山东名校考试联盟2025届高三下学期3月高考模拟考试数学试题

山东名校考试联盟2025届高三下学期3月高考模拟考试数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，则(    ) A. B. C. 1 D. 2.若集合，，则(    ) A. B. C. 或 D. 或 3.已知圆，直线，若圆C上有且仅有一点到直线l的距离为1，则(    ) A. 6 B. 10 C. D. 4.已知数列，是公差不为0的等差数列，若，，则(    ) A. B. C. D. 1 5.已知，则的值为(    ) A. B. 1 C. D. 2 6.设函数的导函数为，当时满足，且，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 7.设，为单位向量，且，若向量满足，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 8.在正三棱柱中，，E为的中点，若三棱锥的四个顶点均在球O上，过作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.若正数a，b满足，则下列说法正确的是(    ) A. ab有最大值 B. 有最小值4 C. 有最小值 D. 有最小值 10.下列说法正确的是(    ) A. 数据5，8，10，12，13的第40百分位数是9 B. 若随机变量X服从正态分布，，则 C. 20张彩票中有2张能中奖，现从中一次性抽取n张，若其中至少有一张中奖的概率大于，则n的最小值为5 D. 已知数据，，，的平均数为6，方差为10，现加入5和7两个数，则这8个数的方差 11.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族不包括y轴直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.已知直线族，下列说法正确的是(    ) A. 若该直线族的包络曲线为圆，则 B. 若直线族的包络曲线为抛物线，则直线族中过点的直线方程为 C. 若，，则该直线族的包络曲线为椭圆 D. 当，时，若点不在直线族的任意一条直线上，则该直线族的包络曲线方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.展开式中第4项的系数为          . 13.已知为自然对数的底数，，请写出与的一条公切线方程          . 14.过双曲线的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为Q，直线FQ与双曲线的左、右两支分别交于点M，N，若，则双曲线的离心率是          . 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 如图，在平面四边形ABCD中，已知，，为等边三角形.记 若，求的面积; 若，求的面积的取值范围. 16.本小题12分 如图，在四棱锥中，，，，，E是棱PD上的中点. 证明：平面平面 求平面PAB与平面ACE的夹角的余弦值. 17.本小题12分 已知椭圆，直线经过C的两个顶点. 求C的方程; 若P为C上一动点，过点P作圆的两条切线分别交C于A，B两点，证明：直线AB过原点. 18.本小题12分 已知函数 当时，求函数的零点个数; 若函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围. 19.本小题12分 两个盒子里分别放着写有A，B，C三种字母、大小相同的卡片各一张.每一次随机地从两个盒子中取出一张卡片交换位置.记n次交换后两个盒子中仍然是A，B，C三种字母的卡片各一张的概率为 求和 证明： 证明： 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：， ， ， 则 故选 2.【答案】D  【解析】解：根据题意得，，解得或，则或，则或 故选 3.【答案】D  【解析】解：根据已知得圆心到直线的距离为2，即，解得 故选 4.【答案】A  【解析】解：设公差为d，则， 因为，， 则， 解得， 5.【答案】C  【解析】解：， 故选： 6.【答案】A  【解析】解：设，由， 又，即，则是常数， 由，得， 即，得， ，所以， 易得在上递减， 且时，时，， ， 从而， 所以 故选 7.【答案】C  【解析】解：因为，为单位向量，且， 所以可设，， 因为， 所以，即， 即，整理得，即， 这表示向量的终点在以为圆心，为半径的圆上. 因为， 由圆的方程可知，圆心横坐标为，半径， 根据圆的性质，x的取值范围是， 即的取值范围是 8.【答案】B  【解析】解：在正三棱柱中，，E为的中点，若三棱锥的四个顶点均在球O上， 所以三棱锥的四个顶点均在球O上，即球O为四棱锥的外接球， 故球心O在正方形的中心，则球O的半径为 过作球O的截面，当所得截面圆面积最小时，截面圆为以为直径的圆. 此时截面圆半径为1，面积为 故选： 9.【答案】ABD  【解析】解：正实数a，b满足，  由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 故有最大值 ，则ab最大值为，故A正确． ， 当且仅当时等号成立，故有最小值4，故B正确． ， ，当且仅当时取等号，故C错误；  ，当且仅当时取等号， 故有最小值，故D正确． 故选： 10.【答案】ABD  【解析】解： 对于A，因为， 所以数据5，8，10，12，13的第40百分位数是第2个数与第3个数的平均数， 即，故A正确； 对于B，若随机变量X服从正态分布，， 则，，故B正确； 对于C，用X表示中奖票数，则， 即， 所以， 即 又n为整数，所以n至少为6，故C错误； 对于D，数据，，，的平均数为6，方差为10， 现加入5和7两个数，则这8个数的平均数为， 原6个数的方差为，所以， 所以这8个数的方差，故D正确. 故选： 11.【答案】BCD  【解析】解：对于若圆是直线族的包络线， 可得，可得，故A错; 对于直线族中的每条直线都与抛物线相切， 显然过点的直线所在的直线斜率存在，设方程为， 由，消去y并整理得：， 则，解得， 所以所求直线方程为，故B对; 对于设椭圆上的点为，过点P作圆的切线l， 当切线斜率存在时，设， 联立得：， 所以， 作商：，得， 所以切线l的方程为，即 当切线斜率不存在时，或， 则切线方程和亦满足，故C正确; 对于将点代入，可得关于t的方程， 因为点不在直线族上， 故方程无实数解， 所以，那么，故， 因为区域的边界为抛物线， 下证：是的包络曲线. 联立直线与，可得， 所以， 故直线族为抛物线的切线. 因此直线族的包络曲线为，故D对. 12.【答案】  【解析】解：由二项式定理： 展开式中第4项 所以第4项的系数为， 13.【答案】或任写一个即可  【解析】解：根据题意，设直线l与 相切于点 ，与相切于点， 对于 ，其导数为 ，则有 ， 则直线l的方程为  ，即  ， 对于，其导数为 ， 则有 ， 则直线l的方程为 ，即 ， 直线l是与的公切线， 则 ，消去n得， 即，解得或， 当时，，直线l的方程为， 当时，，直线l的方程为； 故切线的方程为或 故答案为：或任写一个即可 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查双曲线的定义和性质，以及三角形的余弦定理，考查方程思想和转化思想、运算能力，属于中档题． 设双曲线的左焦点为，求得，设，则，，由双曲线的定义求得，，分别在三角形与三角形中运用余弦定理化简，结合双曲线的离心率公式可得所求值． 【解答】 解：设双曲线的左焦点为， 双曲线的渐近线方程为，，， 在直角三角形QOF中，，① 设，则，， 由双曲线的定义可得，， 在三角形中，可得，② 在三角形中，可得，③ 由①②化简可得， 由①③化简可得， 所以， 即， 则 故答案为 15.【答案】解：在中，由余弦定理，， 所以，所以， 又因为为等边三角形， 所以，且， 所以 不妨设 在中，由余弦定理，得， 在中，由正弦定理，，即， 所以 所以 ， 又因为，所以， 所以 即的面积的取值范围为  【解析】本题考查解三角形、三角恒等变换和三角函数的性质，属于中档题. 利用余弦定理和三角形的面积公式即可求解; 利用正、余弦定理、三角恒等变换和三角形的面积公式求得，结合的范围即可求解. 16.【答案】证明：取AC中点为O，连接BO，PO，如图， 方法一：因为，所以，， 因为，所以， 因为，所以，即， 因为，BO、平面ABCD， 所以平面ABCD， 因为平面PAC，所以平面平面 方法二：因为，所以，， 又因为，所以， 因为，所以，即， 因为，PO、平面PAC， 所以平面PAC， 因为平面ABCD，所以平面平面 方法一;以O为坐标原点，OB，OC，OP所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图坐标系. 因为，，，， 所以，，，，，， 则，，，， 设平面PAB的法向量为，则，即， 令，得，，所以， 设平面AEC的法向量为， 则，即， 令，得，，所以， 设平面PAB与平面ACE的夹角为， 所以，， 即平面PAB与平面ACE的夹角的余弦值为 方法二：以O为坐标原点，CD，CA所在的直线分别为x，y轴，建立如图坐标系， 因为，，，， 所以，，，，，， 则，，，， 设平面PAB的法向量为，则，即， 令，得，，所以， 设平面AEC的法向量为，则，即， 令，得，，所以， 设平面PAB与平面ACE的夹角为，所以，， 即平面PAB与平面ACE的夹角的余弦值为  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.【答案】解：因为直线过C的上顶点和左顶点，所以上顶点为，左顶点为，所以，，则C的方程为 当直线PA或PB斜率不存在时，不妨令，则，所以直线PB方程为，所以，直线AB过定点，且该定点为原点. 下证：当直线PA和PB斜率存在时，直线AB过 设，过点P的切线方程为，则，所以，所以， 因为在C上，所以，则 当直线AB过时，由椭圆对称性得设，则， 所以， 因为，，所以，，则， 满足.所以当直线PA和PB斜率存在时，直线AB过综上：直线AB过定点  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】解：当时，，于是， 故在R上单调递减，又，故函数的零点个数为 若函数有且只有一个零点，由于，且为奇函数，则当时，或， 由可知当时，在上单调递减，此时，即 若，则当时，，符合题意. 因为，令，则 令，则 若，则，故在上单调递增， 于是，故在上单调递增，于是 则在上单调递增，此时，符合题意. 若，记且， 则当时， 故在上单调递减，于是，故在上单调递减，于是 则在上单调递减，此时 又， 故在上存在零点，矛盾. 综上所述，实数a的取值范围为  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.【答案】解：对两个盒子中相同字母的卡片进行交换，则 若第1次交换的是相同字母的卡片，则第二次仍需将两个盒子中相同字母的卡片进行交换， 此时概率为 若第1次交换的是不同字母的卡片，有种情况， 不妨设将第一个盒子中的A和第二个盒子中的B进行交换， 则第二次需要将第一个盒子中的B和第二个盒子中的A进行交换， 此时概率为 于是 证明：用表示n次交换后两个盒子中仍然是A，B，C三种字母的卡片各一张的事件，则有 对相同字母的卡片进行交换可知 假设第一个盒子里装有卡片X，Y，Y，第二个盒子里装有卡片X，Z，Z，注意到两个盒子中都有两张相同字母的卡片， 因此，只需用第一个盒子中的任意一张写有字母 Y的卡片交换第二个盒子中的任意一张写有字母Z的卡片即可变为两个盒子中都是A，B，C三种字母的卡片各一张的状态， 所以 再由全概率公式可得 于是， 故，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 于是，， 从而有 证明：由于 ， 于是  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$