精品解析：江苏省无锡市惠山区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

八年级数学期末试卷 考试时间为110分钟，试卷满分为120分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、学校以及考试证号填写在答题卡的相应位置上，并将考试证号下方对应的数字方框涂黑． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在实数，，，，3.121121112……中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 5. 满足下列条件的不是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. ，， 6. 如图，是中国象棋棋盘的一部分，已知“车”所在位置的坐标为，“马”所在位置的坐标为，则“炮”所在位置的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 下列关于一次函数y=﹣2x+3的结论中，正确的是（　　） A. 图象经过点（3，0） B. 图象经过第二、三、四象限 C. y随x增大而增大 D. 当x＞时，y＜0 8. 如图，数轴上点表示的数是-1，点表示的数是1，，，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，是的高，，相交于点，连接，垂直平分，交于点．下列结论：①；②；③是等腰三角形；④，其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③④ C. ①④ D. ②③④ 10. 如图，直线y＝2x+2与直线y＝﹣x+5相交于点A，将直线y＝2x+2绕点A旋转45°后所得直线与x轴的交点坐标为（　　） A. （﹣8，0） B. （3，0） C. （﹣11，0），（，0） D. （﹣10，0），（2，0） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 4的平方根是_______． 12. 化简：________． 13. 将精确到，结果是 __． 14. 在平面直角坐标系中，点在直线上，则的值为 __． 15. 某电信公司推出两种上宽带网的按月收费方式．两种方式都采取包时上网，即上网时间在一定范围内，收取固定的月使用费；超过该范围，则加收超时费．若两种方式所收费用（元与上宽带网时间（时的函数关系如图所示，且超时费都为元时，则这两种方式所收的费用最多相差____元． 16. 如图，是的角平分线，于E，的面积是，，，则________． 17. 如图，等腰的底边的长为12，周长为32，腰的垂直平分线分别交边于E、F点，若点D为边的中点，点M为线段上的一个动点，则的周长的最小值为______. 18. 如图，点的坐标是，为坐标原点，轴于，轴于，点是线段的中点，过点的直线交线段于点（不与重合），连接，若平分，则的值为_________． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. （1）计算：； （2）解方程：． 21. 如图所示，，，． （1）求证：； （2）若，， 则 　　． 22. 已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求点A，B的坐标，并在直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）求这个一次函数与坐标轴围成的的面积． 23. 如图，已知△ABC． （1）请用不带刻度的直尺和圆规在AC边上作一点D，使△ABD的周长等于AB+AC；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若DC＝3，AD＝5，AB＝4．求证：AB⊥BD． 24. 某商店销售一台A型电脑销售利润为100元，销售一台B型电脑的销售利润为150元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． （1）求y关于x的函数解析式； （2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润为多少？ 25. 如图，直线与轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，，点为坐标系中的一个动点． （1）请直接写出直线l的表达式； （2）求出的面积； （3）当与面积相等时，求实数的值． 26. 如图，在直角三角形纸片中，，，．点是射线上的动点（点不与点重合）.现将三角形纸片进行以下操作： 第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕； 第二步：将△沿折痕展开，连接，然后将△沿直线翻折得到△，点，的对应点分别是点，，直线与边所在直线交于点． （1）折痕的长为 ； （2）△沿直线翻折至图1的位置时，试判断与的数量关系，并证明你的结论； （3）△翻折至图2所示位置，直线经过点时，求的长． （4）在点的运动过程中，连接，则的取值范围是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期末试卷 考试时间为110分钟，试卷满分为120分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、学校以及考试证号填写在答题卡的相应位置上，并将考试证号下方对应的数字方框涂黑． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，寻找对称轴是解题的关键； 根据轴对称图形和对称轴的定义对各项进行分析，得出答案即可． 【详解】A、找不到任何一条对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； B、找不到任何一条对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； C、找不到任何一条对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； D、可找到一条对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项符合题意； 故选：D． 2. 在实数，，，，3.121121112……中，无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键，初中无理数最常见的三种类型：①开方开不尽的数，如，；②特定结构的无限不循环小数，如；③含有的最简式子． 根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【详解】解：,在实数，，，，3.121121112……中，无理数有：，，3.121121112……， 故答案为：3． 3. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0．根据二次根式有意义的条件计算即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：A． 4. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得：，，， ， ， 能得出的依据是， 故选：D． 5. 满足下列条件的不是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理，A选项根据三角形中三个角的度数之比求出最大的角，所以可以判断不是直角三角形，B、C、D选项利用勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：A选项：，，中最大的角，不是直角三角形，故A选项符合题意； B选项：，，，其中，，是直角三角形，故B选项不符合题意； C选项：，设、、，则有，是直角三角形，故C选项不符合题意； D选项：，，，，，是直角三角形，故C选项不符合题意． 故选：A ． 6. 如图，是中国象棋棋盘的一部分，已知“车”所在位置的坐标为，“马”所在位置的坐标为，则“炮”所在位置的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据平面直角坐标系中，“车”和“马”的坐标确定“炮”所在的横坐标是3，纵坐标是1，便能写出坐标进行选择． 【详解】解：“炮”所在的横坐标是3，纵坐标是1， ∴“炮”的坐标为， 故选：A． 7. 下列关于一次函数y=﹣2x+3的结论中，正确的是（　　） A. 图象经过点（3，0） B. 图象经过第二、三、四象限 C. y随x增大而增大 D. 当x＞时，y＜0 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数y=kx+b（k≠0）的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降进行分析即可． 【详解】解：A、图象经过点（，0），故原题说法错误； B、图象经过第二、一、四象限，故原题说法错误； C、y随x增大而减小，故原题说法错误； D、当x＞时，y＜0，故原题说法正确； 故选D． 【点睛】此题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握一次函数y=kx+b（k≠0）的性质． 8. 如图，数轴上点表示的数是-1，点表示的数是1，，，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出AC长，再根据圆的半径相等可知AP=AC，即可得出答案． 【详解】解：∵BC⊥AB， ∴∠ABC=90°， ∴AC=， ∵以A为圆心，AC为半径作弧交数轴于点P， ∴AP=AC=， ∴点P表示的数是， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，以及数轴与实数，关键是求出AC的长． 9. 如图，在中，，，是的高，，相交于点，连接，垂直平分，交于点．下列结论：①；②；③是等腰三角形；④，其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③④ C. ①④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】先利用等腰三角形的“三线合一”得到平分，，再利用斜边上的中线性质可对①进行判断；由于垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，则利用可判断，从而得到与不全等，于是可对②进行判断；根据余角的性质可得，，结合对顶角的性质得出，根据等角对等边即可对③进行判断；连接，如图，根据线段垂直平分线的性质得到，在中利用勾股定理得到，然后利用等线段代换可对④进行判断． 【详解】解：∵，，是的高， ∴平分，， ∴为直角三角形斜边上的中线， ∴， ∴，所以①正确； ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， 即， ∴与不全等，所以②错误； ∵，， ∴， ， ∴， 又， ∴， 同理，， ∴， 又，， ∴ ∴，即是等腰三角形，所以③正确； 连接，如图， ∵垂直平分， ∴， 在中，， ∵，， ∴，所以④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，勾股定理等． 10. 如图，直线y＝2x+2与直线y＝﹣x+5相交于点A，将直线y＝2x+2绕点A旋转45°后所得直线与x轴的交点坐标为（　　） A. （﹣8，0） B. （3，0） C. （﹣11，0），（，0） D. （﹣10，0），（2，0） 【答案】C 【解析】 【分析】先求出点A的坐标；设直线y=2x+2与x轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，可求出AC和BC的长；若将直线y=2x+2绕点A旋转45°，则需要分两种情况：当直线AB绕点A逆时针旋转45°时，如图1，设此时直线与x轴的交点为P；过点B作BD⊥AB交直线AP于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，可得△ACB≌△BED，进而可得点D的坐标，用待定系数法可求出直线AP的表达式，进而求出点P的坐标；当直线AB绕点A顺时针旋转45°时，如图2，设此时直线与x轴的交点为Q，延长DB交AQ于点F，则△ADF是等腰直角三角形，根据中点坐标公式可求出点F的坐标，进而求出直线AQ的表达式，最后可求出点Q的坐标． 【详解】解：令2x+2=-x+5，解得x=1， ∴A（1，4）． 设直线y=2x+2与x轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C， ∴OC=1，AC=4， 令y=2x+2=0，则x=-1， ∴OB=1， ∴BC=2． 将直线y=2x+2绕点A旋转45°，需要分两种情况： ①当直线AB绕点A逆时针旋转45°时，如图1，设此时直线与x轴的交点为P，此时∠BAP=45°， 过点B作BD⊥AB交直线AP于点D，过点D作DE⊥x轴于点E， ∴∠ACO=∠ABD=90°， ∴∠ABC+∠DBE=∠DBE+∠BDE=90°， ∴∠ABC=∠BDE， ∵∠ABD=90°，∠BAP=45°， ∴∠BDA=∠BAP=45°， ∴AB=BD， ∴△ACB≌△BED（AAS）， ∴BC=DE=2，BE=AC=4， ∴OE=3， ∴D（3，-2）， 设直线AP的解析式为y=kx+b， ∴，解得， ∴直线AP的解析式为y=-3x+7， 令y=0，则x=， ∴P（，0）； ②当直线AB绕点A顺时针旋转45°时，如图2，设此时直线与x轴的交点为Q，延长DB交AQ于点F， 则∠BAQ=45°， ∵∠ABF=∠ABD=90°， ∴∠BAF=∠BFA=45°， ∴BF=BA=BD，即点B为DF的中点， ∵B（-1，0），D（3，-2）， ∴F（-5，2）， 设直线AQ的解析式为：y=mx+n， ∴，解得， ∴直线AQ的解析式为：y=x+． 令y=0，则x=-11， ∴Q（-11，0）， 综上所述，将直线y=2x+2绕点A旋转45°后所得直线与x轴的交点坐标为（-11，0），（，0）． 故选：C． 【点睛】本题属于一次函数与几何综合题目，涉及全等三角形的性质与判定，图象的交点，等腰三角形的性质等内容，解题的关键是根据45°角作出垂线构造全等．本题若放在九年级可用相似解决． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 4的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵， ∴4的平方根是±2． 故答案为±2． 12. 化简：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简、平方差公式，首根据平方差公式把分式的分子分解因式，可得：原式，然后再约去分子、分母的公因式即可． 【详解】解： 故答案为： ． 13. 将精确到，结果是 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用四舍五入法求近似数，将精确到，就要看位，位上的数是，应入，所以可得：． 【详解】解：． 故答案为： ． 14. 在平面直角坐标系中，点在直线上，则的值为 __． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，代数式求值，由点在直线上，可得，再代入代数式计算即可求解，掌握一次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 某电信公司推出两种上宽带网的按月收费方式．两种方式都采取包时上网，即上网时间在一定范围内，收取固定的月使用费；超过该范围，则加收超时费．若两种方式所收费用（元与上宽带网时间（时的函数关系如图所示，且超时费都为元时，则这两种方式所收的费用最多相差____元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，本题中应分三段进行计算，第一段是当时，费用相差(元)；第二段时当时，费用相差最大为 元；第三段当时，根据函数图象列出两种收费方式的收费与时间之间的函数关系式，根据关系式求出所收费用的差距． 【详解】解：设元包时方式的费用为，元包时方式的费用为， 由函数图象可知， 当时，两种收费方式的函数关系式分别是，，费用相差(元)， 当时，两种收费方式的函数关系式分别是，，当，费用相差最大： (元)， 当时，两种收费方式的函数关系式分别是，， 费用相差： (元)， 这两种方式所收的费用最多相差元． 故答案为： ． 16. 如图，是的角平分线，于E，的面积是，，，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 过点D作于F，设，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可． 【详解】解：过点D作于F，设， ∵是的角平分线，， ∴， ∵的面积是，， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：6． 17. 如图，等腰的底边的长为12，周长为32，腰的垂直平分线分别交边于E、F点，若点D为边的中点，点M为线段上的一个动点，则的周长的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是最短路线问题，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 等腰的底边的长为12，周长为32， ， 点D为边的中点， ， ， ， 腰的垂直平分线分别交边于E、F点， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：． 18. 如图，点的坐标是，为坐标原点，轴于，轴于，点是线段的中点，过点的直线交线段于点（不与重合），连接，若平分，则的值为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】作交于点，连接，证明，由全等三角形的性质可得，借助勾股定理可解得，，再在中借助勾股定理解得，即可求出点的坐标，然后利用待定系数法求出的值即可． 【详解】解：如图，作交于点，连接， ∵点的坐标是， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点是边的中点， ∴， ∴，， ∵在中，，即， 解得， ∴点， 把点的坐标代入， 可得，解得． 故答案为：3． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了角平分线的性质、三角形全等的判定及性质、正方形的性质定理及勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线构建直角三角形． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据算术平方根、立方根的定义化简，再合并即可； （）根据二次根式的性质、零指数幂、绝对值的性质化简，再合并即可； 本题考查了实数的混合运算，二次根式的加减运算，掌握实数和二次根式的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，利用平方根解方程； （1）根据异分母分式相加减的运算法则求解即可； （2）根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ， ， 解得；． 21. 如图所示，，，． （1）求证：； （2）若，， 则 　　． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）由得，进而由即可求证； （）由全等三角形的性质得，进而即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 22. 已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求点A，B的坐标，并在直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）求这个一次函数与坐标轴围成的的面积． 【答案】（1），，图见详解 （2）3 【解析】 【分析】（1）当时求出x， 可得点的坐标.当时，求出y值，可得点B的坐标，再画出函数图象． （2）由点A的坐标，点B的坐标，可知，，再根据得出答案． 【小问1详解】 解：当时，， 解得， ∴点A的坐标为； 当时，， ∴点B的坐标为． 描点，连线，画出函数图象如图所示． 【小问2详解】 ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∴， ∴这个一次函数与坐标轴围成的的面积为3． 【点睛】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点，求三角形面积等，确定图像与坐标轴的交点坐标是画图像的关键． 23. 如图，已知△ABC． （1）请用不带刻度的直尺和圆规在AC边上作一点D，使△ABD的周长等于AB+AC；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若DC＝3，AD＝5，AB＝4．求证：AB⊥BD． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）作BC的垂直平分线交AC于D，则DC=DB，所以AC=AD+BD，于是可判断D点满足条件； （2）利用勾股定理的逆定理证明△ABD为直角三角形，∠ABD=90°，从而得到结论． 【详解】解：（1）如图，点D为所作； （2）证明：∵点D在BC的垂直平分线上， ∴DB=DC=3， 在△ABD中，∵BD=3，AB=4，AD=5， ∴BD2+AB2=AD2， ∴△ABD为直角三角形，∠ABD=90°， ∴AB⊥BD． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了勾股定理的逆定理． 24. 某商店销售一台A型电脑销售利润为100元，销售一台B型电脑的销售利润为150元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． （1）求y关于x的函数解析式； （2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1） （2）该商店购进A型25台，B型75台时，利润最大，最大利润为13750元 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关系式y＝100x+150（100﹣x），整理即可； （2）利用“B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍”列不等式求出x的范围，再根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：据题意得，y＝100x+150（100﹣x），即y＝﹣50x+15000， ∴y关于x的函数解析式为：y＝﹣50x+15000． 【小问2详解】 解：根据题意得，100﹣x≤3x， 解得x≥25， 由（1）可知y＝﹣50x+15000， ∵k＝﹣50＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝25时，y有最大值， ， 100﹣25＝75（台）， ∴该商店购进A型电脑25台，B型电脑75台时，才能使销售总利润最大，最大利润为13750元． 【点睛】本题主要考查了一次函数及一元一次不等式的应用，解题的关键是确定一次函数的增减性． 25. 如图，直线与轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，，点为坐标系中的一个动点． （1）请直接写出直线l的表达式； （2）求出的面积； （3）当与面积相等时，求实数的值． 【答案】（1） （2）； （3）实数的值为或． 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． （1）将点、的坐标代入一次函数表达式：，即可求解； （2）证明为等腰直角三角形，则； （3）分点在第一象限、点在第四象限两种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 设直线所在的表达式为：， 则，解得：， 故直线的表达式为：； 【小问2详解】 点、点， ， 在中，由勾股定理得： 为等腰直角三角形， ； 【小问3详解】 连接，，，则： ①若点在第一象限时，如图 ，，， ， 即，解得； ②若点在第四象限时，如图 ，，， ， 即，解得； 故：当与面积相等时，实数的值为或． 26. 如图，在直角三角形纸片中，，，．点是射线上的动点（点不与点重合）.现将三角形纸片进行以下操作： 第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕； 第二步：将△沿折痕展开，连接，然后将△沿直线翻折得到△，点，的对应点分别是点，，直线与边所在直线交于点． （1）折痕的长为 ； （2）△沿直线翻折至图1的位置时，试判断与的数量关系，并证明你的结论； （3）△翻折至图2所示位置，直线经过点时，求的长． （4）在点的运动过程中，连接，则的取值范围是 ． 【答案】（1）6 （2）相等，见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由折叠可知，，再证是的中位线，即可得出结论； （2）连接，由折叠知，，，再证，即可得出结论； （3）由折叠的性质和等腰三角形的性质得，则，设，然后在中，由勾股定理求出的值，即可解决问题； （4）连接，则，当、、三点共线，且点F在线段上时，，此时最小，由直角三角形的性质得，即可求得最小值为4；当、、三点共线，且点F在延长线上时，，此时最大，即可求得最大值为16；即可解决问题． 【小问1详解】 解：由折叠的性质得：，， ， ， 又，， ， ， ， 是的中位线， 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图，连接， 由折叠的性质得：，， 在和中， ， ∴， ； 【小问3详解】 解：如图，连接， 由折叠知：，， ， ， 又， ， ， ， 设， 在中，， 即， 解得：， ； 【小问4详解】 解：∵，，， ∴ 如图， 则， 当、、三点共线，且点F在线段上时，， 此时的值最小，最小， ，， ， ， 的最小值， 当、、三点共线，且点F在延长线上时， ， 此时，最大， ∴， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题目，考查了折叠的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质以及最小值等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $