2.1 因数和倍数的认识-【拔尖特训】2024-2025学年五年级下册数学（人教版 浙江专用）

2 因数和倍数 1. 因数和倍数的认识 第1课时 因数和倍数的认识(1) 1. 填一填。 (1) 观察下面的算式并将其分成两种。 36÷4=9 21÷7=3 9÷6=1……3 7÷3=2.3 ∙ 14÷4=3.5 48÷8=6 第一种 第二种 36÷4=9 9÷6=1……3 在整数除法中,如果商是( )且没有余数 (或者说余数为0),我们就说被除数是除数 和商的( ),除数和商是被除数的( )。 (2) 7×9=63,63是7和9的( ),7和9 是63的( )。 (3) a÷b=c(a,b,c都是非0自然数),b和c 是a的( ),a是b和c的( )。 2. 判一判。 (1) 因为2.8÷7=0.4,所以2.8是7和0.4 的倍数。 ( ) (2) 5是因数,25是倍数。 ( ) (3) 若甲数除以乙数等于4,则甲数一定是乙 数的倍数。 ( ) 3. 选一选,填一填。 4. 选一选。 (1) 下面各组数中,有因数和倍数关系的是 ( )。 A. 8和5 B. 4.5和0.9 C. 7和49 D. 6和2.4 (2) 已知a是11的因数,则( )。 A. a只能是1 B. a只能是2 C. a只能是11 D. a只能是1或11 (3) (生活应用)杭州一小区开展“护航亚运 大巡防”活动,将参与的130名志愿者平均分 成15组,那么至少再来( )名志愿者才能 使每组的志愿者同样多且没有剩余。 A. 1 B. 5 C. 10 D. 20 5. (操作探究)聪聪用12张同样的正方形纸片 拼一个长方形。可以拼成几种不同的长方形? 6. (学科融合)钢琴是一种键盘乐器,有“乐器之 王”的美称。一台钢琴共有88个琴键,由黑 键和白键组成,其中黑键比白键少,黑键的个 数是3和4的倍数,且比30多。钢琴上黑、 白键分别有多少个? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 第2课时 因数和倍数的认识(2) 1. 填一填。 (1) 12的因数有( );5的因数 有( );( )的因数只有1。 (2) 4的倍数有( )。(写出5个) (3) 一个自然数比20小,它既是3的倍数, 又有因数5,这个自然数是( )。 (4) 若A=2×3×7,则A 的因数有( )个。 (5) ★一个数是60的因数,同时也是5的倍 数。这个数可能是( )。 (6) (嘉兴平湖)一个三位数□6☆,若这个数 含有因数2,3,5,则 ☆ 是( ),□ 最大是 ( )。 2. (生活应用)某汽车的车牌号是✕✕· ,其中从左边数第一个数是3 的最小倍数;第二个数是最小的自然数;第三 个数是8的最大因数;第四个数既是6的倍 数,又是6的因数;第五个数的所有因数是 1,3,9。该车的车牌号是多少? 3. 选一选。 (1) 下面各数中,因数个数最多的是( )。 A. 18 B. 36 C. 40 D. 50 (2) 50以内7的倍数有( )。 A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 (3) ( )既是6的倍数,又是48的因数。 A. 96 B. 24 C. 3 D. 1 (4) 如果m 表示一个非0自然数,那么下面 各数(或算式的结果)中,一定是m 的因数的 为( )。 A. 2m B. m÷2 C. 1 D. m-1 (5) 如果“4 8”表示4是8的因数,那么下 面各图中,能正确表示各数关系的是( )。 A. B. C. D. 4. (思维过程)先阅读材料,再判断下面哪个数 是完全数。(在括号里画“􀳫”) 完 全 数 6的因数有1,2,3,6,这几个因数的关系是 1+2+3=6,像6这样的数,叫作完全数(也叫作 完美数)。9不是完全数,因为1+3≠9。 15( ) 28( ) 12( ) 45( ) 5. (探索规律)在括号里填上“是”或“不是”,并 说说你的发现。 如果150是5的倍数,50也是5的倍数,那么 150与50的和是5的倍数吗? ( ) 如果56是8的倍数,64也是8的倍数,那么 64与56的差是8的倍数吗? ( ) 如果m=a+b+c,其中a,b,c都是6的倍 数,那么m 是6的倍数吗? ( ) 我发现: 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 数学(人教版·浙江专用)五年级下 6. 6种 4种 解析:添加1个同样的小正方体 后,从前面看到的图形不变,要对齐摆在已有小正 方体的前面或后面,有6种不同的添法,如图。 添加1个同样的小正方体后,从左面看到的图形不 变,要对齐摆在已有小正方体的左面或右面,有 4种不同的添法,如图。 提分真题集训 1. (1) 7 10 (2) 4 6 (3) 4 650 6 2. (1) A (2) B 3. 