七年级数学下学期期中测试卷【沪科版2024，测试范围：实数～整式乘法与因式分解】-【上好课】2024-2025学年初中数学同步精品课堂

2024-2025学年七年级数学下学期期中测试卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：实数~整式乘法与因式分解（沪科版2024）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）（2024春•大观区校级期中）在下列数0、0.2、3π、、6.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0）、、，无理数的个数（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（3分）（2024春•大观区校级期中）常见于报端的纳米材料，多被应用于建筑、家电等行业，实际上，纳米（nm）是一种长度的度量单位：1纳米＝0.000 000 001米，用科学记数法表示0.12纳米应为（　　） A．0.12×10﹣9米 B．0.12×10﹣8米 C．1.2×10﹣10米 D．1.2×10﹣8米 3．（3分）（2024春•合肥期中）下列各式中，计算正确的是（　　） A．（﹣3xy2）2＝6x2y4 B．（﹣y）2•（﹣y）3＝（﹣y）6 C．﹣a6÷（﹣a）2＝﹣a4 D． 4．（3分）（2024春•长丰县期中）下列整式乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（　　） A．（﹣x+y）（﹣x﹣y） B．（﹣y﹣x）（﹣x﹣y） C．（2a﹣x）（2a+x） D．（﹣x+2y）（﹣x﹣2y） 5．（3分）（2024春•庐阳区校级期中）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 6．（3分）（2024春•合肥期中）如图是一个数值转换程序，当输入的x值为64时，输出的y值为（　　） A． B． C． D．4 7．（3分）（2024春•蜀山区校级期中）若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值为（　　） A．1 B．7 C．7或1 D．7或﹣1 8．（3分）（2024春•蜀山区期中）已知实数a，b，c满足2a+3b＝5c，则下列结论不正确的是（　　） A． B． C．若a＞b，则a＞c＞b D．若a＞c，则b﹣a（c﹣b） 9．（3分）（2024春•蜀山区校级期中）对于任意实数x，x均能写成其整数部分[x]与小数部分{x}的和，即x＝[x]+{x}，其中[x]称为x的整数部分，表示不超过x的最大整数，{x}称为x的小数部分．如7.12＝[7.12]+{7.12}＝7+0.12，[7.12]＝7，{7.12}＝0.12，则下列结论正确的有（　　） ①； ②若，，则{x}×y＝﹣1； ③若[x]＝4，[y]＝2则[x+y]所有可能的值为6和7； ④[x+y]≤[x]+[y]． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（3分）（2024春•庐阳区校级期中）若关于x的不等式组有3个整数解，且关于y的一元一次方程3（y﹣1）﹣2（y﹣k）＝15的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（　　） A．18 B．19 C．20 D．21 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（2024春•蜀山区校级期中）比较大小： 　 　．（填“＞”，“＜”或“＝”） 12．（3分）（2024春•庐阳区校级期中）因式分解：2a2b﹣12ab+18b＝　 　． 13．（3分）（2024春•长丰县期中）已知2x﹣5y+4＝0，则4x+1•321﹣y的值是 　 　． 14．（3分）（2024春•瑶海区校级期中）已知（x+a）（2x2﹣4x+1）的展开式中不含x项，则常数a的值为 　 　． 15．（3分）（2024春•大观区校级期中）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打 　 　折． 16．（3分）（2024春•亭湖区校级期中）在数学学习中，完全平方公式是比较熟悉的，例如（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．如图，两个正方形ABCD和EFGH重叠放置，两条边的交点分别为M、N．AB的延长线与FG交于点Q，CB的延长线与EF交于点P，已知AM＝3，CN＝1，阴影部分的两个正方形EPBM和BQGN的面积之和为20，则正方形ABCD和EFGH的重叠部分的长方形BMHN的面积为　 　． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）（2024春•邗江区期中）计算： （1）． （2）（﹣3x3）2+x4•x2． 18．（8分）（2024春•西丰县期中）计算： （1）计算：； （2）求x的值：（x﹣1）3＝27． 19．（8分）（2024春•瑶海区校级期中）先化简，再求值：[（2x﹣y）2﹣（2x+3y）•（2x﹣3y）﹣xy]÷5y，其中x＝﹣2，y＝3． 20．（8分）（2024春•西城区校级期中）按要求解下列不等式（组）． （1）解关于x的不等式1，并将解集用数轴表示出来． （2）解不等式组，将解集用数轴表示出来，并写出它的所有整数解． 21．（8分）（2024春•庐阳区校级期中）已知方程组的解满足x为非负数，y为负数． （1）求m的取值范围； （2）化简：|m﹣5|+|m﹣2|＝　 　； （3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式mx+4＜4x+m的解集为x＞1？ 22．（10分）（2024春•武冈市期中）对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解． （1）求式子中m、n的值； （2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4． 23．（10分）（2024春•庐阳区校级期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2． （1）S1＝　 　；S2＝　 　（用含a、b的式子表示S1、S2）； （2）若a+b＝8，ab＝10，求S1+S2； （3）若图3中阴影部分的面积S3＝9.5，a+b＝8，求a﹣b的值． 24．（12分）（2024春•庐阳区校级期中）今年3月份新能源汽车迎来一次降价潮，某4s店经销的某品牌A款汽车、B款汽车都进行了相应的降价，若按此价格月售20台A款汽车和10台B款汽车，销售额为230万元；月售10台A款汽车和20台B款汽车，销售额为220万元． （1）求今年3月份A款汽车和B款汽车每辆的售价各是多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的A、B款汽车，已知A款汽车每辆进价为6.5万元，B款汽车每辆进价为5万元，公司预计用不多于90万元的资金购进这两款汽车共15辆，且购进A款汽车的数量不少于购进B款汽车的数量，有哪几种进货方案？并求出最大利润． （3）按照（2）中两种汽车进价不变，为打开B款汽车的销路，公司决定对B款汽车进行打九八折出售，并给出每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元的利好政策，要使（2）中所有的方案获利相同，a的值应是 　 　万元．（不必提供求解过程，直接给出a值即可） 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级数学下学期期中测试卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：实数~整式乘法与因式分解（沪科版2024）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）（2024春•大观区校级期中）在下列数0、0.2、3π、、6.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0）、、，无理数的个数（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解答】解：0，是整数，不是无理数； 0.2，，，是小数或分数，不是无理数； 3π，6.1010010001…（每两个1之间依次增加一个0），是无理数， 故无理数一共有3个， 故选：C． 2．（3分）（2024春•大观区校级期中）常见于报端的纳米材料，多被应用于建筑、家电等行业，实际上，纳米（nm）是一种长度的度量单位：1纳米＝0.000 000 001米，用科学记数法表示0.12纳米应为（　　） A．0.12×10﹣9米 B．0.12×10﹣8米 C．1.2×10﹣10米 D．1.2×10﹣8米 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【解答】解：0.12纳米＝0.12×10﹣9米＝1.2×10﹣10米． 故选：C． 3．（3分）（2024春•合肥期中）下列各式中，计算正确的是（　　） A．（﹣3xy2）2＝6x2y4 B．（﹣y）2•（﹣y）3＝（﹣y）6 C．﹣a6÷（﹣a）2＝﹣a4 D． 【分析】根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方与积的乘方法则、负整数指数幂法则进行解题即可． 【解答】解：A、（﹣3xy2）2＝9x2y4，故该项不正确，不符合题意； B、（﹣y）2•（﹣y）3＝（﹣y）5，故该项不正确，不符合题意； C、﹣a6÷（﹣a）2＝﹣a4，故该项正确，符合题意； D、2x﹣1，故该项不正确，不符合题意； 故选：C． 4．（3分）（2024春•长丰县期中）下列整式乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（　　） A．（﹣x+y）（﹣x﹣y） B．（﹣y﹣x）（﹣x﹣y） C．（2a﹣x）（2a+x） D．（﹣x+2y）（﹣x﹣2y） 【分析】利用完全平方式，平方差公式进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、（﹣x+y）（﹣x﹣y）＝x2﹣y2，故A不符合题意； B、（﹣y﹣x）（﹣x﹣y）＝﹣（x+y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2，故B符合题意； C、（2a﹣x）（2a+x）＝4a2﹣x2，故C不符合题意； D、（﹣x+2y）（﹣x﹣2y）＝x2﹣4y2，故D不符合题意； 故选：B． 5．（3分）（2024春•庐阳区校级期中）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【解答】解：， 由①得，x＞1， 由②得，x≥2， 故此不等式组的解集为：x≥2． 在数轴上表示为： ． 故选：A． 6．（3分）（2024春•合肥期中）如图是一个数值转换程序，当输入的x值为64时，输出的y值为（　　） A． B． C． D．4 【分析】根据立方根与算术平方根的定义即可求得答案． 【解答】解：当输入的x值为64时，其立方根为4， 4的算术平方根为2，是有理数； 2的算术平方根为，它是无理数，输出y的值； 故选：B． 7．（3分）（2024春•蜀山区校级期中）若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值为（　　） A．1 B．7 C．7或1 D．7或﹣1 【分析】因为首末两项是x和4的平方，所以中间项为加上或减去x和4的乘积的2倍，故2（m﹣3）＝±8，解得m的值即可． 【解答】解：∵x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式， ∴x2+2（m﹣3）x+16＝（x±4）2＝x2±8x+16， ∴2（m﹣3）＝8或2（m﹣3）＝﹣8， 解得m＝7或m＝﹣1， 故选：D． 8．（3分）（2024春•蜀山区期中）已知实数a，b，c满足2a+3b＝5c，则下列结论不正确的是（　　） A． B． C．若a＞b，则a＞c＞b D．若a＞c，则b﹣a（c﹣b） 【分析】AB．根据等式的基本性质计算并判断即可； CD根据A和B，利用不等式的基本性质判断即可． 【解答】解：根据等式的基本性质1，将2a+3b＝5c的两边同时减5b， 得2（a﹣b）＝5（c﹣b）， ∴a﹣b， ∴A正确，不符合题意； 根据等式的基本性质1，将2a+3b＝5c的两边同时加﹣2c﹣3b， 得2（a﹣c）＝3（c﹣b）， ∴c﹣b， ∴B正确，不符合题意； ∵a＞b， ∴a﹣b0， ∴c＞b， ∴c﹣b＞0， ∴a＞c， ∴a＞c＞b， ∴C正确，不符合题意； ∵a＞c，由B知c﹣b， ∴c﹣b＞0， ∴（c﹣b）＞0， ∵由A知a﹣b， ∴a﹣b＞0， ∴b﹣a＜0， ∴D不正确，符合题意． 故选：D． 9．（3分）（2024春•蜀山区校级期中）对于任意实数x，x均能写成其整数部分[x]与小数部分{x}的和，即x＝[x]+{x}，其中[x]称为x的整数部分，表示不超过x的最大整数，{x}称为x的小数部分．如7.12＝[7.12]+{7.12}＝7+0.12，[7.12]＝7，{7.12}＝0.12，则下列结论正确的有（　　） ①； ②若，，则{x}×y＝﹣1； ③若[x]＝4，[y]＝2则[x+y]所有可能的值为6和7； ④[x+y]≤[x]+[y]． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①先估计在哪两个整数之间，即可作出判断；②先求出x的小数部分，再计算即可作出判断；③先判断出x，y的范围，再判断x+y的整数部分，即可作出判断；④通过举反例，即可作出判断． 【解答】解：①∵34， ∴，故①正确； ②∵23， ∴{x}2 ∵， ∴则{x}×y＝（2）（2）＝5﹣4＝1≠﹣1；故②不正确； ③∵[x]＝4，[y]＝2， ∴4≤x＜5，2≤y＜3， ∴6≤x+y＜8， ∴[x+y]所有可能的值为6和7；故③正确； ④若x＝4.6，y＝5.7， 那么[x+y]＝[4.6+5.7]＝10，[x]+[y]＝[4.6]+[5.7]＝4+5＝9． [x+y]＞[x]+[y]，故④不正确． 综上，正确的是：①③． 故选：B． 10．（3分）（2024春•庐阳区校级期中）若关于x的不等式组有3个整数解，且关于y的一元一次方程3（y﹣1）﹣2（y﹣k）＝15的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（　　） A．18 B．19 C．20 D．21 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组整数解的情况求出k的第一个范围，再解关于y的方程，根据其解的情况列出关于k的不等式，解之求出k的第二个范围，从而得出k的最终范围，继而可得答案． 【解答】解：由﹣2（x﹣2）﹣x＜2得：x， 由x得：x， ∵不等式组有3个整数解， ∴不等式组的整数解为1、2、3， ∴34， 解得8≤k＜11， 解3（y﹣1）﹣2（y﹣k）＝15得y＝18﹣2k， 由题意知18﹣2k≤0， 解得k≥9， ∴9≤k＜11， 则符合条件的所有整数k的和为9+10＝19， 故选：B． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（2024春•蜀山区校级期中）比较大小： 　＞　．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【分析】比较无理数的大小，进行恰当的转化可以较直观的比较． 【解答】解：∵2.236， ∴1.618， ∵1.6，1.618＞1.6， ∴． 故答案为：＞． 12．（3分）（2024春•庐阳区校级期中）因式分解：2a2b﹣12ab+18b＝　2b（a﹣3）2　． 【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解． 【解答】解：2a2b﹣12ab+18b ＝2b（a2﹣6a+9） ＝2b（a﹣3）2． 故答案为：2b（a﹣3）2． 13．（3分）（2024春•长丰县期中）已知2x﹣5y+4＝0，则4x+1•321﹣y的值是 　8　． 【分析】由已知得到2x﹣5y＝﹣4，再将4x+1•321﹣y变形为22x﹣5y+7，然后代入计算即可． 【解答】解：∵2x﹣5y+4＝0， ∴2x﹣5y＝﹣4， ∴4x+1•321﹣y ＝（22）x+1•（25）1﹣y ＝22x+2•25﹣5y ＝22x﹣5y+7 ＝2﹣4+7 ＝23 ＝8， 故答案为：8． 14．（3分）（2024春•瑶海区校级期中）已知（x+a）（2x2﹣4x+1）的展开式中不含x项，则常数a的值为 　　． 【分析】先根据多项式乘多项式法则进行展开，再根据展开式中不含x项即可求出a的值． 【解答】解：（x+a）（2x2﹣4x+1） ＝2x3﹣4x2+x+2ax2﹣4ax+a ＝2x3+（2a﹣4）x2+（1﹣4a）x+a， ∵展开式中不含x项， ∴1﹣4a＝0， 解得a， 故答案为：． 15．（3分）（2024春•大观区校级期中）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打 　8.8　折． 【分析】利润率不能少于10%，意思是利润率大于或等于10%，相应的关系式为：（打折后的销售价﹣进价）÷进价≥10%，把相关数值代入即可求解． 【解答】解：设这种商品可以按x折销售， 则售价为5×0.1x，那么利润为5×0.1x﹣4， 所以相应的关系式为5×0.1x﹣4≥4×10%， 解得：x≥8.8． 答：该商品最多可以打8.8折， 故答案为：8.8． 16．（3分）（2024春•亭湖区校级期中）在数学学习中，完全平方公式是比较熟悉的，例如（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．如图，两个正方形ABCD和EFGH重叠放置，两条边的交点分别为M、N．AB的延长线与FG交于点Q，CB的延长线与EF交于点P，已知AM＝3，CN＝1，阴影部分的两个正方形EPBM和BQGN的面积之和为20，则正方形ABCD和EFGH的重叠部分的长方形BMHN的面积为　8　． 【分析】设BN＝a，BM＝b，则得a2+b2＝20，由正方形的边长相等得：a+1＝b+3，得a﹣b＝2；由完全平方公式即可求得ab的值，从而求解． 【解答】解：设BN＝a，BM＝b， 由于阴影部分的两个正方形EPBM和BQGN的面积之和为20， 即a2+b2＝20， ∵BC＝BN+CN＝a+1，AB＝BM+AM＝b+3，且四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC， 即a+1＝b+3， 得a﹣b＝2， 即（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝4， ∴2ab＝a2+b2﹣4＝16， ∴ab＝8， 即S长方形BMHN＝BN•BM＝ab＝8； 故答案为：8． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）（2024春•邗江区期中）计算： （1）． （2）（﹣3x3）2+x4•x2． 【分析】（1）根据负整数指数幂法则、零指数幂法则、有理数的加减混合运算法则进行解题即可； （2）根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣2+1+1＝0； （2）原式＝9x6+x6＝10x6． 18．（8分）（2024春•西丰县期中）计算： （1）计算：； （2）求x的值：（x﹣1）3＝27． 【分析】（1）先进行开方运算，并求绝对值，再计算加减即可； （2）利用立方根定义求出x﹣1＝3，即可求解． 【解答】解：（1） ； （2）（x﹣1）3＝27， x﹣1＝3， 解得：x＝4． 19．（8分）（2024春•瑶海区校级期中）先化简，再求值：[（2x﹣y）2﹣（2x+3y）•（2x﹣3y）﹣xy]÷5y，其中x＝﹣2，y＝3． 【分析】利用平方差及完全平方公式，整式的除法法则将原式化简后代入数值计算即可． 【解答】解：原式＝（4x2﹣4xy+y2﹣4x2+9y2﹣xy）÷5y ＝（10y2﹣5xy）÷5y ＝2y﹣x； 当x＝﹣2，y＝3时， 原式＝6+2＝8． 20．（8分）（2024春•西城区校级期中）按要求解下列不等式（组）． （1）解关于x的不等式1，并将解集用数轴表示出来． （2）解不等式组，将解集用数轴表示出来，并写出它的所有整数解． 【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可； （2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【解答】解：（1）1， 去分母得：6﹣2（2x﹣1）≤3（1+x）， 去括号得：6﹣4x+2≤3+3x， 移项得：﹣4x﹣3x≤3﹣6﹣2， 合并同类项得：﹣7x≤﹣5， 系数化成1得：x， 在数轴上表示为： ； （2）， 解不等式①得：x≤1， 解不等式②得：x＞﹣3， 所以不等式组的解集是﹣3＜x≤1， 在数轴上表示不等式组的解集为： ， 所以不等式组的整数解是﹣2，﹣1，0，1． 21．（8分）（2024春•庐阳区校级期中）已知方程组的解满足x为非负数，y为负数． （1）求m的取值范围； （2）化简：|m﹣5|+|m﹣2|＝　3　； （3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式mx+4＜4x+m的解集为x＞1？ 【分析】（1）解方程组得出x、y，由x为非负数，y为负数得出关于m的不等式组，解之可得； （2）由m的取值范围，结合绝对值的性质化简可得； （3）先根据不等式的性质得出m﹣4＜0，解得m＜4，结合以上求出m的范围可得答案． 【解答】解：（1）解方程组得， 由题意知， 解得2＜m≤5； （2）|m﹣5|+|m﹣2| ＝（5﹣m）+（m﹣2） ＝5﹣m+m﹣2 ＝3； 故答案为：3； （3）由mx+4＜4x+m得（m﹣4）x＜m﹣4， ∵不等式的解集为x＞1， ∴m﹣4＜0， 解得m＜4， 则2＜m＜4， ∴符合条件的整数m的值为3． 22．（10分）（2024春•武冈市期中）对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解． （1）求式子中m、n的值； （2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4． 【分析】（1）根据x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），得出有关m，n的方程组求出即可； （2）由把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，进而将多项式分解得出答案． 【解答】解：（1）在等式x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），中， 分别令x＝0，x＝1， 即可求出：m＝﹣3，n＝﹣5 （2）把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0， 则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式， 用上述方法可求得：a＝4，b＝4， 所以x3+5x2+8x+4＝（x+1）（x2+4x+4）， ＝（x+1）（x+2）2． 解法二：把x＝﹣2代入x3+5x2+8x+4，得其值为0， 则多项式可分解为（x+2）（x2+ax+b）的形式， 用上述方法可求得：a＝3，b＝2， 所以x3+5x2+8x+4＝（x+2）（x2+3x+2）， ＝（x+1）（x+2）2． 23．（10分）（2024春•庐阳区校级期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2． （1）S1＝　a2﹣b2　；S2＝　2b2﹣ab　（用含a、b的式子表示S1、S2）； （2）若a+b＝8，ab＝10，求S1+S2； （3）若图3中阴影部分的面积S3＝9.5，a+b＝8，求a﹣b的值． 【分析】（1）由图得S1＝a2﹣b2，S2＝b2+b2﹣ab＝2b2﹣ab． （2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab，再计算即可． （3）S3（a+b）2ab＝9.5，故ab＝15，由（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝82﹣4×15＝24，得a﹣b＝2． 【解答】解：（1）由图得S1＝a2﹣b2； S2＝b2+b2﹣ab＝2b2﹣ab． 故答案为：a2﹣b2，2b2﹣ab． （2）S1+S2 ＝a2﹣b2+2b2﹣ab ＝a2+b2﹣ab ＝（a+b）2﹣3ab ＝82﹣3×10 ＝34． （3）S3＝a2+b2a2b（a+b）a2b2ab（a2+b2﹣ab）（a+b）2ab， ∵S3＝9.5， ∴（a+b）2ab＝9.5， ∴82ab＝9.5， ∴ab＝15， ∵（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝82﹣4×15＝4， 又a＞b， ∴a﹣b＝2． 24．（12分）（2024春•庐阳区校级期中）今年3月份新能源汽车迎来一次降价潮，某4s店经销的某品牌A款汽车、B款汽车都进行了相应的降价，若按此价格月售20台A款汽车和10台B款汽车，销售额为230万元；月售10台A款汽车和20台B款汽车，销售额为220万元． （1）求今年3月份A款汽车和B款汽车每辆的售价各是多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的A、B款汽车，已知A款汽车每辆进价为6.5万元，B款汽车每辆进价为5万元，公司预计用不多于90万元的资金购进这两款汽车共15辆，且购进A款汽车的数量不少于购进B款汽车的数量，有哪几种进货方案？并求出最大利润． （3）按照（2）中两种汽车进价不变，为打开B款汽车的销路，公司决定对B款汽车进行打九八折出售，并给出每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元的利好政策，要使（2）中所有的方案获利相同，a的值应是 　0.36　万元．（不必提供求解过程，直接给出a值即可） 【分析】（1）设今年3月份A款汽车的售价是x万元/辆，B款汽车的售价是y万元/辆，根据“月售20台A款汽车和10台B款汽车，销售额为230万元；月售10台A款汽车和20台B款汽车，销售额为220万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该汽车销售公司购进m辆A款汽车，则购进（15﹣m）辆B款汽车，根据“公司预计用不多于90万元的资金购进这两款汽车共15辆，且购进A款汽车的数量不少于购进B款汽车的数量”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，可得出各进货方案，求出各方案的利润，比较后即可得出结论； （3）由（2）中所有的方案获利相同，可得出A，B两款汽车每台的销售利润相同，进而可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设今年3月份A款汽车的售价是x万元/辆，B款汽车的售价是y万元/辆， 根据题意得：， 解得：． 答：今年3月份A款汽车的售价是8万元/辆，B款汽车的售价是7万元/辆； （2）设该汽车销售公司购进m辆A款汽车，则购进（15﹣m）辆B款汽车， 根据题意得：， 解得：m≤10， 又∵m为正整数， ∴m可以为8，9，10， ∴该汽车销售公司共有3种进货方案， 方案1：购进8辆A款汽车，7辆B款汽车，销售利润为（8﹣6.5）×8+（7﹣5）×7＝26（万元）； 方案2：购进9辆A款汽车，6辆B款汽车，销售利润为（8﹣6.5）×9+（7﹣5）×6＝25.5（万元）； 方案3：购进10辆A款汽车，5辆B款汽车，销售利润为（8﹣6.5）×10+（7﹣5）×5＝25（万元）． ∵26＞25.5＞25， ∴最大利润为26万元； （3）∵（2）中所有的方案获利相同， ∴A，B两款汽车每台的销售利润相同， ∴8﹣6.5＝7×0.98﹣a﹣5， 解得：a＝0.36， ∴a的值应是0.36万元． 故答案为：0.36． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$