专题03 中心对称图形--平行四边形全章复习（七大考点18种题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（苏科版）

专题03 中心对称图形--平行四边形全章复习 目录 【题型一 利用旋转的性质求角的度数】 2 【题型二 利用旋转的性质求线段长度】 3 【题型三 与旋转有关的规律探究题】 4 【题型四 识别中心对称图形】 5 【题型五 中心对称的性质运用】 6 【题型六 图形旋转或中心对称作图】 6 【题型七 由平行四边形的性质求值】 8 【题型八 由平行四边形的性质证明】 8 【题型九 证明四边形是平行四边形】 9 【题型十 平行四边形的性质与判定的综合应用】 10 【题型十一 矩形的性质与判定的综合应用】 11 【题型十二 矩形中的折叠问题】 12 【题型十三 菱形的性质的应用】 13 【题型十四 菱形的性质与判定的综合应用】 14 【题型十五 正方形的性质与判定的综合应用】 15 【题型十六 中点四边形问题】 16 【题型十七 与三角形中位线有关的求解问题】 16 【题型十八 与三角形中位线有关的证明问题】 17 【题型一 利用旋转的性质求角的度数】 例题：（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，求角度的问题，由题意可知，旋转角，结合的度数可得的度数即可，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点在同一条直线上，， ∴， 故选：C． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·广东汕头·期末）如图，在中，，． 将绕点C逆时针旋转n度得到，点D落在边上，则 度．    【答案】60 【分析】先根据三角形的内角和定理求出的度数，然后根据旋转的性质得出，再根据等边对等角得出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解： ， 旋转到， ， ， ， 即旋转角n是， 故答案为：60． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，旋转的性质等知识，正确求出的度数是解题的关键． 2．（2023九年级·辽宁抚顺·学业考试）如图，中，，将绕点逆时针旋转到的位置，当时，连接，则的度数为 ．    【答案】/75度 【分析】根据旋转得出，，得出等腰三角形，利用三角形的内角和计算即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵绕点C逆时针旋转到的位置， ∴，， ∴是等腰三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是直角三角形和旋转，解题的关键是旋转前后的线段长度不变，旋转的角度相等． 【题型二 利用旋转的性质求线段长度】 例题：（22-23八年级下·山西晋中·期末）如图，太原方特大摆锤的长度为米，当大摆锤绕点O顺时针旋转到时，点B到的距离是 米．    【答案】 【分析】过B点作于点D，利用含角的直角三角形的性质求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】过B点作于点D，如图，    根据题意有：，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴（米）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，掌握含角的直角三角形的性质，是解答本题的关键． 【变式训练】 1．（2023八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】在中，利用勾股定理可得，再由旋转的性质可得，然后由即可获得答案． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， 由旋转可知，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 2．（23-24九年级上·河南新乡·期中）如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C． D． 【答案】B 【分析】取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H，在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，的度数，再根据线段的中点定义可得，从而可得，然后利用旋转的性质可得：，，从而利用等式的性质可得，进而利用证明，最后利用全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短，即可解答． 【详解】解：取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H， ∴， ∵，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 由旋转得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，即当点E和点H重合时，有最小值，且最小值为2.5， ∴长的最小值是2.5， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【题型三 与旋转有关的规律探究题】 例题：（24-25八年级上·山东泰安·期末）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为轴建立平面直角坐标系，如图2所示．已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第2025秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标变化的规律—旋转型，找到A点的坐标循环的规律是解题的关键． 根据旋转的性质分别求出第、、、、…时，点A的对应点、、、、…的坐标，找到规律，A点的坐标以每4秒为一个周期依次循环，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图． ∵，叶片每秒绕原点O顺时针转动， ∴，，，，… ∴A点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ∵ ∴第时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·期中）如图，长为2，宽为1的长方形始终以右下角的顶点为中心在x轴上顺时针翻转，每次翻转．例如：第1次翻转是以点C为中心，翻转后点A的坐标为．则翻转次后点A的坐标应为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求解第2次翻转后、第3次翻转后、第4次翻转后点A的坐标，再探究总结规律，利用规律解决问题即可．本题考查坐标规律的探究，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考填空题中的压轴题． 【详解】解：∵第1次翻转是以点C为中心，翻转后点A的坐标为． ∴第2次翻转后点A的坐标为， ∴第3次翻转后点A的坐标为， ∴第4次翻转后点A的坐标为， ∴第5次翻转后点A的坐标为， 依次类推：发现点A的纵坐标4次翻转为一个循环，长方形旋转一周，横坐标增加6， ∵， ∴则翻转次后点A的纵坐标与第2次翻转后点A的纵坐标相等，即为0， 则横坐标， ∴则翻转次后点A的坐标应为 故选：D． 2．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，以此进行下去若点的坐标为，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，旋转以及直角三角形的性质，求出的各边，计算出的长度是解题的关键．计算出的各边，根据旋转的性质，求出，，，得出规律，求出，再根据一次函数图象上的点求出点的纵坐标即可． 【详解】解：轴，点， ，则点的纵坐标为，代入， 得：，得：，即， ，，， 由旋转可知： ， ， ， ， ， ， 设，则， 解得：或（舍去）， 则，即点的纵坐标为， 故选：A． 【题型四 识别中心对称图形】 例题：（2025·重庆·模拟预测）环保全称环境保护，是指人类为解决现实的或潜在的环境问题，协调人类与环境的关系，保障经济、社会的持续发展而采取的各种行动的总称．下列环保标志中，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列选项中，可以看作中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了中心对称图形，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，若旋转后的图形与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A、是中心对称图形，该选项符合题意； B、不是中心对称图形，该选项不符合题意； C、不是中心对称图形，该选项不符合题意； D、不是中心对称图形，该选项不符合题意； 故选：A． 2．（2025·山东济南·一模）2024年7月，第33届夏季奥林匹克运动会（）在法国巴黎举办．下面是巴黎奥运会一些项目图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】 解：A． 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意； B． 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项不符合题意； C． 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意； D． 不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 【题型五 中心对称的性质运用】 例题：（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论中，不成立的是（   ） A．点A与点D是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称．根据中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，逐一判断． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴点A与点D是对称点，，，， 而不一定成立． 故选：D． 【变式训练】 1． （2025八年级下·全国·专题练习）与关于原点成中心对称，点的对称点分别是，若，则的范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的性质以及三角形三边关系，利用关于原点成中心对称图形的性质得出，进而利用三角形三边关系得出答案．熟练掌握中心对称图形的性质以及三角形三边关系是解决问题的关键． 【详解】解：∵与关于原点成中心对称，点的对称点分别是，， ∴， ∴在中，由三角形三边关系可知的范围是： 故答案为：． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，根据中心对称的性质，得出，求出，，，求出，根据勾股定理得出答案即可． 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 【题型六 图形旋转或中心对称作图】 例题：（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于原点O对称的（点A，B，C的对应点分别为点，，）； (2)请画出绕原点O顺时针旋转后的（点A，B，C的对应点分别为点，，）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图——旋转变换（旋转作图，原点对称作图），正确理解旋转的性质，原点性质是解题关键． （1）根据关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数确定对应点，，的坐标，依次连接即可； （2）根据旋转的性质可知，对应角都相等旋转角，对应线段也相等，再通过作直角，在角的边上截取相等的线段的方法，确定对应点，，的坐标，依次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，即为所求作． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出，使得它与关于原点对称； (2)直接写出点的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)，， 【分析】（）根据中心对称图形的性质作图即可； （）根据（）所作图形写成坐标即可； 本题考查了作中心对称图形，坐标与图形，掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由图可得，． 2．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，和的顶点均在格点上． (1)画出关于原点的中心对称图形． (2)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图中心对称，旋转的性质，熟练掌握中心对称的性质是解答本题的关键． （1）作出、、关于原点对称的的对应点、、，顺次连接即可； （2）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得到答案． 【详解】（1）如图所示：即为所求； （2）解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等； ∴旋转中心在线段、的中垂线上，即为图中点； 由图象可知，该点的坐标为． 故答案为：． 【题型七 由平行四边形的性质求值】 例题：（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）已知中，，则 ． 【答案】110 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等，以及四边形的内角和为360度求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：110． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，点A到的距离为4，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，利用三角形全等，把阴影面积转化为的面积计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：15． 2．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，是平行四边形内一点，是正三角形，连结，，若，，且，，则的长是 ． 【答案】 【分析】先根据30度直角三角形的性质求得，，为等边三角形，得，在中利用勾股定理，再结合平行四边形的性质就可得到答案． 【详解】解：，， ，， ，， ，， 四边形为平行四边形， ，， 为等边三角形， ， 在中， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，解题关键是掌握30度直角三角形的性质． 【题型八 由平行四边形的性质证明】 例题：（24-25九年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，与相交于点O，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由平行四边形的性质得，然后运用证明即可作答． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·四川乐山·阶段练习）如图，在中，、分别是、延长线上的点，且，连接交、于点、．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．由四边形是平行四边形，可得，，进而证明，即可得出． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 在和中， ， ， ． 2．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，在平行四边形中，的平分线分别与相交于点E、F，与相 交于点G ． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形两组对边分别平行可得，再根据角平分线的性质可得，进而可得； （2）过点E作，交的延长线于点P，则四边形是平行四边形，可得出，根据角平分线的定义可得，，进而得出的长，进而得出的长，在中，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点E作，交的延长线于点P，   ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 同理可得， ∴， ∴． ∴ 由（1）知，， ∴， ∴在中，， 即， 故． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质，勾股定理，以及等腰三角形的判定，添加辅助线，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【题型九 证明四边形是平行四边形】 例题：（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，四边形对角线交于点，且为中点，．试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形是平行四边形，理由见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 根据题意证明得到，根据对角线相互平分的四边形是平行四边形即可求证． 【详解】解：四边形是平行四边形，理由如下， ∵， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形． 【变式训练】 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，线段与相交于点，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，且，，依次连接点A，B，C，D．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．先用证明得，．再根据得出，即可由平行四边形的判定定理得出结论． 【详解】证明：，， ． 在与中，， ． ，． 又， ． ． 又， 四边形是平行四边形． 2．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线，相交于点，，分别是，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，．求的的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由勾股定理得，则，再由勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 在中， ∴， ∴， 在中， ∴ 【题型十 平行四边形的性质与判定的综合应用】 例题：（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，点为对角线上一点，连接并延长到点，，则的长为（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．过点F作，交于点G，可证明，可得，，再根据平行四边形的性质可得，，从而得到四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：如图，过点F作，交于点G， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． ∴． 故选：A 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，点E从点D出发沿DA边运动到点A，点F从点B出发沿边向点C运动，点E运动速度为，点F的运动速度为，它们同时出发，同时停止运动，经过 s时，． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及平行四边形的判定与性质．当运动时间为时，，，先得出四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：当运动时间为时，，， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，平分，则下列结论中不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，等腰三角形的性质等知识，根据平行线性质求出，得出平行四边形，即可推出可判断A正确；根据等腰三角形性质求出，即可推出，故B正确；由三角形内角和定理易得，结合，可证明，故C正确．过点E作，易得，结合三角形外角的性质以及角平分线的性质可知，故D错误． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，，故A正确，不符合题意； ∵，平分， ∴， 又， ∴，故B正确，不符合题意； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； 如图，过点E作， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，故D错误，符合题意． 故选：D． 【题型十一 矩形的性质与判定的综合应用】 例题：（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，过点作的垂线交于点．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形内角和性质，先由矩形的性质得，则，，再结合过点作的垂线交于点，得出，最后进行角的运算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵过点作的垂线交于点， ∴， ∴， 故选：B 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形中，点分别在上，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握矩形的性质和判定，利用勾股定理列方程是解题的关键； （1）先证四边形是平行四边形，再结合对角线相等证明即可； （2）根据勾股定理，可得， ，即可得到方程，再求解即可． 【详解】（1）证明：证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ， ， ， ， 设， 在中，， 在中，， ， 解得：， ， ． 2．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由平行四边形的性质得到，则，由等边对等角得到，则可证明，进而可证明平行四边形是矩形； （2）由矩形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，点E为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质等等，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键： 【题型十二 矩形中的折叠问题】 例题：（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质及折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质得出是解题的关键． 根据矩形的性质和折叠的性质，，，设，则，运用勾股定理得到，则，再证，得到，，如图所示，过点作于点，在中运用勾股定理得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴，则， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 故答案为： ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，长方形沿对角线折叠，点的对应点为，与相交于点，，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查长方形的性质，折叠的性质以及含角的直角三角形的性质，解题的关键是利用这些性质找出线段之间的关系． 先根据长方形的性质和折叠的性质得到相等的角，从而得出，再在含角的直角三角形中求出的长度，进而求出的长度，最后根据求出的长度． 【详解】四边形是长方形， ， ， 由折叠可知， ，则， 在中，， ， ， ， 又， ． 故答案为：6. 2．（2025·内蒙古包头·一模）如图，在矩形中，点E在边上，将矩形沿所在直线折叠，点D恰好落在边上的点F处．若，，则折痕的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质等知识，由折叠的性质得出，，由勾股定理得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程求出，再由勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴； 故答案为： ． 【题型十三 菱形的性质的应用】 例题：（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在菱形中，点E是边上一点，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质等知识．由菱形的性质得，，再由等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质求出，再根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ，， ，， ， ， ， ， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，菱形的边长为5，对角线，，于点H，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了菱形的性质，根据菱形的面积计算公式即可求出，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∵菱形的面积， ∴ ∴ 故选：A． 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，四边形是菱形，，，连接，点E在线段上，过点E作于点F，且，求的长． 【答案】2 【分析】本题考查的是菱形的性质、等边三角形判定与性质及含30度角的直角三角形性质，根据菱形性质得出是等边三角形，进而求出，，再根据直角三角形性质得出，即可求出结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， . 【题型十四 菱形的性质与判定的综合应用】 例题：（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（   ） A．6cm B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的判定，勾股定理，直角三角形的性质， 作，作，根据题意说明四边形是平行四边形，再根据面积相等说明四边形是菱形，然后根据勾股定理求出边长，即可得出答案． 【详解】如图所示，过点C作，过点B作，分别交于点E，F，根据题意，得， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 在中，， ∴，， 即， 解得， ∴， 所以四边形的周长为． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，四边形，，平分交于点C，平分，交于点O，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则四边形的周长是_______． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】（1）由等腰三角形的判定证明，可得，则四边形是平行四边形，然后由，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，根据，由直角三角形斜边上的中线性质可得，然后根据勾股定理即可求，最后求得四边形的周长． 【详解】（1）证明：平分交于点C，平分， ，， ， ，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， 四边形的周长． 故答案为：20 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 2．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，在平行四边形中，点是对角线中点，过点作交于点于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，萎形的判定，证得是关键； （1）根据线段垂直平分线的性质，可得，，，然后由四边形是矩形，再证明，则可得，继而证得结论； （2）根据菱形的性质得，，，再证，利用勾股定理表示，再结合菱形面积公式即可解答； 【详解】（1）证明：点是中点，， 是的垂直平分线， ∴，，． 四边形是平行四边形， ， ． 在和中， ， ． ， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形， ，，， ，， ， ， 即． 在中，， ． 菱形的面积为； 菱形的面积为． 【题型十五 正方形的性质与判定的综合应用】 例题：（2023·陕西西安·二模）如图，在正方形中，点在对角线上，分别为垂足，连结，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质即可得到四边形是矩形，四边形是正方形，再利用矩形和正方形的性质得到和 ，进而得到，从而得到的长度． 【详解】解：延长于交于点， ∵在正方形中， ∴，，， ∴， ∴， ∵为垂足， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式训练】 1．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)正方形；理由见解析 (2)1 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据矩形性质及得，则四边形为矩形，再根据是的平分线得，由此即可得出结论； （2）根据四边形为正方形，得，证明和全等得，由此可得的长． 【详解】（1）解：四边形为正方形．理由如下： 四边形为矩形， ． ， ， ∴四边形为矩形， ∵是的平分线， ． 四边形为正方形． （2）解∶∵四边形为正方形，， ． ， ． ∵是的平分线， ． 在和中， ， ． 2．（24-25九年级上·四川达州·期中）如图，点E为正方形对角线上一点，连接，．过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形； (2)连接，若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点E作于点M，于点N，先根据正方形的性质证明四边形是矩形，进一步证明，可得，再根据正方形的判定，即可证得答案； （2）连接，先证明，可证明，并求得的长，进一步证明，并求得的长，再利用勾股定理可求得的长，最后在中，根据勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）证明：过点E作于点M，于点N， 四边形是正方形， ，， 四边形是矩形， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； （2）解：连接， 四边形和都是正方形， ，，，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 正方形的边长为． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，构造全等三角形是解题的关键． 【题型十六 中点四边形问题】 例题：（24-25九年级上·广东深圳·期中）下列命题中，为真命题的是（   ） A．三个角相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直相等的四边形是正方形 C．正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．若一个四边形的对角线相等，则顺次连接这个四边形四边中点所得的四边形一定是菱形 【答案】D 【分析】本题考查了真假命题，涉及了轴对称与中心对称图形，矩形，菱形，正方形的判定定理，熟练掌握有关定理是解题的关键．根据矩形，菱形，正方形的判定定理以及轴对称与中心对称图形即可作出判断． 【详解】解：A、由四个角相等的四边形是矩形得知此命题是假命题，所以此选项错，不合题意误； B、由对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形可知此命题是假命题，所以此选项错误，不合题意； C、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以原命题为假命题，所以此选项错误，不合题意； D、一个四边形的对角线相等，则顺次连接这个四边形四边中点所得的四边形一定是菱形是真命题，所以此选项正确． 故选：D． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）顺次连接菱形四边的中点，得到的四边形是（    ） A．矩形 B．平行四边形 C．正方形 D．无法断定 【答案】A 【分析】根据菱形和三角形中位线的性质，得四边形为平行四边形，且，再根据矩形的判定方法，即可得到答案． 【详解】解：如图，根据题意，分别连接菱形四边中点 ∵菱形 ∴ ∵、、、分别为、、、中点 ∴，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、三角形中位线的知识；解题的关键是熟练掌握矩形的判定、菱形、三角形中位线的性质． 2．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当四边形的对角线，满足______时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行四边形和正方形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接，首先根据三角形中位线的性质得到，且，，且，进而得到，且，即可证明出四边形是平行四边形； （2）连接，，同理可得，，，进而得到当时，，证明出平行四边形是菱形，然后由推理得到，进而证明出菱形是正方形． 【详解】（1）解：如图所示，连接 ∵点是的中点，点是的中点， ∴，且， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，且， ∴，且 ∴四边形是平行四边形； （2）解：当，且时，四边形是正方形． 理由如下： 如图所示，连接， ∵由（1）得， 同理可得，， ∴当时， ∴平行四边形是菱形 当时， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴菱形是正方形． 【题型十七 与三角形中位线有关的求解问题】 例题：（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点，若，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是矩形的性质、中位线定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握矩形的性质． 结合矩形性质可知，再由中位线定理得到的长，由勾股定理求出后即可得到． 【详解】解：矩形中，且和互相平分， ， 是的中点，是边的中点， 是的中位线， ， 矩形中，， ， ． 故选：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江西鹰潭·期末）如图，在菱形中，，对角线，交于点，为的中点，连接，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质，中位线的判定和性质，掌握菱形的性质，中位线的判定和性质是关键． 根据菱形的性质得到，由点为的中点，为的中点，得到是的中位线，则，由即可求解． 【详解】解：在菱形中，， ，，为的中点， 为的中点， 是的中位线， ， ， ． 2．（2025·浙江·一模）如图，在中，是上的中线，交于点，．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】取的中点G，连接，，利用三角形中位线定理和勾股定理解答即可． 【详解】解：取的中点G，连接， ∵是上的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的中位线定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握中位线定理，勾股定理，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【题型十八 与三角形中位线有关的证明问题】 例题：（24-25八年级下·湖南株洲·开学考试）如图，在中，与交于点，是边的中点，下列判断一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线的性质；根据平行四边形的性质可得，根据可得是的中位线，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∴，故C选项正确，符合题意； 而，，不一定成立； 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，E、F、G、H分别是四边形各边的中点，在下列条件中，能使四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中点四边形，涉及了三角形的中位线定理，根据题意可得，，，推出四边形平行四边形；若，则，即，即可求解； 【详解】解：连接，如图所示： 由题意得：分别是的中位线， ∴，，， ∴四边形平行四边形， 若， 则，即， ∴四边形为矩形， 故选：D 2．（24-25九年级下·四川南充·开学考试）如图，中，点D、E分别为的中点，延长到点F，使得，连接．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形判定，平行四边形的判定的综合，掌握全等三角形判定，平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）根据点是的中点，可得，由“边角边”即可求证； （2）由推出，得到，根据中位线定理，结合四边形的判定“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，由此即可求解． 【详解】（1）证明：点是的中点， ， 在和中， ， ； （2）解：点，分别是，的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 一、单选题 1．（24-25九年级上·福建莆田·期末）博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转180度后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：A、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意； B、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意； C、该图形属于中心对称图形，故该选项符合题意； D、该图形不属于中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点，，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质，根据矩形的性质和等边三角形的判定和性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选：B． 3．（24-25九年级上·广东惠州·期末）春节时人们爱用风车装饰景区．如图，风车由两种等腰直角三角形拼成．等腰的斜边，点绕点逆时针旋转后的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解题的关键是抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方逆时针，旋转角度，求坐标． 【详解】解：由已知，是等腰直角三角形，得点的坐标为，根据旋转中心，旋转方向逆时针，旋转角度，从而得坐标为． 4．（2025·广东广州·模拟预测）如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，为的中点，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定；连接，根据菱形的性质得出，则是等边三角形，根据等边三角形的性质，勾股定理求得的长，进而求得，根据折叠的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，则是等边三角形， ∵，为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴四边形的面积是， 故选：B． 5．（2025·安徽六安·一模）如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线可知，，，结合四边形是平行四边形，，，从而得到，，，最后在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， 的平分线和的平分线交于上一点 ， ，， ， 故选：B． 二、填空题 6．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，点是菱形的对称中心，连结，，，，为过点的一条直线，点，分别在，上，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了中心对称、菱形，关键是掌握菱形的性质．先算出菱形的面积，再算出四边形的面积，因为阴影部分的面积=四边形的面积，求得三角形的面积，可得阴影部分的面积． 【详解】解：连接、， ∵点O是菱形的对称中心， ∴，O是与的交点， ∴，， ∴，， ∵为过点O的一条直线， ∴四边形的面积=四边形的面积菱形的面积， ∵菱形的面积， ∴四边形的面积， ∵阴影部分的面积=四边形的面积，， ∴阴影部分的面积， 故答案为：12． 7．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知点和点关于原点对称，且，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查关于原点对称的点的特征，根据“关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”得到，，，然后相加计算即可得解． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，M，N分别是，的中点．若，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查矩形的性质，中位线定理，根据中位线的性质得到，进而根据矩形的性质得到，即可解答． 【详解】解：∵M、N分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴在矩形中，． 故答案为：8． 9．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上．若，．则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 由旋转的性质可得，，即可求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上， ，， ， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，菱形的边长为2，，且为的中点，是对角线上的一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图所示，连接，，首先由菱形得到点A和点C关于对称，然后由，得到当点A，P，M三点共线时，有最小值，即的长度，然后证明出是等边三角形，得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，连接，， ∵四边形是菱形 ∴点A和点C关于对称 ∴ ∴当点A，P，M三点共线时，有最小值，即的长度 ∵四边形是菱形，， ∴ ∴是等边三角形 ∵为的中点， ∴， ∴ ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，最短距离等知识，解题的关键是掌握以上知识点，正确添加辅助线． 三、解答题 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，四边形是平行四边形，E为延长线上一点，，连接交于点F，连接、、． (1)若，求的度数； (2)已知，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和平行线的性质等知识点． （1）根据平行四边形的性质得出，，根据平行线的性质得出，求出，根据得出即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，求出，根据全等三角形的性质得出，再根据平行四边形的判定得出结论即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作，交的延长线于点F． (1)求证：． (2)连接，若，则四边形是什么特殊四边形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是矩形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，等腰三角形的性质，矩形的判定． （1）证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （2）证出四边形是平行四边形，由等腰三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 又∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵D为的中点， ∴， ∴； （2）解：四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，D为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 13．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，在中，过点作，，垂足分别为，，． (1)求证：． (2)是菱形吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是，理由见解析 【分析】本题考查平行四边形性质，垂直的定义，全等三角形性质和判定，菱形的判定定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）结合平行四边形性质和垂直的定义得到角相等，即可证明； （2）根据菱形的判定定理证明即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，， . 又， （）； （2）解：是菱形． 理由如下：由（1）得， ， 是菱形． 14．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）如图，是等腰三角形的底边上的高，O是的中点，延长到点E，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）由是等腰三角形底边上的高，可得，，，即D为的中点，则，证明四边形是平行四边形，由，，证明四边形是平行四边形，由，可证四边形是矩形； （2）根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据正方形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵是等腰三角形底边上的高， ∴，，， ∴D为的中点， 又∵O是的中点， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）证明：∵是等腰三角形底边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． 【点睛】本题考查了中位线的性质与判定，正方形的判定，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 15．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，网格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，解答下列各题： (1)画出关于直线a成轴对称的； (2)画出关于点O成中心对称的； (3)与有何对称关系？ 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)与关于直线对称； 【分析】本题考查的是画中心对称图形，画轴对称图形，轴对称的判定； （1）分别确定关于直线a对称的，再顺次连接即可； （2）分别确定关于点O成中心对称的点，再顺次连接即可； （3）由由，；，；，关于直线对称，从而可得答案； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； ； （3）解：由，；，；，关于直线对称， ∴与关于直线对称； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 中心对称图形--平行四边形全章复习 目录 【题型一 利用旋转的性质求角的度数】 2 【题型二 利用旋转的性质求线段长度】 3 【题型三 与旋转有关的规律探究题】 4 【题型四 识别中心对称图形】 5 【题型五 中心对称的性质运用】 6 【题型六 图形旋转或中心对称作图】 6 【题型七 由平行四边形的性质求值】 8 【题型八 由平行四边形的性质证明】 8 【题型九 证明四边形是平行四边形】 9 【题型十 平行四边形的性质与判定的综合应用】 10 【题型十一 矩形的性质与判定的综合应用】 11 【题型十二 矩形中的折叠问题】 12 【题型十三 菱形的性质的应用】 13 【题型十四 菱形的性质与判定的综合应用】 14 【题型十五 正方形的性质与判定的综合应用】 15 【题型十六 中点四边形问题】 16 【题型十七 与三角形中位线有关的求解问题】 16 【题型十八 与三角形中位线有关的证明问题】 17 【题型一 利用旋转的性质求角的度数】 例题：（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·广东汕头·期末）如图，在中，，． 将绕点C逆时针旋转n度得到，点D落在边上，则 度．    2．（2023九年级·辽宁抚顺·学业考试）如图，中，，将绕点逆时针旋转到的位置，当时，连接，则的度数为 ．    【题型二 利用旋转的性质求线段长度】 例题：（22-23八年级下·山西晋中·期末）如图，太原方特大摆锤的长度为米，当大摆锤绕点O顺时针旋转到时，点B到的距离是 米．    【变式训练】 1．（2023八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24九年级上·河南新乡·期中）如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C． D． 【题型三 与旋转有关的规律探究题】 例题：（24-25八年级上·山东泰安·期末）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为轴建立平面直角坐标系，如图2所示．已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第2025秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·期中）如图，长为2，宽为1的长方形始终以右下角的顶点为中心在x轴上顺时针翻转，每次翻转．例如：第1次翻转是以点C为中心，翻转后点A的坐标为．则翻转次后点A的坐标应为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，以此进行下去若点的坐标为，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型四 识别中心对称图形】 例题：（2025·重庆·模拟预测）环保全称环境保护，是指人类为解决现实的或潜在的环境问题，协调人类与环境的关系，保障经济、社会的持续发展而采取的各种行动的总称．下列环保标志中，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列选项中，可以看作中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东济南·一模）2024年7月，第33届夏季奥林匹克运动会（）在法国巴黎举办．下面是巴黎奥运会一些项目图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【题型五 中心对称的性质运用】 例题：（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论中，不成立的是（   ） A．点A与点D是对称点 B． C． D． 【变式训练】 1．（2025八年级下·全国·专题练习）与关于原点成中心对称，点的对称点分别是，若，则的范围是 ． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【题型六 图形旋转或中心对称作图】 例题：（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于原点O对称的（点A，B，C的对应点分别为点，，）； (2)请画出绕原点O顺时针旋转后的（点A，B，C的对应点分别为点，，）． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出，使得它与关于原点对称； (2)直接写出点的坐标． 2．（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，和的顶点均在格点上． (1)画出关于原点的中心对称图形． (2)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为________． 【题型七 由平行四边形的性质求值】 例题：（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）已知中，，则 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，点A到的距离为4，则图中阴影部分的面积是 ． 2．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，是平行四边形内一点，是正三角形，连结，，若，，且，，则的长是 ． 【题型八 由平行四边形的性质证明】 例题：（24-25九年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，与相交于点O，且．求证：． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·四川乐山·阶段练习）如图，在中，、分别是、延长线上的点，且，连接交、于点、．求证：． 2．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，在平行四边形中，的平分线分别与相交于点E、F，与相 交于点G ． (1)求证：； (2)若，求的长． 【题型九 证明四边形是平行四边形】 例题：（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，四边形对角线交于点，且为中点，．试判断四边形的形状，并说明理由． 【变式训练】 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，线段与相交于点，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，且，，依次连接点A，B，C，D．求证：四边形为平行四边形． 2．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，的对角线，相交于点，，分别是，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，．求的的长． 【题型十 平行四边形的性质与判定的综合应用】 例题：（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在中，点为对角线上一点，连接并延长到点，，则的长为（    ） A．3 B． C． D．4 【变式训练】 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，点E从点D出发沿DA边运动到点A，点F从点B出发沿边向点C运动，点E运动速度为，点F的运动速度为，它们同时出发，同时停止运动，经过 s时，． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，平分，则下列结论中不正确的是（  ） A． B． C． D． 【题型十一 矩形的性质与判定的综合应用】 例题：（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，四边形是矩形，对角线，相交于点，过点作的垂线交于点．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形中，点分别在上，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 2．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． 【题型十二 矩形中的折叠问题】 例题：（24-25八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，长方形沿对角线折叠，点的对应点为，与相交于点，，，则的长为 ． 2．（2025·内蒙古包头·一模）如图，在矩形中，点E在边上，将矩形沿所在直线折叠，点D恰好落在边上的点F处．若，，则折痕的长为 ． 【题型十三 菱形的性质的应用】 例题：（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在菱形中，点E是边上一点，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，菱形的边长为5，对角线，，于点H，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，四边形是菱形，，，连接，点E在线段上，过点E作于点F，且，求的长． 【题型十四 菱形的性质与判定的综合应用】 例题：（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（   ） A．6cm B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，四边形，，平分交于点C，平分，交于点O，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则四边形的周长是_______． 2．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，在平行四边形中，点是对角线中点，过点作交于点于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【题型十五 正方形的性质与判定的综合应用】 例题：（2023·陕西西安·二模）如图，在正方形中，点在对角线上，分别为垂足，连结，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 2．（24-25九年级上·四川达州·期中）如图，点E为正方形对角线上一点，连接，．过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形． (1)求证：矩形是正方形； (2)连接，若正方形的边长为9，，求正方形的边长． 【题型十六 中点四边形问题】 例题：（24-25九年级上·广东深圳·期中）下列命题中，为真命题的是（   ） A．三个角相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直相等的四边形是正方形 C．正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．若一个四边形的对角线相等，则顺次连接这个四边形四边中点所得的四边形一定是菱形 【变式训练】 1．（22-23八年级下·江苏扬州·期中）顺次连接菱形四边的中点，得到的四边形是（    ） A．矩形 B．平行四边形 C．正方形 D．无法断定 2．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)当四边形的对角线，满足______时，四边形是正方形． 【题型十七 与三角形中位线有关的求解问题】 例题：（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点，若，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江西鹰潭·期末）如图，在菱形中，，对角线，交于点，为的中点，连接，求的度数． 2．（2025·浙江·一模）如图，在中，是上的中线，交于点，．若，，则的长为 ． 【题型十八 与三角形中位线有关的证明问题】 例题：（24-25八年级下·湖南株洲·开学考试）如图，在中，与交于点，是边的中点，下列判断一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，E、F、G、H分别是四边形各边的中点，在下列条件中，能使四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·四川南充·开学考试）如图，中，点D、E分别为的中点，延长到点F，使得，连接．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 一、单选题 1．（24-25九年级上·福建莆田·期末）博物馆已逐渐成为公共文化服务和城市旅游的重要阵地与有效载体．下列四幅图是我国部分博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点，，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．1 3．（24-25九年级上·广东惠州·期末）春节时人们爱用风车装饰景区．如图，风车由两种等腰直角三角形拼成．等腰的斜边，点绕点逆时针旋转后的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广东广州·模拟预测）如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，为的中点，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽六安·一模）如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，，则的长为（   ） A． B． C．5 D．6 二、填空题 6．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，点是菱形的对称中心，连结，，，，为过点的一条直线，点，分别在，上，则图中阴影部分的面积为 ． 7．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知点和点关于原点对称，且，则的值等于 ． 8．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，M，N分别是，的中点．若，则的长为 ． 9．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上．若，．则的长为 ． 10．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，菱形的边长为2，，且为的中点，是对角线上的一动点，则的最小值为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，四边形是平行四边形，E为延长线上一点，，连接交于点F，连接、、． (1)若，求的度数； (2)已知，求证：四边形是平行四边形． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作，交的延长线于点F． (1)求证：． (2)连接，若，则四边形是什么特殊四边形？请说明理由． 13．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图，在中，过点作，，垂足分别为，，． (1)求证：． (2)是菱形吗？请说明理由． 14．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）如图，是等腰三角形的底边上的高，O是的中点，延长到点E，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求证：四边形是正方形． 15．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，网格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，解答下列各题： (1)画出关于直线a成轴对称的； (2)画出关于点O成中心对称的； (3)与有何对称关系？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$