精品解析：江苏省宿迁市泗阳县 2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024—2025学年第一学期九年级期末学业水平测试数学 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．熟练掌握一元二次方程的定义判断是解题的关键． 【详解】解：A、该方程中含有两个未知数，故本选项不符合题意； B、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、当时，该方程中未知数的最高次数不是2，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（  ） A. 5                                            B. 6                                            C. 7                                            D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】点在圆内，点到圆心的距离小于半径， 又因为圆的半径为6， 所以OP的长小于6， 因为5＜6，所以选项A符合题意， 故选A 3. 已知一组数据：3，2，5，2，4，则这组数据的中位数是（ ） A. 2 B. 5 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数的定义，计算即可． 本题考查中位数．熟练掌握定义，计算公式是解题的关键． 【详解】根据题意，得数据排序如下：2，2，3，4，5， 中位数是第3个数据，即3， 故选D． 4. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率，根据抛掷一枚质地均匀的硬币，朝上的情况为：正面朝上、反面朝上，即可得，掌握概率是解题的关键． 【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，朝上的情况为：正面朝上、反面朝上， 则抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为， 故选：B． 5. 若，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，利用比例的性质逐一判断即可．熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：A．因为，所以，，故A不符合题意； B．因为，所以，，故B不符合题意； C．因为，所以，故C符合题意； D．因为，所以，，故D不符合题意； 故选：C． 6. 抛物线与轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．把代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：当时，， 则抛物线与y轴交点的坐标为， 故选：A． 7. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根的判别式逐一判断即可. 【详解】解：A．∵，∴，∴，∴方程有两个不相等的实数根； B．∵，∴方程有两个不相等的实数根； C．∵，∴方程没有实数根； D．∵，∴方程有两个相等的实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：，方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根． 8. 半径为2的圆的内接正六边形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆，正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，画出图形，如图，连接、，作于，利用半径求得即可求得面积．解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形． 【详解】解：如图： 连接、，作于， 根据题意，， 为等边三角形， ， ， ， 根据勾股定理可得， 等边三角形的面积为， 正六边形由6个等边三角形组成， 正六边形的面积为． 故选：A． 9. 如图，以下四个条件中不能判定ABC∽ACD的是（ ） A. ∠B=∠ACD B. ∠ACB=∠ADC C. AB•CD=AC•BC D. AC2=AD•AB 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定条件判断即可； 【详解】当∠B=∠ACD，时，，故A不符合题意； 当∠ACB=∠ADC，时，，故B不符合题意； 当AB•CD=AC•BC时，，此时不能证明，故C符合题意； 当AC2=AD•AB时，，再根据，即可得到，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，准确分析判断是解题的关键． 10. 已知满足，则（） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，配方法的应用，非负数的性质，将变形，然后根据非负数的性质和式子的结果，可以求出的值，再代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ， ，， ∴当时，， 解得：， ， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 已知关于x一元二次方程x2﹣a＝0有一个根为x＝2，则a的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】把代入原方程可得：再解方程可得答案． 【详解】解： 关于x的一元二次方程x2﹣a＝0有一个根为x＝2， 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的含义是解题的关键． 12. 若线段a、b、c、d是成比例线段，且，，、则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据成比例线段的定义列式计算即可． 本题考查了成比例线段，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段，且，， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 13. 一组数据：3，4，x，4，5的平均数是4，则x的值是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了平均数的定义，解题的关键是根据平均数的定义构建方程解决问题，属于中考基础题．根据平均数的定义计算即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：4． 14. 在中，弦，圆心角，则的半径为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，圆心角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据等边三角形的判定定理证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 15. 如图，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用阴影部分的面积除以整个大正方形的面积即可得． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1， 则整个大正方形的面积为， 阴影部分的面积为， 所以这个点取在阴影部分的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求几何概率，正确求出阴影部分的面积是解题关键． 16. 二次函数的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．将解析式化为顶点式，然后根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解： ． 则顶点坐标为． 故答案：． 17. 如图，在扇形中，，点C在上且垂直平分线段，D为垂足，以O为圆心，为半径作弧交于点E，则阴影部分面积__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，线段的中垂线，解直角三角形等知识，根据中垂线的性质以及解直角三角形可得，再根据扇形面积、三角形面积以及图形中各个部分面积之间的和差关系进行计算即可，掌握扇形面积的计算方法以及线段中垂线的性质是正确解答的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴ ∵是的中垂线， ∴，， ∴， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 18. 如图，是斜边上的中线，，点在边上，连接，，当与相似时，线段的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据是斜边的中线得到，进而得到，根据与相似， 得到或，所以分三种情况讨论：①②③，分别求解即可． 【详解】解：是斜边的中线，， ， ∴， 当时， ∴，则， ∵在中，， ， ，则, ， ， ∴， 当或时， ，又， ， ， ， ， ， ， ， ∴ 综上所述，的长为或 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角函数的应用，解题的关键是分情况讨论相等的角． 三、解答题（共10小题，共96分．解答时应写出必要的步骤、过程或文字说明） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想也考查了配方法解一元二次方程． （1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）先移项得到，然后利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 20. 如图，在中，，，垂足为． （1）与相似吗？为什么？ （2）若，，求的长． 【答案】（1）相似，理由见解析 （2）的长为4 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质， （1）根据题意得，和，则，即可证明； （2）由（1）知，则，代入求解即可． 【小问1详解】 证明：，理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 即； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴的长为4． 21. 如图，是直径，点在上，且垂足为． （1）若，则_____； （2）若，求的长． 【答案】（1）60 （2）的长为10 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、勾股定理． （1）根据圆周角定理求出，再根据直角三角形的性质求解即可； （2）先连接，在中，根据勾股定理得出的长，即可求出的长． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：60； 【小问2详解】 解：连接， 在中，，，， ∴， ∴． 22. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船计划成功发射，激发了同学们的爱国热情．某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七、八年级学生进行了测试．现从七、八年级各随机抽取了15名学生的测试成绩进行了以下数据的整理与分析： 【数据收集】 七年级：68，70，72，73，78，82，83，84，85，85、86，92，93，96，98； 八年级：56，69，73，77，79，82，85，88，88，88，90，90，93，93，94； 【数据分析】 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 85 八年级 83 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）_____，______； （2）测试成绩在分的学生可以获得奖励，若该校七年级有600名学生，八年级有660名学生，估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为多少？ 【答案】（1）84，88 （2）估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为380人 【解析】 【分析】本题考查求中位数和众数，利用样本估计总体，熟练掌握中位数和众数的含义是解题的关键； （1）根据中位数和众数的确定方法，求出a，b的值即可； （2）利用中位数和众数进行分析即可； （3）先求出七、八年级获奖的学生所占的百分比，利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：由数据收集可知： 七年级位于中间位置的数据为：， ∴， 八年级：88出现了3次，是出现次数数最多的数据， ∴； 故答案为：84，88； 【小问2详解】 解：由数据收集可知： 七年级分的学生为92，93，96，98共4人，占； 八年级分的学生为90，90，93，93，94共5人，占； （人）； 答：估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为380人． 23. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球7个． （1）求任意摸出一个球是黑球的概率； （2）小明从盒子里取出m个白球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查简单事件的概率计算，理解题意是解答的关键． （1）根据简单事件的概率计算公式求解即可； （2）先根据摸出红球的概率求得从盒子里取出m个白球后的球的总数，进而可得m值． 【小问1详解】 解：因为红球3个，白球5个，黑球7个， 所以盒子中球的总数为：（个）， 所以任意摸出一个球是黑球的概率为； 【小问2详解】 解：因为任意摸出一个球是红球的概率， 所以盒子中球的总量为： 所以可以将盒子中的白球拿出（个）， 所以． 24. 如图，为直径，射线交于点，弦平分，过点作于点． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求线段的长度． 【答案】（1）证明见解析 （2）线段的长度为 【解析】 【分析】此题重点考查平行线的判定与性质、切线的判定、圆周角定理、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，则，所以，而，则，所以，由于点，得，则，即可证明直线是的切线； （2）连接，由，，，求得，由，得，则． 【小问1详解】 证明：连接，则， ， 弦平分， ， ， ， 于点， ， ， 是的半径，且， 直线是的切线． 【小问2详解】 解：连接， ，，， ， ， ， ， 线段的长度是． 25. 定义：若一个点的纵坐标的绝对值是横坐标绝对值的2倍，则称这个点为“好点”，如：，，等都是“好点”． （1）在点中，点______是“好点”； （2）若“好点”在直线上，求点的坐标； （3）若抛物线上恰好有3个“好点”，求的值． 【答案】（1）E （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的交点，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据“好点”定义判定即可； （2）根据“好点”定义设点或，代入解析式求出值即可得到点坐标； （3）得到或，利用判别式得到，解出值即可． 【小问1详解】 解：，，， 根据“好点”定义可知点是“好点”； 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据“好点”的定义设点， 在直线上， 当，解得 当，解得， 或； 【小问3详解】 解： 当时， 可得， 则，该方程有两个不相同的根， 抛物线上恰好有3个“好点”， 有两个相同的根， 整理得：， ， 解得或， 当时，抛物线为， 解，得， 解，得， 此时有“好点”重合，故不符合题意， 同理当时，符合题意， 故． 26. 某汽车出租公司每辆汽车月租费为3000元时，100辆汽车可以全部租出，若每辆汽车的月租费每增加50元，则将少租出1辆汽车，已知每辆租出的汽车支付月维护费200元． （1）每辆汽车月租费为3500元时，则该出租公司可以租出______辆汽车； （2）每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 【答案】（1）90 （2）每月租出78辆汽车时，出租公司的月收益最大，最大月收益是304200元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值问题，正确的列出函数解析式是解题的关键． （1）根据每辆汽车的月租费每增加50元，将少租出1辆汽车，列式计算即可； （2）设每月租出x辆汽车时，该出租公司的月收益最大，月收益是y元，根据题意列出二次函数解析式，根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意：（辆） 则每辆汽车月租费为3500元时，该出租公司可以租出辆汽车； 【小问2详解】 解：设每月租出x辆汽车时，该出租公司的月收益最大，月收益是y元， 根据题意：：， 即：． 配方得：， ， ∴当时，， 故每月租出78辆汽车时，该出租公司的月收益最大，最大月收益是304200元． 27. 在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图1，为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在凸透镜左边的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：平行于主光轴的光线，通过透镜折射后经过焦点，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点． （1）若像距，物距，小蜡烛的高度，则蜡烛的像_____； （2）当时，设，，求关于的函数关系式； （3）如图2，在凸透镜左边的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为，作正方形、正方形、矩形、矩形． ①在线段上作出凸透镜的焦点的位置；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②若矩形的面积为12，求的面积． 【答案】（1）2 （2）关于的函数关系式为 （3）①作图见解析；②的面积为6 【解析】 【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质解答即可； （2）利用相似三角形的判定与性质求得，利用线段的和差求得，代入化简即可得出结论； （3）①过点A作于点F，连接，交于点E，则点E为出凸透镜的焦点E的位置； ②利用矩与正方形的性质，设，则，利用（2）的结论得到，利用三角形的面积公式求得的面积，再利用矩形的面积求得的值，则结论可求 【小问1详解】 解：（1）由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 由题意得：四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴y关于x的函数关系式为； 【小问3详解】 解：①过点A作于点F，连接，交于点E，则点E为出凸透镜的焦点E的位置，如图： ②∵正方形、正方形、矩形、矩形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴的面积． ∵矩形的面积为12， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，三角形的面积，矩形的面积，基本作图，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 28. 综合实践：怎样才能命中篮筐 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班仔浩发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片(如图)，并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图所示，以仔浩的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系：篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球(P)出手时离地面的高度为c米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：当篮球(P)恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度(n米)满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，仔浩在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米． （1）写出仔浩初次投篮时篮球的运动轨迹抛物线，并通过计算判断是否能命中篮筐？ （2）该班数学兴趣小组同学对仔浩的初次投篮数据进行研究后，让仔浩同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t值(保留根号) （3）在比赛过程中，仔浩在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，仔浩此次能否命中篮筐？如果不能，那么要想命中篮筐，则c的取值范围是多少？ 【答案】（1）不能 （2）t值为 （3）不能，c的取值范围是 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．应用平移规律得到平移后的抛物线的解析式是解决本题的易错点． （1）易得仔浩初次投篮时抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把点 P的坐标代入可得a的值，取，看对应的y的值是多少，即可判断能否命中篮筐； （2）设出向右平移后的抛物线解析式，把代入可得的值； （3）判断出运动后的抛物线解析式，取，得到y的值即可判断是否命中篮筐；判断出提高出手高度后的抛物线解析式，取，得到对应的y的值，进而根据y的取值范围得到m的值，取，得到c的值，即可判断c的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意得：仔浩初次投篮时抛物线的顶点坐标为：， ∴设， ∵经过点， ∴， 解得：， ∴, 当时，， 时，篮球命中篮筐， 仔浩初次投篮时不能命中篮筐． 【小问2详解】 解：向前走了t米后抛物线的解析式为：， ∵经过点, ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去），， 答：t的值为； 【小问3详解】 解：由题意得：仔浩在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮时，抛物线的解析式为：， 当时，， 不能命中篮筐； 设改变出手点的高度后的抛物线的解析式为：， 当时，， ∴, 解得：， ∵出手点的坐标为， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期九年级期末学业水平测试数学 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 若⊙O半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（  ） A. 5                                            B. 6                                            C. 7                                            D. 8 3. 