第03讲 解三角形（3大知识点+7种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第二册）

第03讲 解三角形 课程标准 学习目标 1.借助正、余弦定理的推导过程，提升逻辑推理素养． 2．通过正、余弦定理的应用，培养数学运算素养. 1. 掌握正、余弦定理及其推论．(重点) 2．掌握正、余弦定理的综合应用．(难点) 3．能应用正、余弦定理判断三角形的形状．(易错点) 4.能将实际问题转化为解三角形问题．(难点) 5．能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．(重点） 知识点01正弦定理 正弦定理：． 【即学即练1】（22-23高一下·上海浦东新·期末）在三角形ABC中，，则B=（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】利用正弦定理求得，进而求得正确答案. 【详解】三角形ABC中，， 由正弦定理得， 因为，则B是锐角，所以 故选：A 知识点02余弦定理 余弦定理：． 【即学即练2】（23-24高一下·上海·期末）在中，，则 ． 【答案】 【分析】由余弦定理结合配方法就可以求解. 【详解】由余弦定理得：， 又因为， 所以，即， 故答案为：. 知识点03三角形面积公式 三角形面积公式： 【即学即练3】（22-23高一下·上海静安·期中）在中，已知，，，求和. 【答案】或，或 【分析】与正弦定理可得，则或，即可求出，再由两角和与差的余弦公式结合三角形的面积公式即可得出答案. 【详解】因为，所以，所以， 由正弦定理可得：，则，则， 则或. 若，，则， 则， 若，，则， 则. 故或，或. 题型一：正弦理解三角形 1.（21-22高一下·上海徐汇·期中）若在中，是的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】C 【分析】在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】解：在三角形中，若，根据大角对大边可得边，由正弦定理，得． 若，则正弦定理，得，根据大边对大角，可知． 所以，“”是“”的充要条件． 故选：C． 2.（21-22高一下·上海闵行·期末）在中，若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据正弦定理直接代入计算，即可得到结果. 【详解】由正弦定理可得，即 故答案为: 3.（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，若，，，则 . 【答案】 【分析】由正弦定理得到方程，求出答案. 【详解】由正弦定理得，故， 即，解得. 故答案为： 4.（23-24高一下·上海·期中）在中，角，，的对边分别为，，，，求的值 【答案】或 【分析】由正弦定理解三角形. 【详解】在中，由， 利用正弦定理得，由于，所以或． ①当时，利用三角形内角和定理， ②当时，利用三角形内角和定理. 题型二：正弦定理边角互化的应用 1.（21-22高一下·上海徐汇·期中）O为锐角△ABC的外心，O到三边a，b，c的距离分别为k，m，n，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用O为锐角△ABC的外心，根据正弦定理可得： ， 化简即可得解. 【详解】设为外接圆半径， 根据垂径定理可得，，， 所以由正弦定理且为锐角三角形可得： ， 故选：D 2.（23-24高一下·上海·期末）已知的周长为18，若，则此三角形中最大边的长为 ． 【答案】8 【分析】根据正弦定理，求出，再借助周长求出最大边长即可． 【详解】在中，由正弦定理及，得， 而的周长为18，则，解得， 所以最大的边长． 故答案为：8 3.（22-23高一下·上海·期中）在中，内角所对的边分别为 ，若 ，则的值为 . 【答案】/ 【分析】利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式计算可得. 【详解】在中，∴， 由正弦定理可得， 即， 因为，，可得. 故答案为： 4.（20-21高一下·上海普陀·期中）在中，内角、、所对的边分别为，，，已知，求证：． 【答案】证明见解析. 【分析】先切化弦，由正弦定理边化角，再利用和角差角的正弦公式化简即可求证. 【详解】因为， 所以， 即， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，可得， 因为，所以，即得证. 题型三：三角形面积公式及其应用 1.（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，，其面积为，则边 . 【答案】10 【分析】由三角形的面积公式求解． 【详解】由，得， 得， 故答案为：10 2．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，，，，则△ABC的面积为 . 【答案】 【分析】由，计算可求面积. 【详解】因为在中，，， 所以. 故答案为：. 3.（20-21高一下·上海浦东新·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角； （2）若，的面积为，求的值. 【答案】（1）；（2）5. 【分析】（1）由已知利用正弦定理将边化角，即可求出，进而可求； （2）由已知结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）根据正弦定理可得， 因为，所以， 因为， 所以 又，所以 （2）因为，的面积为，所以，解得，所以的值为5 4．（20-21高一下·上海闵行·期中）（1）证明：； （2）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，求的面积S． 【答案】（1）证明见解析 ；（2）18. 【分析】（1）根据同角三角函数关系以及二倍角的正弦公式证明即可； （2）根据正弦定理以及三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明： ， 故原命题成立； （2），， 又，则，且， 故， 的面积． 题型四：正弦定理判定三角形解的个数 1.（20-21高一下·上海金山·期中）满足下列条件的三角形中，有1解的个数是（    ） （1）    （2） （3）    （4） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据各组条件中的两边一对角的值，利用正弦定理，求出另一边的对角的正弦值，根据其值的大小，结合大边对大角，判定角的解的个数，即为△ABC的解的个数. 【详解】（1）又∵,∴为锐角，故有唯一解，∴满足（1）中的条件的三角形有唯一解； （2）又∵,∴,∴为锐角，故有唯一解，∴满足（2）中的条件的三角形有唯一解； （3）无解，∴满足（3）中的条件的三角形无解； （4）又∵,∴,∴为锐角或钝角，故有两解，∴满足（4）中的条件的三角形有两解； 故选：C. 【点睛】由两边一对角判定三角形的解的个数，利用正弦定理求得这两边中另一边的对角的正弦，若正弦值大于1，则无解；若正弦值等于1，则只有一解；若正弦值小于1，要结合大边对大角进行判定解的个数. 2.（22-23高一下·上海徐汇·期中）在中，，，，则的解的个数是 个. 【答案】2 【分析】利用正弦定理即可判断三角形有两解. 【详解】在中，，，， ，由则，如图： 所以此时有两解. 故答案为: 2. 3.（21-22高一下·上海黄浦·期末）判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是 . ①，，； ②，，； ③，，； ④，，. 【答案】①④ 【分析】利用正弦定理解三角形即可确定①②③中的三角形的个数；根据三角形全等的判定可知④正确. 【详解】对于①，由正弦定理得：， ，，即，，则三角形有唯一解，①正确； 对于②，由正弦定理得：， ，，即，或，则三角形有两解，②错误； 对于③，由正弦定理得：，无解，③错误； 对于④，三角形两角和一边确定时，三角形有唯一确定解，④正确. 故答案为：①④. 4.（20-21高一下·上海虹口·期中）在△中，角、、所对的边分别为、、，若，，且该三角形有唯一解，则的取值范围为 【答案】 【分析】由正弦定理得，依题意得或，进而可得结果. 【详解】因为，，由正弦定理得， 要使三角形有唯一解，则或，所以或， 即或，解得或. 故答案为：. 题型五：正弦定理求外接圆半径 1.（20-21高一下·上海闵行·期中）在中，已知，设以下说法错误的是（    ） A．若有两解， B．若有唯一解， C．若无解， D．当，外接圆半径为10 【答案】B 【分析】首先计算，再根据正弦定理判断三角形解的个数的公式，即可判断选项. 【详解】， 若有两解，则，即，故A正确； 若有唯一解，则，或，即或，故B错误； 若无解，则，即，故C正确； 当时，根据正弦定理，得，故D正确. 故选：B 2.（22-23高一下·上海虹口·期末）在△中，，，为边的中点，则△的外接圆面积与的外接圆面积之比为 . 【答案】 【分析】利用正弦定理以及图形的几何关系求解. 【详解】设△的外接圆为,的外接圆半径为, 在△由正弦定理得,在中由正弦定理得, 又∵,∴， ∴, 故答案为：. 3．（22-23高一下·上海青浦·期中）在中，已知，，设，以下说法正确的是 ①若有两解，；②若有唯一解， ③若无解，；④当，外接圆半径为6 【答案】①③④ 【分析】由题设可得到上的高为，根据各项三角形解的个数及三角形性质判断的范围，应用正弦定理求外接圆半径. 【详解】 由，即到上的距离为， 若有两解，则，即，①对； 若有唯一解，则或，即，②错； 若无解，则，即，③对； 当时，△ABC外接圆半径，④对. 故答案为：①③④ 4.（21-22高一下·上海普陀·期末）中，角、、所对的边分别为、、，已知. (1)求边、的长度； (2)求的面积及其外接圆半径. 【答案】(1) (2)；4 【分析】(1)根据三角形内角和定理得出，然后利用正弦定理即可求解； (2)利用三角形面积公式和正弦定理即可求解. 【详解】（1）因为，所以在中，， 由正弦定理得：，也即， 所以； （2）由三角形的面积公式可得：的面积， 由正弦定理可得：外接圆半径. 题型六：余弦定理解三角形 1.（23-24高一下·上海·期中）某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人（    ） A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形 C．能作出一个直角三角形 D．能作出一个钝角三角形 【答案】D 【分析】由已知结合三角形的面积公式可表示出三边长，然后结合余弦定理即可判断． 【详解】设三条高的长度分别为所对的三边分别为，，， 则由三角形面积公式可知，， 故可设，，，则，故， 则最大角为，由余弦定理得： 则为钝角，故此三角形为钝角三角形． 故选：D． 2.（22-23高一下·上海浦东新·期末）在中，，则角的余弦值是 . 【答案】/ 【分析】直接利用余弦定理求解即可. 【详解】在中，， 则. 故答案为：. 3.（24-25高一下·上海·期中）在中，设内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知，． (1)求角A的值； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理结合已知得即可求解； （2）由三角形面积公式得，进一步由余弦定理得即可求解. 【详解】（1）根据余弦定理得， 则，而，从而； （2）， 则， 由余弦定理得 ， ∴，∴． 4.（21-22高一下·上海杨浦·期中）如图：我国近海某海域上有四个小岛，小岛B与小岛A，C相距都为5公里，与小岛D相距公里；已知∠BAD为钝角，且. (1)求小岛A与小岛D之间的距离； (2)求四个小岛所形成的四边形ABCD的面积.（提示） 【答案】(1)2 (2)18 【分析】（1）由∠BAD为钝角，且，得到,然后在中， 利用余弦定理求解； （2）根据A、B、C、D四点共圆，得到∠BAD与∠BCD互补，进而得到，然后在中，利用余弦定理求得CD，由求解. 【详解】（1）解：因为∠BAD为钝角，且， 所以, 在中， 由余弦定理得， 所以， 解得或（舍去）；. （2）因为A、B、C、D四点共圆， 所以∠BAD与∠BCD互补， 所以， 在中， 由余弦定理得， 所以， 解得或（舍去）；. ， ， . 题型七：余弦定理边角互化的应用 1.（22-23高一下·上海虹口·期中）某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是，则该三角形（    ）． A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【答案】C 【分析】设的边上的高分别为,由此可令，，由余弦定理即可判断三角形形状. 【详解】设的内角的对边分别是， 且边上的高分别为, 则,令，则， 故，故A为钝角， 又，A为三角形最大角，故该三角形为钝角三角形， 故选：C 2．（21-22高一下·上海杨浦·期中）在中，下列说法中错误的是（    ）． A． B． C． D．，则为锐角三角形 【答案】D 【分析】对于A，在三角形中，，所以，可判断A； 对于B，根据内角和余弦定理得单调性判断即可； 对于C，根据正弦定理和三角形中的两边之和大于第三边可判断； 对于D，化简为，则，所以角为锐角，即可判断. 【详解】对于A，在三角形中，，所以，故A正确； 对于B，，则，且，在上递减，所以即，故B正确； 对于C，在三角形中，，由正弦定理得：，所以，故C正确； 对于D，得：，则 ，则，则，所以角为锐角，三角形不一定是锐角三角形，所以D错误. 故选：D. 3.（22-23高一下·上海奉贤·期中）在中，若，则 【答案】 【分析】根据正弦定理可知，设，利用余弦定理即可求出． 【详解】由正弦定理，且，则，设， 由余弦定理，可得. 故答案为：. 4．（23-24高一下·上海·期中）的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，则= . 【答案】/ 【分析】由正弦定理化角为边，得，再由余弦定理化边为角即可求解. 【详解】由结合正弦定理得，则， 即，由余弦定理有， 而，所以. 故答案为：. 一、单选题 1．（21-22高一下·上海杨浦·期中）中，，的对应边分别为，，且，，，那么满足条件的三角形的个数有（    ） A．一个； B．两个； C．0个； D．无数个 【答案】C 【分析】根据余弦定理即可求得. 【详解】有已知及余弦定理可得： 故 所以方程无实数根. 故选：C 2．（23-24高一下·上海·期末）的内角，，的对边分别为，，，满足，则角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理的推论求得，求解即可. 【详解】因为，所以， 即，所以， 因为，所以， 故选：B 3．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（    ） ①； ②； ③； ④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】分别对各选项化简，分析是否能得出△ABC为直角三角形即可. 【详解】①由正弦定理，，则，即， 故或，即或， 故不能推出△ABC为直角三角形，故①错误； ②，则， 即，故. 因为，故或， 即（舍）或，则不能推出△ABC为直角三角形，故②错误； ③，则， 即， 故， 即， 即，故. 因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故③正确； ④，则， 即， 故， 故， 即，故. 因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故④正确. 综上有③④是△ABC为直角三角形的充分条件. 故选：B 4．（20-21高一下·上海浦东新·期中）已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】利用余弦定理将角化为边整理，即可得三角形的边之间的关系，从而可得此三角形的形状. 【详解】由余弦定理，可得 ， 整理，得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以或或，故三角形为等腰三角形. 故选：A 二、填空题 5．（23-24高一下·上海·期中）在中，是的三边且满足，则角A的大小为 . 【答案】 【分析】根据题意利用余弦定理边角转化即可得结果. 【详解】因为，即， 由余弦定理可得， 且，所以. 故答案为：. 6．（23-24高一下·上海·期中）在中，，，，则的面积为 . 【答案】12 【分析】先由同角三角函数的关系求出，然后利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】因为，， 所以， 所以的面积为， 故答案为：12 7．（21-22高一下·上海奉贤·期末）在中，，三角形的面积等于，则的长为 . 【答案】或 【分析】由面积公式求出，即可得到，再利用余弦定理计算可得； 【详解】解：因为，且三角形的面积等于， 所以，所以， 因为，所以或， 当时，由余弦定理，所以； 当时，由余弦定理，所以； 故答案为：或 8．（21-22高一下·上海浦东新·期末）在中，、、所对边分别为、、，若，的面积为6，则 ． 【答案】 【分析】由已知利用三角形面积公式可求的值，进而利用余弦定理即可计算得的值． 【详解】∵， ∴可得， ∵的面积为， ∴， ∵， ∴由余弦定理，可得： ∴解得： 故答案为： 9．（23-24高一下·上海·期中）已知三边上的高分别为、、，且，则此三角形最大角的余弦值为 . 【答案】 【分析】利用三角形面积公式，将高之比转化为对应边长之比，利用余弦定理即可求得. 【详解】因的面积，则，故， 显然角为最大角，不妨设（），则， 由余弦定理，. 故答案为：. 10．（23-24高一下·上海·期中）在中，若，，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据正弦定理求得，再根据余弦定理可得求解即可. 【详解】由余弦定理可得，即. 由正弦定理，故. 又，故，即. 又，故， 故. 故答案为：. 11．（22-23高一下·上海黄浦·期末）在中，若，，且，则 ． 【答案】或 【分析】由正弦定理可求出，再由余弦定理可得，解方程即可得出答案. 【详解】由正弦定理可得：，故， 所以，由余弦定理可得：， 所以，可得，则， 又因为，所以可以看成是一元二次方程的两根， 所以，解得：或， 故或. 故答案为：或 12．（22-23高一下·上海宝山·期中）在中，，，面积，则边长为 ． 【答案】或 【分析】根据三角形面积公式求出角，再根据余弦定理求得. 【详解】，， 又，所以或， 当时，根据余弦定理得： ，； 当时，根据余弦定理得： ，， 故答案为：或. 13．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，若，且，则的周长为 . 【答案】 【分析】由正弦定理及余弦定理求出，求解即可． 【详解】由正弦定理可得，故， 所以，由余弦定理可得， 所以，可得，则， 则周长为： 故答案为：． 14．（23-24高一下·上海·期中）已知的面积为，角，，所对的边分别为，，，且，则 . 【答案】 【分析】由三角形的面积公式、余弦定理可得，即，又可得和，代入即可得出答案. 【详解】因为，则， 所以，即， 即，因为， 所以，即， 又因为，所以，所以， 所以由可得：，所以， 因为，所以， 所以，即， 所以. 故答案为：. 15．（23-24高一下·上海金山·期末）为了研究问题方便，有时候余弦公式会写成：，利用这个结构解决如下问题：如果三个正实数满足：，，则 . 【答案】 【分析】设的角的对边分别为、、，在内取点，使得，设，，，利用余弦定理得出的三边长，由此计算出的面积，再利用可得出的值. 【详解】设的角的对边分别为、、， 在内取点，使得， 设，，， 由余弦定理得，， ，∴， ，∴， 则，即角B为直角，则， 由， 得， 即，所以. 故答案为：. 16．（20-21高一下·上海闵行·期中）设的内角A、B、C满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先利用基本不等式求得，再根据余弦定理变形得， 将余切转化为正余弦，再利用正弦定理边角互化，转化为，最后利用角的范围求最值. 【详解】由题意得， 另一方面，， ，当且仅当时取到最小值． 故答案为： 三、解答题 17．（22-23高一下·上海嘉定·期中）在中，，，. (1)求； (2)求的面积S. 【答案】(1) (2)84 【分析】（1）根据余弦定理即可求解； （2）由（1）可求得，再根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）由题意可知，， 根据余弦定理可得； （2）由（1）可知，，又因为， ， 所以的面积 18．（23-24高一下·上海·期末）在中，内角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用三角函数关系式和恒等变换，求得，进而求得的值； （2）根据题意，利用正弦定理和三角形的面积公式，求得和，结合余弦定理，列出方程，求得的值，进而得到三角形的周长. 【详解】（1）解：由题意知， 因为，可得， 所以，可得，即 由于，可得，所以，解得． （2）解：因为，由正弦定理得， 又因为的面积为，可得，解得， 所以，解得， 由余弦定理， 即，可得，所以的周长为． 19．（23-24高一下·上海黄浦·期末）在中，已知边上的中线长为． (1)求证：； (2)若边上的中线长分别为，当为钝角三角形时，求m、n、t之间所满足的关系式，并指出哪个角为钝角． 【答案】(1)证明见解析 (2)，为钝角 【分析】（1）根据两次余弦定理并结合角互补即可即可证明； （2）同（1）得到，，再利用合理变形即可得到m、n、t之间关系式，再通过作差法即可得到的大小关系，则得到为钝角. 【详解】（1）因为， 则， 则在和利用余弦定理得， 化简得. （2）由（1）知①， 同理可得②，③， ①②③得④， 则m、n、t满足④式， ④①得， 同理可得，， 因为，则 则，则， ，则， 则，则，根据大边对大角，则为钝角. 20．（23-24高一下·上海·期中）某农场计划圈出一块平面四边形区域种植两种农作物.如图，经测量已知，.现在将连接，在区域内种植农作物甲，在区域内种植农作物乙. (1)计算发现：无论多长，始终为定值.请你验证该结论，并求出这个定值； (2)已知农作物甲的经济收益与种植面积的平方成正比，比例系数为1；农作物乙的经济收益与种植面积的平方成正比，比例系数为2.记与的面积分别为和.请你帮助该农场规划四边形区域的大小，使得该种植计划经济收益最大. 【答案】(1)验证见解析，为定值 (2)时，该种植计划经济收益最大 【分析】（1）利用余弦定理推出与的关系，即可求得为一个定值； （2）由题意可知该种植计划经济收益为，求出的表达式，利用二次函数的基本性质以及余弦函数值的取值范围，可得出的最大值，从而可规划农场四边形区域的大小． 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， ，则， 故为定值； （2）由题意可知该种植计划经济收益为，由（1）知， 则 ， 当时，取到最大值. 21．（22-23高一下·山东济南·期末）射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为．对于四个有序点，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作．    (1)证明：； (2)已知，点为线段的中点，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面积公式表示出、即可得到，同理得到，即可得证； （2）由（1）可得，即可得到，设，，利用余弦定理与正弦定理得到方程组，求出，，再由余弦定理计算可得. 【详解】（1）在、、、中， ， 所以， 又在、、、中， ， 所以， 又，，， 所以， 所以. （2）由题意可得，所以， 即，所以，又点为线段的中点，即， 所以，又，则，， 设，且， 由，所以， 即，解得①， 在中，由正弦定理可得②， 在中，由正弦定理可得③， 且， ②③得，即④ 由①④解得，（负值舍去），即， 所以. 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是理解所给定义，利用面积公式求出线段的比，利用整体思想计算. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 解三角形 课程标准 学习目标 1.借助正、余弦定理的推导过程，提升逻辑推理素养． 2．通过正、余弦定理的应用，培养数学运算素养. 1. 掌握正、余弦定理及其推论．(重点) 2．掌握正、余弦定理的综合应用．(难点) 3．能应用正、余弦定理判断三角形的形状．(易错点) 4.能将实际问题转化为解三角形问题．(难点) 5．能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．(重点） 知识点01正弦定理 正弦定理：． 【即学即练1】（22-23高一下·上海浦东新·期末）在三角形ABC中，，则B=（　　） A． B． C．或 D．或 知识点02余弦定理 余弦定理：． 【即学即练2】（23-24高一下·上海·期末）在中，，则 ． 知识点03三角形面积公式 三角形面积公式： 【即学即练3】（22-23高一下·上海静安·期中）在中，已知，，，求和. 题型一：正弦理解三角形 1.（21-22高一下·上海徐汇·期中）若在中，是的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 2.（21-22高一下·上海闵行·期末）在中，若，则 ． 3.（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，若，，，则 . 4.（23-24高一下·上海·期中）在中，角，，的对边分别为，，，，求的值 题型二：正弦定理边角互化的应用 1.（21-22高一下·上海徐汇·期中）O为锐角△ABC的外心，O到三边a，b，c的距离分别为k，m，n，则（    ）． A． B． C． D． 2.（23-24高一下·上海·期末）已知的周长为18，若，则此三角形中最大边的长为 ． 3.（22-23高一下·上海·期中）在中，内角所对的边分别为 ，若 ，则的值为 . 4.（20-21高一下·上海普陀·期中）在中，内角、、所对的边分别为，，，已知，求证：． 题型三：三角形面积公式及其应用 1.（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，，其面积为，则边 . 2．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，，，，则△ABC的面积为 . 3.（20-21高一下·上海浦东新·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角； （2）若，的面积为，求的值. 4．（20-21高一下·上海闵行·期中）（1）证明：； （2）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，求的面积S． 题型四：正弦定理判定三角形解的个数 1.（20-21高一下·上海金山·期中）满足下列条件的三角形中，有1解的个数是（    ） （1）    （2） （3）    （4） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2.（22-23高一下·上海徐汇·期中）在中，，，，则的解的个数是 个. 3.（21-22高一下·上海黄浦·期末）判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是 . ①，，； ②，，； ③，，； ④，，. 4.（20-21高一下·上海虹口·期中）在△中，角、、所对的边分别为、、，若，，且该三角形有唯一解，则的取值范围为 题型五：正弦定理求外接圆半径 1.（20-21高一下·上海闵行·期中）在中，已知，设以下说法错误的是（    ） A．若有两解， B．若有唯一解， C．若无解， D．当，外接圆半径为10 2.（22-23高一下·上海虹口·期末）在△中，，，为边的中点，则△的外接圆面积与的外接圆面积之比为 . 3．（22-23高一下·上海青浦·期中）在中，已知，，设，以下说法正确的是 ①若有两解，；②若有唯一解， ③若无解，；④当，外接圆半径为6 4.（21-22高一下·上海普陀·期末）中，角、、所对的边分别为、、，已知. (1)求边、的长度； (2)求的面积及其外接圆半径. 题型六：余弦定理解三角形 1.（23-24高一下·上海·期中）某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人（    ） A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形 C．能作出一个直角三角形 D．能作出一个钝角三角形 2.（22-23高一下·上海浦东新·期末）在中，，则角的余弦值是 . 3.（24-25高一下·上海·期中）在中，设内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知，． (1)求角A的值； (2)若，求． 4.（21-22高一下·上海杨浦·期中）如图：我国近海某海域上有四个小岛，小岛B与小岛A，C相距都为5公里，与小岛D相距公里；已知∠BAD为钝角，且. (1)求小岛A与小岛D之间的距离； (2)求四个小岛所形成的四边形ABCD的面积.（提示） 题型七：余弦定理边角互化的应用 1.（22-23高一下·上海虹口·期中）某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是，则该三角形（    ）． A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 2．（21-22高一下·上海杨浦·期中）在中，下列说法中错误的是（    ）． A． B． C． D．，则为锐角三角形 3.（22-23高一下·上海奉贤·期中）在中，若，则 4．（23-24高一下·上海·期中）的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，则= . 一、单选题 1．（21-22高一下·上海杨浦·期中）中，，的对应边分别为，，且，，，那么满足条件的三角形的个数有（    ） A．一个； B．两个； C．0个； D．无数个 2．（23-24高一下·上海·期末）的内角，，的对边分别为，，，满足，则角的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（    ） ①； ②； ③； ④. A．1 B．2 C．3 D．4 4．（20-21高一下·上海浦东新·期中）已知的三条边和与之对应的三个角满足等式则此三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 二、填空题 5．（23-24高一下·上海·期中）在中，是的三边且满足，则角A的大小为 . 6．（23-24高一下·上海·期中）在中，，，，则的面积为 . 7．（21-22高一下·上海奉贤·期末）在中，，三角形的面积等于，则的长为 . 8．（21-22高一下·上海浦东新·期末）在中，、、所对边分别为、、，若，的面积为6，则 ． 9．（23-24高一下·上海·期中）已知三边上的高分别为、、，且，则此三角形最大角的余弦值为 . 10．（23-24高一下·上海·期中）在中，若，，且，则 . 11．（22-23高一下·上海黄浦·期末）在中，若，，且，则 ． 12．（22-23高一下·上海宝山·期中）在中，，，面积，则边长为 ． 13．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，若，且，则的周长为 . 14．（23-24高一下·上海·期中）已知的面积为，角，，所对的边分别为，，，且，则 . 15．（23-24高一下·上海金山·期末）为了研究问题方便，有时候余弦公式会写成：，利用这个结构解决如下问题：如果三个正实数满足：，，则 . 16．（20-21高一下·上海闵行·期中）设的内角A、B、C满足，则的最小值为 ． 三、解答题 17．（22-23高一下·上海嘉定·期中）在中，，，. (1)求； (2)求的面积S. 18．（23-24高一下·上海·期末）在中，内角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 19．（23-24高一下·上海黄浦·期末）在中，已知边上的中线长为． (1)求证：； (2)若边上的中线长分别为，当为钝角三角形时，求m、n、t之间所满足的关系式，并指出哪个角为钝角． 20．（23-24高一下·上海·期中）某农场计划圈出一块平面四边形区域种植两种农作物.如图，经测量已知，.现在将连接，在区域内种植农作物甲，在区域内种植农作物乙. (1)计算发现：无论多长，始终为定值.请你验证该结论，并求出这个定值； (2)已知农作物甲的经济收益与种植面积的平方成正比，比例系数为1；农作物乙的经济收益与种植面积的平方成正比，比例系数为2.记与的面积分别为和.请你帮助该农场规划四边形区域的大小，使得该种植计划经济收益最大. 21．（22-23高一下·山东济南·期末）射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为．对于四个有序点，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作．    (1)证明：； (2)已知，点为线段的中点，，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$