精品解析：河北省邯郸市2024-2025学年高一下学期3月月考（一调）数学试题

2024～2025学年第二学期一调考试 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的加法和减法运算求解. 【详解】解：， ， 故选：A 2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的乘法和共轭复数的概念结合复平面内的点的特征判断即可. 【详解】由题意知， 所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 3. 已知为虚数单位，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求解. 【详解】． 故选：A． 4. 已知的内角的对边分别是，则“是钝角三角形”是 “” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先举出反例，得到充分性不成立，再由余弦定理得到必要性成立. 【详解】若△ABC中B为钝角，则C为锐角，，即有，故充分性不成立； 若，由余弦定理得即C为钝角，故必要性成立. 故选：B. 5. 若单位向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据向量的模求出，再进行求解集即可. 【详解】因为，为单位向量，两边平方，得， 所以，则． 故选：D． 6. 已知向量，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用与的夹角为钝角等价于且不共线，即可计算出答案. 【详解】依题可得，且不共线，即 解得且. 故选: 【点睛】本题考查向量的坐标运算.属于基础题.解本题时需要注意的是与的夹角为钝角等价于且不共线，不共线是非常容易遗忘的. 7. 如图，小明想测量自己家所在楼对面的电视塔的高度，他在自己家阳台M处，M到楼地面底部点N的距离为，假设电视塔底部为E点，塔顶为F点，在自己家所在的楼与电视塔之间选一点P，且E，N，P三点共处同一水平线，在P处测得阳台M处、电视塔顶处的仰角分别是和，在阳台M处测得电视塔顶F处的仰角，假设，和点P在同一平面内，则小明测得的电视塔的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，在中利用正弦定理可求，进而在中求得结果. 【详解】在中，， 在中，，， 则， 由正弦定理， 可得， 在中，(m). 故选：A. 8. 在等腰中，为上一点，且，记的外心为，若，则（ ） A. 9 B. 12 C. D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】由等腰三角形及外心的性质得到平分，利用正弦定理得到，从而得到，再利用余弦定理求出与，最后利用数量积的定义计算可得. 【详解】因为，所以在上， 又因为等腰的外心为，，所以在的中垂线上， 又的中垂线和的角平分线重合， 所以平分，即， 因为，所以，所以， 在与中，由正弦定理可得①， ②， 因为，所以， 又， 两式相除可得，由，所以， 设，则， 在与中，由余弦定理可得， 即，解得（负值舍去）， 则， 在中， 所以. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若两个非零向量 共线，则必在同一直线上 B. 若向量与平行，与平行，则，方向相同或相反 C. 若非零向量与 是共线向量，则它们的夹角是0°或180° D. 平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量 【答案】CD 【解析】 【分析】根据平面向量平行的概念和夹角的概念依次判断选项即可. 【详解】对选项A，若两个非零向量 共线，则与平行或在一条直线上，故A错误. 对选项B，若，与不平行，则满足向量与平行，与平行，故B错误. 对选项C，若非零向量与 是共线向量，则它们的夹角是0°或180°，故C正确. 对选项D，平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量，故D正确. 故选：CD 10. 若复数在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则在第二象限 B. 若为纯虚数，则在虚轴上 C. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 D. 若，则为实数 【答案】BD 【解析】 【分析】运用复数除法计算可判断A项，由纯虚数所对应的点的坐标可判断B项，运用复数模的运算可判断C项，设，则，计算即可判断D项. 【详解】对于A，，故，点在实轴上，故A错误； 对于B，若为纯虚数，则在虚轴上，故B正确； 对于C，，则点的集合所构成的图形是半径为3的圆，面积为，故C错误； 对于D，设，则， 则，故D正确. 故选：BD. 11. 如图，已知正八边形的边长为1，是它的中心，是它边上任意一点，则（ ） A. 与不能构成一组基底 B. C. 在上的投影向量的模为 D. 的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】连接，建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到与平行，即可判断A；根据平面向量加法法则计算判断B；利用投影向量公式进行计算C；利用向量线性运算及向量数量积的运算法则结合图形得到的最值，即可判断D. 【详解】对于A：连接，，， ， ， ， 以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则 ， ， 与平行，不能构成一组基底，故A正确； 对于B：，， ， ， ，故B错误； 对于C：，，， ，， 在向量上的投影向量的模长为，故C错误； 对于D：取的中点，则，， ，， 两式相减得：， 当点与点或重合时，最大，最大值为， 的最大值为， 当点与点重合时，最小为，的最小值为， 的取值范围为，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据两个向量平行求得的值，然后再由向量模长公式即可得到结果. 【详解】，，且， ∴，解得， ∴，可得． 故答案为：. 13. 在中，是上一点，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知条件用和表示，再根据平面向量基本定理得和，从而可得. 【详解】在中，， 则， 又，且不共线， 则，所以. 故答案为：. 14. 已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理得到，利用同角三角函数平方关系得到，，由正弦定理和正弦和角公式得到，根据为锐角三角形，得到，得到，得到答案. 【详解】因为，由余弦定理得， 则，所以， 又，所以，解得或， 因为为锐角三角形，所以，， 所以， 其中， 由正弦定理得 ， 因为为锐角三角形， 所以，即，所以， 所以，所以， 所以，， 故. 故答案为： 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，点，，记，． （1）设在上的投影向量为（是与同向的单位向量），求的值； （2）若四边形为平行四边形，求点C的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据投影向量的定义，即可求解； （2）根据平行四边形的性质，得到，转化为坐标运算，即可求解. 【小问1详解】 设与的夹角为， 则． 【小问2详解】 设点，因为四边形为平行四边形，所以． 又，， 所以，解得． 故． 16. 已知复数满足. （1）求复数和； （2）若复数是关于的方程的一个根，求实数a，b的值. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用复数除法运算及复数模长运算可得结果； （2）将代入方程化简，再利用复数相等的条件列方程组可求得实数a，b的值. 【小问1详解】 因为复数满足， 所以， 所以. 所以. 【小问2详解】 因为复数是关于的方程的一个根， 由（1）知，所以 ， 所以， 解得，. 17. 如图，在中，，点满足边上的中线与交于点．设． （1）用向量表示； （2）求的大小． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的线性运算即可求解； （2）利用平面向量的数量积公式即可求解． 【小问1详解】 由可知，， 则， 所以； 又为边上的中线，所以． 【小问2详解】 由得， 又，所以向量与的夹角为，则， 由图形可知，的大小等于向量与的夹角， 又， ， ， 所以， 又，所以． 18. 在锐角△中，角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理以及两角和的正弦公式求解； （2）利用正弦定理将边化角，用三角函数求取值范围. 【小问1详解】 ， 由余弦定理可得， 整理得， ∴, ∵，∴，∴，∴． 【小问2详解】 由正弦定理可知△的外接圆半径为， ∴，∴， ∴． ∵△为锐角三角形，∴即∴, ∴，∴，∴, 即的取值范围为． 19. 若A，B，C是平面内不共线的三点，且同时满足以下两个条件：①；②存在异于点A的点G使得：与同向且，则称点A，B，C为可交换点组．已知点A，B，C是可交换点组． （1）求∠BAC； （2）若，，，求C的坐标； （3）记a，b，c中的最小值为，若，，点P满足，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据与同向，设，利用夹角公式，结合，得到，再由，得到求解； （2）由（1）知，，得到是正三角形，利用边长相等求解； （3）设BC的中点为D，由，得到G为的重心，且为的中心，不妨设与的夹角为，，分别表示数量积求解. 【小问1详解】 解：因为与同向，设， 则， ， 又∠GAB，． 因为，所以， 所以， 由，得， 又，所以，． 【小问2详解】 由（1）知，． 所以， 因为，，， 所以，，， 则，解得 所以C的坐标为． 【小问3详解】 设BC的中点为D，则，又， 所以，即G为的重心，又是正三角形，点G是的中心， 所以，，， 由对称性，不妨设与的夹角为，， 如图所示， ， ， 由图可知，与，与的夹角分别为，， 所以，的值分别为，， 当时，， 所以，其取值范围是． 所以的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年第二学期一调考试 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第七章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知为虚数单位，则复数（ ） A. B. C. D. 4. 已知的内角的对边分别是，则“是钝角三角形”是 “” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若单位向量，满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小明想测量自己家所在楼对面的电视塔的高度，他在自己家阳台M处，M到楼地面底部点N的距离为，假设电视塔底部为E点，塔顶为F点，在自己家所在的楼与电视塔之间选一点P，且E，N，P三点共处同一水平线，在P处测得阳台M处、电视塔顶处的仰角分别是和，在阳台M处测得电视塔顶F处的仰角，假设，和点P在同一平面内，则小明测得的电视塔的高为（ ） A. B. C. D. 8. 在等腰中，为上一点，且，记的外心为，若，则（ ） A. 9 B. 12 C. D. 27 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若两个非零向量 共线，则必在同一直线上 B. 若向量与平行，与平行，则，方向相同或相反 C. 若非零向量与 是共线向量，则它们的夹角是0°或180° D. 平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量 10. 若复数在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则在第二象限 B. 若为纯虚数，则在虚轴上 C. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 D. 若，则为实数 11. 如图，已知正八边形的边长为1，是它的中心，是它边上任意一点，则（ ） A. 与不能构成一组基底 B. C. 在上的投影向量的模为 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则__________． 13. 在中，是上一点，若，则__________. 14. 已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，点，，记，． （1）设在上的投影向量为（是与同向的单位向量），求的值； （2）若四边形为平行四边形，求点C的坐标． 16. 已知复数满足. （1）求复数和； （2）若复数是关于的方程的一个根，求实数a，b的值. 17. 如图，在中，，点满足边上的中线与交于点．设． （1）用向量表示； （2）求的大小． 18. 在锐角△中，角的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 19. 若A，B，C是平面内不共线的三点，且同时满足以下两个条件：①；②存在异于点A的点G使得：与同向且，则称点A，B，C为可交换点组．已知点A，B，C是可交换点组． （1）求∠BAC； （2）若，，，求C的坐标； （3）记a，b，c中的最小值为，若，，点P满足，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $