八年级数学下学期期中测试卷【沪科版，测试范围：二次根式～勾股定理】-【上好课】2024-2025学年初中数学同步精品课堂

2024-2025学年八年级数学下学期期中测试卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：二次根式~勾股定理（沪科版）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）（2024春•瑶海区期中）在中，最简二次根式有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（3分）（2024春•安庆期中）用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）（2024春•蜀山区校级期中）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D．5 4．（3分）（2024春•蜀山区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．△ABC的两边长AB＝5，AC＝12，则BC＝13 B．Rt△ABC中a＝6，b＝8，则c＝10 C．在△ABC中，若三边长为9，40，41，则△ABC是直角三角形 D．勾股数又名毕氏三元数，如、、是勾股数 5．（3分）（2024春•庐阳区校级期中）实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简后为（　　） A．7 B．﹣7 C．15﹣2a D．2a﹣15 6．（3分）（2024春•庐阳区校级期中）关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2＝0有两个相等的实数根，若a，b，c是△ABC的三边长，则这个三角形一定是（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 7．（3分）（2024春•蜀山区校级期中）如图，长方形ABCD的边AD在数轴上，若点A与数轴上表示数﹣1的点重合，点D与数轴上表示数﹣4的点重合，AB＝1，以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）（2024春•蜀山区校级期中）如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME﹣7）的会徽，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝...＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，那么OA1，OA2，OA3，…，OA25这些线段中，长度为无理数的线段有（　　） A．20条 B．21条 C．22条 D．23条 9．（3分）（2024春•庐阳区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAC＝45°，∠CAD＝30°，CD＝3，点P是四边形ABCD边上的一个动点，若点P到AC的距离是，则点P的位置有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 10．（3分）（2024春•池州期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法 ①若a﹣b+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根为1； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若x0是元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则， 其中正确的个数（　　） A．1个正确 B．2个正确 C．3个正确 D．4个正确 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（2024春•怀远县期中）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　． 12．（3分）（2024春•蜀山区校级期中）比较大小： 　 　．（填“＞”“＜”或“＝”） 13．（3分）（2024春•瑶海区校级期中）如图，方格纸中有三个格点A、B、C，则点A到BC的距离为＝　 　． 14．（3分）（2024春•怀远县期中）已知α，β是一元二次方程x2﹣2023x﹣2024＝0的两个根，则α2﹣2024α﹣β的值等于 　 　． 15．（3分）（2024春•蜀山区校级期中）《念奴娇•赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为 　 　岁． 16．（3分）（2024春•宣城期中）如图，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，在线段BC上有一动点D，连接AD，过点A作AD⊥AE且AD＝AE，连接DE．当BD＝1时，DE的长为 　 　． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）（2024春•宣州区校级期中）（1）； （2）． 18．（8分）（2024春•瑶海区校级期中）（1）解方程：x2﹣4x＝7； （2）解方程：3x（3x+1）＝6x+2． 19．（8分）（2024春•合肥期中）如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）使三角形的三边长分别为3，2，（在图①中画一个即可）； （2）使三角形为钝角三角形，且面积为4（在图②中画一个即可）． 20．（8分）（2024春•大观区校级期中）已知等腰三角形ABC的底边BC＝2cm，D是腰AB上一点，且CD＝4cm，BD＝2cm． （1）求证：CD⊥AB； （2）求△ABC的面积． 21．（8分）（2024春•蚌埠期中）已知关于x的方程（m﹣1）x2+mx+1＝0． （1）求证：不论m取什么实数时，这个方程总有实数根； （2）当m为何正整数时，关于x的方程（m﹣1）x2+mx+1＝0有两个整数根？ 22．（10分）（2024春•蜀山区校级期中）在数学课外学习活动中，小浩和他的同学遇到一个问题： 已知a，求2a2﹣8a+1的值，经过思考和讨论他是这样解答的； ∵a，∴a﹣2，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3 ∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小浩的解题过程，解决如下问题： （1）　 　，　 　； （2）求的值； （3）若a，求a3﹣3a2+a+1的值． 23．（10分）（2024春•大观区校级期中）某超市经销A、B两种商品．商品A每千克成本为20元，经试销发现，该种商品每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的对应值如表所示： 销售单价x（元/千克） 25 30 35 40 销售量y（千克） 50 40 30 20 商品B的成本为6元/千克，销售单价为10元/千克，但每天供货总量只有60千克，且能当天销售完．为了让利消费者，超市开展了“买一送一”活动，即买1千克的商品A，免费送1千克的商品B． （1）求商品A的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数表达式； （2）若商品A的售价不能低于成本，且不高于成本的180%，问两种商品的每天销售总利润能否达到440元，若能，则商品A当天销售单价应定为多少元？若不能，请说明理由．（总利润＝两种商品的销售总额的﹣两种商品的成本） 24．（12分）（2024春•蜀山区校级期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC．点D在三角形ABC内部，CD⊥CE，CD＝CE． （1）求证：BD＝AE； （2）若CD＝1，BD＝2，∠ADC＝135°，求AC的长度； （3）在（2）的条件下，求AD2+BE2的值． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期期中测试卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：二次根式~勾股定理（沪科版）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）（2024春•瑶海区期中）在中，最简二次根式有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据最简二次根式的定义解答． 【解答】解：二次根式中只有被开方数不含分母且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式． 故选：A． 2．（3分）（2024春•安庆期中）用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【解答】解：方程2x2﹣2x﹣1＝0， 整理得：x2﹣x， 配方得：x2﹣x，即（x）2． 故选：C． 3．（3分）（2024春•蜀山区校级期中）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D．5 【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：不能合并，故选项A不符合题意； 32，故选项B错误，不符合题意； 3218，故选项C错误，不符合题意； 5，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 4．（3分）（2024春•蜀山区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．△ABC的两边长AB＝5，AC＝12，则BC＝13 B．Rt△ABC中a＝6，b＝8，则c＝10 C．在△ABC中，若三边长为9，40，41，则△ABC是直角三角形 D．勾股数又名毕氏三元数，如、、是勾股数 【分析】根据勾股数的定义，三角形的三边关系及勾股定理对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、∵△ABC的两边长AB＝5，AC＝12， ∴12﹣5＜BC＜12+5，即7＜BC＜17，原说法错误，不符合题意； B、Rt△ABC中a＝6，b＝8，若c为斜边，则c＝10，原说法错误，不符合题意； C、在△ABC中，若三边长为9，40，41， ∵92+402＝412， ∴△ABC是直角三角形，正确，符合题意； D、∵，，不是整数，∴不是勾股数，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 5．（3分）（2024春•庐阳区校级期中）实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简后为（　　） A．7 B．﹣7 C．15﹣2a D．2a﹣15 【分析】由数轴可知，5＜a＜10，可得a﹣4＞0，a﹣11＜0，再根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：由数轴可知，5＜a＜10， ∴a﹣4＞0，a﹣11＜0， ∴ ＝a﹣4﹣（11﹣a） ＝a﹣4﹣11+a ＝2a﹣15． 故选：D． 6．（3分）（2024春•庐阳区校级期中）关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2＝0有两个相等的实数根，若a，b，c是△ABC的三边长，则这个三角形一定是（　　） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【分析】由关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2＝0有两个相等的实数根，可得Δ＝（﹣2c）2﹣4（a2+b2）＝0，整理得c2＝a2+b2，根据勾股定理逆定理判断△ABC的形状即可． 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2cx+a2+b2＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2c）2﹣4（a2+b2）＝0，整理得c2＝a2+b2， ∴△ABC是直角三角形， 故选：B． 7．（3分）（2024春•蜀山区校级期中）如图，长方形ABCD的边AD在数轴上，若点A与数轴上表示数﹣1的点重合，点D与数轴上表示数﹣4的点重合，AB＝1，以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理计算出AC的长度，进而求得该点与点A的距离，再根据点A表示的数为﹣1，可得该点表示的数． 【解答】解：在长方形ABCD中，AD＝﹣1﹣（﹣4）＝3，AB＝CD＝1， ∴， 则点A到该交点的距离为， ∵点A表示的数为﹣1， ∴该点表示的数为：， 故选：D． 8．（3分）（2024春•蜀山区校级期中）如图1是第七届国际数学教育大会（简称ICME﹣7）的会徽，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝...＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，那么OA1，OA2，OA3，…，OA25这些线段中，长度为无理数的线段有（　　） A．20条 B．21条 C．22条 D．23条 【分析】根据题意可以分别计算出OA1、OA2、OA3、OA4、OA5的值，从而可以发现其中的规律，得到长度为有理数的线段的条数，从而可以得到线段长度为无理数的条数． 【解答】解：由题意可得， OA1＝1， OA2， OA3， OA42， OA5， … ∴线段长度为有理数的是：OA1＝1，OA4＝2，OA9＝3，OA16＝4，OA25＝5， ∴OA1、OA2、OA3…、OA25，这些线段中长度为无理数条数是，25﹣5＝20， 即OA1、OA2、OA3…、OA25，这些线段中有20条线段的长度为无理数． 故选：A． 9．（3分）（2024春•庐阳区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAC＝45°，∠CAD＝30°，CD＝3，点P是四边形ABCD边上的一个动点，若点P到AC的距离是，则点P的位置有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【分析】根据勾股定理，可以求得AC、AD、BC和AB的长，然后即可得到点D到AC的距离和点B到AC的距离，从而可以得到满足条件的点P有几处，本题得以解决． 【解答】解：∵∠CAD＝30°，CD＝3，∠D＝90°， ∴AC＝6， ∴AD3， ∴在Rt△ADC中，斜边AC上的高是：1.5， ∵AC＝4，∠B＝90°，∠BAC＝45°， ∴AB＝BC＝3， ∴在Rt△ABC中，斜边AC上的高是：3， ∵3，1.5，点P是四边形ABCD边上的一个动点，点P到AC的距离为， ∴点P的位置在AB、BC、AD、CD上都可以，即满足条件的点P有4处， 故选：D． 10．（3分）（2024春•池州期中）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法 ①若a﹣b+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根为1； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若x0是元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则， 其中正确的个数（　　） A．1个正确 B．2个正确 C．3个正确 D．4个正确 【分析】把x＝1代入ax2+bx+c＝0可以判断①；根据方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，可以得出b2﹣4ac＞0，从而判断②；当c＝0时，c（ac+b+1）＝0，但ac+b+1＝0不一定成立，可以判断③；根据求根公式可以判断④． 【解答】解：①当x＝1时，a+b+c＝0，无法确定a﹣b+c＝0，故①错误； ②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝0﹣4ac＞0， ∴﹣4ac＞0， ∴方程ax2+bx+c＝0根的判别式b2﹣4ac＞0， ∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确； ③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根， ∴ac2+bc+c＝0， ∴c（ac+b+1）＝0， 当c＝0时，等式c（ac+b+1）＝0成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③错误； ④若x0是元二次方程ax2+bx+c＝0的根， 由求根公式可得：x0或x0， ∴2ax0+b或2ax0+b， ∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，故④错误． 故选：A． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（2024春•怀远县期中）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x≥﹣1且x≠2　． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案． 【解答】解：由题意得：x+1≥0且2﹣x≠0， 解得：x≥﹣1且x≠2， 故答案为：x≥﹣1且x≠2． 12．（3分）（2024春•蜀山区校级期中）比较大小： 　＝　．（填“＞”“＜”或“＝”） 【分析】利用平方差公式把进行分母有理化，再比较大小即可． 【解答】解：∵． 故答案为：＝． 13．（3分）（2024春•瑶海区校级期中）如图，方格纸中有三个格点A、B、C，则点A到BC的距离为＝　　． 【分析】直接利用三角形面积公式结合勾股定理得出点A到BC的距离． 【解答】解：连接AC，作AD⊥BC于点D， ∵S△ABCBC•AD＝4×52×52×41×4＝9， BC＝2， ∴点A到BC的距离为：AD． 故答案为：． 14．（3分）（2024春•怀远县期中）已知α，β是一元二次方程x2﹣2023x﹣2024＝0的两个根，则α2﹣2024α﹣β的值等于 　1　． 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数关系得到α2﹣2023α＝2024，α+β＝2023，再把α2﹣2024α﹣β变形后整体代入即可． 【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2﹣2023x﹣2024＝0的两个根， ∴α2﹣2023α﹣2024＝0，α+β＝2023， ∴α2﹣2023α＝2024， ∴α2﹣2024α﹣β ＝（α2﹣2023α）﹣（α+β） ＝2024﹣2023 ＝1， 故答案为：1． 15．（3分）（2024春•蜀山区校级期中）《念奴娇•赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为 　36　岁． 【分析】根据“十位恰小个位三，个位平方与寿符”以及10×十位数字+个位数字＝个位数字的平方，据此列方程求解可得答案． 【解答】解：设这位风流人物去世的年龄十位数字为x，则个位数字为x+3， 则根据题意：10x+（x+3）＝（x+3）2， 整理得：x2﹣5x+6＝0，解得x1＝2，x2＝3， 由题意，而立之年督东吴，则x＝2舍去， ∴这位风流人物去世的年龄为36岁， 故答案为：36． 16．（3分）（2024春•宣城期中）如图，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，在线段BC上有一动点D，连接AD，过点A作AD⊥AE且AD＝AE，连接DE．当BD＝1时，DE的长为 　　． 【分析】在△ABC中由勾股定理几颗求出BC的长；连接CE，先证∠BAD＝∠CAE，再利用“SAS”判定△BAD和△CAE全等，从而得出∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE＝1，进而可得∠DCE＝90°，然后在Rt△CDE中由勾股定理即可求出D的长． 【解答】解：在△ABC中，AB＝AC＝2√2，∠BAC＝90°， 由勾股定理得：BC4， 连接CE，如图所示： ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， △ABC为等腰直角三角形， ∴∠B＝∠ACB＝45°， 又∵AD⊥AE，且AD＝AE， ∴∠DAE＝90°， ∴∠DAC+∠CAE＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠DAC＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE， ∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°， ∴△CDE为直角三角形， 由（1）知BC＝4， 又∵BD＝1， ∴CE＝BD＝1，CD＝BC﹣BD＝4﹣1＝3， 在Rt△CDE中，CD＝3，CE＝1， 由勾股定理得：DE． 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）（2024春•宣州区校级期中）（1）； （2）． 【分析】（1）先将二次根式化简，去括号，然后计算加减法即可； （2）利用完全平方公式及平方差公式、积的乘方运算进行计算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 18．（8分）（2024春•瑶海区校级期中）（1）解方程：x2﹣4x＝7； （2）解方程：3x（3x+1）＝6x+2． 【分析】（1）用配方法解方程即可； （2）把等号右边的项移到左边，再因式分解可求出方程的解． 【解答】解：（1）∵x2﹣4x＝7， ∴（x﹣2）2＝11， ∴x﹣2或x﹣2， ∴x1＝2，x2＝2； （2）∵3x（3x+1）＝6x+2， ∴3x（3x+1）﹣2（3x+1）＝0， ∴（3x+1）（3x﹣2）＝0， ∴3x+1＝0或3x﹣2＝0， ∴x1，x2． 19．（8分）（2024春•合肥期中）如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）使三角形的三边长分别为3，2，（在图①中画一个即可）； （2）使三角形为钝角三角形，且面积为4（在图②中画一个即可）． 【分析】（1）先在正方形网格中取线段长为整数的线段BC＝3，然后根据勾股定理找出点A的位置； （2）先在正方形网格中取EF＝2；然后由三角形的面积公式入手求得EF边上的高线的长度；最后根据钝角三角形的定义确定点D的位置． 【解答】解：（1）如图1所示，BC＝3，AB，AC2， △ABC即为所求； （2）如图2所示：根据三角形的面积公式知， EF×hD＝4，即2×hD＝4， 解得hD＝4． △DEF是符合题意的钝角三角形． 20．（8分）（2024春•大观区校级期中）已知等腰三角形ABC的底边BC＝2cm，D是腰AB上一点，且CD＝4cm，BD＝2cm． （1）求证：CD⊥AB； （2）求△ABC的面积． 【分析】（1）先算CD2，BC2，BD2，发现三者之间的等量关系，再结合勾股定理判断垂直； （2）先设AD＝x，然后用含有x的式子表示AC，再结合勾股定理列出方程求x，最后求面积． 【解答】（1）证明：∵BC＝2cm，CD＝4cm，BD＝2cm， ∴CD2＝16，BC2＝20，BD2＝4， ∴CD2+BD2＝BC2， ∴三角形BCD是直角三角形，∠BDC＝90°， ∴CD⊥AB． （2）解：设AD＝x cm，则AB＝（x+2）cm， ∵△ABC为等腰三角形，且AB＝AC， ∴AC＝x+2， 在Rt△ACD中，AD2+CD2＝AC2， ∴x2+42＝（x+2）2， 解得：x＝3， ∴AB＝5cm， ∴S△ABCAB×CD5×4＝10（cm2）． 21．（8分）（2024春•蚌埠期中）已知关于x的方程（m﹣1）x2+mx+1＝0． （1）求证：不论m取什么实数时，这个方程总有实数根； （2）当m为何正整数时，关于x的方程（m﹣1）x2+mx+1＝0有两个整数根？ 【分析】（1）当m＝1时，方程为一元一次方程．当m≠1时，方程为一元二次方程，证明出根的判别式Δ≥0即可； （2）由一元二次方程的根与系数关系得到：x1x2，然后根据解是整数得到m﹣1＝1，即可算出m的值． 【解答】（1）证明：当m≠1时，方程为一元二次方程，Δ＝m2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2≥0， ∴一元二次方程有两个实数根， 当m＝1时，方程为x+1＝0，有实数根， 综上，不论m取什么实数时，这个方程总有实数根； （2）解：∵方程（m﹣1）x2+mx+1＝0有两个整数根， ∴方程为一元二次方程，即m≠1， 由根与系数关系得到：x1x2， 又∵x1和x2为整数，且m为正整数， ∴m﹣1＝1， 解之得：m＝2， 经检验，此时x1＝x2＝﹣1符合题意． 22．（10分）（2024春•蜀山区校级期中）在数学课外学习活动中，小浩和他的同学遇到一个问题： 已知a，求2a2﹣8a+1的值，经过思考和讨论他是这样解答的； ∵a，∴a﹣2，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3 ∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小浩的解题过程，解决如下问题： （1）　　，　　； （2）求的值； （3）若a，求a3﹣3a2+a+1的值． 【分析】（1）根据题干中的方法进行分母有理化即可； （2）根据（1）中所得结论对每个二次根式进行化简，再进行计算即可； （3）根据题中的解题过程，运用整体代入的方法进行计算． 【解答】解：（1）， ， 故答案为：；； （2）原式 1 ＝45﹣1 ＝44； （3）∵， ∴， ∴a2＝2a+1 ∴a3﹣3a2+a+1 ＝a（2a+1）﹣3a2+a+1 ＝﹣a2+2a+1 ＝﹣1+1 ＝0． 23．（10分）（2024春•大观区校级期中）某超市经销A、B两种商品．商品A每千克成本为20元，经试销发现，该种商品每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的对应值如表所示： 销售单价x（元/千克） 25 30 35 40 销售量y（千克） 50 40 30 20 商品B的成本为6元/千克，销售单价为10元/千克，但每天供货总量只有60千克，且能当天销售完．为了让利消费者，超市开展了“买一送一”活动，即买1千克的商品A，免费送1千克的商品B． （1）求商品A的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数表达式； （2）若商品A的售价不能低于成本，且不高于成本的180%，问两种商品的每天销售总利润能否达到440元，若能，则商品A当天销售单价应定为多少元？若不能，请说明理由．（总利润＝两种商品的销售总额的﹣两种商品的成本） 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）依题意可确定x的取值范围，然后利用每件的利润乘以销售量可得总利润，列出方程进行计算即可． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将表中数据（30，40）、（40，20）代入得：， 解得：， ∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣2x+100； （2）不能，理由如下： 由题意知20×180%＝36，20≤x≤36， （x﹣20）y+（10﹣6）（60﹣y）﹣6y＝44， （x﹣20）（﹣2x+100）+4（2x﹣40）﹣6（﹣2x+100）＝440， 整理得：x2﹣80x+1600＝0， （x﹣40）2＝0， 解得：x＝40＞36， 答：问两种商品的每天销售总利润不能达到440元． 24．（12分）（2024春•蜀山区校级期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC．点D在三角形ABC内部，CD⊥CE，CD＝CE． （1）求证：BD＝AE； （2）若CD＝1，BD＝2，∠ADC＝135°，求AC的长度； （3）在（2）的条件下，求AD2+BE2的值． 【分析】（1）证明△AEC和△BDC全等即可； （2）连接ED，如图，根据等腰直角三角形的性质得到∠CDE＝45°，求得∠ADE＝∠ADC﹣∠CDE＝90°，得到DECD，由（1）知AE＝BD，根据勾股定理得到AD，在EC延长线上取点F，使CD＝CF＝1，过B作BG⊥CF，交CF延长线于G，如图，根据全等三角形的性质得到BF＝AD，∠BFC＝∠ADC＝135°，求得BG＝FG1，根据勾股定理得到结论； （3）由（2）知，AD，CG＝2，BG＝1，△CDE是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，CD⊥CE， ∴∠ACE＝90°﹣∠ACD＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴BD＝AE； （2）解：连接ED，如图， ∵CD⊥CE，CD＝CE， ∴△CDE是等腰直角三角形， ∴∠CDE＝45°， ∵∠ADC＝135°， ∴∠ADE＝∠ADC﹣∠CDE＝90°， ∵CD＝1， ∴DECD， 由（1）知AE＝BD， ∵BD＝2， ∴AE＝2， 在Rt△ADE中，AD， 在EC延长线上取点F，使CD＝CF＝1，过B作BG⊥CF，交CF延长线于G，如图， ∵CD⊥CE，∠ACB＝90°， ∴∠BCF＝90°﹣∠BCD＝∠ACD， 在△ACD和△BCF中， ， ∴△ACD≌△BCF（SAS）， ∴BF＝AD，∠BFC＝∠ADC＝135°， ∴∠BFG＝45°， ∵BG⊥CF， ∴△BGF是等腰直角三角形， ∴BG＝FG1， ∴CG＝CF+FG＝2， 在Rt△BCG中，BC， ∴AC＝BC； （3）解：由（2）知，AD，CG＝2，BG＝1，△CDE是等腰直角三角形， ∴CE＝CD＝1， ∴EG＝3， ∴BE2＝EG2+BG2＝10， ∵AD2＝（）2， ∴AD2+BE2的值为12． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$