期中易错题压轴题专项复习（考试范围：第16～18章）【23大题型】-2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（沪科版）

期中易错题压轴题专项复习【23大题型】 （考试范围：第16~18章） 【沪科版】 【易错篇】 1 【考点1 二次根式】 1 【考点2 根据二次根式的性质化简】 3 【考点3 二次根式的乘除】 4 【考点4 二次根式的加减】 7 【考点5 一元二次方程】 8 【考点6 一元二次方程的解法】 9 【考点7 一元二次方程根的判别式】 12 【考点8 一元二次方程根与系数的关系】 16 【考点9 一元二次方程的应用】 18 【考点10 勾股定理与网格】 21 【考点11 利用勾股定理求值】 24 【考点12 赵爽弦图】 28 【考点13 勾股定理逆定理的应用】 35 【考点14 勾股定理的应用】 38 【压轴篇】 42 【考点15 化简含字母的二次根式】 42 【考点16 求立体图形的最短路径问题】 43 【考点17 利用一元二次方程求最值】 47 【考点18 利用一元二次方程的解求参数取值范围】 51 【考点19 利用一元二次方程的解法解特殊方程】 53 【考点20 利用勾股定理构造图形解决问题】 56 【考点21 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 62 【考点22 多结论问题】 69 【考点23 新定义问题】 75 【易错篇】 【考点1 二次根式】 【例1】（24-25八年级·福建莆田·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是(    ) A．0 B．2 C．3 D．7 【答案】D 【分析】首先把进行化简，然后根据是整数确定n的最小值． 【详解】解：∵，且是整数， ∴是个完全平方数，(完全平方数是能表示成一个整式的平方的数) ∴n的最小值是7． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，做题的关键是推导“是个完全平方数”． 【变式1-1】（24-25八年级·广东河源·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，由题意得且，据此即可求解，掌握二次根式和分式有意义的条件是 解题的关键． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴且， 解得， 故选：． 【变式1-2】（24-25八年级·浙江舟山·期中）当x＝－1时，二次根式的值为 . 【答案】3 【分析】直接将x的值代入进而化简求出答案． 【详解】解：∵x=-1， ∴===3. 故答案为3. 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 【变式1-3】（24-25八年级·河南洛阳·阶段练习）已知y=++2，那么xy= ． 【答案】 【分析】先根据二次根式的定义求出x的值，继而可得出y的值，再代入求解即可． 【详解】解：由题意得出：， 解得：， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的定义，比较基础，熟记定义内容即可． 【考点2 根据二次根式的性质化简】 【例2】（24-25八年级·北京顺义·期中）如果，那么x的取值范围 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件， 根据二次根式的被开方数是非负数求解即可． 【详解】∵ ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2-1】（24-25八年级·甘肃兰州·期中）适合的正整数a的所有值的平方和为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的非负性，先根据题意判断出的符号，求出正整数的值，进而可得出结论． 【详解】解：∵ 解得， ∴正整数的值为1，2，3， ∴． 故选：B． 【变式2-2】（24-25八年级·四川成都·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质，由数轴可得：，，从而得出，再由二次根式的性质化简即可得解． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25八年级·上海·期中）将根号外的因式移到根号内得 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解． 根据二次根式的性质，得，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得， ， ， ， ， 故答案为：． 【考点3 二次根式的乘除】 【例3】（24-25八年级·山东烟台·期末）幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值 ． A B 5 C 10 D 【答案】 【分析】本题考查了数的规律探究，涉及考查一元一次方程的应用，二次根式的乘法．根据横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等列出方程求解即可． 【详解】解：对角线方向上的实数相乘的结果为， 根据方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等得， ，解得， ，解得， ，解得， ，解得， ， 故答案为：． 【变式3-1】（24-25八年级·山东烟台·期中）计算的结果为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，逆用积的乘方以及平方差公式进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 【变式3-2】（24-25八年级·河北唐山·期中）二次根式 中最简二次根式是 ． 【答案】、、 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可. 【详解】解：第一个根式不是最简二次根式，因为被开方数的因式不是整数， 第二个根式不是最简二次根式，因为被开方数含有开的尽方的因数， 第三个根式为最简二次根式， 第四个根式为最简二次根式， 第五个根式不是最简二次根式，因为被开方数含有开的尽方的因数和因式， 第六个根式为最简二次根式， 故答案为 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，明确什么是最简二次根式是解题关键. 【变式3-3】（24-25八年级·江西吉安·期末）学习了后，数学老师出了一道化简题：．下面是小亮和小芳的解答过程． 小亮：解：原式； 小芳：解：原式， ，原式， (1)________的解法是不正确的； (2)化简：，其中，． 【答案】(1)小亮 (2) 【分析】本题考查乘法公式，二次根式的性质以及绝对值的化简，根据给定条件正确运用相关性质进行化简是解答本题的关键． （1）根据得，所以原式，所以小亮的解法是不正确的； （2）先根据乘法公式化简得：，再根据，得，所以，，代入上式即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， 小亮的解法是不正确的， 故答案为：小亮； （2）解：原式， ，， 原式． 【考点4 二次根式的加减】 【例4】（24-25八年级·江西萍乡·期末）若，，，则的大小关系用“＜”号排列为 ． 【答案】a＜b＜c 【分析】利用平方法把三个数值平方后再比较大小即可． 【详解】解：∵a2=2000+2，b2=2000+2，c2=4004=2000+2×1002， 1003×997=1000000-9=999991，1001×999=1000000-1=999999，10022=1004004． ∴a＜b＜c． 故答案为：a＜b＜c. 【点睛】这里注意比较数的大小可以用平方法，两个正数，平方大的就大．此题也要求学生熟练运用完全平方公式和平方差公式． 【变式4-1】（24-25八年级·河北唐山·期末）下列二次根式中，可与进行合并的二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】、由，则与可以进行合并，符合题意； 、由，则与不可以进行合并，不符合题意； 、由，，则与不可以进行合并，不符合题意； 、由，，则与不可以进行合并，不符合题意； 故选：． 【变式4-2】（24-25八年级·江苏南京·期末）已知，则代数式的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了完全平方公式、分母有理化、代数式求值等知识点，根据分母有理化化简成为解题的关键． 由分母有理化可得，然后再对化简，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：5． 【变式4-3】（24-25八年级·湖北武汉·期末）已知，则 . 【答案】 【分析】将二次根式化简代值即可. 【详解】解： 所以原式. 故答案为 【点睛】本题考查了二次根式的运算，将二次根式转化为和已知条件相关的式子是解题的关键. 【考点5 一元二次方程】 【例5】（24-25八年级·河南新乡·期中）将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，则一次项系数为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程化成一般形式进行解答即可． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，一次项系数为， 故选：D． 【变式5-1】（24-25八年级·宁夏银川·期中）已知方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义得到未知数x的最高次数为2，即且，再结合绝对值的性质解得m的值，最后根据一元二次方程二次项系数不为0解题即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得：． 故答案为：． 【变式5-2】（24-25八年级·重庆荣昌·期中）若是方程的一个根，则的值为（  ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，根据题意可得，再代入求值即可． 【详解】解：是方程的一个根， ，即， ， 故选：D． 【变式5-3】（24-25八年级·江苏盐城·期中）写一个一元二次方程使它有一个解为1，另一个解为2，并且二次项的系数为1，这个方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程，与一元二次方程的解，解题的关键是熟练运用一元二次方程解的定义．根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到，将其化为一般式即可求出答案． 【详解】∵一元二次方程使它的根为1，2，二次项的系数为1， ∴． 整理得， 故答案为：． 故答案为：． 【考点6 一元二次方程的解法】 【例6】（24-25八年级·河北唐山·期中）关于x的方程，下列解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得到． 移项得： ， ∴， ∴或， ∴，． 整理得 ∵，，， ∴ ∴ ∴，． 整理得 配方得： ， ∴， ∴， ∴，． A．甲和乙 B．乙和丙 C．乙和丁 D．甲和丁 【答案】C 【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，直接开方法，公式法，以及配方法，根据解一元二次方程的方法逐一判断即可． 【详解】解：甲需要考虑的情况，故甲错误； 乙是因式分解法解方程，过程完全正确，故乙完全正确； 丙是公式法解方程，过程中的错误为：，应该是3，故丙错误； 丁是配方法解方程，过程完全正确，故丁完全正确． 故选：C． 【变式6-1】（24-25八年级·河南新乡·期中）用适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，公式法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 即：， 解得：，； （2）解：， ， ， 解得：，； （3）解：， ， ， 解得：，； （4）解：， ， ， ， ， 解得：，． 【变式6-2】（24-25八年级·云南昭通·期中）一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握三角形的三边关系，等腰三角形的性质，要注意分情况讨论求解．利用因式分解法求出的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论求解． 【详解】解：， ， 或， ，， 当是腰时，三角形的三边分别为、、，能组成三角形，周长为； 当是腰时，三角形的三边分别为、、，能组成三角形，周长为； 该等腰三角形的周长是或， 故选：D． 【变式6-3】（24-25八年级·江苏宿迁·期中）若一元二次方程的两个根为，，则一元二次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程，得到方程的两根满足关系式是解答的关键．由方程的两根为，得出方程的两根满足关系式，据此求解即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴方程的两根满足关系式， ∴． 故答案为：． 【考点7 一元二次方程根的判别式】 【例7】（24-25八年级·浙江宁波·期中）已知关于x的一元二次方程：（其中p、q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论正确的是 ． ①必是方程的根； ②可能是方程的根； ③方程必有实数根； ④若为方程的两个根，则方程的根为和． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．利用一元二次方程根的判别式可得，分情况对①②③④进行判断，即可得出结果． 【详解】解：∵方程（其中p，q为常数）有两个相等的实数根， ∴且， ∴， 当， 原方程为：， ， 即， ， 是方程的根； 当，即时， 原方程为：， ， 即， ， 是方程的根； 综上，不一定是方程的根；故①错误，不符合题意； 当时，则，即， ， ， 符合题意， 可能是方程的根；故②正确，符合题意； 由①知，当，是方程的根， 方程必有实数根，故③正确，符合题意； 为方程的两个根， 当时，方程为， 即， ， 方程为， 即， ， ， 同理，当时，方程为， 即， ， 方程为， 即， ， ， 综上，若为方程的两个根，则方程的根为和，故④正确，符合题意； 故答案为：②③④． 【变式7-1】（24-25八年级·河南洛阳·期中）关于的方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程方程的根的判别式，熟悉一元二次方程方程的根的判别式的相关性质是解题的关键． 根据方程有实数根，利用根的判别式来求的取值范围即可． 【详解】解：当方程为一元二次方程时， ∵关于的方程有实数根， ∴，且， 解得：且， 当方程为一元一次方程时，，方程有实根， 综上所述，， 故选：B． 【变式7-2】（24-25八年级·江苏盐城·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个实数根大于，求的取值范围． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键． （1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出，根据判别式的意义即可证明； （2）设方程的两个根分别为，，利用公式法求方程的解，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可求得的取值范围． 【详解】（1）证明：，，， ， 无论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：由（1）知，，，，， 解方程得， ，． 由题意可知，， ． 【变式7-3】（24-25八年级·江苏扬州·期中）已知a、b、c是的三边，关于x的方程，当时有两个相等的实数根，则的形状是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查根的判别式，将方程转化为一般式，根据方程有2个相同的实数根，得到，再利用勾股定理逆定理，进行判断即可． 【详解】解：方程转化为：， 由题意，得：， 整理，得：， ∵， ∴， ∴， ∵a、b、c是的三边， ∴是直角三角形； 故答案为：直角． 【考点8 一元二次方程根与系数的关系】 【例8】（24-25八年级·四川内江·阶段练习）非零实数a，b满足，，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，分两种情况：当时，实数a，b是方程的两个不同的根；当时，实数a，b是方程的同一个根，分别计算即可得解． 【详解】解：∵非零实数a，b满足，， ∴当时，实数a，b是方程的两个不同的根，由根与系数的关系可得，，此时； 当时，实数a，b是方程的同一个根，此时； 综上所述，的值是或， 故答案为：或． 【变式8-1】（24-25八年级·山东济南·期中）硕硕和鹏鹏一起解一道一元二次方程题，硕硕看错了一次项系数，解得方程的两个根为和，鹏鹏看错了常数项，解得方程的两个根为和．则原方程正确的解为（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查根与系数关系，一元二次方程的一般式，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程组解决问题； 设一元二次方程为，构建方程组求出，，即可求解； 【详解】解：设一元二次方程为， 由题意得：， ， 方程为， ， 或， 解得：，； 故选：C 【变式8-2】（24-25八年级·福建福州·期中）已知，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2026 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值等知识点，掌握一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于是解题的关键．根据根与系数的关系和一元二次方程的解可得出，再将化成，最后整体代入即可解答． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ，， ， 故答案为：2026． 【变式8-3】（24-25八年级·湖北武汉·期中）已知，是方程的两根，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值． 【详解】∵a与b是方程的两根 ∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0 ∴a2=a+1，b2=b+1 ∵，同理： ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键． 【考点9 一元二次方程的应用】 【例9】（2024·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 【变式9-1】（24-25八年级·江苏无锡·阶段练习）小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟． (1)求返回时A、B两地间的路程； (2)若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟． 【答案】(1)1800米 (2)52分钟 【分析】本题考查一元一次方程，一元二次方程的应用． （1）可设返回时两地之间的距离为x米，根据两种步行方案的速度相等，列出方程即可求解； （2）可设从A地到C地一共锻炼时间为y分钟，根据在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设返回时A，B两地间的路程为x米，由题意得： ， 解得， 答：返回时A、B两地间的路程为1800米； （2）解：设小明从A地到C地共锻炼了y分钟，由题意得： ， 整理得， 解得，（舍去）． 答：小明从A地到C地共锻炼52分钟． 【变式9-2】（24-25八年级·河南新乡·期中）某商店以每件40元的价格购进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出180件商品： (1)求该商品价格的平均月增长率； (2)因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售，经过市场调查发现：售价每降低1元，每个月多卖出10件，则商家在降价的同时，为保证每月的利润达到6000元，应将售价定为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该商品平均每月的价格增长率为m，根据该商品的原价及经过两次涨价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据总利润＝单价利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设该商品平均每月的价格增长率为m， ， 解得， (舍去)． 答∶该商品平均每月的价格增长率为 （2）解：依题意，得， 解得∶， ∵商家尽快将这批商品售出， ∴取60， 答∶x为60时该商品每月的利润可达到6000元． 【变式9-3】（24-25八年级·江苏扬州·期中）某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元． (1)若有14人参加旅游，人均费用是 元． (2)某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数． 【答案】(1) (2)参加活动的学生人数为18人 【分析】本题主要考查了有理数混合运算以及一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据“如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元”列式求解即可； （2）设参加活动的学生人数为x人，根据题意列出关于x的一元二次方程，求解并对结果进行分析，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，若有14人参加旅游时， 人均费用为：元． （2）解：设参加活动的学生人数为人， ∵， ∴， 由题意得，． 解得，． 当时，（元），符合题意． 当时，（元）， ∵不符合题意， ∴舍去． 答：参加活动的学生人数为18人． 【考点10 勾股定理与网格】 【例10】（24-25八年级·江苏淮安·期末）某班学生在劳动实践基地用一块正方形试验田种植苹果树，同学们将试验田分成的正方形网格田，每个小正方形网格田的边长为1米，如图所示，为了布局美观及苹果树的健康成长，同学们要把苹果树种植在格点处（每个小正方形的顶点叫格点），且每两棵苹果树之间的距离都要大于2米，则这块试验田最多可种植 棵苹果树． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理和无理数的估算．此题为了最大化种植苹果树的数量，同时满足每两棵苹果树之间的距离都要大于2米的要求，我们采用隔点种植的方法，在横纵方向，每行每列最多能种植3棵苹果树，因两棵树之间的距离最小为3米，而试验田的边长为7米，所以最多可以种植3棵苹果树，满足要求，即可求出答案． 【详解】解：在的正方形网格田中，采用隔点种植的方式，每行每列最多能种植3棵苹果树,小正方形的对角线长度为 ，最小长方形的对角线长度为，均满足大于2米的要求， 如图， 因此，这块试验田最多可种植棵苹果树， 故答案为： 【变式10-1】（24-25八年级·山西临汾·期末）如图，在的网格图中，每个小方格的边长为1，请在给定的网格中按下列要求画出图形． (1)画一个三边长分别为4，，的三角形； (2)画一个腰长为的等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，正确画图是解答本题的关键． （1）根据勾股定理画出的线段可得三边长分别为4，，的三角形； （2）运用勾股定理求出边长为，可画出腰长为的等腰直角三角形 【详解】（1）解：，， 如图，即为边长分别为4，，的三角形， （2）解：， 如图，即为腰长为的等腰直角三角形 【变式10-2】（24-25八年级·河南驻马店·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，若和的顶点都在小正方形网格的格点上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了格点与勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，取格点E，F，连接，利用勾股定理证明是等腰直角三角形，得出，根据格点的性质推出，得到，即即可求解． 【详解】解：如图，取格点E，F，连接， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由格点的性质得：， ， ， 故选：D． 【变式10-3】（24-25八年级·安徽安庆·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为 【答案】2 【分析】由勾股定求出，，，得到，，，由，推出是直角三角形，由三角形面积公式得到的面积，代入有关数据，即可求出的长． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ，，， ， 是直角三角形， ， 的面积， ， ． 故答案为：2． 【考点11 利用勾股定理求值】 【例11】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，在长方形中，，，将沿折叠，点B落在处，与交于E，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据翻折变换的性质得出，，再由得出，则，，设，则，再利用勾股定理求出x的值即可． 【详解】解：∵长方形中，，， ∴， ∵将沿折叠，点B落在处，与交于E， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是翻折变换，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键． 【变式11-1】（24-25八年级·江苏苏州·期末）勾股定理是数学史上的一颗玻璃珠．被誉为清代“历算第一名家”的名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅瑴成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在中，，四边形，，均为正方形，与相交于点，可以证明点在直线上．若，的面积分别为2和6，则直角边的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，先证明得，设，，，由勾股定理得，，进而得，，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形，为正方形， ∴，，， ∴， ∴， 设，，， 由勾股定理得，， 即， , ∴， ∴，即， ∴，即， 故选：D． 【变式11-2】（24-25八年级·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    【答案】17 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 【详解】解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 【变式11-3】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，在四边形中，，垂足为E，，连接，若， ．求：   (1)的长； (2)四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的综合运用、三角形面积的计算等知识点；由勾股定理求出是解题的关键． （1）由垂直的定义得出，由勾股定理求出，再求出，然后根据勾股定理求解即可； （2）由勾股定理求出，再求出，再根据    求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【考点12 赵爽弦图】 【例12】（24-25八年级·江苏宿迁·期末）综合实践 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”．他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范．在一节八上数学复习课上，老师为了弘扬中国的数学文化，和同学们开启对“赵爽弦图”的深度研究． (1)类比“弦图”，证明定理 小明同学利用四张全等的直角三角形纸片（如图1），证明勾股定理． 因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为的小正方形组成，即面积表示为：，即，进而勾股定理得到了验证． 善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2），聪明的他发现用不同的方法计算梯形的面积，也可证明勾股定理，请你和他一起证明． (2)利用“弦图”，割拼图形 如图3，老师给出由5个小正方形组成的十字形纸板，让同学们尝试剪开，使得剪成的若干块能够拼成一个无缝的大正方形，可以怎么剪？请你画出示意图． (3)构造“弦图”，应用计算 如图4，在等腰直角三角形中，，点是中点，过点作，垂足为点，交于点，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析， (3)9 【分析】（1）依据题意，四边形的面积从大的一方面来说属于直角梯形，可利用直角梯形的面积公式进行表示；从组成来看，由三个直角三角形组成．应利用三角形的面积公式来进行表示； （2）由5个小正方形组成的十字形纸板得，拼成的大正方形边长应为，由此可得出要沿宽为1，长为2的长方形对角线剪开，才能形成边长为，然后沿垂直于该对角线的一端点再剪一刀，形成虚线部分的三块，分别将这三块放在实线部分，这样就形成了四个边长为，且有一个角的四边形即符合题意要求的正方形； （3）依据题意，过B作交的延长线于点，先证明，从而，再由是的中点，可得，故，又，可得，取的中点为，的中点为，连，构造中位线，证出，，进而可证出得到，最后结合，求出后即可判断得解． 【详解】（1）证明：由题意，图中的四边形为直角梯形，为等腰直角三角形，和的形状和大小完全一样， 设梯形的面积为，则 ， 又， ， ． （2）由题意，把由5个小正方形组成的十字形纸板（如图）剪开，可拼成一个大正方形． ， （3）由题意，过B作交的延长线于点G，取的中点为，的中点为，连， ， ， ， ． ． 又，， ． ． 又是的中点， ． ． ， ， 的中点为，的中点为， ，， ，， ，， ， ， 又， ， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明、完全平方式、 全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形，解题时要熟练掌握并能读懂题意，找出关键图形是关键． 【变式12-1】（24-25八年级·江苏南京·期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．连接、、、．若正方形的面积为，阴影部分的面积为．则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算．由阴影部分的面积为，得到，得到，根据三角形的面积公式列方程得到，求得，于是得到． 【详解】解：由题意得， ∵正方形的面积为， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴(负值已舍)， ∴， 故选：C． 【变式12-2】（24-25八年级·四川成都·期末）如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将前面四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形如图2，该正方形的面积为5；再将其四个全等的直角三角形拼成了图3形状，图3的外轮廓周长为，则图1中的点C到的距离为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用．求得四个全等的直角三角形的斜边长为，设两条直角边分别为，利用图3的外轮廓周长为，求得，再利用图1中，列式计算即可求解． 【详解】解：如图，由题意得， ∴（负值已舍）， 如图，，设，，则， 由题意得， ∴，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， 解得， 如图，，设点C到的距离为， ∴，即， ∴， ∴点C到的距离为， 故答案为：． 【变式12-3】（24-25八年级·浙江金华·期末）图1是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长交、分别于点、，延长交于点（如图2）． （1）若的面积为，小正方形的面积为，则＝ ； （2）如图2，若，则＝ （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质，图形面积的几何意义与代数式的变形．掌握正方形的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理求出和的等式，即可得到； （2）求出，，之间的关系式，从而求得面积比． 【详解】解：（1）设， ， ∵若的面积为，小正方形的面积为， ∴，， ∴， ∵， ∴ 故答案为：； （2）∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点13 勾股定理逆定理的应用】 【例13】（24-25八年级·黑龙江双鸭山·期末）两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速海里，乙船时速海里，两个小时后，两船相距海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（   ） A．南偏东 B．北偏西 C．南偏东或北偏西 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了方位角，勾股定理逆定理，根据题意画出图形，然后利用勾股定理逆定理判断出即可求解，掌握勾股定理逆定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，海里，海里，， ∵，， ∴， ∴点三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴乙船的航向为南偏东或北偏西， 故选：． 【变式13-1】（24-25八年级·黑龙江大庆·期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．则原路线 千米． 【答案】/ 【分析】先根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形且，设千米，则千米，最后在运用勾股定理即可解答． 【详解】解： ∵在中，， ∴， ∴是直角三角形且； 设千米，则千米， 在中，由已知得， 由勾股定理得：， ∴，解得x=． 故答案为． 【点睛】本题主要考查勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，掌握勾股定理的逆定理和定理是解决本题的关键． 【变式13-2】（24-25八年级·辽宁鞍山·期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中，利用勾股定理求出的长，再由勾股定理逆定理判断的形状，由三角形面积公式求得菜地的面积． 【详解】解：连接AC 在中，，，，， 在中，，， ∴ ∴是直角三角形，且． ∴ ∴这块菜地的面积是 故选：B    【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式13-3】（24-25八年级·吉林四平·期末）如图①是超市的儿童玩具购物车，图②为其侧面简化示意图．测得支架，，两轮中心的距离． (1)连接，则是__________三角形，请写出推理过程． (2)点C到的距离是__________． 【答案】(1)直角，见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，点到直线的距离，解题的关键是正确的识别图形． （1）过点作于点，则的长即点到的距离，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：过点作于点，则的长即点到的距离， 在中， ∵，，， ，， ， 为直角三角形； （2）， ，即， ． 【考点14 勾股定理的应用】 【例14】（24-25八年级·四川成都·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，． (1)求支渠的长度．（结果保留根号） (2)若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？ 【答案】(1) (2)万元 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求出，则，再由勾股定理求出的长即可； （2）由的面积求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意可知：， ， ，， ， ， ， 答：公路的长度为； （2）， ， ， ， ∴修建林荫小道需要的费用为万元． 【变式14-1】（24-25八年级·福建福州·期中）《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度．（1丈＝10尺） 解决下列问题： （1）示意图中，线段AF的长为　 　尺，线段EF的长为　 　尺； （2）求芦苇的长度． 【答案】（1）5，1；（2）芦苇长13尺． 【分析】（1）直接利用水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，且边长为10尺的正方形，F为AB中点，即可得出答案； （2）根据题意，可知AB的长为10尺，则AF=5尺，设芦苇长EG=AG=x尺，表示出水深FG，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【详解】解：（1）由题意可得：EF=1尺，AF==5尺； 故答案为：5，1； （2）设芦苇长EG=AG=x尺， 则水深FG=（x-1）尺， 在Rt△AGF中， 52+（x-1）2=x2， 解得：x=13， ∴芦苇长13尺． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解本题的关键是数形结合以及表示出直角三角形的各边长． 【变式14-2】（24-25八年级·安徽阜阳·期中）超速行驶是引发交通事故的原因之一．上周末，小聪等三位同学在某路段尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的点P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，． (1)求的距离，（取） (2)试判断此车是否超过了的限制速度？ 【答案】(1) (2)此车超过的限制速度． 【分析】本题主要考查了勾股定理、含30度角直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． （1）先说明，然后根据含30度角直角三角形的性质可得，再运用勾股定理可求得的长，然后再根据等腰直角三角形的性质可得，最后根据线段的和差即可解答； （2）先求出从A处行驶到B处的速度，然后再比较即可解答． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴, ∴． （2）解：小车的速度为： ∴此车超过的限制速度． 【变式14-3】（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知米，米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度． 【答案】19米 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，延长，过点C作延长线于点D，利用勾股定理先求出，即可得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示：延长，过点C作延长线于点D， 由题意可得：， 故， ∴， 则， 故， 答：树原来的高度19米． 【压轴篇】 【考点15 化简含字母的二次根式】 【例15】（24-25八年级·上海静安·期中）已知，化简二次根式的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式有意义的条件求出，求出、的范围，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件求出， ∵， ∴，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，能熟记二次根式的性质是解此题的关键． 【变式15-1】（24-25八年级·湖北黄石·期中）已知，则二次根式化简后的结果为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由题意可得： ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：D 【点睛】此题考查了二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 【变式15-2】（24-25八年级·上海·期中）已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，则，根据二次根式的性质利用二次根式的乘除法公式化简即可． 【详解】解： ，， ， 原式， 故选：C． 【变式15-3】（24-25八年级·北京顺义·期末）当时，化简二次根式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断 再利用进行化简即可. 【详解】解： 故选D 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，根据隐含条件判断是解本题的关键，易错点的是化简过程中出现二次根式没有意义的情况. 【考点16 求立体图形的最短路径问题】 【例16】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面展开之最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．将容器侧面展开，得到关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图是侧面展开图的一半，作点关于的对称点，连接，作交的延长线于点，由题意可知，为所求 高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜 ，，， 故选：D． 【变式16-1】（24-25八年级·河南周口·期末）如图①所示的正方体木块的棱长为 ，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②所示的几何体表面从顶点爬行到顶点 的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了几何体截面图、垂直平分线的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先分析出将裁剪后的几何体表面展开，可得是等腰直角三角形， 是等边角形，设交于点，易得当蚂蚁沿着的路线爬行时，距离最短，且垂直平分线，利用勾股定理和直角三角形的性质解得，的值，即可获得答案． 【详解】解：将裁剪后的几何体表面展开，得到如图所示的图形（部分），是等腰直角三角形， 是等边角形，设交于点， 当蚂蚁沿着的路线爬行时，距离最短， 此时，， ∴垂直平分线， 在中，， ∴，， 在 中，， ∴从顶点爬行到顶点的最短距离为． 故选：D． 【变式16-2】（24-25八年级·河南南阳·期末）如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是3米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（   ）米 A．5 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题及勾股定理的应用，可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．正确利用立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，连接， 此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程， ∵米，米，点到的距离是米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是米． 故选：A． 【变式16-3】（24-25八年级·陕西西安·期末）如图，一只蚂蚁从长为、宽为、高为的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查平面展开图—最短路径问题，是重要考点，掌握分类讨论法是解题关键．先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理解答即可． 【详解】解：如图， ； 如图， ； 如图， ； ， ∴它所行的最短路线的长为． 故答案为：． 【考点17 利用一元二次方程求最值】 【例17】（24-25八年级·江苏扬州·阶段练习）阅读理解： 对于一个关于x的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法，比如先令，然后移项可得，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子． 例：求的取值范围． 解：令，，. . ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的取值范围； (2)若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为，求a的值； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）令，构造以x为主元的一元二次方程，利用根的判别式解答即可． （2）根据二次三项式（a为常数）的最小值为，得到，解答求a的值； 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，配方法的应用，解方程，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】（1）解：令， ∴， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵二次三项式（a为常数）的最小值为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴最小， 解得或． 【变式17-1】（24-25八年级·浙江金华·期中）当 ， 时，多项式有最小值，这个最小值是 ． 【答案】 4 3 15 【分析】利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质进行解答． 【详解】解： = = = ∴当a=4，b=3时，多项式有最小值15． 故答案为：4，3，15． 【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【变式17-2】（24-25八年级·安徽安庆·专题练习）阅读材料：我们都知道， 于是， ． 又因为，所以，． 所以，有最大值． 如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为1米的正方形狗屋．设米． (1)请用含x的代数式表示的长___________（直接写出结果）； (2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米，①请用含x的代数式直接表示出S，___________； ②山羊的活动范围的面积S能否达到平方米？能，就求出x的值，不能请说明理由． (3)求出山羊活动范围面积S的最大值． 【答案】(1) (2)①，②能，或 (3)平方米 【分析】此题考查了配方法的应用，列代数式等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据得到，整理即可得到答案； （2）①根据列出代数式即可；②当时，得到方程，解方程即可得出答案； （3）先得到 ，再根据题中的方法即可得到答案． 【详解】（1）依题意得 ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①依题意得：， ， ． 故答案为：； ②能． 当时，， ∴， 解得或； （3） 又因为， 所以，， 所以，山羊活动范围面积S的最大值是平方米． 【变式17-3】（24-25八年级·浙江·专题练习）已知，为实数，且满足，记的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】 【分析】根据题意得出，进而根据关于的方程有实数解，得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵已知，为实数，且满足， ∴关于的方程有实数解， ∴， ∴， 的最大值为， 的最大值为： ，即 ， 当时，的最小值为：，即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键． 【考点18 利用一元二次方程的解求参数取值范围】 【例18】（24-25八年级·浙江温州·期末）已知关于的方程 有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值范围为（ ） A． B． C．或a>0 D．或a>0 【答案】C 【详解】解：原方程变形为，这是一个以为未知数的一元二次方程． 当|x-3|<0时，x无解； 当|x-3|=0时，只有1解； 当|x-3|有2个大于0的根时，x有4解． 所以关于的一元二次方程有且只有1个大于0的实数根． ①当关于的一元二次方程有两个相等的实数根，即△＝0时， ，解得=-2 ②当关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，一根大于0，另一根小于0时： ，解得即a>0． 综合上面两种情况，a的取值范围是a>0或者a=-2． 【变式18-1】（2024·浙江绍兴·中考真题）若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了方程的解、解一元二次方程等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分、两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式求解即可． 【详解】解：当时，． 当时，可得，解得：，符合题意； 当时，可得，解得：，不符合题意； 当时， ，则 ∴． ∵关于x的方程的所有根都是比1小的正实数， ∴，解得：，，解得：，即． 综上可得，实数m的取值范围是或． 故答案为：或． 【变式18-2】（24-25八年级·浙江金华·期中）若实数a，b满足，则a的取值范围是 （ ）． A．a≤ B．a≥4 C．a≤或 a≥4 D．≤a≤4 【答案】C 【分析】把a−ab+b2+2＝0看作是关于b的一元二次方程，由△≥0，得关于a的不等式，解不等式即可． 【详解】把a−ab+b2+2＝0看作是关于b的一元二次方程， 因为b是实数，所以关于b的一元二次方程b2−ab+a+2＝0 的判别式△≥0，即a2-4（a+2）≥0，a2-2a-8≥0， （a-4）（a+2）≥0， 解得a≤-2或a≥4． 故选C． 【变式18-3】（24-25八年级·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程有两个根，，且满足．记，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，不等式的性质，由根和系数的关系可得，，，得到，由可得，即得到，即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：由根和系数的关系可得，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 【考点19 利用一元二次方程的解法解特殊方程】 【例19】（24-25八年级·云南昆明·期末）阅读下面的材料，回答问题： 要解方程，我们发现这是一个一元四次方程，不容易直接求解，如果注意到，根据该方程的特点，我们可以这样做： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，∴； 当时，，∴； ∴原方程有四个根，，，． 我们把以上这种解决问题的方法叫做换元法． 任务： (1)上述解方程的过程体现的数学思想主要是（　　） A．分类讨论思想    B．转化思想    C．数形结合思想    D．公理化思想 (2)仿照上面的方法，解方程； 【答案】(1)B (2)，，， 【分析】本题主要考查了因式分解法和换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元． （1）上述解方程的过程体现的数学思想主要是转化思想； （2）设，则原方程化为，求出y，再求出x即可． 【详解】（1）解：上述解方程的过程体现的数学思想主要是转化思想 故答案为：B； （2）解：原方程变形为 设，那么，于是原方程可变为， 解得，． 当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴原方程有四个根，，，． 【变式19-1】（24-25八年级·安徽六安·阶段练习）关于x的方程的解是（a、k、b均为常数，a≠0）． 问题： （1）关于x的方程的根是 ； （2）关于x的方程的根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题的关键． （1）将看作整体，由题意可知再求解即可； （2）仿照（1）计算即可． 【详解】解：（1）∵方程的解是， ∴设，则可化为， ∴， ∴，解得：． 故答案为：． （2）设，则可化为，即， ∵关于x的方程的解是， ∴，即， ∴，解得：． 故答案为：． 【变式19-2】（24-25八年级·河南洛阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程． 解：①当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． ②当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． 所以原方程的根是，． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 请仿照上述例题的解答过程，解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，绝对值方程，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想思考问题． 【详解】解：当时，原方程可化为：， 解得：（与矛盾，舍去），； 当时，原方程可化为， 解得：（与矛盾，舍去），； 原方程的解是， 【变式19-3】（24-25八年级·江苏扬州·期末）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得；∴原方程的解为，； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），，，；（2），． 【分析】（1）根据阅读材料利用换元法降次，令，即原方程=，求解即可． （2）同理，令，即原方程=，求解即可． 【详解】（1）设， 得：， 解得：，． 当时，，解得：， 当时，，解得：，． ∴原方程的解为，，，． （2）设，则方程可变成， ∴， ，． 当时，，所以无解． 当时，， ∴， ∴，． 经检验，是原方程的解． 【点睛】本题考查利用换元法解一元二次方程．利用整体换元把一些形式复杂的方程变成一元二次方程，从而达到降次的目的是解答本题的关键． 【考点20 利用勾股定理构造图形解决问题】 【例20】（24-25八年级·广东江门·期末）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．如图． 【小试牛刀】 把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为，，．显然，，．请用，，分别表示出梯形，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：__________，__________，__________，则它们满足的关系式为__________，经化简，可得到勾股定理． 【知识运用】 如图2，河道上，两点（看作直线上的两点）相距160米，，为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为，，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个菜园，的距离和最短，则该最短距离为__________米． 【知识迁移】 借助上面的思考过程，画图说明并求代数式的最小值． 【答案】（小试牛刀），，， ；（知识运用）200；（知识迁移）15 【分析】（小试牛刀）根据梯形、三角形的面积公式求解即可； （知识运用）作点关于的对称点，连接，则，由三角形三边关系可得当三点共线时，距离最小； （知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，则，由上可得当三点共线时，距离最小． 【详解】解：（小试牛刀）； ； ， 满足的关系式为：． （知识运用）作点关于的对称点，连接，如下图： 由题意可得：， ，则的最小值，即为的最小值， 由三角形三边关系可得：，当三点共线时， ∴的最小值为， 作交延长线于点F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴米， 故答案为：； （知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点， 设，则， ∴， 由上可得当三点共线时，距离最小，最小为， 作交延长线于点F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． ∴代数式的最小值为15． 【点睛】此题考查了勾股定理的证明以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． 【变式20-1】（2024·贵州遵义·二模）已知a，b均为正数，且，，是一个三角形的三边的长，则这个三角形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造矩形， E、F分别为、的中点，设， ，将所求三角形面积转化为即可求解． 【详解】解：如图，在矩形中， E、F分别为、的中点， 设， ， ∴，， ∴在、、中，依次可得到： ， ， ， ∴ ． 故选：A 【点睛】本题考查二次根式的应用．能够通过构造矩形及直角三角形，利用等积变换将所求三角形的面积转化为矩形和几个直角三角形的面积之差．利用数形结合是解答本题的关键． 【变式20-2】（24-25八年级·山西晋中·期中）如图（单位：），龙龙家购置了一台圆形扫地机，计划放置在屋子角落（衣柜、书柜与地面均无缝隙，衣柜不可移动）．若要这台扫地机能从角落自由进出，则需拖动书柜，使图中的至少为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，连接，过点A作交的延长线于点C，利用勾股定理即可求得答案，理解题意准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】连接，过点A作交的延长线于点C， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式20-3】（24-25八年级·河南郑州·期末）2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关文化项目集中亮相．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程： ①先测得放飞点与风筝的水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为10米； ③牵线放风筝的手离地面的距离为1.5米． 已知点在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升9米，长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题． 【答案】(1)7.5米 (2)能成功，见解析 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升9米，作图，根据勾股定理可得米，再根据题意，即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示，过点作于点， 则米，米，， ∴（米）， ∴（米）； （2）能成功，理由如下： 假设能上升9米，如图所示，延长至点，连接， 则米， ∴（米）， ∴（米）， ∵米，余线仅剩7.5米， ∴， ∴能上升9米，即能成功． 【考点21 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 【例21】（2024·福建·一模）点 A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若△ABO是直角三角形，则m的值不可能是（  ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况考虑：当∠OAB＝90°时，点A在x轴上，进而可得出m＝0；当∠OBA＝90°时，点B在x轴上，进而可得出m＝5；当∠AOB＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．综上，对照四个选项即可得出结论． 【详解】 解：分三种情况考虑（如图所示）： 当∠OAB＝90°时，m＝0； 当∠OBA＝90°时，m−5＝0，解得：m＝5； 当∠AOB＝90°时，AB2＝OA2＋OB2，即25＝4＋m2＋4＋m2−10m＋25， 解得：m1＝1，m2＝4． 综上所述：m的值可以为0，5，1，4． 故选B． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质以及勾股定理，分∠OAB＝90°，∠OBA＝90°，∠AOB＝90°三种情况求出m的值是解题的关键． 【变式21-1】（24-25八年级·吉林四平·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1)3cm (2)t=1或 (3)t=或2或 【分析】（1）根据题意，在△ABC中，利用勾股定理求解即可； （2）由题意可知，分两种情况：①；②，代值求解即可； （3）由题意可知，分三种情况：①；②；③，分别结算求解即可． 【详解】（1）解：∵在△ABC中，，，， ∴BC=； （2）解：由题意可知，分两种情况：①；②， 设BP=3tcm，∠B≠90°： ①当∠APB=90°时，易知点P与点C重合， ∴BP = BC，即3t=3， ∴； ②当∠PAB=90°时，如下图所示： ∴CP=BP－BC=（3t－3）cm， ∵AC2＋CP2=AP2=BP2－AB2，即42＋（3t－3）2=（3t）2－52，解得：t=， 综上所述：当为直角三角形时，t=1或； （3）解：由题意可知，分三种情况：①；②；③， ①当时，如图所示： ； ②当时，如图所示： 根据等腰三角形“三线合一”可知，是边上的中线， ， ； ③当时，如图所示： 设，则， 在中，，，，，则由勾股定理可得，即，解得， ， ， 综上所述：t=或2或． 【点睛】本题考查三角形中的动点问题，涉及到勾股定理求线段长、三角形为直角三角形的讨论和三角形为等腰三角形的讨论等知识，熟练掌握相关知识点及分类情况是解决问题的关键． 【变式21-2】（24-25八年级·安徽安庆·阶段练习）点在轴上，、，如果是直角三角形，求点的坐标． 【答案】点的坐标为或 【分析】本题考查的是两点距离与勾股定理，根据A、B坐标构造直角三角形，运用勾股定理与两点间距离公式，分类讨论即可求出点P坐标 【详解】设点的坐标为，分两种情况： ①当点为直角顶点时，点在轴正半轴， 作轴于，轴于，轴于，如图所示： 由勾股定理，得， 即，解得， ∴点的坐标为． ②当点为直角顶点时，点在轴负半轴，作轴于，轴于，如图所示： 由勾股定理，得， 即，解得， ∴点的坐标为． 综上所述，如果是直角三角形，那么点的坐标为或． 【点睛】本题的关键是分类讨论点P的情况，并灵活运用勾股定理和两点间距离公式 【变式21-3】（24-25八年级·四川·阶段练习）如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动 秒时，与的边垂直． 【答案】或或． 【分析】设运动时间为然后分当、和三种情况运用勾股定理解答即可． 【详解】解：设运动时间为 则， 当时，如图1所示， 过点作于点 ， 中有， ， 中，， 中，， ， ， 解得：； 当时，如图2所示， 由可知， 又 ； 当时，如图3所示， 过点作于点 由知， 中有， 中有， ， 又 当点移动秒或秒或秒时，与边垂直． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理列方程以及分类讨论思想是解答本题的关键． 【考点22 多结论问题】 【例22】（24-25八年级·浙江金华·阶段练习）如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于，交的延长线于，于，下列结论：①；②；③平分；④；正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】由角平分线的性质可知①正确；由题意可知，故此可知，，从而可证明②正确；若平分，则，与矛盾，可得③错误；连接、，然后证明，从而得到，，从而证明④． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∴①正确； ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， 同理：， ∴， ∴②正确； ∵， ∴若平分，则，与矛盾， ∴③错误； 如图所示：连接、， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵中，，中，， ∴， ∴， ∴④正确； 综上可知，正确的有①②④， 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，有一定难度，能够综合运用上述知识点是解题的关键． 【变式22-1】（24-25八年级·浙江嘉兴·期末）已知两个关于的一元二次方程，有一个公共解2，且，，，．下列结论：①有唯一对应的值；②；③是一元二次方程的一个解．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】将x=2代入方程，然后两式相减进行计算，从而判断①；设一元二次方程x2+ax+b=0的另一个根为m，x2+cx+d=0的另一个根为n，利用一元二次方程根与系数的关系求得m+2=-a，2m=b，n+2=-c，2n=d，然后代入计算并利用完全平方式的非负性判断②；将方程变形为（2m+2n）x2+（-m-2-n-2）x+2=0，然后x=代入方程进行验证，从而判断③． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0，x2+cx+d=0有一个公共解2， ∴22+2a+b=0①，22+2c+d=0②， ②-①，得：2（c-a）+d-b=0， 2（c-a）=b-d， ∴，故①正确； 设一元二次方程x2+ax+b=0的另一个根为m，x2+cx+d=0的另一个根为n， ∴m+2=-a，2m=b，n+2=-c，2n=d， ∴a2-4b=[-（m+2）]2-4×2m=（m-2）2≥0， c2-4d=[-（n+2）]2-4×2n=（n-2）2≥0， ∴a2-4b+c2-4d≥0， ∴a2+c2≥4b+4d， ∴≥b+d，故②错误； ∵m+2=-a，2m=b，n+2=-c，2n=d， ∴一元二次方程（b+d）x2+（a+c）x+2=0可变形为：（2m+2n）x2+（-m-2-n-2）x+2=0， 当x=时，左边=（2m+2n）×（）2+（-m-2-n-2）×+2=0=右边， ∴x=是一元二次方程（b+d）x2+（a+c）x+2=0的一个解，故③正确， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，理解方程的解的概念，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 【变式22-2】（24-25八年级·广东茂名·期中）长方形中，点是的中点，的平分线交于点，将沿折叠，点恰好落在 上的点处，分别延长交于点，下列四个结论： ①； ②是正三角形；③； ④． 其中正确个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据长方形的性质，折叠的性质得到，由角平分线的性质定理得到，由此可判定①；根据题意可证，得到，设，可得，可判定②；根据题意可得，可判定③；根据题意得，则，，可判定④；由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵将沿折叠，点恰好落在 上的点处， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴，即， ∴不是正三角形，故②错误； ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 由上述证明可得， ∴，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个， 故选：C ． 【点睛】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理的计算，掌握折叠的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式22-3】（24-25八年级·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，，点为斜边上的中点，点，分别在直角边，上（不与端点重合），且，连接、、．设，，．给出下面四个结论：①是等腰直角三角形②③④，上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①④ 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理是解此题的关键，由题意得出，由三角形三边关系得出，即可判断②；利用勾股定理即可判断③；连接，证明，推出是等腰直角三角形，判断①，设，由等腰直角三角形的性质可得，，由勾股定理得出，再由得出，再分和对④进行判断即可． 【详解】解：，， ， 点，分别在直角边，上（不与端点重合）， ，即，故结论②错误； ， 在中，，，， 由勾股定理得：，即，故结论③错误； 连接， ∵，，点为斜边上的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴是等腰直角三角形，故①正确； 设，则：， 在中，由勾股定理得：， ， ，即， ， ， 当且仅当时，即点，分别为，的中点时，， 此时，即， 当时，即点，不是，的中点时，， 此时，即， ，且等号可以取到，故结论④正确． 故答案为：①④． 【考点23 新定义问题】 【例23】（24-25八年级·湖北荆州·期末）如图，中，，，垂足为，在下列说法中： ①为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形； ②为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形； ③以为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形； ④，，为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形； 其中正确的说法有 ．（填写正确说法的序号） 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查理勾股定理及其逆定理，根据勾股定理可得，再根据勾股定理的逆定理逐项判断即可求解，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴ ∴以为长度的线段首尾相连不能够组成一个三角形，故①错误； ∵， ∴， ∴以为长度的线段首尾相连不能够组成一个三角形，故②错误； ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴以为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形，故③正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴以，，为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形，故④正确； 综上，正确的说法有③④， 故答案为：③④． 【变式23-1】（24-25八年级·湖南永州·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 【变式23-2】（24-25八年级·江西抚州·阶段练习）定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．如图，在中，，，，则中边的“中偏度值”为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考察了勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出边上的高和该边上的中点到高的距离．根据题意和题目中的数据，可以计算出中边上的高和该边上的中点到的距离，再求它们的比值即可． 【详解】解：作于点D，为的中线， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵为斜边上的中线，， ∴， ∴， 即点到的距离为， ∴中边的“中偏度值”为：， 故选：A． 【变式23-3】（24-25八年级·吉林长春·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为，所以． (1)已知：，求： ① ； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (2)代数式中的取值范围是 ； (3)计算： ． 【答案】(1)①，②； (2)； (3)． 【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案； （2）根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可得到答案； （3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； 故答案为： ②由①得，已知，两式相加得到， ， 即， 则，解得， 经检验，是原方程的根， 即方程的解是； （2）解： 由二根式有意义的条件得到， 解得， 即的取值范围是， 故答案为：； （3）解： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中易错题压轴题专项复习【23大题型】 （考试范围：第16~18章） 【沪科版】 【易错篇】 1 【考点1 二次根式】 1 【考点2 根据二次根式的性质化简】 2 【考点3 二次根式的乘除】 2 【考点4 二次根式的加减】 3 【考点5 一元二次方程】 3 【考点6 一元二次方程的解法】 3 【考点7 一元二次方程根的判别式】 4 【考点8 一元二次方程根与系数的关系】 5 【考点9 一元二次方程的应用】 5 【考点10 勾股定理与网格】 6 【考点11 利用勾股定理求值】 7 【考点12 赵爽弦图】 9 【考点13 勾股定理逆定理的应用】 11 【考点14 勾股定理的应用】 12 【压轴篇】 13 【考点15 化简含字母的二次根式】 13 【考点16 求立体图形的最短路径问题】 13 【考点17 利用一元二次方程求最值】 14 【考点18 利用一元二次方程的解求参数取值范围】 16 【考点19 利用一元二次方程的解法解特殊方程】 16 【考点20 利用勾股定理构造图形解决问题】 17 【考点21 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 19 【考点22 多结论问题】 20 【考点23 新定义问题】 21 【易错篇】 【考点1 二次根式】 【例1】（24-25八年级·福建莆田·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是(    ) A．0 B．2 C．3 D．7 【变式1-1】（24-25八年级·广东河源·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25八年级·浙江舟山·期中）当x＝－1时，二次根式的值为 . 【变式1-3】（24-25八年级·河南洛阳·阶段练习）已知y=++2，那么xy= ． 【考点2 根据二次根式的性质化简】 【例2】（24-25八年级·北京顺义·期中）如果，那么x的取值范围 ． 【变式2-1】（24-25八年级·甘肃兰州·期中）适合的正整数a的所有值的平方和为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式2-2】（24-25八年级·四川成都·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【变式2-3】（24-25八年级·上海·期中）将根号外的因式移到根号内得 ． 【考点3 二次根式的乘除】 【例3】（24-25八年级·山东烟台·期末）幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值 ． A B 5 C 10 D 【变式3-1】（24-25八年级·山东烟台·期中）计算的结果为 ． 【变式3-2】（24-25八年级·河北唐山·期中）二次根式 中最简二次根式是 ． 【变式3-3】（24-25八年级·江西吉安·期末）学习了后，数学老师出了一道化简题：．下面是小亮和小芳的解答过程． 小亮：解：原式； 小芳：解：原式， ，原式， (1)________的解法是不正确的； (2)化简：，其中，． 【考点4 二次根式的加减】 【例4】（24-25八年级·江西萍乡·期末）若，，，则的大小关系用“＜”号排列为 ． 【变式4-1】（24-25八年级·河北唐山·期末）下列二次根式中，可与进行合并的二次根式是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25八年级·江苏南京·期末）已知，则代数式的值为 ． 【变式4-3】（24-25八年级·湖北武汉·期末）已知，则 . 【考点5 一元二次方程】 【例5】（24-25八年级·河南新乡·期中）将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，则一次项系数为（   ） A．4 B． C．5 D． 【变式5-1】（24-25八年级·宁夏银川·期中）已知方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 ． 【变式5-2】（24-25八年级·重庆荣昌·期中）若是方程的一个根，则的值为（  ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【变式5-3】（24-25八年级·江苏盐城·期中）写一个一元二次方程使它有一个解为1，另一个解为2，并且二次项的系数为1，这个方程是 ． 【考点6 一元二次方程的解法】 【例6】（24-25八年级·河北唐山·期中）关于x的方程，下列解法完全正确的是（   ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得到． 移项得： ， ∴， ∴或， ∴，． 整理得 ∵，，， ∴ ∴ ∴，． 整理得 配方得： ， ∴， ∴， ∴，． A．甲和乙 B．乙和丙 C．乙和丁 D．甲和丁 【变式6-1】（24-25八年级·河南新乡·期中）用适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式6-2】（24-25八年级·云南昭通·期中）一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（   ） A． B． C． D．或 【变式6-3】（24-25八年级·江苏宿迁·期中）若一元二次方程的两个根为，，则一元二次方程的解为 ． 【考点7 一元二次方程根的判别式】 【例7】（24-25八年级·浙江宁波·期中）已知关于x的一元二次方程：（其中p、q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论正确的是 ． ①必是方程的根； ②可能是方程的根； ③方程必有实数根； ④若为方程的两个根，则方程的根为和． 【变式7-1】（24-25八年级·河南洛阳·期中）关于的方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A．且 B． C． D．且 【变式7-2】（24-25八年级·江苏盐城·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个实数根大于，求的取值范围． 【变式7-3】（24-25八年级·江苏扬州·期中）已知a、b、c是的三边，关于x的方程，当时有两个相等的实数根，则的形状是 三角形． 【考点8 一元二次方程根与系数的关系】 【例8】（24-25八年级·四川内江·阶段练习）非零实数a，b满足，，则的值是 ． 【变式8-1】（24-25八年级·山东济南·期中）硕硕和鹏鹏一起解一道一元二次方程题，硕硕看错了一次项系数，解得方程的两个根为和，鹏鹏看错了常数项，解得方程的两个根为和．则原方程正确的解为（  ） A．， B．， C．， D．， 【变式8-2】（24-25八年级·福建福州·期中）已知，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【变式8-3】（24-25八年级·湖北武汉·期中）已知，是方程的两根，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【考点9 一元二次方程的应用】 【例9】（2024·重庆开州·一模）某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【变式9-1】（24-25八年级·江苏无锡·阶段练习）小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟． (1)求返回时A、B两地间的路程； (2)若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C地共锻炼多少分钟． 【变式9-2】（24-25八年级·河南新乡·期中）某商店以每件40元的价格购进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出180件商品： (1)求该商品价格的平均月增长率； (2)因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售，经过市场调查发现：售价每降低1元，每个月多卖出10件，则商家在降价的同时，为保证每月的利润达到6000元，应将售价定为多少元？ 【变式9-3】（24-25八年级·江苏扬州·期中）某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元． (1)若有14人参加旅游，人均费用是 元． (2)某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，求参加活动的学生人数． 【考点10 勾股定理与网格】 【例10】（24-25八年级·江苏淮安·期末）某班学生在劳动实践基地用一块正方形试验田种植苹果树，同学们将试验田分成的正方形网格田，每个小正方形网格田的边长为1米，如图所示，为了布局美观及苹果树的健康成长，同学们要把苹果树种植在格点处（每个小正方形的顶点叫格点），且每两棵苹果树之间的距离都要大于2米，则这块试验田最多可种植 棵苹果树． 【变式10-1】（24-25八年级·山西临汾·期末）如图，在的网格图中，每个小方格的边长为1，请在给定的网格中按下列要求画出图形． (1)画一个三边长分别为4，，的三角形； (2)画一个腰长为的等腰直角三角形． 【变式10-2】（24-25八年级·河南驻马店·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，若和的顶点都在小正方形网格的格点上，则（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（24-25八年级·安徽安庆·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为 【考点11 利用勾股定理求值】 【例11】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，在长方形中，，，将沿折叠，点B落在处，与交于E，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25八年级·江苏苏州·期末）勾股定理是数学史上的一颗玻璃珠．被誉为清代“历算第一名家”的名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅瑴成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在中，，四边形，，均为正方形，与相交于点，可以证明点在直线上．若，的面积分别为2和6，则直角边的长为（    ） A． B． C． D．2 【变式11-2】（24-25八年级·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    【变式11-3】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，在四边形中，，垂足为E，，连接，若， ．求：   (1)的长； (2)四边形的面积． 【考点12 赵爽弦图】 【例12】（24-25八年级·江苏宿迁·期末）综合实践 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“赵爽弦图”．他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范．在一节八上数学复习课上，老师为了弘扬中国的数学文化，和同学们开启对“赵爽弦图”的深度研究． (1)类比“弦图”，证明定理 小明同学利用四张全等的直角三角形纸片（如图1），证明勾股定理． 因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为的小正方形组成，即面积表示为：，即，进而勾股定理得到了验证． 善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2），聪明的他发现用不同的方法计算梯形的面积，也可证明勾股定理，请你和他一起证明． (2)利用“弦图”，割拼图形 如图3，老师给出由5个小正方形组成的十字形纸板，让同学们尝试剪开，使得剪成的若干块能够拼成一个无缝的大正方形，可以怎么剪？请你画出示意图． (3)构造“弦图”，应用计算 如图4，在等腰直角三角形中，，点是中点，过点作，垂足为点，交于点，若，求的长． 【变式12-1】（24-25八年级·江苏南京·期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．连接、、、．若正方形的面积为，阴影部分的面积为．则的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（24-25八年级·四川成都·期末）如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将前面四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形如图2，该正方形的面积为5；再将其四个全等的直角三角形拼成了图3形状，图3的外轮廓周长为，则图1中的点C到的距离为 ． 【变式12-3】（24-25八年级·浙江金华·期末）图1是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长交、分别于点、，延长交于点（如图2）． （1）若的面积为，小正方形的面积为，则＝ ； （2）如图2，若，则＝ （用含的代数式表示）． 【考点13 勾股定理逆定理的应用】 【例13】（24-25八年级·黑龙江双鸭山·期末）两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速海里，乙船时速海里，两个小时后，两船相距海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（   ） A．南偏东 B．北偏西 C．南偏东或北偏西 D．无法确定 【变式13-1】（24-25八年级·黑龙江大庆·期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．则原路线 千米． 【变式13-2】（24-25八年级·辽宁鞍山·期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是（    ）    A． B． C． D． 【变式13-3】（24-25八年级·吉林四平·期末）如图①是超市的儿童玩具购物车，图②为其侧面简化示意图．测得支架，，两轮中心的距离． (1)连接，则是__________三角形，请写出推理过程． (2)点C到的距离是__________． 【考点14 勾股定理的应用】 【例14】（24-25八年级·四川成都·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，． (1)求支渠的长度．（结果保留根号） (2)若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？ 【变式14-1】（24-25八年级·福建福州·期中）《九章算术》中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度．（1丈＝10尺） 解决下列问题： （1）示意图中，线段AF的长为　 　尺，线段EF的长为　 　尺； （2）求芦苇的长度． 【变式14-2】（24-25八年级·安徽阜阳·期中）超速行驶是引发交通事故的原因之一．上周末，小聪等三位同学在某路段尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的点P处．这时，一辆轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得，． (1)求的距离，（取） (2)试判断此车是否超过了的限制速度？ 【变式14-3】（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知米，米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度． 【压轴篇】 【考点15 化简含字母的二次根式】 【例15】（24-25八年级·上海静安·期中）已知，化简二次根式的值是（    ）． A． B． C． D． 【变式15-1】（24-25八年级·湖北黄石·期中）已知，则二次根式化简后的结果为（    ）． A． B． C． D． 【变式15-2】（24-25八年级·上海·期中）已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 【变式15-3】（24-25八年级·北京顺义·期末）当时，化简二次根式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点16 求立体图形的最短路径问题】 【例16】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（   ） A． B． C． D． 【变式16-1】（24-25八年级·河南周口·期末）如图①所示的正方体木块的棱长为 ，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②所示的几何体表面从顶点爬行到顶点 的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【变式16-2】（24-25八年级·河南南阳·期末）如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是3米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（   ）米 A．5 B． C． D．3 【变式16-3】（24-25八年级·陕西西安·期末）如图，一只蚂蚁从长为、宽为、高为的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是 ． 【考点17 利用一元二次方程求最值】 【例17】（24-25八年级·江苏扬州·阶段练习）阅读理解： 对于一个关于x的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法，比如先令，然后移项可得，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子． 例：求的取值范围． 解：令，，. . ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的取值范围； (2)若关于x的二次三项式（a为常数）的最小值为，求a的值； 【变式17-1】（24-25八年级·浙江金华·期中）当 ， 时，多项式有最小值，这个最小值是 ． 【变式17-2】（24-25八年级·安徽安庆·专题练习）阅读材料：我们都知道， 于是， ． 又因为，所以，． 所以，有最大值． 如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为1米的正方形狗屋．设米． (1)请用含x的代数式表示的长___________（直接写出结果）； (2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米，①请用含x的代数式直接表示出S，___________； ②山羊的活动范围的面积S能否达到平方米？能，就求出x的值，不能请说明理由． (3)求出山羊活动范围面积S的最大值． 【变式17-3】（24-25八年级·浙江·专题练习）已知，为实数，且满足，记的最大值为，最小值为，则 ． 【考点18 利用一元二次方程的解求参数取值范围】 【例18】（24-25八年级·浙江温州·期末）已知关于的方程 有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值范围为（ ） A． B． C．或a>0 D．或a>0 【变式18-1】（2024·浙江绍兴·中考真题）若关于x的方程所有的根都是比1小的正数．则实数m的取值范围是 ． 【变式18-2】（24-25八年级·浙江金华·期中）若实数a，b满足，则a的取值范围是 （ ）． A．a≤ B．a≥4 C．a≤或 a≥4 D．≤a≤4 【变式18-3】（24-25八年级·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程有两个根，，且满足．记，则的取值范围是 ． 【考点19 利用一元二次方程的解法解特殊方程】 【例19】（24-25八年级·云南昆明·期末）阅读下面的材料，回答问题： 要解方程，我们发现这是一个一元四次方程，不容易直接求解，如果注意到，根据该方程的特点，我们可以这样做： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，∴； 当时，，∴； ∴原方程有四个根，，，． 我们把以上这种解决问题的方法叫做换元法． 任务： (1)上述解方程的过程体现的数学思想主要是（　　） A．分类讨论思想    B．转化思想    C．数形结合思想    D．公理化思想 (2)仿照上面的方法，解方程； 【变式19-1】（24-25八年级·安徽六安·阶段练习）关于x的方程的解是（a、k、b均为常数，a≠0）． 问题： （1）关于x的方程的根是 ； （2）关于x的方程的根为 ． 【变式19-2】（24-25八年级·河南洛阳·期中）有人说“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是学好数学的重要法宝．阅读下列例题及其解答过程： 例：解方程． 解：①当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． ②当时，原方程为， 解得（与矛盾，舍去），． 所以原方程的根是，． 在上面的解答过程中，我们对x进行讨论，从而化简绝对值．这是解决数学问题的一种重要思想——分类讨论． 请仿照上述例题的解答过程，解方程：． 【变式19-3】（24-25八年级·江苏扬州·期末）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得；∴原方程的解为，； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解下列方程： （1）； （2）． 【考点20 利用勾股定理构造图形解决问题】 【例20】（24-25八年级·广东江门·期末）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．如图． 【小试牛刀】 把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为，，．显然，，．请用，，分别表示出梯形，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：__________，__________，__________，则它们满足的关系式为__________，经化简，可得到勾股定理． 【知识运用】 如图2，河道上，两点（看作直线上的两点）相距160米，，为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为，，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个菜园，的距离和最短，则该最短距离为__________米． 【知识迁移】 借助上面的思考过程，画图说明并求代数式的最小值． 【变式20-1】（2024·贵州遵义·二模）已知a，b均为正数，且，，是一个三角形的三边的长，则这个三角形的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式20-2】（24-25八年级·山西晋中·期中）如图（单位：），龙龙家购置了一台圆形扫地机，计划放置在屋子角落（衣柜、书柜与地面均无缝隙，衣柜不可移动）．若要这台扫地机能从角落自由进出，则需拖动书柜，使图中的至少为 ．（结果保留根号） 【变式20-3】（24-25八年级·河南郑州·期末）2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关文化项目集中亮相．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程： ①先测得放飞点与风筝的水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为10米； ③牵线放风筝的手离地面的距离为1.5米． 已知点在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升9米，长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题． 【考点21 图形上与已知两点构成直角三角形的点】 【例21】（2024·福建·一模）点 A（2，m），B（2，m-5）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．若△ABO是直角三角形，则m的值不可能是（  ） A．4 B．2 C．1 D．0 【变式21-1】（24-25八年级·吉林四平·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值． 【变式21-2】（24-25八年级·安徽安庆·阶段练习）点在轴上，、，如果是直角三角形，求点的坐标． 【变式21-3】（24-25八年级·四川·阶段练习）如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动 秒时，与的边垂直． 【考点22 多结论问题】 【例22】（24-25八年级·浙江金华·阶段练习）如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于，交的延长线于，于，下列结论：①；②；③平分；④；正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 【变式22-1】（24-25八年级·浙江嘉兴·期末）已知两个关于的一元二次方程，有一个公共解2，且，，，．下列结论：①有唯一对应的值；②；③是一元二次方程的一个解．其中正确结论的序号是 ． 【变式22-2】（24-25八年级·广东茂名·期中）长方形中，点是的中点，的平分线交于点，将沿折叠，点恰好落在 上的点处，分别延长交于点，下列四个结论： ①； ②是正三角形；③； ④． 其中正确个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式22-3】（24-25八年级·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，，点为斜边上的中点，点，分别在直角边，上（不与端点重合），且，连接、、．设，，．给出下面四个结论：①是等腰直角三角形②③④，上述结论中，正确结论的序号有 ． 【考点23 新定义问题】 【例23】（24-25八年级·湖北荆州·期末）如图，中，，，垂足为，在下列说法中： ①为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形； ②为长度的线段首尾相连能够组成一个三角形； ③以为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形； ④，，为长度的线段首尾相连能够组成一个直角三角形； 其中正确的说法有 ．（填写正确说法的序号） 【变式23-1】（24-25八年级·湖南永州·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是 ． 【变式23-2】（24-25八年级·江西抚州·阶段练习）定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．如图，在中，，，，则中边的“中偏度值”为（   ） A． B． C． D． 【变式23-3】（24-25八年级·吉林长春·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为，所以． (1)已知：，求： ① ； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (2)代数式中的取值范围是 ； (3)计算： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$