精品解析：江西省吉安市青原区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

青原区2024-2025学年第一学期期末检测卷 九年级数学 说明： 1．本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟. 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，否则不给分． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了优异的成绩，奥运会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，它的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，即可得出答案． 【详解】解：由左视图的定义知该领奖台的左视图如下： ． 故选：D． 2. 下列说法正确的是（　　） A. 两条对角线相等的菱形是正方形 B. 对角线互相平分的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，根据正方形的判定、平行四边形的判定和矩形的判定逐项判断即可求解，掌握以上判定定理是解题的关键． 【详解】解：、两条对角线相等的菱形是正方形，该选项说法正确，符合题意； 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，该选项说法错误，不合题意； 、对角线相等的平行四边形是矩形，该选项说法错误，不合题意； 、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 3. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，反比例函数的增减性，根据解析式可得反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，再由，即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， ∵点，，都在反比例函数的图象上，且， ∴， 故选：C． 4. 将下列抛物线先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，能得到抛物线的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线的平移，掌握平移规则是解本题的关键；先把先向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，从而可得答案． 【详解】解：∵抛物线先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线， ∴把先向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到， ∴先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，能得到抛物线； 故选：B 5. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据得知二次函数与轴的交点为，从而可以排除B、C选项，再根据的取值即可得出答案 【详解】解：二次函数的解析式为， 二次函数与轴的交点为， 故B、C选项错误，不符合题意； 当时，反比例函数的图象经过一、三象限，二次函数开口向上，故A选项错误，不符合题意； 当时，反比例函数的图象经过二、四象限，二次函数开口向下，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与二次函数图象的综合判断，熟练掌握图象与系数的关系，采用数形结合的思想解题，是解题的关键． 6. 如图，点P是边长为2的正方形的对角线上的动点，过点P分别作于点E，于点F，连接并延长，交射线于点H，交射线于点M，连接交于点G，当点P在上运动时（不包括B、D两点），以下结论：①；②；③；④的最小值是．其中正确结论的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等只是点；熟练掌握正方形的性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． ①如图：连接交于O，根据对称性可知， ，再说明四边形是矩形，根据矩形的性质可得，故，又因为，故，进而得到，即可判断①．②可用特殊值法证明，当点P与中点重合时，，，显然，可判定②；③先证明，得到，即，再结合即可判定③；④先说明当时，的值最小，此时A、P、C共线，再运用勾股定理求得、即可解答． 【详解】解：①如图：连接交于O．根据对称性可知，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．即①正确； ②当点P与中点重合时，，，显然；即②错误； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即③正确； ④∵四边形是矩形， ∴， ∴当时，的值最小，此时A、P、C共线， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 综上，正确的有①③④，共3个． 故选C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如果，那么的值为__________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，可通过设参数的方法代入求解，也可利用比例变形直接计算． 【详解】解：∵， ∴设，，则， ∴； 故答案为：． 8. 如图，是经过位似变换得到的，点是位似中心，．若的面积为3，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．由与位似，可得到，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，由题意可知，可得相似比为，从而可得答案． 【详解】解：∵是由经过位似变换得到的， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为3， ∴的面积为27． 故答案为：． 9. 如图，小树AB在路灯O的照射下形成树影BC． 若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=5m，则路灯的高度OP为 _____m． 【答案】 【解析】 【分析】根据在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变建立等量关系即可求解． 【详解】解：在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变： ∵当树高AB=2m，树影BC=3m，且BP=5m ∴ ，代入得： ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查利用相似三角形测高，掌握同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变是解题关键． 10. 若一元二次方程的两根为、，则的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解．根据根与系数的关系得，，则，然后利用整体代入的方法计算求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：3． 11. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点．正方形的顶点在第一象限，顶点在反比例函数的图象上．若正方形向左平移个单位后，顶点恰好落在反比例函数的图象上，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于，过点作轴于，可证，得到，，根据一次函数可得，，即得，，得到，即得反比例函数，同理得到，再根据平移得，最后代入反比例函数解析式即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于， 则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵一次函数，当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵顶点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， ∵点向左平移个单位后为， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，图形的平移，一次函数与坐标轴的交点，正确添加常用辅助线是解题的关键． 12. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，为的中点，点是折线上的一个动点，线段把分割成两部分．若分割得到的三角形与相似，则符合条件的点的坐标为___________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、求点的坐标等知识点，解题的关键是根据两直角三角形的公共锐角，判断出两三角形相似的所有情况． 根据公共锐角进行分类，可以分为两种情况：当为公共锐角时，只存在为直角的情况；当为公共锐角时，存在和为直角两种情况，根据各种情况，可求得点的坐标． 【详解】 解： 如图，当时，，此时点坐标为； 如图，当时，，此时点坐标为； 如图，作，假设交于点，此时， 为的中点， 点坐标为， ，， 在中，根据勾股定理得： ， ， 根据得： ， 即：， 解得：， ， 在上， ， 此时点坐标为； 综上所述，点坐标为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：． （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，含特殊角的三角函数值的混合运算； （1）把方程化为，再化为两个一次方程求解即可； （2）先化简二次根式，代入特殊角的三角函数值，再计算乘除运算，绝对值运算，最后计算加减运算即可． 【详解】解：（1）， ∴， ∴或， 解得：，； （2） ； 14. 如图，点是平行四边形中边的中点，连接并延长，交的延长线于点．连接、，若．求证：四边形为矩形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，． 又∵为的中点， ∴ ∴(AAS)， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】由，得，，由得(AAS)，得出，即证明四边形是平行四边形．由结合三角形外角性质，得出，从而得出，进而得，即证明平行四边形是矩形． 【详解】略 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识．掌握特殊四边形的判定方法是解题关键． 15. 共享经济已经进入人们的生活，小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为的四张卡片（除字母和内容外其余完全相同），现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片是“共享知识”的概率是多少？ （2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片中包含“共享出行”的概率（这四张卡片分别用它们的编号表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式直接得出答案； （2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，抽到的两张卡片中包含“共享出行”的结果数为6，再根据概率公式求解可得． 【小问1详解】 解：小明从中随机抽取一张卡片是“共享知识”的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如图： 共有12种等可能的结果数，其中抽到的两张卡片中包含“共享出行”的结果数为6， ∴抽到的两张卡片中包含“共享出行”的概率． 16. 如图，在菱形中，，垂足为．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中，若，在上作一点，使； （2）在图2中，过点作边上的高． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求； （2） 如图所示，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质． （1）连接，交于点，点即为所求； （2）连接菱形对角线交于点，连接并延长，交于F，连接即可． 【小问1详解】 解：连接，交于点，连接， ∵菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 17. 安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔每个应涨价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． 【小问1详解】 解：设头盔销售量的月增长率为， 根据题意得： ， 解得（舍去）， 答：头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设头盔每个涨价元， 根据题意得： ， 整理得， 解得， 要尽可能让顾客得到实惠， ， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC⊥x轴，垂足为A．反比例函数的图象经过点B，交AC于点E．已知菱形的边长为，AC＝4． （1）若OA＝4，求k的值； （2）连接OD，若AE＝AB，求OD的长． 【答案】（1）11(2) 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质得出AH的长，再利用勾股定理得出BH的长，得出B点坐标即可得出答案； （2）首先表示出B，E两点坐标进而利用反比例函数图象上的性质求出D点坐标，再利用勾股定理得出DO的长． 【详解】解：（1）连接BD交AC于点H， ∵四边形ABCD是菱形，AC＝4， ∴BD⊥AC，AH＝2， ∵对角线AC⊥x轴， ∴BD∥x轴， ∴B、D的纵坐标均为2， 在Rt△ABH中，AH＝2，AB＝， ∴BH＝， ∵OA＝4， ∴B点的坐标为：（，2）， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴k＝11； （2）设A点的坐标为（m，0）， ∵AE＝AB＝，CE＝， ∴B，E两点的坐标分别为：（m+，2），（m，）． ∵点B，E都在反比例函数的图象上， ∴（m+）×2＝m， ∴m＝6， 作DF⊥x轴，垂足为F， ∴OF＝，DF＝2， D点的坐标为（，2）， 在Rt△OFD中， OD2＝OF2+DF2， ∴． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、待定系数法求反比例函数解析式及反比例函数图象的性质，正确得出D点坐标是解题关键． 19. 如图：反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，其中点坐标为. （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围； （3）一次函数的图象与轴交于点，点是反比例函数图象上的一个动点，若，求此时点的坐标. 【答案】（1），；（2）或；（3）（12，）或（-12，） 【解析】 【分析】（1）把A点坐标代入中求出k得到反比例函数解析式，把A点坐标代入中求出b得到一次函数解析式； （2）由函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可； （3）设P（x，），先利用一次解析式解析式确定C（0，1），再根据三角形面积公式得到，然后解绝对值方程得到x的值，从而得到P点坐标． 【详解】解：（1）把A（1，2）代入得k=2， ∴反比例函数解析式为， 把A（1，2）代入得，解得， ∴一次函数解析式为； （2）由函数图象可得：当y1＜y2时，-2＜x＜0或x＞1； （3）设P（x，）， 当x=0时，， ∴C（0，1）， ∵S△OCP=6， ∴，解得， ∴P（12，）或（-12，）． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式． 20. 如图1是一款多功能可调节的桌面手机、平板支架．点A、B、C处均可旋转，处可摆放平板或者手机．其中．研究表明，当手机（）与桌面的夹角为时，更符合人体工学设计，也是多数人操作手机最舒适的角度． （1）如图2，当和桌面垂直且时，可将绕点B旋转一定的角度，就能达到最舒适的观影状态，求此时的度数； （2）在（1）的条件下求点D点到的距离（结果保留整数）． （参考数据：） 【答案】（1） （2）D到的距离约为 【解析】 【分析】（1）过点D作于H，利用四边形内角和定理计算即可． （2）过点D作于H，延长、交于点E，利用解直角三角形的知识，求得长度即可． 本题考查了四边形内角和定理，解直角三角形的相关计算，熟练掌握进行解直角三角形的计算是解题的关键． 【小问1详解】 过点D作于H， 由题意得： ∴． 【小问2详解】 过点D作于H， 延长、交于点E， ∵． ∴， ∵． ∴ 答：D到的距离约为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）求的取值范围； （2）已知等腰的底边，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若三边的长分别为，那么可以根据海伦-秦九韶公式可得： ，其中，在（2）的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积． 【答案】（1）且 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，计算一元二次方程根的判别式大于或等于0，根据一元二次方程的定义得出，即可求解； （2）根据恰好是等腰的腰长，令，解一元二次方程求得，进而即可求解； （3）由(2)知：的三边长为，代入公式求得面积，进而根据角平分线的性质求得，再根据三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：，且， 化简得：， 解得：且； 【小问2详解】 由题意知：恰好是等腰的腰长， ∴， ∵是关于的一元二次方程的两实数根， ∴， 解得， ∴， 解得， ∵， ∴的周长为：； 【小问3详解】 由(2)知：的三边长为， ∴5， ∴， 过分别作，，，垂足分别为， ∵是△ABC角平分线的交点， ∴， ∴ ， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 22. 【课本再现】 （）如图（），在中，为上一点，是否与相似？（填“是”或“不是”） 【类比探究】 （）如图（），在中，为上一点，已知，求证：． 【拓展应用】 （）在Rt，点为上一点，如图（），点分别在上，，垂足为．若，求的值． 【答案】（）是； （）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ （）． 【解析】 【分析】（）根据相似三角形的判定即可求解； （）证明得到，即可求证； （）设，则，同()得，求出，由三角函数得，过作于，则，在中，，由，推出是等腰直角三角形，得到，进而得到，由平行线等分线段定理即可求解． 【详解】（）解：∵，， ∴， 故答案为：是； （）略 （）解：∵， ∴设，则， ∵，， 同()得， ∴， 在中，， 过作于，如图所示， 则， 在中，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似形是判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角函数的定义，平行线等分线段定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，抛物线交x轴于点和点，与y轴交于点C，连接，交对称轴于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方的抛物线上的一点，连接，，求的面积的最大值以及此时点的坐标； （3）将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，点是新抛物线的对称轴上的一点，点是坐标平面内一点．当以、、、四点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标，并写出求解其中一个点的坐标的过程． 【答案】（1）；（2）的面积最大值为， ；（3）点F的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）过点P作直线轴于点N，交直线于点M，先求出直线的解析式，设，则，求出面积的表达式，这是一个二次函数，求出其取最大值的条件，即可求解； （3）求得新抛物线的解析式为，对称轴为直线，两抛物线的交点为，分为边，为对角线两种情况讨论，画出图形利用两点之间的距离公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线交x轴于点和点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：过点P作直线轴于点N，交直线于点M， 对，令，则， ∴点C 的坐标为， ∴设直线的解析式为：， 点代入，得， 解得：， ∴直线BC的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴对，当时，， ∴点D的坐标为， 设，则， ∴． ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时； 【小问3详解】 将抛物线向右平移1个单位得到新抛物线， 则新抛物线的解析式为，对称轴为直线， 解方程，得， ∴点E的坐标为， ∵, ∴， 设， 则， 当为边时， 若为边，则， ∴， ∴， 解得或； 若为边，则， ∴， ∴， 解得或， 设直线解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴， 当时，， ∴（不合题意，舍去）； 当为对角线时，为对角线，为边，， ∴， ∴， 解得； ∴点F的坐标为或或或． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，熟练掌握涉及待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，三角形的面积，二次函数的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，分类讨论．是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青原区2024-2025学年第一学期期末检测卷 九年级数学 说明： 1．本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟. 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，否则不给分． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了优异的成绩，奥运会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，它的左视图是（　　） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（　　） A. 两条对角线相等的菱形是正方形 B. 对角线互相平分的四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 3. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 将下列抛物线先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，能得到抛物线的是（　　） A. B. C. D. 5. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点P是边长为2的正方形的对角线上的动点，过点P分别作于点E，于点F，连接并延长，交射线于点H，交射线于点M，连接交于点G，当点P在上运动时（不包括B、D两点），以下结论：①；②；③；④的最小值是．其中正确结论的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如果，那么的值为__________． 8. 如图，是经过位似变换得到的，点是位似中心，．若的面积为3，则的面积为__________． 9. 如图，小树AB在路灯O的照射下形成树影BC． 若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=5m，则路灯的高度OP为 _____m． 10. 若一元二次方程的两根为、，则的值为_______． 11. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点．正方形的顶点在第一象限，顶点在反比例函数的图象上．若正方形向左平移个单位后，顶点恰好落在反比例函数的图象上，则的值是______． 12. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，为的中点，点是折线上的一个动点，线段把分割成两部分．若分割得到的三角形与相似，则符合条件的点的坐标为___________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：． （2）计算：． 14. 如图，点是平行四边形中边的中点，连接并延长，交的延长线于点．连接、，若．求证：四边形为矩形． 15. 共享经济已经进入人们的生活，小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为的四张卡片（除字母和内容外其余完全相同），现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片是“共享知识”的概率是多少？ （2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片中包含“共享出行”的概率（这四张卡片分别用它们的编号表示）． 16. 如图，在菱形中，，垂足为．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中，若，在上作一点，使； （2）在图2中，过点作边上的高． 17. 安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC⊥x轴，垂足为A．反比例函数的图象经过点B，交AC于点E．已知菱形的边长为，AC＝4． （1）若OA＝4，求k的值； （2）连接OD，若AE＝AB，求OD的长． 19. 如图：反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，其中点坐标为. （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）观察图象，直接写出当时，自变量的取值范围； （3）一次函数的图象与轴交于点，点是反比例函数图象上的一个动点，若，求此时点的坐标. 20. 如图1是一款多功能可调节的桌面手机、平板支架．点A、B、C处均可旋转，处可摆放平板或者手机．其中．研究表明，当手机（）与桌面的夹角为时，更符合人体工学设计，也是多数人操作手机最舒适的角度． （1）如图2，当和桌面垂直且时，可将绕点B旋转一定的角度，就能达到最舒适的观影状态，求此时的度数； （2）在（1）的条件下求点D点到的距离（结果保留整数）． （参考数据：） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）求的取值范围； （2）已知等腰的底边，若恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． （3）阅读材料：若三边的长分别为，那么可以根据海伦-秦九韶公式可得： ，其中，在（2）的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积． 22. 【课本再现】 （）如图（），在中，为上一点，是否与相似？（填“是”或“不是”） 【类比探究】 （）如图（），在中，为上一点，已知，求证：． 【拓展应用】 （）在Rt，点为上一点，如图（），点分别在上，，垂足为．若，求的值． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，抛物线交x轴于点和点，与y轴交于点C，连接，交对称轴于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方的抛物线上的一点，连接，，求的面积的最大值以及此时点的坐标； （3）将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，点是新抛物线的对称轴上的一点，点是坐标平面内一点．当以、、、四点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标，并写出求解其中一个点的坐标的过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $