精品解析：河南省部分名校2024-2025学年高二下学期3月联考数学试卷

2026普通高等学校招生全国统一考试 大联考（高二） 数学（人教版） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数为的导函数，且，则实数（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是等比数列，若，则的公比（ ） A. 4 B. 2 C. D. 4. 已知矩形的边所在直线的方程为，顶点，则顶点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 若存在，使得直线与圆相切，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 在正四棱柱中，分别为的中点，点为上底面的中心，则直线与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知某圆柱的表面积为，则该圆柱的体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，函数，，当时，函数的图象始终在函数的图象下方（所有点均不重合），则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记为等差数列的前项和，已知，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 数列中有且仅有一个最小项 10. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 当时，只有最大值，无最小值 B. 当时，有两个极值点 C. 当时，是的极大值点 D. 当时， 11. 已知点在曲线上，点，则下列结论正确的有（ ） A. 曲线关于原点对称 B. C. 的最小值为 D. 曲线与线段、直线所围成区域的面积大于 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，向量，若，则__________. 13. 已知圆与圆的相交弦所在直线为，若与抛物线交于两点，则__________. 14. 数列的通项公式为，则的前项和为__________（用含的式子表示）. 四､解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，曲线在处切线的斜率为. （1）求实数的值； （2）研究的单调性； （3）求的极值. 16. 如图，四棱锥的底面为菱形，，且侧面是边长为2的等边三角形，取的中点，连接. （1）证明：平面； （2）证明：为直角三角形； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知正项数列中，. （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式； （3）设，证明：. 18. 已知椭圆的下焦点为，其离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线与椭圆交于两点（直线与坐标轴不垂直），过作轴的垂线，垂足分别为，若直线与交于点，证明：点的纵坐标为定值. 19. 定义函数满足，且的定义域均为.已知函数. （1）求的解析式和定义域； （2）求的最小值； （3）若是的两个实根，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网命组卷网 2026普通高等学校招生全国统一考试 大联考（高二) 数学（人教版） 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上 无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1已知商数空f四为了的导商数.月了0=2，则实数m() A.0 B.2 C.1 D.2 【答案】D 【解析】 【分析】求导，再根据（0=2即可得解 第1页/共23页 6学科网 命组卷网 m 【详解】 ( 依题意得，f"()=m=2. 故选：D C:x_y =1 2.双曲线123的渐近线方程为() A.y=t! X 4 C.y=+2x D.y=+4x 【答案】B 【解析】 x2 y2 【分折】对于焦点在x轴上的双曲线云京=1(a,b>0 6 ，其渐近线方程为y=±。 a 【详解】由双曲线的标准方程可知，a=2√5，b=V3 x2 y2 所以双曲线 发心二一三1线方程为之 C: a 2· 故选：B 3.已知{a}是等比数列，若4,4=2a,4,=16.