精品解析：浙江省金华市东阳市2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试题

2024年下学期期末试卷九年级（上） 数学试题卷 （温馨提示：本卷满分120分，考试时间120分钟；所有答案均写在答题纸上） 一、精心选一选（本题共30分，每小题3分） 1. 若，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，关键是比例性质定理的应用．将化为代入即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ ． 故选：B． 2. 下图出自《九章算术》“商功”卷，在互相垂直的墙体角落里，堆放着粟谷，将谷堆看作圆锥的一部分，则该谷堆的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形，作出判断即可． 【详解】解：该谷堆的主视图为： ． 故选：C． 【点睛】本题考查了三视图知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 3. 如图，若的半径为1，点到某条直线的距离为2，则这条直线可能是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离，当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交，据此可得答案． 【详解】解：∵的半径为1，圆心O到一条直线的距离为2，即， ∴与该直线相离， ∴这条直线可能是， 故选：A． 4. 如图是某幼儿园的滑滑梯的简易图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是，则高为（ ）． A. 3 B. 5 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，解题的关键是根据题意可得：在中，，从而可得，进行计算即可解答． 【详解】解：滑坡的坡度是， 在中，，， ， 故选：C． 5. 掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，则的值（ ） A. 一定是 B. 一定不是 C. 随着的增大，可能是 D. 随着的增大，稳定在附近 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系．解题的关键是理解随机事件是都有可能发生的事件． 根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可． 【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性． 故选：D． 6. 如图，点处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：由题意得：，， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴， 解得． ∴的长为． 故选：C． 7. 如果，那么二次函数的图象必过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，先整理得，然后把每个选项的点的坐标代入，然后与比较，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∵二次函数 ∴把代入，得， 把代入，得， 把代入，得， 把代入，得， 故二次函数的图象必过点， 故选：B 8. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键．根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：， ， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ， ∴， 则与的面积之比为 故选D． 9. 如图，直角三角板角的顶点落在上，两边与分别交于，两点，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，解直角三角形，圆周角定理，连接，，，过作于，先证是等边三角形，结合得到，再根据垂径定理得到，得到即可得到答案． 【详解】解：连接，，，过作于， ∵，， ， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，在的网格中标记了4个格点，已知网格中每个小正方形的边长为1，若二次函数的图象经过其中的3个格点，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的开口越小，值越大，分和两种情况 建立平面直角坐标系，利用待定系数法，求出a值即可． 【详解】解：二次函数的开口越小，值越大，分以下两种情况： 当，如图，建立平面直角坐标系， ∴二次函数图象经过其中的3个格点，则只能过，，或，，，或，，， 当时，过，，三点的抛物线的开口最小， 设抛物线解析式为，将代入得， ， 解得：； 当时，如图，建立平面直角坐标系， 二次函数的图象经过、、三点， 设抛物线解析式为，将代入得， ， 解得：； 综上，的最大值为． 故选：A． 二、用心填一填（本题共18分，每小题3分） 11. 已知正多边形一个外角为，则该正多边形的边数是________． 【答案】十 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角，根据正多边形的外角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：； ∴该正多边形的边数是10； 故答案为：十． 12. 如图，小东用半径，圆心角为的扇形纸板，制作了一个圆锥形的生日帽，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面半径是___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查求圆锥底面圆的半径，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：设底面半径是， 由题意，得：， 解得：； 故答案为：12． 13. A4纸是我们常用的打印纸，把纸沿长边中点对折，形成两个相同的小长方形，我们发现折叠得到的小长方形与折叠前的大长方形相似，则大长方形与小长方形的相似比为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似多边形性质，如图，设大长方形的长为，宽为，则小长方形的长为，宽为，根据矩形矩形列出比例式，求出的值即可． 【详解】解：设大长方形的长为，宽为，如图， 则，，， ∵矩形矩形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知二次函数图象上有两个不同点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的对称性，先判定点关于抛物线的对称轴对称，再求解抛物线的对称轴为直线，从而可得答案. 【详解】解：点在二次函数的图象上， ∴点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴； 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，现将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当时，的长为___________． 【答案】1或2或 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，旋转的性质，特殊角度三角函数，根据得到，再以为边构造等边三角形，根据和在等边三角形上找对应的点即可． 【详解】解：如图，取中点，沿翻折，点对应点，取中点，连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴由翻折可得，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，取中点，取中点， ∴， ∴， ∵现将线段绕点顺时针旋转得到线段，， ∴，， ∴点分别与、、重合， 当点与点重合时，， ∴点与点重合时，， ∴点与点重合时，， 故答案为：1或2或． 16. 如图，切于点，在上取一点，使，连结并延长交于点，过点作交于点，连结，当时，的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，延长交于H，由切线的性质推出半径，由线段垂直平分线的性质推出，得到，由圆周角定理得到，因此，由补角的性质推出，判定，推 ，求出，得到，即可求出的值． 【详解】解：连接，延长交于H， ∵切于点， ∴半径， ∵， ∴， ∴，垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，切线的性质，平行线的性质，圆周角定理，垂径定理，线段垂直平分线的性质，等腰三 角形的性质，关键是判定． 三、细心答一答（本题共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而化简得出答案． 【详解】解： ． 18. 第19届亚运会今年在杭州举行，小聪与小明都是志愿者，他们被随机分配到A、B、C、D四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同． （1）小明被分配到D场馆做志愿者的概率是多少？ （2）利用画树状图或列表的方法，求小聪和小明被分配到同一场馆做志愿者的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小聪和小明被分配到同一场馆做志愿者的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，小明被分配到D场馆做志愿者的概率是． 【小问2详解】 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小聪和小明被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种， ∴小聪和小明被分配到同一场馆做志愿者的概率为． 19. 如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，通过调节与的仰角与的大小来达成个人舒适的高度，已知调节杆，，的最大仰角为． （1）当点离桌面高度大约时，手腕最舒适，请问应该调整哪个角的大小？调整为多少度？ （2）在（1）的条件下，求点到桌面的最大高度．（参考数据：） 【答案】（1）调整，使得 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． （1）过点B作于点F，求出，根据，即可得出； （2）过点A作于点G，则，根据，的最大仰角为求出的最大值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：过点B作于点F，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∵， ∴应该调整，使得． 【小问2详解】 解：如图，过点A作于点G，则， ∵，的最大仰角为 ∴的最大值为：， ∴点到桌面的最大高度为． 20. 如图，在中，点分别在边、上，把沿折叠，点落在边上的处，把沿折叠，点恰好与点重合． （1）求证：． （2）当，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． （1）由折叠的性质推出，即可证明相似； （2）由折叠的性质可知，，，，根据相似三角形对应边成比例可求（负值舍去），，进而得，，即可得解． 【小问1详解】 解：由折叠的性质可知，，， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 由折叠的性质可知，，，， ， ， ， （负值舍去），， ，， ． 21. 糖炒板栗是冬季深受大家喜爱的小吃．已知糖炒板栗每斤成本大约为10元．某夜市摊主试销阶段每斤的销售价（元）与糖炒板栗日销售量（斤）之间的关系如下表：若日销售量是销售价的一次函数，试求： （元） 15 20 30 … （斤） 100 80 40 … （1）日销售量（斤）与销售价（元）的函数关系式； （2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种糖炒板栗每日销售的利润最大，每斤的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）每斤的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是900元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，正确分析得出各量间的关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式进行计算，即可解答； （2）根据总利润=单个利润总数量进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：设， 把，代入中得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：由题意得： ， ， 当时，元， 每斤的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是900元． 22. 司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点，直径为，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点），连接并延长交于点． （1）点位于点的北偏东___________的方向上． （2）求的长． （3）连接，比较线段与大小（写出你作出判断理由） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要正多边形和圆、勾股定理、圆周角定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先根据正八边形每条边所对的弧都是，再利用圆周角是圆心角得一半即可得解； （2）连接，易证； （3）构造直角三角形求出，连接，过G作交于点M，易得，再利用勾股定理求出进行比较即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵八个方位将圆形八等分， ∴， ∴ ∴，即点P位于点D的北偏东； 【小问2详解】 解：连接，则为直径， ∴， 由（1）知 ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：，理由如下： 如图，连接，过G作交于点M， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵ ∴，即． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点，点在该抛物线上，已知当点在点处时，点恰与点重合． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）当点在第二象限内时，求的取值范围． （3）若点也在该抛物线上，且恒有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数点的坐标特征、二次函数得增减性、二次函数最值等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题易得，再代入二次函数求解即可； （2）由P在第二象限可知，进而得到，再根据增减性求解即可； （3）由易得0，再分类讨论，根据点P和点Q在对称轴同侧和异侧问题，利用增减性和对称性建立不等式求解即可． 【小问1详解】 ∵抛物线与轴交于点， ∴， ∵在该抛物线上，当点在点处时，点恰与点重合， ∴，点Q的横坐标为3， ∴， 将代入得，， 抛物线的函数表达式； 【小问2详解】 解：令，则． 或． 解得，． 所以抛物线与轴的交点坐标为，． 点在第二象限， ， ， 点在对称轴直线的右侧，随的增大而减小， 当时，，当时，， ； 【小问3详解】 令， 解得或， ， ， 解得， ， 所以符合条件的两种情况如图所示： ①当点、位于对称轴两侧时，如图1， ∴ 解得， ∴； ②当点P、Q位于对称轴同侧时，如图2 ， 解得：， 综上所述：或． 24. 如图，为的直径，点A在上且，为上的一点，连接，过A作于点，交于点，交于点，连接并延长交于点，连． （1）请判断的形状，并说明理由． （2）求证：平分． （3）当时，求与的面积之比． 【答案】（1）等腰直角三角形，理由见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据圆周角定理得到，再证明，进而可得结论； （2）过O作于G，于P，利用垂径定理可得，，易证，证明四边形是正方形，得到即可得结论； （3）设，，证明得到，，则，，进而可求． 【小问1详解】 解：是等腰直角三角形． 理由：如图，连接，， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形； 【小问2详解】 证明：过O作于G，于P， 则，，， ∴四边形是矩形， 由（1）得，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，又， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，即平分； 【小问3详解】 解：∵， ∴设，， 由（2）中四边形是正方形可得， 在中，， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆的综合，涉及圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、弧与弦的关系、垂径定理、矩形的判定、正方形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年下学期期末试卷九年级（上） 数学试题卷 （温馨提示：本卷满分120分，考试时间120分钟；所有答案均写在答题纸上） 一、精心选一选（本题共30分，每小题3分） 1. 若，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 2. 下图出自《九章算术》“商功”卷，在互相垂直的墙体角落里，堆放着粟谷，将谷堆看作圆锥的一部分，则该谷堆的主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，若的半径为1，点到某条直线的距离为2，则这条直线可能是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 如图是某幼儿园的滑滑梯的简易图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是，则高为（ ）． A. 3 B. 5 C. 2 D. 4 5. 掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，则的值（ ） A. 一定是 B. 一定不是 C. 随着的增大，可能是 D. 随着的增大，稳定在附近 6. 如图，点处读数分别为15，12，0，1，若直尺宽，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如果，那么二次函数图象必过点（ ） A. B. C. D. 8. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直角三角板角的顶点落在上，两边与分别交于，两点，，则的值为（ ） A B. C. D. 10. 如图，在的网格中标记了4个格点，已知网格中每个小正方形的边长为1，若二次函数的图象经过其中的3个格点，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 二、用心填一填（本题共18分，每小题3分） 11. 已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数是________． 12. 如图，小东用半径，圆心角为的扇形纸板，制作了一个圆锥形的生日帽，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面半径是___________． 13. A4纸是我们常用的打印纸，把纸沿长边中点对折，形成两个相同的小长方形，我们发现折叠得到的小长方形与折叠前的大长方形相似，则大长方形与小长方形的相似比为____________． 14. 已知二次函数图象上有两个不同点，则__________． 15. 如图，在中，，，，现将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当时，的长为___________． 16. 如图，切于点，在上取一点，使，连结并延长交于点，过点作交于点，连结，当时，的值为__________． 三、细心答一答（本题共72分） 17. 计算：． 18. 第19届亚运会今年在杭州举行，小聪与小明都是志愿者，他们被随机分配到A、B、C、D四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同． （1）小明被分配到D场馆做志愿者的概率是多少？ （2）利用画树状图或列表的方法，求小聪和小明被分配到同一场馆做志愿者的概率． 19. 如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，通过调节与的仰角与的大小来达成个人舒适的高度，已知调节杆，，的最大仰角为． （1）当点离桌面高度大约时，手腕最舒适，请问应该调整哪个角的大小？调整为多少度？ （2）在（1）的条件下，求点到桌面的最大高度．（参考数据：） 20. 如图，在中，点分别在边、上，把沿折叠，点落在边上的处，把沿折叠，点恰好与点重合． （1）求证：． （2）当，求的长． 21. 糖炒板栗是冬季深受大家喜爱的小吃．已知糖炒板栗每斤成本大约为10元．某夜市摊主试销阶段每斤的销售价（元）与糖炒板栗日销售量（斤）之间的关系如下表：若日销售量是销售价的一次函数，试求： （元） 15 20 30 … （斤） 100 80 40 … （1）日销售量（斤）与销售价（元）的函数关系式； （2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种糖炒板栗每日销售的利润最大，每斤的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？ 22. 司南是我国古代辨别方向用的一种仪器，早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖（如图1）．司南中心为一圆形，圆心为点，直径为，根据八个方位将圆形八等分（图2中的点），连接并延长交于点． （1）点位于点北偏东___________的方向上． （2）求的长． （3）连接，比较线段与大小（写出你作出判断的理由） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点，点在该抛物线上，已知当点在点处时，点恰与点重合． （1）求该抛物线函数表达式． （2）当点在第二象限内时，求的取值范围． （3）若点也在该抛物线上，且恒有，求的取值范围． 24. 如图，为的直径，点A在上且，为上的一点，连接，过A作于点，交于点，交于点，连接并延长交于点，连． （1）请判断的形状，并说明理由． （2）求证：平分． （3）当时，求与的面积之比． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$