4. (1) (2) ⑤ (3) 20 第1单元整合提升 1. 放在小正方体c或d的上面 2. 3 2 解析:要保证从上面看到的图形不变,只需保留最 底层的小正方体,最多可以拿走3个小正方体;要 保证从左面看到的图形不变,只需保留每排中层数 最高的小正方体,最多可以拿走2个小正方体。 3. 6 解析:为了方便分析,在从上面看到的图形 中分别标上字母a,b,c,d(如图)。从上面看这个 几何体摆了两排,根据从前面、左面看到的图形可 知,b,c处都是2个小正方体,而a,d处只有一层, 各只有1个小正方体。 4. (1) D (2) B A 解析:根据题意可知,这个几何体有2层, 下面一层有4个小正方体,上面一层最少有1个 小正方体,最多有2个小正方体,所以摆这个几何 体最多要用6个小正方体,最少要用5个小正方体。 5. 解析:根据题图中各位置上所用的小正方体的个数 可知,从前面看能看到6个小正方形,分3列,每列 从左到右分别是1个、3个、2个;从左面看能看到 5个小正方形,分3列,每列从左到右分别是1个、 3个、1个。 2　因数和倍数 1. 因数和倍数的认识 第1课时 因数和倍数的 认识(1) 1. (1) 第一种 第二种 36÷4=9 21÷7=3 48÷8=6 9÷6=1……3 7÷3=2.3 ∙ 14÷4=3.5 整数 倍数 因数 (2) 倍数 因数 (3) 因数 倍数 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 2. (1) ✕ (2) ✕ (3) ✕ 解析:甲数和乙数必须是整数,才能互为 对方的因数或倍数。 3. 4. (1) C (2) D (3) B 解析:要使每组的志愿者同样多且没有剩 余,志愿者的总人数需能被15整除,所以用130除 以15,发现余10,那么至少再来15-10=5(名)志 愿者就能使每组的志愿者同样多且没有剩余。 5. 可以拼成3种不同的长方形 解析:长方形的 形状取决于长和宽,而长和宽又是由列数和行数决 定的,因为正方形纸片的总张数=列数×行数,所 以只要看12能写成哪两个因数的积,有几种不同 的情况,就可以拼成几种不同的长方形。 6. 88÷2=44(个) 黑键的个数比30多、比44 少,且是3和4的倍数,所以黑键有36个 白键:88-36=52(个) 解析:3和4的倍数有12, 24,36,48,60,72,84……黑键比白键少,且共有 88个琴键,则黑键的个数比两种琴键总个数的平 均数少,且比30多。因为黑键的个数是3和4的 倍数,所以黑键有36个,进而求出白键的个数。 第2课时 因数和倍数的 认识(2) 1. (1) 1,2,3,4,6,12 1,5 1 (2) 答案不唯一, 如4,8,12,16,20 (3) 15 (4) 8 (5) 5,10,15,20,30,60 易错分析 不要漏写或重复写一个数的因数 找一个数的因数时,要从自然数1开始, 一对一对地找,这样不容易重复或遗漏某个 因数。本题可以先找出60的因数,然后在这 些数中找出是5的倍数的数。 (6) 0 9 2. ✕✕·30869 3. (1) B (2) C (3) B (4) C 解析:1是任何非0自然数的因数。 (5) C 4. ( )(􀳫 )( )( ) 解析:15的因数 有1,3,5,15,因为1+3+5≠15,所以15不是完全 数。28的因数有1,2,4,7,14,28,因为1+2+4+ 7+14=28,所以28是完全数。12的因数有1,2, 3,4,6,12,因为1+2+3+4+6≠12,所以12不是 完全数。45的因数有1,3,5,9,15,45,因为1+ 3+5+9+15≠45,所以45不是完全数。 5. 是 是 是 一个数的两个倍数之和或差是这 个数的倍数,一个数的三个倍数之和也是这个数的 倍数(合理即可) 解析:(150+50)÷5=40,所以 150与50的和是5的倍数。(64-56)÷8=1,所 以64与56的差是8的倍数。因为a,b,c都是6 的倍数,设a=6x,b=6y,c=6z(其中x,y,z 均 为非0自然数),则m=a+b+c=6x+6y+6z= 6(x+y+z)。因为x+y+z是非0自然数,所以 m 可以表示为6乘一个非0自然数(x+y+z),符 合6的倍数的特征,所以m 是6的倍数。 2. 2、5、3的倍数 第3课时 2、5的倍数 1. (1) 56,80,120 80,65,120,445 56,80, 120 65,253,445 80,120 (2) 1 0 (3) 0 (4) 8 10 12 解析:单号即奇数,双号即偶数。 三个连续的奇数或偶数中,每相邻的两个数之间相 差2,运用移多补少法得到中间一个数是30÷3= 10,再分别减2、加2求出另外两个数。 2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3