精品解析：甘肃省武威市凉州区武威第八中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

武威八中春学期九年级第一次月考数学试卷 一、单选题 1. 下列各数中是有理数的是（　　） A. π B. 0 C. D. 2. 如图图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 智能手机已遍及生活中各个角落，移动产业链条正处于由到的转折阶段，据中国移动2024年3月公布的数据显示，中国移动用户数量约31720000户．将31720000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. x2+x2=x4 B. x8÷x2=x4 C. x2•x3=x6 D. （-x）2-x2=0 5. 下列说法正确是（ ） A. 检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查 B. 任意画一个三角形，其外角和是是必然事件 C. 数据4，9，5，7的中位数是6 D. 甲、乙两组数据的方差分别是，，则乙组数据比甲组数据稳定 6. 如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（　　） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容是单位）；大容器1个，小容器5个，总容暴为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组是（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 9. 如图，已知的两条弦相交于点，那么的值为（　） A. B. C. D. 10. 如图①，正方形中，，相交于点，是的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图②所示，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 二、填空题 11. 因式分解：_____． 12. 已知一次函数，当自变量时，函数y的值可以是________（写出一个合理的值即可）． 13. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是___________． 14. 若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足，则第三边c的取值范围是_____________． 15. 如图所示，若用半径为8，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则这个圆锥的侧面面积是___________． 16. 按下面的程序计算： 若开始输入x的值为2，则最后输出的结果为______． 三、解答题（本大题共9题，共72分） 17. 计算题： （1）计算． （2）计算：． （3）解方程：． （4）解方程组：． 18. 解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点（网格线的交点）上． （1）作关于原点O对称的，并写出点的坐标． （2）将线段绕点A顺时针旋转得到线段，求点B所走的路径的长度（结果保留）． 21. 甘肃科技馆（如图①所示）是甘肃省有史以来投资和建设规模最大的社会公益性科普项目，是实施科教兴国战略和创新驱动发展战略的重要基础设施建设．甘肃科技馆的建成，标志着甘肃省科普阵地建设迈上了新台阶某数学课题研究小组对测量甘肃科技馆的高度这一课题进行了探究，过程如下： 问题提出：如图②是测量甘肃科技馆高度的示意图，求甘肃科技馆的高度． 方案设计：如图②，该数学课题研究小组通过调查研究设计了甘肃科技馆楼顶到地面的高度为在测点用仪器测得点的仰角为，前进一段距离到达测点，再用该仪器测得点的仰角为，且点、、、、、均在同一竖直平面内． 数据收集：，，，测角仪高． 问题解决：根据上述方案及数据，求甘肃科技馆高度．（计算结果保留整数，参考数据：，，， 22. 甲、乙两陌生人同乘一趟高铁列车从唐山前往北京．如图，网上购票时，购票系 统向两人都推送了第2车厢第13排的座位，其中座位D 已有人预定，两人只能在A、B、C、F 四个座位选择一个座位，且这四种可能性均相同． （1）求甲选择A座位的概率； （2）用列表法或画树状图法求出甲、乙二人座位相邻的概率． 23. 某校调查学生对“社会主义核心价值观”的内容了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷共设置“非常了解”、“比较了解”、“一般了解“不了解”四个选项，分别记为，根据调查结果绘制了如图尚不完整的统计图． 请解答下列问题： （1）本次问卷共随机调查了________名学生，扇形统计图在D对应的圆心角为_______度． （2）请补全条形统计图． （3）若该校有1800名学生，估计该校选择“非常了解”的学生约有多少人？ 24. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点． （1）求一次函数与反比例函数解析式； （2）若点与点关于轴对称，求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 25. 如图，在中，，，与交于点，，为直径，点在上，连接，，． （1）求证：是的切线： （2）若，的半径为3，求的长． 26. 如图，抛物线的图象经过，，三点． （1）求抛物线的解析式和顶点M的坐标； （2）在直线下方抛物线上是否存在一点E，使的面积最大，若存在，求出点E的坐标和的最大面积； （3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上的动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点、以为边的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武威八中春学期九年级第一次月考数学试卷 一、单选题 1. 下列各数中是有理数的是（　　） A. π B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】【分析】根据有理数是有限小数或无限循环小数，结合无理数定义进行判断即可得答案． 【详解】A、π是无限不循环小数，属于无理数，故本选项错误； B、0是有理数，故本选项正确； C、是无理数，故本选项错误； D、是无理数，故本选项错误， 故选B． 【点睛】本题考查了实数的分类，熟知有理数是有限小数或无限循环小数是解题的关键． 2. 如图图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据中心对称图形的概念即可解答． 【详解】A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 3. 智能手机已遍及生活中的各个角落，移动产业链条正处于由到的转折阶段，据中国移动2024年3月公布的数据显示，中国移动用户数量约31720000户．将31720000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中为整数，且比原来的整数位数少1，确定与的值是解题的关键． 根据科学记数法表示方法求解即可． 【详解】解：． 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. x2+x2=x4 B. x8÷x2=x4 C. x2•x3=x6 D. （-x）2-x2=0 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：A原式=2x2，故A不正确； B原式=x6，故B不正确； C原式=x5，故C不正确； D原式=x2-x2=0，故D正确； 故选D 考点：1.同底数幂的除法；2.合并同类项；3.同底数幂的乘法；4.幂的乘方与积的乘方． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查 B. 任意画一个三角形，其外角和是是必然事件 C. 数据4，9，5，7的中位数是6 D. 甲、乙两组数据的方差分别是，，则乙组数据比甲组数据稳定 【答案】C 【解析】 【分析】根据普查和抽样调查、事件的分类、中位数、方差的意义分别进行判断即可 【详解】解：A．