21高一下·上海·单元测试）如图，平行四边形中，已知，，对角线，求对角线的长．    19．（22-23高一下·上海·期中）在中，为边上一点，设． (1)若，试用，的线性组合表示； (2)若，且，，求的值． 20．（23-24高一下·上海·期末）在中，，平面上的点满足，，动点在线段上（不含端点）． (1)设，用含有的式子表示； (2)设，求的最小值； (3)求的最小值． 21．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）． (1)若，用，表示； (2)若点为的外心，求、的值； (3)若点在的角平分线上，当时，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 向量的数量积 课程标准 学习目标 1.通过平面向量的物理背景给出向量数量积的概念和几何意义的学习，培养数学建模和数学抽象的核心素养. 2.通过向量数量积的运算学习，提升数学运算和数据分析的核心素养. 1.平面向量的数量积．(重点) 2.投影向量的概念．(难点) 3.向量的数量积与实数的乘法的区别．(易混点) 知识点01 向量夹角的定义 （1）向量的夹角：两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为 （2）向量的夹角的定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量＝a， ＝b，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角. 当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 【即学即练1】（20-21高一下·上海浦东新·期中）已知，，． （1）求与的夹角大小； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据平面向量的数量积的定义即可求出结果； （2）根据平面向量的模长与数量积的关系进行转化即可求出结果. 【详解】（1）由得，所以， 即，又因为，， 所以，故，又因为， 因此与的夹角为； （2） ，所以. 知识点02 向量的数量积及其几何意义 向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正可负可为0 【即学即练2】．已知向量，均为非零向量，且在方向上的投影是2，则下列说法正确的是（    ） A．在方向上的投影是－4 B．在方向上的投影是2 C．在方向上的投影是2 D．在方向上的投影是4 【答案】C 【分析】根据向量的投影的概念可得结果. 【详解】因为向量，均为非零向量，且在方向上的投影是2， 所以，而，， 所以在方向上的投影为， 在方向上的投影是. 故选：C. 知识点03 向量的数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0. 【即学即练3】（22-23高一下·上海虹口·期中）两个非零平面向量的夹角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据平面向量的夹角的定义即可得夹角的取值范围. 【详解】由题意两个非零平面向量的夹角的取值范围是， 故答案为： 知识点04 投影 如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下变换：过的起点a和终点b，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. 【即学即练4】（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知向量在上的投影向量为，且，则 ． 【答案】1 【分析】由投影向量的定义得到，对平方即可求解. 【详解】在上的投影向量为，得，， ，. 故答案为：. 知识点05 向量数量积的性质、运算律、运算性质 向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 ①a·e＝e·a＝|a|cosθ②a⊥b⇔a·b＝0③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.在求解向量的模时一般转化为模的平方，但不要忘记开方④|a·b|≤|a|·|b|. 运算律：①a·b＝b·a；②（a＋b）·c＝a·c＋b·c 运算性质：类比多项式的乘法公式 【即学即练5】（23-24高一下·上海·期中）已知，满足，，，求. 【答案】 【分析】根据已知条件，求得，再根据数量积求解目标即可. 【详解】由题可知，， 故. 题型一：平面向量数量积的几何意义 1.（21-22高一下·上海闵行·期末）如图，将四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，、是原来小正方形的其中两个顶点边，是小正方形的其余顶点，在所有中，不同的数值有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】D 【分析】根据数量积的几何意义，即可判断结果 【详解】根据向量数量积的几何意义可知，，，，所以所有中有3个数值. 故选：D 2.（23-24高一下·上海·期中）已知向量，，则在的方向上的数量投影为 ． 【答案】/ 【分析】利用数量投影的定义可求答案. 【详解】向量，，在的方向上的数量投影为. 故答案为： 3.（22-23高一下·上海嘉定·期中）若，向量在方向上的数量投影为－1，则向量与的夹角 . 【答案】/120° 【分析】根据平面向量投影的定义可得的值，即可得向量与的夹角大小. 【详解】因为向量在方向上的数量投影为，又， 所以，又，所以. 故答案为：. 4．（22-23高一下·上海杨浦·期末）向量在向量方向上的数量投影为 . 【答案】 【分析】利用数量积的几何意义根据题意直接求解即可 【详解】向量在向量方向上的数量投影为 ， 故答案为： 5．（22-23高一下·上海虹口·期中）在边长为的正六边形中，点为其内部或边界上一点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用数量积的几何意义去求的取值范围即可解决. 【详解】正六边形中，过点作于，    则，，， ， 由图可知，在方向上的投影的取值范围是， 所以，， 即，故的取值范围为. 故答案为：. 6.（20-21高一下·上海徐汇·期中）已知，两个向量，，，，求在方向上的投影与数量投影． 【答案】投影：；数量投影：． 【分析】由向量夹角正弦求出余弦值，然后根据数量积的几何意义求解． 【详解】由题意得，，所以； 则在方向上的投影： 在方向上的数量投影：． 题型二：求投影向量 1.（20-21高一下·上海浦东新·期中）已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量与投影数量分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用向量投影数量的概念可求得在方向上的投影数量，设在方向上的投影向量为，根据向量数量积的几何意义可得出，求出实数的值，即可得出结论. 【详解】设在方向上的投影向量为，则， 故，故在方向上的投影向量为， 在方向上的投影数量为. 故选：D. 2.（24-25高一·上海·随堂练习）已知的外接圆圆心为O，且，则在上的投影向量为 ． 【答案】 【分析】由图形的几何性质，结合投影向量的定义即可得解. 【详解】连接，如图所示： ，则， 故且， 由圆的性质可知，， 则四边形为菱形， 设菱形对角线的交点为D， 则， 故在上的投影向量为． 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海·期末）已知，则在上的数量投影是 ． 【答案】 【分析】由数量投影公式求解. 【详解】解：数量投影为：， 故答案为： 4．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知向量，，与的夹角为，则在方向上的投影向量是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即可. 【详解】向量，，与的夹角为，则， 所以在方向上的投影是. 故答案为： 5．（22-23高一下·上海嘉定·期末）若将向量绕原点按逆时针方向旋转得到，则在方向上的投影为 . 【答案】 【分析】先求得，然后根据投影的知识求得正确答案. 【详解】设， 则， ， 联立方程组得①， 由于向量绕原点按逆时针方向旋转得到， 所以方程组①解得， ， 所以在方向上的投影为： . 故答案为： 题型三：平面向量数量积的定义及辨析 1.（22-23高一下·上海闵行·期末）下列命题中正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据相等向量、零向量的定义判断A、C、D，根据向量数量积的定义判断B. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于B：若时，与的方向可能不同，与可能不相等，故C错误； 对于D：若时，即，所以，得不出，故D错误． 故选：B． 2．（22-23高一下·上海黄浦·阶段练习）已知平面上有三个点A，B，C，则命题“A，B，C可以构成一个A为钝角的钝角三角形”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及数量积即可求解. 【详解】当A，B，C可以构成一个A为钝角的钝角三角形时，， 从而命题“A，B，C可以构成一个A为钝角的钝角三角形”是“”的充分条件， 当三个点A，B，C共线且时，满是，但是A，B，C不能构成三角形， 从而命题“A，B，C可以构成一个A为钝角的钝角三角形”不是“”的不必要条件. 故选：A 3.（23-24高一下·上海·期中）在正方形中，向量与向量的夹角是 ．（用弧度制表示） 【答案】/ 【分析】直接根据向量夹角的概念求解. 【详解】向量与向量的夹角是的补角，而， 故. 故答案为：.    4．（21-22高一下·上海浦东新·期末）若平面向量､满足条件：､，则向量在向量的方向上的数量投影为 . 【答案】 【详解】向量在向量的方向上的数量投影为. 故答案为： 5．（21-22高一下·上海杨浦·期末）已知向量满足且，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【分析】先求得，进而求得在方向上的数量投影. 【详解】，， 所以在方向上的数量投影为. 故答案为： 6.（2021高一下·上海·专题练习）求函数的最大值. 【答案】39 【分析】设，，利用求得结果. 【详解】【解】设，，则，， 由得：， 当且仅当且方向相同时，不等式取“”号，即：， 解之得：.所以当时，. 题型四：数量积的运算律 1.（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知是圆的直径上的两点，且是圆上的两个动点，且，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合平面向量数量积的运算可得，即可得到结果. 【详解】 由题意可得，，则， 由可得， ， 当时，取得最大值为. 故答案为： 2．（23-24高一下·上海·期中）已知等边的边长为6，点在边上，且，则 . 【答案】24 【分析】由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算求解． 【详解】由题设知等边的边长为6，点在边上，且， 则． 故答案为：24． 3．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知中，，，，则在方向上的数量投影为 ． 【答案】 【分析】借助向量投影定义与数量积公式计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 4．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知向量，的夹角为，且，，求． 【答案】 【分析】根据数量积的定义与运算律运算求解. 【详解】因为，则， 可得， 整理得，解得或（舍去）， 所以. 5．（22-23高一下·上海闵行·期末）在矩形中，，，点、分别是边、的中点，设向量， (1)试用表示向量与； (2)求的值. 【答案】(1)；. (2) 【分析】（1）由向量的加法运算，结合已知中点和矩形的性质即可求解； （2）根据向量数量积的运算法则及（1）中的结论，运用向量数量积的运算方法进行计算即可求解. 【详解】（1）如图，因为点是边的中点，所以，    则， 同理，. （2）由（1）可知，，， 又因为为矩形，所以， 则. 题型五：向量夹角的计算 1．（23-24高一下·上海·期中）已知为平面向量，且，，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意结合数量积的运算律可得，代入夹角公式运算求解即可. 【详解】因为，则， 即，解得， 可得， 又因为，所以. 故答案为：. 2．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知中，，且，则 . 【答案】 【分析】根据，结合向量的数量积的运算公式，求得，即可求解. 【详解】在中，，且， 可得， 所以，解得， 因为，所以. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海·期末）已知，，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，由平面向量夹角公式代入计算，即可求解. 【详解】因为，， 则，又， 所以. 故答案为： 4．（21-22高一下·上海长宁·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】利用向量的夹角公式直接求解. 【详解】因为向量，，所以. 因为，所以. 故答案为： 5.（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知向量､的夹角为，且，设，. (1)求； (2)试用来表示的值； (3)若与的夹角为钝角，试求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量数量积运算求得正确答案. （2）利用向量数量积运算求得正确答案. （3）根据与的夹角为钝角列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）. （2） . （3）由于与的夹角为钝角，于是且与不平行. 其中，而， 于是实数的取值范围是. 6．（22-23高一下·上海虹口·期中）已知向量是同一平面内的两个向量，其中． (1)若，且与垂直，求与的夹角； (2)若，向量满足，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直得到，得到答案. （2）计算得到，得到答案. 【详解】（1）与垂直，则， 故，，故. （2），故，即， 即，故. 题型六：垂直关系的向量垂直 1.（22-23高一下·上海·期中）已知非零向量，，则是成立的（    ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】C 【分析】由充分条件和必要条件的定义，结合向量数量积的运算判断结果. 【详解】，为非零向量，当时，有， 则，， 有，得，充分性成立； 当时，有，即， 得，则有，必要性成立. 所以是充要条件. 故选：C. 2.（22-23高一下·上海普陀·期末）已知、是互相垂直的单位向量，则下列四个向量中模最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，利用转化法分别求各项的模长，进而可得结果. 【详解】由题意可知：. 对于选项A：； 对于选项B：； 对于选项C：； 对于选项D：； 显然均小于1，大于1，所以模最大的向量是. 故选：D. 3.（22-23高一下·上海普陀·期中）已知、均为单位向量，且，则 . 【答案】 【分析】根据向量垂直时数量积等于0，可求得，根据向量的夹角公式即可求得答案. 【详解】由已知、均为单位向量，且， 可得，即， 即， 故，由于， 故， 故答案为： 4.（21-22高一下·上海闵行·期中）已知向量 满足 ， 且 . (1)求向量 的夹角; (2)若 与 垂直， 求 的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平方可求得，再利用数量积定义即可求出； （2）由题可得，即可求出. 【详解】（1）因为，，所以， 即，即，可得， 所以，所以； （2）若 与 垂直，则，即，即，解得. 题型七：已知模求数量积 1.（21-22高一下·上海普陀·期中）已知，，． (1)求； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用平面向量的模长及数量积运算即可求解. （2）用公式，展开即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以，即， 即，又，所以 （2） 2．（22-23高一下·上海静安·期中）已知，求： (1)； (2)在方向上的数量投影 (3)； 【答案】(1)3 (2)1 (3) 【分析】（1）将两边平方，即可求得答案； （2）根据数量投影的定义即可求得答案； （3）根据向量模的公式结合数量积的运算律，即可求得答案. 【详解】（1）由题意，则， 则，即； （2）在方向上的数量投影为 （3）. 3．（20-21高一下·上海静安·期中）已知三个互不相同的平面向量|，与夹角为，与夹角为，与夹角为． （1）求证：； （2），求的范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）计算数量积可证； （2）平方，由数量积的运算可求得的范围． 【详解】（1）， ． （2）与夹角为．，， ， ， 一、单选题 1．（22-23高一下·上海·期中）已知两个单位向量和的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的定义求出，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为两个单位向量和的夹角为， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B 2．（24-25高一上·上海·单元测试）在四边形中，若，且，则四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】C 【分析】根据向量相等得到四边形为平行四边形，再由得到，即可得解. 【详解】四边形中，所以且，所以四边形为平行四边形， 又，所以，即，所以平行四边形为矩形. 故选：C 3．（20-21高一下·上海·单元测试）已知与是非零向量，则是与垂直的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用已知条件证明必要性和充分性即可. 【详解】因为与是非零向量，当时， ， 所以与垂直，故充分性成立； 若与垂直， 则 因为与是非零向量， 所以， 所以必要性成立， 故若与是非零向量，则是与垂直的充要条件， 故选：C. 4．（23-24高一下·上海·期末）已知向量，满足，，，则下列四个命题中，正确命题的个数是（    ）． ①若，则的最小值为； ②若，则存在唯一的y，使得； ③若，则的最小值为； ④若，则的最小值为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】对于①，对两边平方转化为求的最值可判断①；对两边同乘以可判断②；对两边平方然后利用基本不等式可判断③；由③知可判断④. 【详解】，， 对于①，若，则 ，当且仅当时，取得等号， 的最小值为的最小值为①正确； 对于②，若，由得， 存在唯一的，使得，②正确； 对于③，若，则 ， 当且仅当时取得等号， 又，当且仅当，时取得等号，③正确； 对于④，若，则， 由③知，④正确. 故答案为：D. 二、填空题 5．（23-24高一下·上海·阶段练习）在直角中，，则的值是 ． 【答案】 【分析】将作为基底，用将表示，代入化简计算即可. 【详解】因为，所以， 因为,， 所以, 故答案为： 6．（24-25高一下·上海·单元测试）设，若向量、、满足，且，则满足条件的k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意得，结合已知有，由的范围即可得解. 【详解】，     ， ，． 故答案为：. 7．（23-24高一下·上海松江·期末）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】由向量数量积定义以及模长公式即可计算得解. 【详解】由题， 所以. 故答案为：. 8．（23-24高一下·上海·期中）已知，，则向量在向量方向上的投影向量为 . 【答案】 【分析】利用在方向上的投影向量公式即可得到答案. 【详解】向量在向量方向上的投影， 即. 故答案为：. 9．（24-25高一上·上海·单元测试）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，则角C的大小为 . 【答案】或 【分析】利用正弦定理和余弦定理，结合向量的数量积的定义即可得解 【详解】因为，由正弦定理得，即. 由， 得， 所以或， 当时，； 当时， 由余弦定理得，所以. 综上所述，或. 10．（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知 则在上的投影向量为 【答案】 【分析】根据投影向量的公式即可得解. 【详解】因为，且 所以在 上的投影向量为 . 故答案为： . 11．（23-24高一下·上海·期末）平面向量与是单位向量，夹角为，那么，向量、构成平面的一个基．若，则将有序实数对称为向量的在这个基下的斜坐标，表示为．设，，则 ． 【答案】1 【分析】由，，再结合平面向量的数量积公式得解； 【详解】由已知，有，，             . 故答案为：1. 12．（23-24高一下·上海·期末）在平面内，若有，，，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据题意，得到，所以，作，则，连接，取的中点，连接，作，连接，得到，得出点在以为直径的圆上，得到当运动到圆的最右侧时，在上的投影最大，此时最大，进而求得最大值. 【详解】由向量，，可得， 可得，所以， 如图所示，作，则，且， 连接，取的中点，连接，则， 因为，可得，所以， 作，连接，则，所以， 所以点在以为直径的圆上， 所以当运动到圆的最右侧时，在上的投影最大，此时最大， 由，, 因为，且，所以， 所以在上的最大投影为， 所以. 故答案为：. 13．（24-25高一下·上海·单元测试）若，，与的夹角为，则向量与的夹角为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及向量夹角公式计算即得. 【详解】依题意，，， ，， 因此，而， 所以向量与的夹角。 故答案为： 14．（23-24高一下·上海·期末）北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（如图②），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图①）.已知这个正六边形的边长为1，且P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由的几何意义表示向量在方向上的投影乘以，在借助图像可知当点在C点处时，有最大值，由此即可求出答案. 【详解】， 几何意义表示向量在方向上的数量投影乘以， 由图可知：当点P在点C处时，有最大值， 此时，， 所以的最大值是. ，所以取值范围为. 故答案为：. 15．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，线段上有动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先分别过作、交于点和，求出，设，接着根据数量积定义以及题中所给条件求得，从而求出即可得解. 【详解】分别过作交于点，作交于点， 则， 设，则， 由题可知即， 所以，故的最小值为. 故答案为：. 16．（23-24高一下·上海·期中）若均为单位向量，下列结论中正确的是 （填写你认为所有正确结论的序号） （1）若且，且，则的取值范围为； （2）若且，且，则的取值范围为； （3）若且对任意实数恒成立，则的最小值为； （4）若且对任意实数恒成立，则的最小值为. 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】（1）利用向量关系作出几何图形，可知，从而利用数形结合求得； （2）与（1）比较仅改变了，同理利用数形结合去求出； （3）要利用模的平方等于向量的平方进行计算，从而转到到一元二次不等式恒成立，即可以求出，并求出与夹角为，从而确定两向量的位置关系，再分析,即可求得最小值; （4）关键是作出图形后，利用转化为几何关系求最小值. 【详解】 由且均为单位向量，作图：， 因为，即，所以点在以为直径的圆上或内部， 又因为，所以点又在点为圆心的单位圆上，即点在圆的劣弧上， 又由，所以由图可得，故（1）正确； 由于与（1）不同，假设点为圆心半径为圆与以为直径的圆相交于点，则点在圆的劣弧上，由图可知以为直径的圆也是以为直径的圆，所以，由，可得， 所以由图可得，故（2）正确； 由平方得：， 又因为，所以得：， 上式是关于的一元二次不等式，由于对任意实数恒成立， 所以， 即，所以，由，可得， 又因为，所以，此时均为单位向量，如图： 由，可知 ， 而因为点是单位圆上的动点，所以， 此时由，可得：， 所以，故(3)正确； 由，作一个同心圆且半径为，分别交于点则， 由于三角形是等腰三角形，分别为的中点，可得， 所以，而，所以，故（4）正确； 故答案为：（1），（2），（3），（4）. 【点睛】方法点睛：关键把定向量转化为定点，把动向量转化为动点，最后研究向量的模转化为动点到定点的距离问题，再利用几何中的不等式关系就可以得到结果. 三、解答题 17．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）已知是单位向量，，若向量满足，求的取值范围. 【答案】 【分析】根据，结合和，得到方程，即可求解. 【详解】解：向量和是单位向量，且，可得， 所以， 因为，且，所以，且， 所以（是与的夹角）. 又因为，所以，则， 解得，即的取值范围为. 18．（20-21高一下·上海·单元测试）如图，平行四边形中，已知，，对角线，求对角线的长．    【答案】 【分析】设，，利用求出，再利用计算即得． 【详解】设，，则，， 而， 所以，所以， 又， 所以， 即． 19．（22-23高一下·上海·期中）在中，为边上一点，设． (1)若，试用，的线性组合表示； (2)若，且，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，再根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）依题意可得，又，再根据数量积的运算律计算可得. 【详解】（1）因为，所以， 所以. （2）因为，所以，又， 所以 . 20．（23-24高一下·上海·期末）在中，，平面上的点满足，，动点在线段上（不含端点）． (1)设，用含有的式子表示； (2)设，求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】(1)由平面向量的线性运算求解； (2)由 ，得，则，由基本不等式求解； (3) ，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：   ； （2）因为，，由(１)得， 得， 由， 得， 则， 因为，所以， 则， 等号成立时，，得， 故的最小值为； （3）因为，所以， 则 ， 因为，所以当时，取得最小值为． 21．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）． (1)若，用，表示； (2)若点为的外心，求、的值； (3)若点在的角平分线上，当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)，； (3) 【分析】（1）可化简，化简后可用表示，表示，代入即可； .（2）由点为的外心，可得，利用这两个关系式可求、的值； （3）设为的平分线，则，利用平面向量基本定理和共线向量定理可得：，再根据平面向量基本定理可得，求出的范围后利用数量积可得，从而可得的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 化简后可得，所以， 若，则. （2）如图，设的中点分别为，连接， 则， 又，同理， 又， 即，同理， 整理得到，解得； （3）如图，为的平分线，则， 所以， 设，. 故， 因为不共线，故，所以， 因为，所以，故. 又, 所以，所以. 故的取值范围为. 【点睛】本题考查平面向量基本定理、向量的数量积，解题时注意根据外心、角平分线等几何性质实现向量计算时的转化，本题属于难题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$