则{a.}的公比9=（) A.4 B.2 C Z D.4 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质及基本量计算求解即可 【详解】由等比数列的性质可知， asas asas 2as =q3= 所以a。=2,又4，=16，所以a6 8,则q=2 第2页/共23页 6学科网6组卷网 故选：B. 4已知矩形4BCD的边AB所在直线的方程为2r-+4=0,顶点D0,-),则项点A的坐标为( A.（-2,0) B.（-1,0) c(1,0) D.(2,0) 【答案】A 【解析】 【分析】由AB⊥AD,求出边AD所在的直线方程，再联立直线AB,AD组成的方程组，方程组的解 即为顶点A的坐标 【详解】因为1BLAD,边B所在直线的方程为 x-y+4=0 设D所在直线方程为x+2y+m=0,因为过D(0,-), 所以m=2,所以4D所在直线方程为X ,x+2y+2=0 2x-y+4=0 x=-2 由x+2y+2=0解得y=0,即顶点A的坐标为(-2,0) 故选：A. 5.若存在aeR,使得直线x+2y-b=0与圆C:×+0+=l相切，则实数b的取值范围为《 ) A.（-0,-4] B.[0,+o) c-4,0] D.（-o,-4U[0,+∞) 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，即可得解 【详解】由圆C:r+0+=1可得，圆心C(0,-),半径r=1, -2-bL=1 由题意得， Va2+4,则b+2=V2+4≥2， 第3页/共23页 6学科网 列组卷网 解得b≥0或b≤-4. 故选：D 6.在正四棱柱 BCD-4BCD中，4=2MB=4E,F分别为MB,BC的中点，点G为上底面 AB,CD的中心，则直线BG与DF夹角的余弦值为() 5 峪 V √5 A.5 B.3 c.5 D.3 【答案】A 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出向量BG,DF 的坐标，根据向量夹角公式求解 D-xyz 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系 则D(0,0,0),E(2,12),F(12,2),G(11,4),EG=(←10,2)，DF=(12,2) 于是coS<EG,DF>= EG.DE 3V5 EG DF5×35, 5 故直线EG与DF夹角的余弦值为5· 故选：A. .G D 7.己知某圆柱的表面积为4π，则该圆柱的体积的最大值为() 第4页/共23页 命学科网 组卷网 26不 5V6 4v6 6 A. 3 B.9π c.9π D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为x,高为h,体积为V,由已知可得到圆柱的体积V关于x的函数关系式， 再利用导数研究函数的单调性进而求得V的最大值， 【详解】设圆柱的底面半径为x,高为h, 依题意得，2元xh+2元x2=4π，所以h=2r t>0 所以0<x<√2，所以圆柱的体积为 V=r2h=π(2x-x2)】 设f(y=2x-x0<x<V2),则f()=2-3x 2 令f(x)=0,解得x= (负值舍去)， 上单调递增， 上单调递减， 因此当x= 时，圆柱的体积， 故选：C 8已知a>1,函数f()-=1+log,8(四=at,当x>0时，函数f(四的图象始终在西数8()的 图象下方（所有点均不重合），则实数a的取值范围为() c. n.. 【答案】C 【解析】 第5页/共23页 6学科网命组卷网 Int Ina> 【分析】问题转化为 工在(0，切)上恒成立再设0=下（>0求导，分析函数单调性. 数的最大值即可 【详解】由题意得，1+log,-ax<0在0，to)上恒成立，即lbg.(r)-(a<0在0，+o)上恒成 立 Int 设t=a,则t>0,则logt-P<0,所以 >l1og./=na在4e(0,+o)上恒成立， Ina> 又a>1,所以nd>2在1∈(0，+o)上恒成立. 令40-兴e>0,0-1 当4∈(O,)时，)>0，当1∈(6，+o)时，h<o, 所以h在0，vO上卓调道增，在C,)上单调造燕，尚0n=hS= (e)22e Ina> 1 由题意可知， 2e,所以a>e2c 故选：C 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.记S为等差数列a,}的前n项和，已知4=4,8=0，则下列结论正确的有（） A.4=-10 第6页/共23页 6学科网6组卷网 B.a=2n-10 C.S20=220 D.数列{，}中有且仅有一个最小项 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据已知条件列出关于首项和公差的方程组，求解出和，再据此求出通项公式，、 前”项和公式S,最后根据这些公式判断各个选顶的正确性 【详解】设数列a}的公差为d, a1+6d=4, 由题意可知， 9a+36d=0,解得a=-8,d=2,A错误； 由上得a.=a+(n-)d=2n-10,B正确 由0=30得，S20=041十020)=220c正预 2 S十衣9”三次数的性质可，当4藏5,5的独均像小，D销限 2 故选：BC 10已知函数f(d)=mx-l少(x-m)(m≠0，neN),则下列结论正确的有（） A当n=l,m<0时，f()只有最大值，无最小值 B.当n=l,m>0时，f()有两个极值点 C.当n=2,m>l时，x=1是f()的极大值点 第7页/共23页 6学科网命组卷网 D.当n=2,0<m<1时，x>l,f()>f(N 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二次函数、极值点、导数与单调性定知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】当”=m<0时，f(女的图象为开口向下的抛物线， 所以∫（冈）只有最大值，无最小值，A正确： 当n=1时，f()的图象为抛物线，故f(x)贝有一个极值点，B错误： 当n=2时，f(x)=mx-P(x-m) f'(x)=2m(x-l)(x-m)+m(x-l)2=m(x-1)(3x-2m-l) 若m>1,令f'(x)=0 解得x=1或x二3二】 商ufa(2,上>8利华两装 主L2）上内<0问平两数。 因此x=1是（冈的极大值点，C正确： 若0<m<1,令"(x)=0,解得x=1或x=3<1 内在(a20+e)L>8问28内 第8页/共23页 命学科网组卷网 又x>1,所以x>Vx,则f()>f(,D正确 故选：ACD 11已知点P(七，)在曲线C:-2+y=0上，点FL0),则下列结论正确的有() A.曲线C关于原点对称 B.V2≤，≤V2 cPF的最小值为l D.曲线C与线段y=0(0≤x≤)、直线x=1所围成区域的面积大于2 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用图像关于原点对称的点坐标特点即可判断选项A,将曲线C的方程配方即可判断选项B,代 入特殊值即可判断选项C,根据x,Y的范围，即可判断选项D. 【详解】将方程-2x+少=0中的y分别换为-y, 方程仍成立，则曲线C关于原点对称，A正确： 方程x-2x2+y2=0化为(x2-+y2=1, 所以1≤r-1≤1，解得V2≤x≤V2 B正确： 在方程-2r+少=0中，令y=0,解得x=0,欧x=士2 当点P的坐标为(N2,0)时，PFr=2-1<1,c错误 曲线C在第一象限上的最高点为B(,) 且经过原点， 第9页/共23页 6学科网6组卷网 又y=V2r2-x=xV2-,故0<x<1时，y>x, 所以曲线C与线段y=0(0≤x≤1)、直线x=1所围成区域的面积 积S>)x1x1= 2 2,D正确 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12已知meR,向量i=(,m,-2),6=(m,23),若a-i=6,则ld= 【答案】 V21 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示，建立方程，可得答案。 【详解】由i-6=6得，a-6=m+2m-6=6 解得m=4,所以同=V2 故答案为：V21 18,已知园G:+广=4与圆C:+y+2x-y-6=0的相交弦所在直线为，若1与抛物线 y=4x交于AB两点，则MB- 【答案】5 【解析】 【分析】由圆G与圆C的方程相诚可得直线'的方程2红-y-2=0,进而得到直线经过抛物线广=4x 的焦点， 联立直线！与抛物线广=4x方程，结合韦达定理及抛物线定义求解即可 【详解】由圆G与圆9的方程相减行，相交弦所在直线'的方程为2x-y-2=0, 又知抛物线广=4的焦点为FL,0）,则直线l经过焦点F。 第10页/共23页 命学科网命组卷网 设1(，y,B(G,) [y2=4x 由2x-y-2=0:得x2-3x+1=0:所以x+x3=3, 由抛物线定义可知，AB=,+x+2=5 故答案为：5， 14数列a,}的通项公式为0，=(2n-)4“,则{a,}的前n项和S为 (用含n的式子表示)· 206n-5.4H 【答案】9 9 【解析】 【分析】利用错位相减法即得 【详解】因为0，=(2n-1)小4" 所以S,=1x4+3×4+…+(2n-)-4,0 则4S,=1x42+3×43++(2n-l）-4 ② 由0-②得，-3，=4+2×(4+4+…+4）-(2n-）4 2x4-4）-（2n-4=-206035.4" =4+2× 1-4 33 故-20,6m-5 40+1 99 20,6n-5 一十 .4+1 故答案为：9 9 四、解答题：本大题共5个小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 第11页/共23页 6学科网命组卷网 15已知酒数(-二a>0,曲线y=付在0了(o)处切线的斜率为-2 (1)求实数a的值； (2)研究f(x)的单调性： 3)求（的极值 【答案】(1)1 2)f(冈在（0，l),（,2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增 e2 (3)极小值为，无极大值 【解析】 【分析】(1)对函数求导，根据导数的几何意义结合题意即可求a: (2)求出函数的定义域，再对函数求导，根据导数的取值的正负确定函数的单调区间； (3)根据函数的单调性，确定函数的极值点，再求极值即可 【小问1详解】 f名，m,r0=之 1 解得a=1或0=一2（合去)，故实数a的值为1 【小问2详解】 因为儿)-，所以f()的定义域为{x≠， e 由(1)可知， 2品 令f()=0,解得x=2, 当xe(-o,U(,2)时，∫'(x)<0,f(单调递减。 第12页/共23页 6学科网6组卷网 当xe(2,+o)时，'(，>0，f()单调递增， 故f(,在（-，)，(，2)上单调递减，在(2，+0)上单调递增 【小问3详解】 由(2)知，f(冈在，2)上单调递减，在2，+0)上单调递增， 故（四）在x=2处取得极小值， 极小值为②)三=e,无移不 16.如图，四棱锥 P-ABCD 的底面为菱形， ∠BAD=60,且侧面PAB是边长为2的等边三角形，取 PE,DE AB的中点E,连接 D (1)证明：AB⊥平面PDE: (2)证明：△PCD为直角三角形： (3)若PD=√5，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值 【答案】(1)证明： 因为侧面PAB是等边三角形，E为AB的中点，所以PE⊥AB, 因为四边形4BCD为菱形，且∠BMD=60,所以DE L AB, 又PEODE=-E,PE、DEC平面PDE,MBc平面PDE, 所以AB⊥平面PDE. 第13页/供23页 命学科网命组卷网 (2)证明： 因为4BCD,ABL平面PDE,所以CDL平面PDE, 又PDC平面PDE,所以CD⊥PD, 故△PCD为直角三角形， 3 (3)4. 【解析】 【分析】(1)因为E为等边三角形PAB的边AB的中点，所以PE⊥AB,又四边形ABCD为菱形，且 ∠BAD=60,所以DB上AB,结合线面垂直的性质即可证明； 2)因为AB‖CD,AB上平面PDE,所CDL平面PDE.所以CD1PD.即可证明： (3)由(I)可知，平面PDE⊥平面ABCD,所以可得△PDE为等边三角形，取DE的中点O,连接 OP,则OP1DE,所以以°为坐标原点，平行于4B的直线为产轴，直线OD、OP分别为轴，2镇， 建立空间直角坐标系，利用向量法可求得直线PB与平面PCD所成角的正弦值， 【小问1详解】 略： 【小问2详解】 略。 【小问3详解】 因为ABc平面ABCD,故由(1)可知， 平面PDE⊥平面ABCD,易求PE=DE=V5,又PD=V5 所以△PDE为等边三角形， 第14页/供23页 6学科网 命组卷网 取DE的中点O,连接OP,则OP⊥DE, 因为DE为平面ABCD与平面PED的交线，OPC平面PED, 所以OP⊥平面ABCD 以O为坐标原点，平行于AB的直线为x轴，直线ODOP分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角 0-xyz 坐标系 -小小n引 肠-9m-2m-号-引 设平面PCD的法向量为 m=(x,y2） CDm=-2x=0, PD.m=3,3 由 2y-22=0, 取z=1,得m=(0,V5,小 设直线PB与平面PCD所成的角为B, 第15页供23页 6学科网命组卷网 则sin6=os(mPB= m-PB 33 PB 2×24, 3 故直线PB与平面PCD所成角的正弦值为4， n距g数a,4-子产a-a=2 (1)证明：数列1+3”a}是等比数列； (2)求数列a,}的通项公式 4.4. 41 (3)设b.=[log,(1-a广，证明：五 【答案】(1证明：由3"(a1-a,)=2得， 3am=2+3mdn 则1+3a=3+3a.=3x+3”a). 1+3al=3 因为an>0,所以1+3”an 又1+3a=1+3x2=3 3=3,故数列1+3”a}是首项为3，公比为3的等比数列 质由和-s-a了-s-. 第16页/供23页 6学科网列组卷网 4=4<7 当n=1时，b ，不等式成立； 4+4=4+2=5<7 当n=2时，bb2 ,不等式成立； 1111 当n≥3时，n2n(n-1)n-1n, 后后会空6 g》s2)147 4.4. -+十 41 综上可知，bb2bn· 【解析】 【分析】4)由递推公式构造得到+3"01=3+3a即可求证。 (2)由(1)等比数列通项公式即可求解： 1 1 (3)由(2)得到b,=n2,通过n2n(n-1)即可求证： 【小问1详解】 略。 【小问2详解】 由(1)可知， 1+3”an=3×3m=3" 【小问3详解】 略 第17页/供23页 6学科网命组卷网 y2,x2 18已知稀C:若+存=a>b>0)的下在点为F(0,-2).其青心率为是. √2 (1)求椭圆C的标准方程： (2)过F的直线与桃国C交于P2阿点（直线？与坐标销不重直），过尸 P,O 作轴的垂线，垂足分 ,若直线PW与DM义 M,N 别为 M交于点H,证明：点H的纵坐标为定值， y2 x2 =1 【答案】(1)84 (2)证明如下： 设直线P吧的方程为y=-2(k≠0)】 P(4,2(,),则M(0,y),N(0,) y2 x2 =1 由 84 =x-2·得(k2+2)x-4-4=0且A=16k2+16k+2>0° 4k 4 则+=2+23=2+2， 易知直线 W与M 的斜率均存在， 厕直线N的方程为y三x+nO, 直线oM的方程克y业x+@ X2 联立0@消去，阁.少=出+--2到+3伦-2到 七1+x2 x1+x2 第18页/供23页 6学科网 命组卷网 8k =-2+26=-2+2+2=-4. X1+x2 4k k2+2 故点H的纵坐标为定值一4. 【解析】 【分析】(1)根据题意，列出4,6，C 的方程求解； 4k 4 (2)设出直线P的方程y=-2(k≠0)与椭圆方程联立，可得+名2十2=- k2+2,求 PN OM H 出直线 方程，求出交点的纵坐标，得证 【小问1详解】 a2-b2=4 由题意可知， 22, a 2 2=8,b2=4 解得 y2,x2 故椭圆C的标准方程为8+4=】 十 【小问2详解】 略 19定义函数T(满足T.(cos)=cos,且T()的定义域均为-l,,n∈N已知函数 第19页/共23页 6学科网6组卷网 f)=2()[3()+x （1)求f()的解析式和定义域 （2)求f(的最小值： 若5西0<5<5何-a0<0与个..足+日》1 【答案】（山）f()=rr,定义域为(O, 1 (2)3e (3)证明： 因为，(0<x<)是()=0的两个实根， 所以h-a=0.lnx,-a=0 -g. a=Ing -Inr, 则m-g 11 =所拟店店· 21 要证a + ,只需+2-n<- 0<五<巧，且y=l血x为增函数，所以n-r>0 因为 11 因为0<<名，且'产在(0，+)上为减数，所以写<0， 第20页/共23页 6学科网命组卷网 11 (21血，-nx<0,所以即证2+1 x >-1 所以+ + (Inx2 -Inx 11 11 xx 即证2,1 + 之-s-）.阳t了及子-）0 11 1- ->0 证n之+2>0，即证x x 21 2+1 1-m>0 令-受a>,+20 设8(m）=nm 2m+7(m>1) 1-m3 则8'(m)-9m=4m-5m+1 m(2m3+1)m(2m3+1) 4m-m-0 m(2m3+1) 所以8(m)在（山，+o)上单调递增， 1-m3 则g(m>g0=0,所以m+2m+0成立. 【解析】 第21页/共23页 6学科网命组卷网 【分折】少根据乙（定义求出(）x,Z()=2x-1,由此即可求出f(), (2)对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性，从而求得最值： In x ->0 (3)根据已知条件化 2 ，1 为 x 2点+1 m=(m>)'得 换元令 Inm+ 1-m3 >0 2m+1>0,构造函数，利用导数得到函数的单调性，利用函数单调性证明不等式即可 【小问1详解】 由题意得， Z(cosr)=cosx,令x=c0sx,故Z()=t,xe-H川， 又3，(cos)=cos2x=2cos3x-1,所y(d)=2r-1,xe-, 故f(冈=xin,f(的定义域为0， 【小问2详解】 因为f()=rihx,xe(0,],所以f(=3rr+=(3lx+), 令f'(x)=0,解得x=e3, 当Q,c时<0f)单河递减 oa-e)e时js. 【小问3详解】 略 第22页/供23页 命学科网组卷网 第23页/共23页