检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用普查，故选项错误，不符合题意； B．任意画一个三角形，其外角和是是不可能事件，故选项错误，不符合题意； C．数据4，9，5，7的中位数是，故选项准确，符合题意； D．甲、乙两组数据的方差分别是，，则乙组数据比甲组数据更不稳定，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了普查和抽样调查、事件的分类、中位数、方差的意义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 6. 如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，再结合三角板的特征利用平角定义即可算出的度数． 【详解】解：如下图进行标注， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了平行线性质，三角形平角定义，利用三角板的特点求出结果是解答本题的关键． 7. 《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容是单位）；大容器1个，小容器5个，总容暴为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少斛？设大容器的容量为斛，小容器的容量为斛，则可列方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，根据“大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组． 【详解】解：设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛， 根据题意得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据数量关系列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键． 8. 关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是（　　） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【详解】∵△=＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选D． 9. 如图，已知的两条弦相交于点，那么的值为（　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查学生对圆内角的大小的理解，对顶角相等是解本题的关键根据已知角和对顶角相等，可以求出的大小，进而得出的值 【详解】已知的两条弦，相交于点，, , ∵ 故选： 10. 如图①，正方形中，，相交于点，是的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图②所示，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据函数图象可知，再设正方形的边长为，从而可得，然后根据线段中点的定义可得，最后在中，利用勾股定理可求出a的值，由此即可得出答案． 【详解】如图，连接AE 由函数图象可知， 设正方形ABCD的边长为，则 四边形ABCD是正方形 ， 是的中点 则，由勾股定理得： 因此有 解得 则 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、函数图象等知识点，根据函数图象得出是解题关键． 二、填空题 11. 因式分解：_____． 【答案】． 【解析】 【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：． 12. 已知一次函数，当自变量时，函数y的值可以是________（写出一个合理的值即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据，选择，此时，解答即可．本题考查了函数值的计算，正确选择自变量进行计算是解题的关键． 【详解】根据，选择，此时， 故答案为：． 13. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．据此求解即可． 【详解】解：由题意得，平移后的解析式为：， 故答案为：． 14. 若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足，则第三边c的取值范围是_____________． 【答案】1＜c＜5． 【解析】 【详解】解：由题意得，，， 解得a=3，b=2， ∵3﹣2=1，3+2=5， ∴1＜c＜5． 故答案为1＜c＜5． 【点睛】考点：1．三角形三边关系；2．非负数的性质：偶次方；3．非负数的性质：算术平方根． 15. 如图所示，若用半径为8，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则这个圆锥的侧面面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，根据扇形的面积等于围成的圆锥的侧面积求解即可． 【详解】解：根据题意得，这个圆锥的侧面面积是． 故答案为：． 16. 按下面的程序计算： 若开始输入x的值为2，则最后输出的结果为______． 【答案】22 【解析】 【分析】先把2代入代数式中，求值后若大于11输出答案，若小于或等于11返回第一步再次计算，判定即可得出答案． 【详解】解：第一次运算结果：， 第二次运算结果为：， 因为22大于11，所以最后输出的结果为22， 故答案为：22． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，根据题意所给程序运算方法进行计算判定是解决本题的关键． 三、解答题（本大题共9题，共72分） 17. 计算题： （1）计算． （2）计算：． （3）解方程：． （4）解方程组：． 【答案】（1） （2） （3）， （4） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则求解即可； （2）首先计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂和绝对值，然后计算加减； （3）移项整理成一般式，然后利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）方程组利用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 或 解得，； 【小问4详解】 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂和绝对值，因式分解法解一元二次方程，解二元一次方程组，解题的关键是掌握以上运算法则． 18. 解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析． 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得·， 解不等式②，得：， 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 则不等式组的解集为： ． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】先化简，再把的值代入，计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的通分和约分是解题的关键． 20. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点（网格线的交点）上． （1）作关于原点O对称的，并写出点的坐标． （2）将线段绕点A顺时针旋转得到线段，求点B所走的路径的长度（结果保留）． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图—中心对称，旋转变换： （1）找到点A，B，C关于原点的对称点，再顺次连接，即可求解； （2）根据弧长公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 点的坐标为； 【小问2详解】 解：根据题意得：， ∴点B所走路径的长度为． 21. 甘肃科技馆（如图①所示）是甘肃省有史以来投资和建设规模最大的社会公益性科普项目，是实施科教兴国战略和创新驱动发展战略的重要基础设施建设．甘肃科技馆的建成，标志着甘肃省科普阵地建设迈上了新台阶某数学课题研究小组对测量甘肃科技馆的高度这一课题进行了探究，过程如下： 问题提出：如图②是测量甘肃科技馆高度的示意图，求甘肃科技馆的高度． 方案设计：如图②，该数学课题研究小组通过调查研究设计了甘肃科技馆楼顶到地面的高度为在测点用仪器测得点的仰角为，前进一段距离到达测点，再用该仪器测得点的仰角为，且点、、、、、均在同一竖直平面内． 数据收集：，，，测角仪高． 问题解决：根据上述方案及数据，求甘肃科技馆的高度．（计算结果保留整数，参考数据：，，， 【答案】37m 【解析】 【分析】如图：延长DF与AB交于点G，在两个直角三角形中，用BG表示DG、FG，进而用DG-FG=DF=10列方程求出BG即可． 【详解】解：如图：延长与交于点， 根据题意可知：，测角仪高． 在中， ， ， 在中， ， ， ， ， 解得，， ． 答：甘肃科技馆的高度约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，用BG表示DG、FG是列方程求解的关键． 22. 甲、乙两陌生人同乘一趟高铁列车从唐山前往北京．如图，网上购票时，购票系 统向两人都推送了第2车厢第13排的座位，其中座位D 已有人预定，两人只能在A、B、C、F 四个座位选择一个座位，且这四种可能性均相同． （1）求甲选择A座位的概率； （2）用列表法或画树状图法求出甲、乙二人座位相邻的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中甲、乙二人座位相邻的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：两人只能在、、、四个座位选择一个座位， 甲选择座位的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙二人座位相邻的结果有4种，即、、、， 甲、乙二人座位相邻的概率． 23. 某校调查学生对“社会主义核心价值观”的内容了解情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷共设置“非常了解”、“比较了解”、“一般了解“不了解”四个选项，分别记为，根据调查结果绘制了如图尚不完整的统计图． 请解答下列问题： （1）本次问卷共随机调查了________名学生，扇形统计图在D对应的圆心角为_______度． （2）请补全条形统计图． （3）若该校有1800名学生，估计该校选择“非常了解”的学生约有多少人？ 【答案】（1）60，18° （2）答案见解析 （3）450人 【解析】 【分析】(1)“B比较了解”的有24人，占调查人数的40%，可求出调查人数，进而求出“D一般了解”所占的百分比，进而计算其相应的圆心角的度数； (2)求出“A非常了解”的人数，即可补全条形统计图； (3)用该校的总人数乘以“非常了解”的人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：本次问卷共随机调查的学生数是：24÷40%=60(名)， 扇形统计图中D对应的圆心角为360°×(3÷60)=18°； 【小问2详解】 解：条形图中“A非常了解”所占的人数为：60×25%=15(名)， 补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解：“A非常了解”所占的百分比为25%， 故该校有1800名学生，选择“非常了解”的学生约有：1800×25%=450人． 【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量及数量关系是正确解答的关键． 24. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点与点关于轴对称，求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2）3 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解反比例函数解析式，再求出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数表达式即可； （2）分别求出C，D的坐标，再求出点到的距离，根据三角形面积公式计算即可； （3）根据图象求解即可． 【小问1详解】 反比例函敕的图象经过点， ， 点在上， ， ． 把，坐标代入，则， 解得， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 由（1）知直线， 直线交轴于， ， ，关于轴对称， ， ， 轴，． 点到的距离为． ． 【小问3详解】 根据图象得：不等式的解集为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、利用数形结合的思想求不等式的解集是解题的关键． 25. 如图，在中，，，与交于点，，为直径，点在上，连接，，． （1）求证：是的切线： （2）若，的半径为3，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，求得．根据圆周角定理得到，即，求得．根据切线的判定定理即可得到结论； （2）解直角三角形即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ． 为直径， ， 即， ． ． 是的半径， 直线是的切线； 【小问2详解】 解：根据（1）的结论，有， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，＝， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 即为． 【点睛】本题考查了切线的性质和判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，也考查了圆周角定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键． 26. 如图，抛物线的图象经过，，三点． （1）求抛物线的解析式和顶点M的坐标； （2）在直线下方的抛物线上是否存在一点E，使的面积最大，若存在，求出点E的坐标和的最大面积； （3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上的动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点、以为边的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在，取最大值，点P的坐标为 （3）存在，点P坐标为或． 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的几何应用、平行四边形的定义等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分2种情况讨论是解题关键，勿出现漏解． （1）根据待定系数法即可求出解析式，再化为顶点式即可求解； （2）求出直线的解析式，过点E作轴，交于点F，设点E为，则点F为，表示出，再根据表示出即可求解． （3）根据平行四边形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将，，三点代入 可得， 解得：， 故抛物线的解析式为； ∵． ∴抛物线的顶点M的坐标为． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为，把点、代入得， 解得：， 得直线的解析式为． 如图，过点E作轴，交于点F， 设点E为，则点F为， ∴． ∴． ∴． ∴当时，取最大值． ∴点E的坐标为． 【小问3详解】 解：∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴或， ∴或， ∴点P坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $