精品解析：江苏省南京市临江高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

南京市临江高级中学高二下数学试卷 时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每题只有一个选项符合题意） 1. 若，且为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，则m的值为（ ）． A. B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方向向量与平面法向量垂直数量积0可得. 【详解】由题知，，故，解得. 故选：C 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列数公式化简不等式，然后即可求解. 【详解】由得， 即，解得， 又，，所以不等式的解集为. 故选：B 3. 在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】由题意得：， 故选：B. 4. 已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据离心率的公式，求解，再根据方程求椭圆的长轴长. 【详解】由条件可知，，，则， 由条件可知，，得， 所以，椭圆的长轴长. 故选：B 5. 若数列满足，，则（ ） A. B. 11 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】探索数列的周期性，根据数列的周期性求指定项. 【详解】因为.所以数列周期为3的数列. 所以 ，所以， 故. 故选：D 6. 已知空间向量，0，，，2，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. ，2， B. ，2， C. ，0， D. ，0， 【答案】C 【解析】 【分析】 由向量在向量上的投影向量为，计算即可求出答案. 【详解】解：向量，0，，，2， ， 则，， ， 所以向量在向量上的投影向量为 . 故选：C. 7. 从甲､乙､丙､丁四名同学中选出三名同学，分别参加三个不同科目的竞赛，其中甲同学必须参赛，则不同的参赛方案共有（ ） A. 24种 B. 18种 C. 21种 D. 9种 【答案】B 【解析】 【分析】参赛方案可分两步完成，第一步从乙，丙，丁三人中选两人，第二步将甲和所选两人安排去参加三个不同科目的竞赛，故这是一个分步完成的排列组合综合问题. 【详解】参赛方案可分两步完成， 第一步从乙，丙，丁三人中选两人，有种方法， 第二步将甲和所选两人安排去参加三个不同科目的竞赛，有种方法， 由分步乘法计数原理可得共有种方法. 故选：B. 8. 如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面，则线段长度的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】以D为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 设，，则， 则，， 因为平面，则，解得， 故，则， 而函数在取到最小值，在时，取最大值2， 故， 故选：D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每题有多项符合题意，全对得6分，部分选对得3分，有错选得0分．） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距是 B. 直线的倾斜角是 C. 直线恒过定点 D. 过点且在轴､轴上的截距相等的直线方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，令，求出，即可判断；对于B，求出直线的斜率，进而可得倾斜角，即可判断；对于C，直线方程可化为，再令即可判断；对于D，分直线过原点和不过原点两种情况讨论即可判断. 【详解】对于A，令，则， 所以直线在轴上的截距是，故A正确； 对于B，直线的斜率为，所以其倾斜角为，故B错误； 对于C，直线化为， 令，得， 所以直线恒过定点，故C正确； 对于D，当直线过原点时，直线方程为， 当直线不过原点时，设直线方程为， 将代入解得， 此时直线方程为， 所以过点且在.轴､轴上的截距相等的直线方程为或，故D错误. 故选：AC. 10. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若，则是等比数列 C. 若，则数列为递增数列 D. 若数列为等差数列，，则最小 【答案】BC 【解析】 【分析】借助等差数列、等比数列的概念、数列的递推关系逐项计算即可得. 详解】对于选项A，，，， ，不满足是等差数列，故选项A错误； 对于选项B，当时，， 当时，， 因为时也满足上式，所以，则， 所以是等比数列，故选项B正确； 对于选项C，因为，所以， 因为，所以， 因此数列为以为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，故选项C正确； 对于选项D，设数列的公差为，因为，所以， 即，当时，没有最小值，故选项D错误. 故选：BC． 11. 将正方形沿对角线翻折，使平面与平面的夹角为90°，如下四个结论正确的是（ ） A. B. 是等边三角形 C. 直线与平面所成的角为 D. 与所成的角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】取BD中点，连接OA，OC，根据给定条件探逐一分析各选项即可判断作答. 【详解】取BD中点，连接OA，OC，如图， 依题意，，是以BD为斜边的等腰直角三角形，则，， 而，平面，则平面，平面，所以，A正确； 是二面角的平面角，即，而，则， 于是得，即是等边三角形，B正确； 因，，，平面，则平面， 则有是直线与平面所成的角，而，C不正确； 取AC，BC中点E，F，连接OE，OF，EF，则，(或其补角)是与所成的角， 而，即有，D正确. 故选：ABD 三、非选择题（本题共3小题，共15分） 12. 公园计划在小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂4棵桂花树，垂乳银杏、金带银杏2棵银杏树，要求2棵银杏树必须相邻，则种植方法共有______种． 【答案】240. 【解析】 【分析】把两棵银杏树看出一个元素，求得有2中不同的排法，再把四棵桂花树和两棵银杏树的整体的5个不用的元素，进行全排列，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，把两棵银杏树看出一个元素，共有种不同的排法， 则四棵桂花树和两棵银杏树的整体，共有5个不用的元素，共有中不同的排列， 所以两棵银杏树必须相邻，共有种不同的排法， 故答案240种． 【点睛】本题主要考查了排列的实际应用问题，其中解答中认真审题，把两棵银杏树看出一个整体，合理排列求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 13. 若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由离心率公式可得，根据双曲线的渐近线方程及斜率公式即可求解. 【详解】由题意，即，可得， 所以渐近线的斜率为，所以两条渐近线的倾斜角为和， 所以双曲线的两条渐近线所成的锐角为. 故答案为：. 14. 已知函数．当时，则曲线在点处的切线方程是______；若有两个零点，则的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①求出，由可求出切线的斜率，根据点斜式即可求得切线方程；②分离变量可得，令，求导可得的单调性，进而数形结合可求的取值范围. 【详解】①当时，，， 所以，曲线在点处的切线斜率， 所以切线方程为，化简得. ②函数有两个零点，等价于方程有两解， 即与有两个交点， 令，则， 令，得，解得， 因为为减函数，故有唯一解， 所以当时，，当，， 所以在单调递增，在单调递减， 又，当时，，当时，， 作出函数如图所示： 所以当时，有两个零点. 故答案为：① ；②. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 3名女生和5名男生排成一排． （1）若女生全排在一起，有多少种排法？ （2）若女生都不相邻，有多少种排法？ （3）其中甲必须排在乙左边（可不邻），有多少种排法？ （4）其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？ 【答案】（1）4320；（2）14400；（3）20160；（4）30960. 【解析】 【分析】 （1）相邻问题用捆绑法法求解； （2）不相邻问题用插空法求解； （3）由于甲在乙左边与乙在甲左边的各占，所以全排列再求解； （4）特殊位置优先排列，分情况讨论即可,也可以用间接法求解，或者特殊元素法. 【详解】（1）（捆绑法）由于女生排在一起，可把她们看成一个整体， 这样同5名男生合在一起有6个元素，排成一排有种排法， 而其中每一种排法中，3名女生之间又有种排法， 因此，共有种不同排法； （2）（插空法）先排5名男生，有种排法， 这5名男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有种排法， 因此共有种不同排法； （3）8名学生的所有排列共种，其中甲在乙左边与乙在甲左边的各占， 因此符合要求的排法种数为； （4）甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置， 法一（特殊元素法）：甲在最右边时，其他的可全排，有种不同排法， 甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有种， 而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有种， 其余人全排列，共有种不同排法， 由分类加法计数原理知，共有种不同排法； 法二（特殊位置法）：先排最左边，除去甲外，有种排法， 余下7个位置全排，有种排法， 但应剔除乙在最右边时的排法种， 因此共有种排法； 法三（间接法）：8名学生全排列，共种， 其中，不符合条件的有甲在最左边时，有种排法， 乙在最右边时，有种排法， 其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有种排法， 因此共有种排法． 【点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)； (2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法． 16. 等差数列中，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d. 因为所以. 解得a1＝1，d＝.所以{an}的通项公式为an＝. (2)bn＝＝， 所以Sn＝ 17. 已知函数在处取得极值． （1）求实数的值； （2）当时，求函数的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，代入求值即可得答案； （2）根据导数研究函数的单调性与极值，求端点函数值，从而求出函数的最小值． 【小问1详解】 函数， 又函数在处取得极值， 所以有； 所以实数的值为，经检验符合题意； 【小问2详解】 由（1）可知：， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 所以在上的最小值为和中较小的一个， 又，， 故函数的最小值为. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）通过证明四边形是平行四边形，可得，即可证明； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解；（ii）利用点到面距离向量法求解即可. 【详解】（1）取的中点N，连接，如图所示：为棱的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形，， 又平面平面平面． （2）， ∵平面平面，平面平面平面， 平面， 又平面，而， ∴以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图：则， 为棱的中点， （i）， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 平面一个法向量为， ， 根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为 （ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设， 则， 由（2）知平面的一个法向量为， ， ∴点Q到平面的距离是 ， ． 19. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，为坐标原点，点在椭圆上，且有，. （1）求椭圆的方程； （2）已知过点的直线与椭圆交于、两点，点，设直线、的斜率分别为、（、均不为），求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得出关于、的方程组，求出这两个量的值，可求得的值，由此可得出椭圆的方程； （2）分析可知直线不与轴重合，可设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理计算得出，即可得解. 【小问1详解】 解：在△中，，， 由余弦定理得， 即， 解得，，所以，因此，椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 解：若直线与轴重合，则、均为零，不合乎题意. 设直线方程为，设点、， 联立，消去得， ， 由韦达定理可得，， 所以，， 所以，， 又、均不为0，故， 综上可知的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南京市临江高级中学高二下数学试卷 时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每题只有一个选项符合题意） 1. 若，且为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，则m的值为（ ）． A. B. C. D. 8 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ） A B. C. D. 6 5. 若数列满足，，则（ ） A. B. 11 C. D. 6. 已知空间向量，0，，，2，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. ，2， B. ，2， C. ，0， D. ，0， 7. 从甲､乙､丙､丁四名同学中选出三名同学，分别参加三个不同科目的竞赛，其中甲同学必须参赛，则不同的参赛方案共有（ ） A 24种 B. 18种 C. 21种 D. 9种 8. 如图，正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面，则线段长度的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每题有多项符合题意，全对得6分，部分选对得3分，有错选得0分．） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距是 B. 直线的倾斜角是 C. 直线恒过定点 D. 过点且在轴､轴上的截距相等的直线方程为 10. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若，则是等比数列 C. 若，则数列为递增数列 D. 若数列为等差数列，，则最小 11. 将正方形沿对角线翻折，使平面与平面的夹角为90°，如下四个结论正确的是（ ） A. B. 是等边三角形 C. 直线与平面所成的角为 D. 与所成的角为 三、非选择题（本题共3小题，共15分） 12. 公园计划在小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂4棵桂花树，垂乳银杏、金带银杏2棵银杏树，要求2棵银杏树必须相邻，则种植方法共有______种． 13. 若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为__________. 14. 已知函数．当时，则曲线在点处的切线方程是______；若有两个零点，则的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 3名女生和5名男生排成一排． （1）若女生全排在一起，有多少种排法？ （2）若女生都不相邻，有多少种排法？ （3）其中甲必须排在乙左边（可不邻），有多少种排法？ （4）其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？ 16. 等差数列中，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 17. 已知函数在处取得极值． （1）求实数的值； （2）当时，求函数的最小值． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若， （i）求二面角余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 已知椭圆离心率为，左、右焦点分别为、，为坐标原点，点在椭圆上，且有，. （1）求椭圆的方程； （2）已知过点的直线与椭圆交于、两点，点，设直线、的斜率分别为、（、均不为），求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$