精品解析：山东省菏泽市鄄鄄城县第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

鄄城一中高一第二学期 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数，则的虚部为（ ） A. 4 B. -4 C. 4i D. -4i 2. 在中，角、、对的边分别为、、．若，，，则角等于（    ） A. B. C. D. 3. 中，，，，则角C的大小为（ ） A. B. C. D. 或 4. 已知向量满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ） A. 垂心 B. 内心 C. 重心 D. 外心 7. 已知复数z满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 8. 已知中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，D是AB上的四等分点（靠近点A）且，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，是平面内两个不共线向量，则以下，可作为该平面内一组基的是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 10. 已知复数，则（ ） A B. C. D. 11. 中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则有两解 C. 若为锐角三角形，则取值范围 D. 若为边上的中点，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角所对的边分别为，若，则______. 13. 如图，为了测量湖两侧的，两点之间的距离，某观测小组的三位同学分别在点，距离点30km处的点，以及距离点10km处的点进行观测.甲同学在点测得，乙同学在点测得，丙同学在点测得，则，两点间的距离为______km. 14. 已知平面向量，，且，，向量满足，则取最小值时，_________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知复数满足，的虚部为2，所对应的点在第三象限，求： （1）复数； （2）若复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 16. 已知是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求； （2）若，且与垂直，求实数的值. 17. 在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． （1）求的值； （2）若为线段上任意一点，求的取值范围． 18. 在锐角中，角的对边分别为，已知 （1）求角； （2）若，求面积的取值范围. 19. 已知i虚数单位，a，，设复数，，，且. （1）若为纯虚数，求； （2）若复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面的坐标原点. ①是否存在实数a，b，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由； ②若O，A，B三点不共线，记的面积为，求及其最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 鄄城一中高一第二学期 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数，则的虚部为（ ） A. 4 B. -4 C. 4i D. -4i 【答案】B 【解析】 【分析】由复数虚部的概念即可得解. 【详解】由题意复数，则的虚部为-4. 故选：B. 2. 在中，角、、对的边分别为、、．若，，，则角等于（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由余弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】由余弦定理可得，，故. 故选：A. 3. 中，，，，则角C的大小为（ ） A. B. C D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理及三角形的性质计算即可. 【详解】由正弦定理可知， 因为，所以， 故. 故选：A 4. 已知向量满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求出，再利用投影向量的定义求解即得. 【详解】由，得，解得， 因此， 所以在方向上的投影向量为. 故选：A 5. 如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由，得，代入中，再由三点共线，列方程可求出实数的值 【详解】因为，得， 因为， 所以， 因为三点共线， 所以，解得， 故选：B 6. 在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ） A. 垂心 B. 内心 C. 重心 D. 外心 【答案】D 【解析】 【分析】将等式化简整理得，作出中线，进一步将其化成，可得动点的轨迹为的垂直平分线，即得D项. 【详解】由可得，， 即, (*) 如图，取的中点为，连，则， 因，故得，, 代入(*)得，,即, 故垂直且平分线段，即动点的轨迹是的垂直平分线，必通过的外心. 故选：D. 7. 已知复数z满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设复数在复平面内对应的点为，由复数的几何意义可知点的轨迹为，则问题转化为上的动点到定点距离的最小值，从而即可求解． 【详解】设复数在复平面内对应的点为， 因为复数满足， 所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等， 所以在复平面内点的轨迹为， 又表示点到点的距离， 所以问题转化为上的动点到定点距离的最小值， 当为时，到定点的距离最小，最小值为1， 所以的最小值为1， 故选：A． 8. 已知中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，D是AB上的四等分点（靠近点A）且，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由正弦定理化简得到，求得，设，得到，再结合正弦定理，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】因为， 由正弦定理得，可得，即， 所以，，则， 设，则，且， 在中，且，则， 在中，由，则， 由，即， 又由正弦定理知（为的外接圆半径）， 所以， 则，即， 又因为，故当，即时，所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由为不共线向量，可知与，与，与必不共线，故不共线，所以A，C，D符合； 对于B，，故共线，所以B不符合； 故选：ACD. 10. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用复数的四则运算，结合复数的性质与模的运算公式逐一判断各选项即可得解. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，与都是虚数不能比较大小，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，因为， 所以，D正确. 故选：AD. 11. 中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B 若，则有两解 C. 若为锐角三角形，则取值范围是 D. 若为边上的中点，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由数量积的定义及面积公式求得A角，然后根据三角形的条件求解判断各ABC选项，利用，平方后应用基本不等式求得最大值，判断D． 【详解】因为，所以，，又，所以，A错； 若，则，三角形有两解，B正确； 若为锐角三角形，则，，所以，， ，，C正确； 若D为边上的中点，则，， 又，， 由基本不等式得， ，当且仅当时等号成立， 所以，所以， 当且仅当时等号成立，D正确． 故选：BCD． 【点睛】本题考查解三角形的应用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是解题关键．在用正弦定理解三角形时可能会出现两解的情形，实际上不一定要死记结论，可以按正常情况求得，然后根据的大小关系判断角是否有两种情况即可． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角所对的边分别为，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解作答. 【详解】在中，，由余弦定理得， 所以. 故答案为： 13. 如图，为了测量湖两侧的，两点之间的距离，某观测小组的三位同学分别在点，距离点30km处的点，以及距离点10km处的点进行观测.甲同学在点测得，乙同学在点测得，丙同学在点测得，则，两点间的距离为______km. 【答案】 【解析】 【分析】由已知数据，在中用正弦定理求出，中用余弦定理求出即可. 【详解】， ， ，，， 中，由正弦定理，有，则， 中，由余弦定理， 有， 得，即，两点间的距离为. 故答案为：. 14. 已知平面向量，，且，，向量满足，则取最小值时，_________________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据平面向量数量积的定义求出夹角，然后根据平面向量的加减法作出示意图，进而求出和，进而根据图形得出点C的几何意义，最后确定取最小值时的. 【详解】∵，，而，， 又，∴，∴， ，， 因为向量满足，所以， 如图所示， 若，，，，则，， 所以，所以在以为圆心，2为半径的圆上， 若，则，由图象可得当且仅当，，三点共线且时，最小， 即取最小值，此时，，又，，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知复数满足，的虚部为2，所对应的点在第三象限，求： （1）复数； （2）若复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设（，），根据题意列式求解即可； （2）由（1），再代入结合复数的几何意义求解即可. 【小问1详解】 设（，）， 所以，① 因为，又的虚部为2， 所以，② 由①②解得或，所以或， 又所对应的点在第三象限，所以． 【小问2详解】 ， 因为复数在复平面上对应的点在第二象限， 所以，解得， 故实数的取值范围为． 16. 已知是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求； （2）若，且与垂直，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量平行的坐标表示求得，进而得到，再利用向量的模长公式即可得解； （2）利用向量线性运算的坐标表示得到与，再利用向量垂直的坐标表示列式即可得解. 【小问1详解】 因为，，， 所以，，， 所以. 【小问2详解】 因为，， 所以，， 又与垂直，所以， 即，则. 17. 在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． （1）求的值； （2）若为线段上任意一点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系，根据题中条件求出点、的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值； （2）设，其中，求出向量、的坐标，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 解：以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、、， 因为，，， 所以，所以，所以点， 设，则，， 因为，所以，解得， 所以，，则． 【小问2详解】 解：由（1）知，，设，其中， 则， 所以， 因为，故当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 故的取值范围为． 18. 在锐角中，角的对边分别为，已知 （1）求角； （2）若，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理边角互化，结合三角恒等计算； （2）运用正弦定理，结合三角函数计算值域即可. 【小问1详解】 由正弦定理得：， 即， ， ， ，又； 【小问2详解】 由正弦定理得：, , ， 在锐角中：，解得：， ， ,， 则. 19. 已知i是虚数单位，a，，设复数，，，且. （1）若为纯虚数，求； （2）若复数，在复平面上对应点分别为A，B，且O为复平面的坐标原点. ①是否存在实数a，b，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数a，b值；如果不存在，请说明理由； ②若O，A，B三点不共线，记的面积为，求及其最大值. 【答案】（1）或 （2）①存在，；②，最大值为2 【解析】 【分析】（1）计算，然后使其实部为零，虚部不为零，再结合可求出的值，从而可求出求； （2）①方法一：由题意可得，然后解关于的方程组可得结果，方法二：设则，再由题意得，从而可求得结果， ②设向量的夹角为θ，，设复数所对应的向量为则，化简后再利用可求得其最大值. 【小问1详解】 因为复数， 所以， 而为纯虚数，因此，即. 又因为，且，所以， 由，解得或， 所以或. 小问2详解】 ①存在，理由如下： 法一：由题意知：，得， 解得或 ， 因为OB逆时针旋转后与OA重合，所以； 法二：设是以x轴正半轴为始边，OB为终边的角，则， 所以即， 所以，所以 ， 且时，满足. 所以. ②因为复数，对应的向量分别是为坐标原点），且O，A，B三点不共线， 所以设向量的夹角为θ，，设复数所对应的向量为 则且， 因此的面积， ， 设，则， 当且仅当且，即或时等号成立， 所以，其最大值为2. 【点睛】关键点点睛：此题考查复数的运算，考查复数的有关概念的应用，考查复数的几何意义的综合应用，解题的关键是对复数的几何意义的正确理解，考查数学计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$