已知一组数据：3，2，5，2，4，则这组数据的中位数是（ ） A. 2 B. 5 C. D. 3 4. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 5. 若，则下列等式成立是（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线与轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 8. 半径为2的圆的内接正六边形的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，以下四个条件中不能判定ABC∽ACD的是（ ） A. ∠B=∠ACD B. ∠ACB=∠ADC C. AB•CD=AC•BC D. AC2=AD•AB 10. 已知满足，则（） A. B. C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 已知关于x的一元二次方程x2﹣a＝0有一个根为x＝2，则a的值为_____． 12. 若线段a、b、c、d是成比例线段，且，，、则______． 13. 一组数据：3，4，x，4，5的平均数是4，则x的值是_______． 14. 在中，弦，圆心角，则的半径为_____． 15. 如图，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是_____． 16. 二次函数的顶点坐标是______． 17. 如图，在扇形中，，点C在上且垂直平分线段，D为垂足，以O为圆心，为半径作弧交于点E，则阴影部分面积__． 18. 如图，是斜边上的中线，，点在边上，连接，，当与相似时，线段的长为_____． 三、解答题（共10小题，共96分．解答时应写出必要的步骤、过程或文字说明） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 如图，在中，，，垂足为． （1）与相似吗？为什么？ （2）若，，求长． 21. 如图，是直径，点在上，且垂足为． （1）若，则_____； （2）若，求的长． 22. 2024年4月25日，神舟十八号载人飞船计划成功发射，激发了同学们的爱国热情．某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七、八年级学生进行了测试．现从七、八年级各随机抽取了15名学生的测试成绩进行了以下数据的整理与分析： 【数据收集】 七年级：68，70，72，73，78，82，83，84，85，85、86，92，93，96，98； 八年级：56，69，73，77，79，82，85，88，88，88，90，90，93，93，94； 【数据分析】 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 85 八年级 83 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）_____，______； （2）测试成绩在分的学生可以获得奖励，若该校七年级有600名学生，八年级有660名学生，估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为多少？ 23. 在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球7个． （1）求任意摸出一个球是黑球的概率； （2）小明从盒子里取出m个白球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为，请求出m的值． 24. 如图，为直径，射线交于点，弦平分，过点作于点． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求线段的长度． 25. 定义：若一个点的纵坐标的绝对值是横坐标绝对值的2倍，则称这个点为“好点”，如：，，等都是“好点”． （1）在点中，点______是“好点”； （2）若“好点”在直线上，求点的坐标； （3）若抛物线上恰好有3个“好点”，求的值． 26. 某汽车出租公司每辆汽车月租费为3000元时，100辆汽车可以全部租出，若每辆汽车的月租费每增加50元，则将少租出1辆汽车，已知每辆租出的汽车支付月维护费200元． （1）每辆汽车月租费为3500元时，则该出租公司可以租出______辆汽车； （2）每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 27. 在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图1，为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在凸透镜左边的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：平行于主光轴的光线，通过透镜折射后经过焦点，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点． （1）若像距，物距，小蜡烛的高度，则蜡烛的像_____； （2）当时，设，，求关于函数关系式； （3）如图2，在凸透镜左边的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为，作正方形、正方形、矩形、矩形． ①在线段上作出凸透镜的焦点的位置；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②若矩形的面积为12，求的面积． 28. 综合实践：怎样才能命中篮筐 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班仔浩发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片(如图)，并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图所示，以仔浩的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系：篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球(P)出手时离地面的高度为c米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：当篮球(P)恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度(n米)满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，仔浩在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米． （1）写出仔浩初次投篮时篮球的运动轨迹抛物线，并通过计算判断是否能命中篮筐？ （2）该班数学兴趣小组同学对仔浩的初次投篮数据进行研究后，让仔浩同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t值(保留根号) （3）在比赛过程中，仔浩在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，仔浩此次能否命中篮筐？如果不能，那么要想命中篮筐，则c的取值范围是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $